Tema 3 Variables aleatorias yprincipales distribuciones

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1 Tema 3 Variables aleatorias yprincipales distribuciones 1. Variables aleatorias. Distribuciones de probabilidad de v. a. discretas 3. Distribución de probabilidad de v. a. continuas 4. ropiedades de las variables aleatorias 5. Distribución de Bernoulli 6. Distribución binomial 7. Distribución hipergeométrica 8. Distribución de oisson 9. Distribución uniforme continua 10.Distribución normal 1

2 1. Variables aleatorias Concepto: Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un eperimento aleatorio. Es la correspondencia que asocia cada elemento del espacio muestral con un número real. Así, si el resultado es numérico, los valores asociados ala variable podrán ser los del propio eperimento; sin embargo, si el resultado es cualitativo, habrá que asignarle un valor real. Es evidente que la asignación de valores numéricos alos resultados del eperimento no es única, pudiendo definirse distintas variables aleatorias para un mismo eperimento. Definición: Dado un eperimento aleatorio, con espacio muestral asociado Ω, una variable aleatoria es cualquier función, X, X: Ω R que asocia acada suceso elemental un número real.

3 1.1 ropiedades 1. Si X es una variable aleatoria definida sobre un espacio muestral y c es una constante cualquiera, c X es una variable aleatoria sobre el mismo espacio.. Si X e Y son dos variables aleatorias, su suma X + Y y su producto X Y son también variables aleatorias. 3. En general, cualquier función medible de variables aleatorias es también una variable aleatoria. 3

4 1. Variables aleatorias discretas y continuas variables aleatorias Discretas Continuas Una variable aleatoria es una variable aleatoria discreta si no puede tomar más de una cantidad numerable de valores. Una variable aleatoria es una variable aleatoria continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo. Una variable aleatoria que tome unos valores puntuales con probabilidad dada, yel resto de los valores los tome dentro de uno ovarios intervalos, se dirá que es una variable aleatoria mita. 4

5 1.3 Caracterización de las variables aleatorias La variable aleatoria es una abstracción numérica que se hace de los resultados de un eperimento aleatorio, ypuesto que cada suceso tiene una determinada probabilidad de ocurrencia, se traslada dicha probabilidad al valor correspondiente de la variable aleatoria. Si la variable aleatoria es discreta ytoma pocos valores distintos, es factible dar todos esos valores con sus probabilidades de una forma eplícita. ero si la variable es discreta ytoma muchos valores diferentes (tal vez infinitos) osi es continua, lo anterior es poco recomendable oincluso imposible. or ellos es necesario apoyarse en una serie de funciones, relacionadas íntimamente con dichas probabilidades, que permiten resolver el problema. Estas funciones son la función de probabilidad (de masa en el caso discreto y de densidad en el continuo) yla de distribución. Caracterización de variables aleatorias Función de probabilidad Función de distribución f. de masa f. de densidad 5

6 1.4 Función de distribución de una variable aleatoria Definición: La función de distribución de una variable aleatoria X es una función real que acada número real le asocia la probabilidad de que la variable tome valores menores oiguales que dicho número, esto es: F() (X ) ({ω Ωtales que X(ω) }) ropiedades: 1. 0 F() 1.. F es no decreciente ( 1 < F( 1 ) F( )). F ( 1) ( lim F 0) ( + ) lim F ( ) F ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) + F lim F + h F 5. F es continua por la derecha. + h 0 6

7 . Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores dentro de un conjunto finito oinfinito numerable..1 Función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta Definición: Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores i con probabilidades p i (X i ),con p 1.Se denomina función de masa de probabilidad ofunción de probabilidad de la variable X a la función que asigna acada i suprobabilidad p i. La función de probabilidad sólo toma valores distintos de 0 en puntos discretos. i Una variable aleatoria queda perfectamente determinada cuando se conoce su función de masa de probabilidad. i 7

8 . ropiedades que deben satisfacer las funciones de probabilidad de variables aleatorias discretas Sea X una variable aleatoria discreta que tiene una función de probabilidad (). En este caso, 1. 0 () 1 para cualquier valor.. Las probabilidades individuales suman 1:.3 Función de probabilidad acumulada (función de distribución) La función de distribución de una variable aleatoria discreta asocia cada número con la probabilidad acumulada hasta ese valor: F() (X ) La función F() es escalonada, no decreciente, con saltos de discontinuidad en los puntos i.el valor del salto en i coincide con la probabilidad, p i,de dicho valor. i ( ) 1 i 8

9 .4 Relación entre la función de probabilidad yla función de probabilidad acumulada Sea X una variable aleatoria discreta que tiene una función de probabilidad (). En este caso, F donde la notación implica que el sumatorio abarca todos los valores posibles de que son menores oiguales a 0. ( ) ( ) 0 0 9

10 3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Una variable aleatoria continua es aquella que toma valores en uno ovarios intervalos de la recta real. 3.1 Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua Concepto La medida de muchos eperimentos es aproimada, pues no se puede precisar la eactitud mediante un proceso de medición físico. Así, cuando se recogen datos de una variable estadística, se clasifican los resultados en clases con sus respectivas frecuencias. Como puede verse en el gráfico siguiente, al hacer las clases más ymás finas, el histograma de frecuencias se aproima acierta curva. De este modo surge el concepto de función de densidad como la función límite ala cual se aproima el histograma. 10

11

12 ara hallar la probabilidad de que una variable aleatoria X esté comprendida en un intervalo específico, se calcula la diferencia entre la probabilidad acumulada en el etremo superior del intervalo yla probabilidad acumulada en el etremo inferior del intervalo. Así, dada una variable aleatoria continua X, la probabilidad de un intervalo (a,b) será el área limitada por esta función de densidad, las rectas a, b yel eje de abscisas. f() a b 1

13 La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor concreto es igual a cero: (X 0 ) 0, para cualquier valor de 0. Definición: Dada una variable aleatoria continua X, su función de densidad es la función real de la variable real: f ( ) lim ( h X + h) h + h 0 La función f() describe el comportamiento idealizado de la variable aleatoria continua asociada, reflejando, para cada intervalo real sobre el que tome valores la variable, su densidad de probabilidad. 3. Función de distribución La función de distribución, F(), de una variable aleatoria continua X epresa la probabilidad de que X no sea mayor que el valor de, en función de F ( ) ( X ) f () t dt f( ) df d ( ) 13

14 3.3 ropiedades de la función de densidad yde la función de distribución Sea X una variable aleatoria continua y cualquier número situado en el rango de valores que puede tomar esta variable aleatoria. Sea f(), su función de densidad yf()su función de distribución. Se tienen las siguientes propiedades: 1. f() 0 < <.. El área situada debajo de la función de densidad de probabilidad, f(), cuando se abarcan los valores de la variable aleatoria, X, es igual a1. f ( ) d F ( + ) 1 3. Supongamos que se representa gráficamente esta función de densidad. Sean a y b dos valores posibles de la variable aleatoria X, siendo a < b. En ese caso, la probabilidad de que X se encuentre entre a y b es el área situada debajo de la función de densidad entre estos puntos. b ( a X b) ( a < X < b) f ( t) dt F ( b) F ( a) a 14

15 En el caso de las variables aleatorias continuas, da lo mismo escribir menor que o menor o igual que,ya que la probabilidad de que X sea eactamente igual a ao a bes 0. La probabilidad de que una variable aleatoria continua se encuentre entre dos valores cualesquiera puede epresarse por medio de su función de distribución acumulada. or consiguiente, esta función contiene toda la información sobre la estructura de probabilidad de la variable aleatoria. 4. La función de distribución acumulada, F( 0 ),es el área situada debajo de la función de densidad de probabilidad, f(), hasta 0. F 0 ( ) ( X ) f ( t) 0 donde m esel valor mínimo de la variable aleatoria X. 5. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un único valor es nula. ara ciertasvariables continuasdeusofrecuente, losvalores de F() seen- cuentran tabulados, lo cual facilita el cálculo de probabilidades m 0 ( X ) f ( t) dt dt

16 4. ropiedades de las variables aleatorias 4.1 Valor esperado de una variable aleatoria: la función esperanza matemática ara tener una medida del punto central de una distribución de probabilidad, se introduce el concepto de esperanza de una variable aleatoria. El valor esperado es la medida correspondiente del punto central de una variable aleatoria. El valor esperado de una variable aleatoria también se llama media y se representa por medio del símbolo µ. 16

17 4. Valor esperado de una variable aleatoria discreta Supuesto que, el valor esperado, E(X), de una variable aleatoria discreta X se define de la forma siguiente: donde la notación indica que el sumatorio abarca atodos los valores posibles de. ( ) < ( X ) µ ( ) E 4.3 Valor esperado de una variable aleatoria continua Supongamos que en un eperimento aleatorio se obtiene un resultado que puede representarse por medio de una variable aleatoria continua. Si se realizan N réplicas independientes de este eperimento, el valor esperado de la variable aleatoria es la media de los valores obtenidos, cuando el número de réplicas tiende a infinito. El valor esperado de una variable se representa por E(X). µ ( X ) f ( ) E d 17

18 4.4 ropiedades del valor esperado 1. E(a X + b) a E(X)+b.. E(X + Y) E(X)+E(Y). 3. Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores i con probabilidad p i,la media de la variable transformada Y g(x) es ( Y ) E( g( X )) g( ) ( ) E 4. Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad f(), la media de la variable transformada Y g(x) es ( Y ) E( g( X )) g( ) f ( ) E d 18

19 4.5 Varianza de una variable aleatoria Sea X unavariablealeatoria. La esperanza deloscuadradosdelasdiferen- cias con respecto ala media, (X µ),se llama varianza, se representa por medio del símbolo σ yviene dada por: La desviación típica, σ, es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Si la variable aleatoria es discreta: Si la variable aleatoria es continua: σ σ σ E X [( µ ) ] [( X µ ) ] ( X µ ) ( ) E [( X µ ) ] ( X ) f ( )d E µ 4.6 ropiedades de la varianza 1. Var(a X + b) a Var(X). σ [( ) ] X µ E( ) µ E X.. 19

20 4.7 Tipificación de una variable aleatoria Una variable aleatoria se dice que está estandarizada o tipificada, si su media es 0 ysu varianza es 1. ara transformar una variable X con media µ y desviación típica σ en otra tipificada, basta con aplicar la transformación lineal: Y µ X σ La tipificación es útil para: 1. El cálculo de probabilidades utilizando tablas.. Comparar distintas variables medidas en unidades diferentes. 0

21 4.8 Independencia de variables aleatorias Dos variables aleatorias definidas en un mismo espacio de probabilidad, se dicen independientes si para cualquier B 1, B B, donde cualquier B 1 y B son sus campos de definición, se cumple: (( X B ) I ( Y B )) ( X B ) ( Y ) 1 1 B Equivalentemente, X e Y son independientes si para cualesquiera, y R, se cumple: (( X ) I ( Y y )) ( X ) ( Y y ) 4.9 ropiedades de las variables aleatorias independientes Si dos variables aleatorias X e Y son independientes, entonces la varianza de su suma es igual ala suma de sus varianzas: Var(X + Y) Var(X) + Var(Y) 1

22 5. Distribución de Bernoulli Definición: Una prueba de Bernoulli es un eperimento aleatorio cuyos posibles resultados son agrupados en dos conjuntos ecluyentes llamados éito (E) y fracaso (F), con (E) y (F) 1. Esta división de éito yfracaso puede ser algo que viene impuesto de manera natural ouna división artificial que interesa realizar. Definición: Realizamos una prueba de Bernoulli con (E).La distribución de Bernoulli es la distribución de la variable aleatoria 1 X 0 La función de probabilidad es: si se obtiene éito. si se obtiene fracaso. Obien: (X 0) 1 (X1) (X ) (1 ) 1 para 0,1.

23 3 5.1 Media de una variable aleatoria de Bernoulli 5. Varianza de una variable aleatoria de Bernoulli ( ) ( ) ( ) X E µ ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X E µ µ σ

24 6. Distribución Binomial Concepto Una importante generalización de la distribución de Bernoulli es el caso en el que se realiza varias veces un eperimento aleatorio con dos resultados posibles ylas repeticiones son independientes. En este caso, se puede hallar las probabilidades utilizando las distribución binomial. Supongamos que la probabilidad de un éito en una única prueba es y que se realizan n pruebas independientes, por lo que el resultado de cualquiera de ellas no influye en el resultado de las demás. El número de éitos X resultantes de estas n pruebas podría ser cualquier número entero comprendido entre 0 y n. Interesa saber eactamente cuál es la probabilidad de obtener eactamente X éitos en n pruebas. El resultado de n pruebas será la obtención de éitos y,por consiguiente, (n ) fracasos. La probabilidad de éito en una única prueba es y la Dado quelas n pruebas son independientes entre sí, la probabilidad de cualquier secuencia de resultados es, por la regla del producto de probabilidades, igual al producto de probabilidades de los resultados individuales. 4 probabilidad de fracaso (1 ).

25 or lo tanto, la probabilidad de observar cualquier secuencia específica que contenga éitos y(n)fracasos es (1 ) n. 6.1 La distribución binominal Definición: Se realizan n pruebas de Bernoulli independientes, con (E) y (F) 1 en cada prueba. La distribución binomial B(n;) es la distribución de la variable aleatoria X número de éitos obtenidos en n pruebas.su función de probabilidad es: n n ( X ) ( 1 ) n! n 1 ( ) para 0,1,, K, n! n! El hecho de que una variable aleatoria X tenga distribución binomial con n pruebas y probabilidad de éito se representa: X B(n;). Si X 1,,X k son variables aleatorias tales que X B(n;), con i 1,,k, se tiene que: ( ) k ~ B n i; i 1 k Xi i 1 5

26 6. Media yvarianza de una variable aleatoria Binomial Sea X el número de éitos en n repeticiones independientes, cada una con una probabilidad de éito, entonces X sigue una distribución binomial de media yvarianza µ E ( X ) ( ) n σ [( ) ] X µ ( µ ) ( ) n ( ) E 1 Antes de utilizar la distribución binomial, debe analizarse la situación específica para ver si: 1. En la aplicación se realizan varias pruebas, cada una de las cuales sólo tiene dos resultados.. La probabilidad del resultado es la misma en cada prueba. 3. La probabilidad del resultado de una prueba no afecta ala probabilidad del resultado de otras pruebas. 6

27 7. Distribución hipergeométrica 7.1 Distribución binomial vs. Distribución hipergeométrica La distribución binomial supone que los objetos se seleccionan independientemente y que la probabilidad de seleccionar uno es constante. En muchos problemas aplicados, estos supuestos pueden satisfacerse si se etrae una pequeña muestra de una gran población. Cuando no se cumplen los supuestos de la distribución binomial, debe elegirse un modelo de probabilidad diferente. Esta distribución de probabilidad es la distribución de probabilidad hipergeométrica. Se puede utilizar la distribución binomial en las situaciones de muestreo con reposición. Si la población es grande (N > ) y el tamaño de la muestra es pequeño (<1%), la variación de la probabilidad después de cada selección es muy pequeña. En estas situaciones, la distribución binomial es una aproimación muy buena yes la que se utiliza normalmente. Cuando no se cumplen estas condiciones y tenemos muestreo sin reposición,utilizaremos la distribución hipergeométrica. 7

28 8 7. Distribución hipergeométrica Definición: Se considera una población con N elementos, de los cuales, D son éitos (es decir,tienen una determinada característica) yndson fracasos (no tienen esa característica). La distribución hipergeométrica es la distribución de la variable aleatoria X número de éitos obtenidos en n observaciones al azar de la población, sin reemplazamiento. Su función de probabilidad es: or combinatoria: ( ) ( ) { } { } D n D N n n N n D N D X, min ma 0, para ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( )!!!!!!!! n N n N n D N n D N D D C C C X N n D N n D +

29 or componentes: 1. El número de formas en que pueden seleccionarse éitos en la muestra de un total de D éitos contenidos en la población C D D!! ( D )!. Elnúmero de formas en quepueden seleccionarse n fracasos en la poblaciónquecontiene N D fracasos: C N D n ( N D)! ( n )! ( N D n + )! 3. El número total de muestras de tamaño n que pueden obtenerse en una población de tamaño N: C N n N! n! ( N n)! 9

30 7.3 ropiedades de la distribución hipergeométrica Observaciones: 1. Normalmente, los valores que puede tomar la variable aleatoria con distribución hipergeométrica son 0,1,,n. ero esto no es cierto si el número de éitos (o el número de fracasos) es menor que el número n de observaciones.. Si las observaciones se realizan con reemplazamiento, la situación sería la misma que si se estuviera considerando el número de éitos obtenidos en n pruebas independientes de Bernoulli con (éito) D/N en cada prueba, ylo que se obtendría sería la distribución binomial. Esperanza matemática Varianza Var ( X ) E ( X ) N n N n D N n D 1 ( N D) N 30

31 8. Distribución de oisson Se utiliza la distribución de oisson para hallar la probabilidad de variables aleatorias que se caracterizan por ser el número de ocurrencias ode éitos de un suceso en un intervalo continuo dado. En la distribución de oisson la mayor parte de la masa de probabilidad queda repartida entre un número relativamente pequeño de valores, siendo posible que tome otros valores, pero con una probabilidad bastante pequeña. or ello, ala distribución de oisson se le llama distribución de los sucesos raros. 8.1 Supuestos de la distribución de oisson Supongamos que un intervalo está dividido en un gran número de intervalos de manera que la probabilidad de que ocurra un suceso de cualquier subintervalo es muy pequeña. Los supuestos de la distribución de oisson son los siguientes: 1. La probabilidad de que ocurra un suceso es constante en todos los subintervalos.. No puede haber más de una ocurrencia en cada subintervalo. 3. Las ocurrencias son independientes; es decir,las ocurrencias en intervalos que no se solapan son independientes entre sí. 31

32 Se puede formular directamente la ecuación para calcular las probabilidades de oisson apartir de la distribución de probabilidad binomial tomando los límites matemáticos cuando 0 y n. Con estos límites, el parámetro λ n (0 < λ < )es una constante que especifica el número medio de ocurrencias (éitos) de un determinado tiempo y/o espacio. 8. La función de distribución de probabilidad de oisson Se dice que la variable aleatoria X sigue la distribución de probabilidad de oisson si tiene la función de probabilidad: donde: λ λ! n ( ) lim 1 ( ) para 0,1,, K n 0 n λ n (): probabilidad de éitos en un tiempo o espacio dados, dado λ. λ: número esperado de éitos por unidad de tiempo oespacio; λ >0. e: La base de los logaritmos naturales;,7188. e 3

33 8.3 La media yla varianza de la distribución de probabilidad de oisson La media será igual a: ( ) λ µ E X Yla varianza: [( ) ] X µ λ σ E La suma de las variables aleatorias de oisson también es una variable aleatoria de oisson. or lo tanto, la suma de K variables aleatorias de oisson, cada una de media λ, es una variable aleatoria de oisson de media K λ. 33

34 8.4 Aproimación de oisson de la distribución binomial La distribución de oisson puede utilizarse como aproimación de las probabilidades binomiales cuando el número de pruebas, n, es grande y al mismo tiempo la probabilidad,, es pequeña (generalmente, tal que n 30 y 0,1) Sea X el número de éitos resultante de n pruebas independientes, cada una con una probabilidad de éito. La distribución del número de éitos, X, es binomial de media n. Si el número de pruebas, n, es grande y n sólo tiene un tamaño moderado (preferiblemente n 7), es posible utilizar como aproimación la distribución de oisson, en la que λn. La función de probabilidad de la distribución aproimada es, pues, ( ) e n ( n )! para 0,1,,K 34

35 9. La distribución uniforme continua Cualquier variable aleatoria uniforme X definida en el rango entre a y b tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: f ( ) f() 1 b a 0 si a b en caso contrario 1 b a a Esta función de densidad de probabilidad puede utilizarse para hallar la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre dentro de un intervalo específico. 35 b

36 La función de distribución correspondiente será: F ( ) 0 b 1 si si a a b si < < a a b ara la distribución uniforme definida en el rango a y b, se tienen los siguientes resultados: µ σ E ( X ) E a + b [( ) ] ( b ) X µ a 1 36

37 10.La distribución normal Razones por las que se utiliza frecuentemente: 1. La distribución normal es una aproimación muy buena de las distribuciones de probabilidad de una amplia variedad de variables aleatorias.. Las distribuciones de las medias muestrales siguen una distribución normal, si el tamaño de muestra es grande. 3. El cálculo de probabilidades es directo Función de densidad de probabilidad de la distribución normal La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X que sigue una distribución normal X es: f ( ) ( µ ) 1 σ e π σ Donde µ y σ son números tales que < µ < y 0<σ < ydonde e y π son constantes físicas, e,7188 y π 3,

38 La distribución normal representa una gran familia de distribuciones, cada una con una especificación única de los parámetros µ y σ. 10. ropiedades de la distribución normal Supongamos que la variable aleatoria X sigue una distribución normal cuyos parámetros son µ y σ.en ese caso, se cumplen las siguientes propiedades: 1. La media de la variable aleatoria es µ. E( X ) µ. La varianza de la variable aleatoria es parámetros σ : var [ ] µ σ ( X ) E ( X ) 3. La forma de la función de densidad de probabilidad es una curva simétrica en forma de campana centrada en la media, µ. 4. Si conocemos la media yla varianza, se puede definir la distribución normal utilizando la notación: X (, ) ~ N µ σ 38

39 La distribución normal tiene algunas características importantes: 1. Es simétrica.. Seleccionando distintos valores de µ y σ sepueden definir una gran familia de funciones de densidad normales. Sean X i N(µ i,σ i ) con i 1,,n, variables aleatorias independientes. Entonces n n n X i ~ N µ i, σ i i 1 i 1 i Función de distribución de la distribución normal Supongamos que X es una variable aleatoria normal de media µ yvarianza σ. En ese caso, la función de distribución es: XX. Ésta es el área situada debajo de la función de densidad normal ala izquierda de 0. Al igual que ocurre en cualquier función de densidad, el área total ( ) 1 situada debajo de la curva es 1.. F F ( ) ( X )

40 40

41 f() µ 0 El área de color azul es la probabilidad de que X no sea mayor que 0 enel caso de una variable aleatoria normal. 41

42 F ( ) e σ π ( Xµ ) 1 1 σ d < < 4

43 10.4 robabilidades de intervalos de v. a. normales Sea X una variable aleatoria normal que tiene una la función de distribución F() y sea a y b dos valores posibles de X, siendo a < b. Entonces, (a < X < b) F(b) F(a) La probabilidad es el área situada debajo de la correspondiente función de densidad entre a y b. f() a µ b 43

44 Es posible hallar cualquier probabilidad apartir de la función de distribución de probabilidad acumulada La distribución normal estándar Sea Z una variable aleatoria normal de media 0 y varianza 1; es decir Z N(0,1) Decimos que Z sigue una distribución normal estándar. Se pueden hallar las probabilidades de cualquier variable aleatoria distribuida normalmente convirtiendo primero la variable aleatoria en la variable aleatoria normal estándar, Z. Siempre eiste una relación directa entre cualquier variable distribuida normalmente yz.esa relación utiliza la transformación: µ Z X σ Donde X es una variable aleatoria distribuida normalmente: X N(µ,σ) 44

45 Este importante resultado permite utilizar la tabla normal estándar para calcular las probabilidades de cualquier variable aleatoria distribuida normalmente. F ( z) ( Z z) ara hallar la probabilidad acumulada de un valor negativo de Z que se define de la forma siguiente, F ( z) ( Z z) se utiliza el complementario de la probabilidad. De la simetría se puede deducir que F ( z) 1 ( Z z) 1 F ( z) 45

46 10.6 Calcular probabilidades de variables aleatorias distribuidas normalmente Sea X una variable aleatoria normal de media µ yvarianza σ.la variable aleatoria µ Z X σ tiene una distribución normal estándar: Z N(0,1) Se deduce que si a y b son dos números tales que a < b, entonces, ( a < X < b) a µ σ F b µ σ a µ F σ Donde Z es la variable aleatoria normal estándar y F representa su función de distribución. < Z < b µ σ 46

47 10.7 La distribución normal como aproimación de la distribución binomial La distribución normal es una buena aproimación de la distribución binomial cuando n 30 y 0,1 <<0,9. ara hallar la probabilidad de que el número de éitos se encuentre entre a y b, inclusive, se tiene que: ( a X b) a n n ( 1 ) n ( 1 ) n ( 1 ) a n n Z X ( 1 ) n ( 1 ) n b n b n Cuando n es grande, la normal estándar es una buena aproimación de Z. 47