En muchos estudios no estamos interesados en saber cual evento ocurrió, sino en

Transcripción

1 Capítulo 3 Variable Aleatoria 3.. Introducción En muchos estudios no estamos interesados en saber cual evento ocurrió, sino en el número de veces que ha ocurrido un evento. Por ejemplo, al lazar dos monedas, podríamos estar interesados en el número de caras que ocurrieron. Al nacer 5 cinco niños, quesieramos saber cuantos son varones. Al seleccionar 0 artículos de un proceso productivo podríamos estar interesado en el número de defectuosos. Todos estos ejemplos tienen la característica de que a cada uno de los elementos del espacio muestral se le asigna un numero real, que indica el número de veces que esta presente la característica de interes. Dicha asignación se realiza a través de una función la cuál llamamos variable aleatoria. Definición 3. Una variable aleatoria es una función X que asigna un número real a cada elemento del espacio muestral. Por lo tanto, Una variable aleatoria puede definirse como,

2 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA X :Ω IR es decir una función cuyo dominio es el espacio muestral y rango el conjunto de los número reales. Ejemplo 3. Consideremos el experimento en el cual se lanza una moneda. El espacio muestral para este experimento está dado por Ω={C, S}.SeaX = {Número de caras}, esta función asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: Si el resultado obtenido al lanzar la moneda es cara, w = C, entonces, X(w) =. Si el resultado obtenido al lanzar la moneda es sello, w = S, entonces, X(w) =0. Por lo tanto, la variable aletaoria X toma los valores {0, } Ejemplo 3.3 Consideremos el experimento en el cual se lanza dos monedas. El espacio muestral para este experimento está dado por Ω={CC,CS,SC,SS}. SeaX = {Número de caras}, esta función asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = CC, entonces, X(w) =. Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = CS, entonces, X(w) =. Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = SC, entonces, X(w) =. Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = SS, entonces, X(w) = 0.

3 3.. CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES ALEATORIAS 3 Por lo tanto, la variable aletaoria X toma los valores {0,, } 3.. Clasificación de las Variables Aleatorias Las variables aleatorias se pueden clasificar de acuerdo a su rango en discretas y continuas. Definición 3.4 (Variable Aleatoria Discreta) Una variable aleatoria X se dice que es discreta si el número posible de valores de X, es decir su rango, es finito o infinito numerable. La definición anterior establece que X es discreta, si sus valores posibles se pueden anotar como x,x,..., x n en el caso finito o x,x,... en el caso infinito númerable. Definición 3.5 (Variable Aleatoria Continua) Una variable aleatoria X se dice que es continua si el número posible de valores de X, es decir su rango, infinito no numerable. La definición anterior establece que X es continua, si puede tomar cualquier valor en un intervalo (a, b), pudiendo ser = y b =+. En este tema solo estudiaremos el caso en que la variable aleatoria es discreta, para el tratamiento del caso continuo es necesario tener algunos conocimientos matemáticos que hasta el momento no se han dado Distribución de Probabilidad Vamos a estudiar por separado cuando la variable aleatoria es discreta al caso continuo.

4 4 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta Hemos visto que una variable aleatoria es una función definida sobre el espacio muestral de un experimento aleatorio Ω. Por ejemplo si X es una variable aleatria definida sobre Ω, que toma los valores X = {x,x,..., x n }, entonces X = x esta asociado a un subconjunto de Ω, al cual hemos llamado evento, por lo tanto,x = x es también un evento y en consecuencia tiene asociada una probabilidad, la cual está dadapor: P (X = x )=P (A) =P ({w : X(w) =x }) Al conjunto formado por los valores de una variable aleatoria con sus respectivas probabilidades es lo que se conoce como distribución de probabilidad. Como la probabilidad es una función, entonces P (X = x i ) se conoce como la función de masa de probabilidad. Definición 3.6 Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x,x,..., x n entonces la función de masa de probabilidad de x, denotada por p i, se define como: p i = P (X = x i ); i = {,,..., n} (3.) Ejemplo 3.7 Consideremos el experimento en el cual se lanzan dos monedas. Sea X = {Número de caras},entonces P (X =0)=P ({SS}) = 4 P (X =)=P ({CS} {SC}) =P ({CS})+P ({SC}) = = P (X =)=P ({CC}) = 4

5 3.3. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 5 Por lo tanto la función de masa de probabilidad puede escribirse como, P (X = x), si x =0ó x =; 4, si x =. 0, otro caso. Otra forma de expresar este resultado es la manera tabular, x 0 P (X = x) 4 4 Ejemplo 3. En un proceso productivo los artículos pueden clasificarse como defectuosos o no defectuosos. Se sabe por estudios anteriores que la producción de artículos defectuosos es del 0 %. Si se extraen 3 artículos al azar, vamos a determinar la distribución de probabilidad del número de artículos defectuosos. Para ello definamos la siguiente variable aleatoria X = {Número de artículos defectuosos} entonces X = {0,,, 3} con las siguientes probabilidades P (X =0) = P ({D c D c D c })=0,9 0,9 0,9 =0,79 P (X =) = P ({DD c D c } {D c DD c } {D c D c D}) = P ({DD c D c })+P({D c DD c })+P({D c D c D}) =3 0,9 0, =0,43 P (X =) = P ({DDD c } {DD c D} {D c DD}) = P ({DDD c })+P({DD c D})+P ({D c DD}) =3 0,9 0, =0,07 P (X =3) = P ({DDD}) =0, 0, 0, =0,00

6 6 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA Por lo tanto la función de masa de probabilidad puede escribirse como, P (X = x) 0,79, si x =0; 0,43, si x =; 0,07, si x =; 0,00, si x =3; 0, otro caso. De manera tabular quedaría, x 0 3 P (X = x) Otra función que caracteriza la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es la Función de Distribución (FD). Definición 3.9 (Función de Distribución) Sea X una variable aleatoria, la Función de Distribución de X se define como F (x) =P (X x) Como estamos considerando el caso en que X es discreta, la función de distribución viene dada por: F (x) =P (X x) = x P (X = x) Ejemplo 3.3. La función de distribución para el ejemplo del lanzamiento de las dos

7 3.3. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 7 monedas es F (x) = 0, x < 0;, 0 x<; 4 3, x<; 4, x. Ejemplo 3.3. La función de distribución para el ejemplo de los artículos defectuosos es F (x) = 0, x < 0; 0,79, 0 x<; 0,97, x<; 0,999, x<3;, x 3. Teorema 3.0 (Propiedades de la Función de Distribución) La función de distribución tiene las siguientes propiedades:. F ( ) =0y F (+ ) =. La función es monótona no decreciente. 3. La función es continua a la derecha Problemas. Se lanzan tres monedas y se registran los resultados obtenidos. a) Encuentre la distribución de probabilidad del número de sellos. b) Grafique la función de masa de probabilidad. c) Encuentre y grafique la Función de distribución.

8 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA. De una caja que contiene 4 pelotas negras y verdes, se seleccionan 3 de ellas en sucesión sin reemplazo. a) Encuentre la distribución de probabilidad para el número de pelotas verdes. b) Grafique la función de masa de probabilidad. c) Encuentre y grafique la Función de distribución. 3. Un embarque de 7 televisores contiene aparatos defectuosos. Un hotel realiza una compra aleatoria de 3 de ellos. Si X es el numero de televisores defectuosos quesecompran. a) Encuentre la distribución de probabilidad de X. b) Grafique la función de masa de probabilidad. c) Encuentre y grafique la Función de distribución. 4. Se colocan tres bolas, numeradas, y 3, en una caja. Si se seleccionan bolas al azar sin reemplazo. Cuál es la función de masa de probabilidad de la suma de los número de las bolas seleccionadas? 5. Realizar el ejercicio anterior pero suponiendo que la selección se hacer con reemplazo. 6. Sea X la variable aleatoria que muestra el número de varones en las familias de cuatro hijos. Cuál es la distribución de probabilidad de X si los nacimientos de varones y de hembras son igualmente probables?. 7. Se lanzan dos dados. Sea X la suma de las caras que resultan. De una expresión general para la función de masa de probabilidad.

9 3.4. VALOR ESPERADO Valor Esperado Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta Además de conocer la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es importante conocer algunas medidas descriptivas numéricas, parámetros, relacionadas con la variable aleatoria, las cuáles dan información importante sobre la variable en estudio. Definición 3. (Valor Esperado) Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x). El valor esperado de X, denotado por E(X), se define como E(x) = x xp(x) = x xp (X = x) (3.) Ejemplo 3.4. Para el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas se tiene que E(X) = x xp (X = x) =0P (X =0)+P (X =)+P (X =)= = Este resultado indica que se espera que ocurra una cara al lanzar las dos monedas. Ejemplo 3.4. Para el ejemplo de los artículos defectuosos se tiene que el valor esperado es: E(X) = x xp (X = x) = 0P (X =0)+P (X =)+P (X =)+3P (X =3) = 0(0,79) + (0,43) + (0,07) + 3(0,00) = 0,3 Lo cual indica que se espera no hayan defectuosos en la extracción de los tres artículos. El valor esperado no es más que la media del conjunto de valores que toma la variable aleatoria.

10 90 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA Valor Esperado de una Función de una Variable Aleatoria Discreta Teorema 3. Sea X una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad p(x) yseag(x) una función de X. El valor esperado de g(x), denotado por E(g(X)), está dado por: E(g(X)) = x g(x)p(x) = x g(x)p (X = x) (3.3) Ejemplo Para el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas se tiene que E(X ) = x x P (X = x) =0 P (X =0)+ P (X =)+ P (X =) = = 3 E(X 3 ) = x x 3 P (X = x) =0 3 P (X =0)+ 3 P (X =)+ 3 P (X =) = = 5 Ejemplo Para el ejemplo de los artículos defectuosos se tiene que el valor esperado es: E(X ) = x x P (X = x) = 0 P (X =0)+ P (X =)+ P (X =)+3 P (X =3) = 0(0,79) + (0,43) + 4(0,07) + 9(0,00) = 0,36 Teorema 3.4. (Propiedades del Valor Esperado) Sean X una variable aleatoria, g y g dos funciones de X, a y b dos constantes, entonces

11 3.4. VALOR ESPERADO 9. E(a) =a. E(aX + b) =ae(x)+b 3. E[g (X) ± g (X)] = E[g (X)] ± E[g (X)] Un resultado muy importante que se obtiene a partir del Teorema 3., es la posibilidad de poder calcular la medida de dispersión mas importante de un conjunto de datos, como lo es la varianza. Definición 3.3 Sea X una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad p(x), la varianza de X, denotada por Var(x), se define como Var(x) =E[(X E(x)) ] (3.4) Teorema 3.4. Var(X) =E(X ) [E(X)] Demostración Var(X) = E[(X E(x)) ]=E[X XE(X)+E(X) ]=E(X ) E[XE(X)] + E[E(X) ] = E(X ) E(X)E(X)+E(X) = E(X ) E(X) + E(X) = E(X ) E(X) Ejemplo Para el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas, la varianza está da-

12 9 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA da por, Var(X) = E(X ) E(X) = 3 = Ejemplo Para el ejemplo de los artículos defectuosos se tiene que la varianza es: Var(X) = E(X ) E(X) =0,36 0,3 =0,7 Teorema (Propiedades de la Varianza) Sean X una variable aleatoria, g y g dos funciones de X, ya una constante, entonces. Var(a) =0. Var(X + a) =Var(X) 3. Var(aX) =a Var(X) Ejercicios. Encuentre el valor esperado y la varianza en los problemas al 7.. En una apuesta una persona puede obtener una ganacia de 00 BsF o sufrir una pérdida de 50 BsF. La probabilidad de obtener la ganancia es de 0.6. Cuál es la ganancia (o pérdida) esperada en esa apuesta?. 3. La probabilidad de que un hombre de 30 años sobreviva un año más es Una compañía de seguros ofrece a ese hombre venderle una póliza de seguro de vida

13 3.4. VALOR ESPERADO 93 de un año en BsF. a un prima de 0 BsF. Cuál es la ganacia esperada de la compañia?. 4. La probabilidad de que una casa se incendie en el lapso de un año es de Una aseguradora ofrece una póliza contra incendio que cubre BsF. con vigencia de un año; se paga una prima anual por 50 BsF. Cuánto espera ganar la aseguradora?. 5. Se selecciona una muestra aleatoria de tres personas sin reemplazo de un grupo de cuatro hombres y tres mujeres, para realizas los preparativos de un congreso. Cuál es el número esperado de mujeres en la muestra? 6. Para la siguiente distribución de probabilidad x P(X=x) Hallar: a) E(X), b)e(x ), E(X 3 )yvar(x) 7. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad x P (X = x) Hallar: a) E(X), b)e(x ), E(X 3 )yvar(x). Una variable aleatoria X asume el valor con probabilidad p y el valor 0 con probabilidad p, Demuestre que E(X) =p yquevar(x) =p( p) 9. Si la varianza de una variable aleatoria es 0.. Cuál es la varianza de: a) Y =5X, b)y =X +4yc)Y = X

14 94 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA 3.5. Distribución de Probabilidad Multivariable Introducción Es posible definir diversas variables aleatorias en el mismo espacio muestral. Por ejemplo, considere el experimento en el cual se estudian las características de una persona, podríamos definir las siguientes variables aleatorias: estatura, peso, edad, grado de instrucción entre otras. En la discusión que sigue introduciremos la noción de función de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias, la función de probabilidad marginal y la función de probabilidad condicional, también se hará una introducción al estudio del valor esperado en el caso de varias variables aleatorias Distribución de Probabilidad Conjunta En las secciones anteriores vimos que para conocer el comportamiento de una variable aleatoria era importante determinar la probabilidad de que la variable asumiera un valor particular, es decir, conocer su distribución de probabilidad. Ahora, para estudiar la relación entre dos variables, nos interesa saber la probabilidad de que las dos variables en conjunto asuman valores particulares, es decir, la distribución de probabilidad conjunta de las dos variables que se consideran. Al igual que para el caso de una variable aleatoria la distribución de probabilidad conjunta esta caracterizada por una función de probabilidad, conocida en este caso como función de probabilidad conjunta, la cual se define a continuación. Definición 3.4 (Función de Masa de Probabilidad Conjunta) Sean X y Y dos variables aleatorias discretas, la función de probabilidad conjunta, denotada por p(x, y),

15 3.5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 95 se define como p(x, y) =P (X = x, Y = y) (3.5) Ejemplo 3.5. Supongamos el experimento en el que se lanzan tres monedas. Sean X = {Número de caras} y Y = {Número de cambios}. El espacio muestral de este experimento con los respectivos valores de X y Y se muestran a continuación: Punto Muestral X Y CCC 3 CCS CSC 3 SCC CSS SCS 3 SSC SSS 0 Puesto que todos los puntos muestrales son igualmente probables, cada uno tiene una probabilidad de. Por lo tanto la función de probabilidad conjunta se muestra en la siguiente tabla cruzada. x y Los resultados que se muestran en la tabla anterior se obtienen de la siguiente manera: el evento(x=0,y=) ocurre solo una vez y como la probabilidad de cada punto muestral

16 96 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA es, entonces P (X =0,Y =)=, el evento(x=0,y=) no ocurre, entonces P (X = 0,Y =)=0, el evento(x=,y=) ocurre dos veces y como la probabilidad de cada punto muestral es, entonces P (X =,Y =)=, y así sucesivamente. Ejemplo 3.5. En cierto supermercado hay tres cajas registradoras. Dos clientes llegan a ellas en diferentes momentos, cuando no hay otros clientes. Cada cliente elige independientemente una caja al azar. Sea X = {El número de clientes que eligen la caja } y Y = {El número de clientes que eligen la caja }. Vamos a calcular la función de masa de probabilidad conjunta de X y Y. Supongamos que el par {i, j} denota el evento en que el primer cliente elige la caja i y el segundo elige la caja j, donde i, j =,, 3. El espacio muestral se muestra a continuación Punto Muestral X Y {, } 0 {, } {, 3} 0 {, } {, } 0 {, 3} 0 {3, } 0 {3, } 0 {3, 3} 0 0 Puesto que todos los puntos muestrales son igualmente probables, cada uno tiene una probabilidad de. Por lo tanto la función de probabilidad conjunta se muestra en la 9 siguiente tabla cruzada.

17 3.5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 97 x y Los resultados que se muestran en la tabla anterior se obtienen de la siguiente manera: el punto muestral {, } es el único punto muestral correspondiente a (X =,Y =0), y en consecuencia, P (X =,Y =0)=. Asimismo, P (X =,Y =)= 9 P ({,}o{,}) =. Y así sucesivamente para los demás. 9 Al igual que para el caso de una variable, otra manera de caracterizar la distribución de probabilidad conjunta es usando la Función de Distribución Conjunta, la cual se define a continuación: Definición 3.5 Sean X y Y dos variables aleatorias discretas, la función de distribución conjunta de X y Y, denotada por F (x, y), se define como: F (x, y) =P (X x, Y y) = p(t,t ) (3.6) t x t y Ejemplo Considere las variables aleatorias X y Y del ejemplo ***. Vamos a calcular F (, ),F(,5, ) y F (5, 7). De acuerdo con los resultados de la tabla ***, tenemos que F (, ) = P (X,Y ) = 0 F (,5, ) = P (X,5,Y ) = p(0, 0)+p(0, )+p(0, )+p(, 0)+p(, )+p(, ) = 9 F (5, 7) = P (X 5,Y 7) =

18 9 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA Distribución de Probabilidad Marginal y Condicional Definición 3.6 Sean X y Y variables aleatorias discretas con función de masa de probabilidad conjunta p(x, y). Entonces las funciones de masa de probabilidad marginal de X y Y respectivamente, están determinadas por p(x) = y p(x, y) (3.7) p(y) = x p(x, y) (3.) Ejemplo Consideremos el ejemplo del lanzamiento de las tres monedas. Las funciones de masa de probabilidad marginal están dadas por: Las marginales de X son: p(x) = 3 y= p(x, y) =p(x, ) + p(x, ) + p(x, 3) Para x =0, P (0) = p(0, ) + p(0, ) + p(0, 3) = +0+0= Para x =, P () = p(, ) + p(, ) + p(, 3) = = 3 Para x =, P () = p(, ) + p(, ) + p(, 3) = = 3 Para x =3, P (3) = p(3, ) + p(3, ) + p(3, 3) = +0+0= Las marginales de Y son: p(yx) = 3 x=0 p(x, y) =p(0,y)+p(,y)+p(,y)+p(3,y) Para y =, P () = p(0, ) + p(, ) + p(, ) + p(3, ) = = Para y =, P () = p(0, ) + p(, ) + p(, ) + p(3, ) = = 4 Para y =, P (3) = p(0, 3) + p(, 3) + p(, 3) + p(3, 3) = = Estas probabilidades se obtienen directamente a partir de la tabla cruzada donde se muestran las probabilidades conjuntas, la marginal de X se obtiene al sumar las filas de cada columna y la marginal de Y se obtiene al sumar las columnas de cada fila,

19 3.5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 99 como se aprecia en la siguiente tabla. x y 0 3 p(y) p(x) Definición 3.7 (Función de masa de probabilidad Condicional) Sean X y Y variables aleatorias discretas con función de masa de probabilidad conjunta p(x, y) y funciones de masa de probabilidad marginal p (x) y p (y). Entonces las funciones de masa de probabilidad condicional de X, dado Y, es p(x/y) =P (X = x/y = y) = P (X = x, Y = y) P (Y = y) = p(x, y) p (y) (3.9) Ejemplo Consideremos el ejemplo del lanzamiento de las tres monedas, y vamos a calcular la distribución condicional de X dado que Y =. Para ello, vamos a concentrarnos en la fila correspondiente a Y =. Entonces P (X =0/Y =)= p(0,) = p () P (X =/Y =)= p(0,) = 0 p () P (X =/Y =)= p(0,) = 0 p () P (X =3/Y =)= p(0,) = p () = =0 =0 = Variables Aleatorias Independientes En el tema de probabilidades vimos que dos eventos A y B son independientes si y sólo si

20 00 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA P (A B) =P (A)P (B) Veamos ahora cuando variables aleatorias son independientes. Definición 3. Sean F (x) y F (y) funciones de distribución de X y Y, respectivamente, y F (x, y) la función de distribución conjunta de X y Y. Entonces, se dice que X y Y son independientes si y sólo si F (x, y) =F (x)f (y) para todo par de números reales (x,y). Por lo general, conviene establecer la presencia o ausencia de independencia por medio del resultado del siguiente teorema. Teorema 3.9 Sean X y Y variables aleatorias discretas con función de masa de probabilidad conjunta p(x, y) y funciones de masa de probabilidad marginal p (x) y p (y). Entonces X, yy, son independientes si y sólo si p(x, y) =p (x)p (y) (3.0) para todo par de números reales (x,y) Valor esperado de una función de variables aleatorias discretas Es la generalización de la definición **** para el caso de varias variables. Veamosla a continuación

21 3.5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 0 Definición 3.0 Sean X y Y dos variables aleatorias con función de masa de probabilidad conjunta p(x, y) y sea g(x, Y ) una función de esas dos variables. Entonces, el valor esperado de g(x, Y ), está dado por E[g(X, Y )] = x g(x, y)p(x, y) (3.) y Ejemplo Consideremos el ejemplo del lanzamiento de las tres monedas. La distribución conjunta para este caso estaba dada por: x y 0 3 p(y) p(x) Por lo tanto, si g(x, Y )=XY E(XY ) = 3 3 xyp(x, y) x=0 y= = (0)() + (0)()0 + (0)(3)0 + ()()0 + ()() + ()(3) = ()()0 + ()() + ()(3) + (3)() + (3)()0 + (3)(3)0 = =3 Teorema 3. Si g(x, Y )=X ± Y entonces E[g(X, Y )] = E[X ± Y ]=E[X] ± E[Y ]

22 0 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA Demostración E[g(X, Y )] = = E[X ± Y ]= (x ± y)p(x, y) = [xp(x, y) ± yp(x, y)] x y x y = xp(x, y) ± yp(x, y) = x p(x, y) ± y p(x, y) x y x y x y y y = xp x (x) ± yp y (x, y) =E[X] ± E[Y ] x y Ejemplo Para el ejemplo anterior ****. vamos a calcular E(X + Y ). Usando la distribución conjunta, tenemos que E(X + Y ) = 3 3 (x + y)p(x, y) x=0 y= = (0+) +(0+)0+(0+3)0+(+)0+(+) +(+3) = (+)0+(+) +(+3) +(3+) +(3+)0+(3+3)0 = = 7 Si calculamos la E(X) y E(Y ) por separado, tenemos que E(X) = 3 p x (x) x=0 = (0) +()3 +()3 +(3) = = 3 3 E(Y ) = p y (y) y= = () +()4 +(3) = 6 = Ahora,

23 3.5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 03 E(X) +E(Y )= 3 + = 7, el cual es el resultado obtenido con la distribución conjunta Teorema 3. Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces E(XY )= E(X)E(Y ) Demostración E(XY ) = = (xy)p(x, y) = x y x = xp(x)yp y (x, y) = x y x = E(X)E(Y ) xyp x (x)p y (y) y xp x (x) yp y (y) y Covarianza de dos variables aleatorias Intuitivamente, consideraremos la dependencia entre dos variables aleatorias X y Y como un procesos en el que una de las variables, digamos Y, aumenta o disminuye a medida que cambia X. Concentraremos nuestra atención en dos medidas de dependencia: la covarianza entre dos variables aleatorias y su coeficiente de correlación. Definición 3.3 Si X y Y son variables aleatorias con medias μ x y μ y respectivamente, la covarianza de X y Y está dada por: Cov(X, Y )=E[(X μ x )(Y μ y )] (3.) La covarianza mide el grado de asociación lineal entre las variables X y Y. Mientras más grande sea el valor absoluto de la covarianza de X y Y, mayor será la dependencia lineal entre ellas. Los valores positivos indican que Y aumenta a medida que X aumenta; los valores negativos indican que Y disminuye a medida que X aumenta.si el valor de

24 04 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA la covarianza es cero, esto significa que no hay dependencia lineal entre X y Y.Es importante tener en cuenta el hecho de que si la covarianza es cero, puede existir cualquier otro tipo de relación entre las variables distinta a la lineal. La principal desventaja de la covarianza es que ella depende de la escala de medida en que estén definidas las variables, por lo tanto no es fácil especificar si una covarianza en particular es grande o pequeña. Ante esta desventaja definimos el coeficiente de correlación, que no es otra cosa que la covarianza estandarizada. Definición 3.4 Si X y Y son variables aleatorias con desviaciones estándar σ x y σ y respectivamente, el coeficiente de correlación de X y Y, denotado por ρ, está dado por: ρ = Cov(X, Y ) σ x σ y (3.3) Teorema 3.5 (Propiedades del Coeficiente de Correlación) El coeficiente de correlación tiene las siguientes propiedades. ρ. ρ =+indica una correlación perfecta e implica que a medida que X aumenta Y aumenta. 3. ρ = indica una correlación perfecta e implica que a medida que X aumenta Y disminuye. 4. ρ =0indica que no hay correlación. El siguiente teorema especifica una fórmulaconvenientepara el cálculo de la covarianza.

25 3.5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 05 Teorema 3.6 Si X y Y son variables aleatorias con desviaciones estándar σ x y σ y respectivamente, entonces Cov(X, Y )=E(XY ) E(X)E(Y ) Demostración Cov(X, Y ) = E[(X μ x )(Y μ y )] = E(XY Xμ y Yμ x + μ x μ y ) = E(XY ) E(Xμ y ) E(Yμ x )+E(μ x μ y ) = E(XY ) μ y E(X) μ x E(Y )+μ x μ y = E(XY ) E(Y )E(X) E(X)E(Y )+E(X)E(Y )=E(XY ) E(Y )E(X) Teorema 3.7 Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces Cov(X, Y )=0 Demostración Cov(X, Y ) = E(XY ) E(Y )E(X) =E(X)E(Y ) E(X)E(Y )=0 Este teorema establece que si X y Y son independientes, entonces la covarianza es cero. El recíproco no es cierto, es decir, si la covarianza es cero no implica que X y Y sean independientes. Veamos un ejemplo,

26 06 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA Ejercicios. De un costal de frutas que contiene 3 naranjas, manzanas y 3 uvas, se selecciona una muestra aleatoria de 4 frutas. Si X es el número de naranjas y Y es el número de manzanas en la muestra, encuentre La distribución de probabilidad conjunta de X y Y. Dos contratos de obras de construcción se otrogan aleatoriamente a una o más de las compañías A,B o C. Sea X la cantidad de contratos concedidos a la compañía A y X la cantidad de contratos concedidos a la compañía B. Encuentre la distibución de probabilidad conjunta de X y X. 3. En una empresa hay nueve ejecutivos, de los cuales cuatro están casados, tres son solteros y dos son divorciados. Tres de ellos serán seleccionados al azar para un ascenso. Si X es el número de ejecutivos casados y X el de ejecutivos solteros entre los tres elegidos para el ascenso, encuentre la distribución de probabilidad conjunta de X y X. 4. En seguida se muestra la distribución de probabilidad conjunta relacionada con los datos obtenidos en un estudio sobre los accidentes de automovil en los que viajaba un niño (de menos de 5 años), de los cuales por lo menos uno resulto fatal. El estudio se concentró en determinar si el niño sobrevivió y en el tipo de cinturón de seguridad que llevaba puesto, si acaso lo utilizaban. Defina 0, si el niño sobrevive; X =, si el niño no sobrevive.

27 3.5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 07 X = 0, si no tenía puesto cinturón de seguridad;, si utilizaba cinturón de seguridad;, si utilizaba cinturón de seguridad de asiento para bebé. Observe que X representa la cantidad de muertes de niños y, como los asientos para bebé porlocomún tienen dos cinturones, X representa el número de cinturones de seguridad utilizados en el momento del accidente. y 0 y Calcule e interprete F (, ) 5. Para los ejercicios * al * hallas las distribuciones marginales. 6. para el ejercicio de lo niños a) Calcule la distribución de probabilidad condicional de X dado que X =0 b) Cuál es la probabilidad de que un niño sobreviva si viajaba en un asiento para bebé. 7. Para los ejercicios * al * estudie la independencia de las variables aleatorias.. Para el problema de las frutas,calcule a) Elnúmero esperado de naranjas

28 0 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA b) El numero esperado de manzanas c) Usando el criterio del valor esperado, son X y Y independientes? d) Cuál es el grado de asociación lineal entre las variables?. 9. Para el problema de los niños, calcule a) E(X )ye(x ) b) E(X X ) c) Cov(X,X ) 0. Para el problema de los ejecutivos, calcule a) E(X )ye(x ) b) E(X 3X ) c) Cov(X,X ). Suponga que X e Y tienen la siguiente distribución de probabilidad conjunta: x y a) Cuál es la probabilidad de que x =yy =3? b) Cuál es la probabilidad de que x = 4 dado que y =5? c) Encuentre E[x] y E[y]

29 3.5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 09 d) Son X y Y independientes? e) Cuál es el grado de asociación lineal entre las variables?.

30 0 CAPÍTULO 3. VARIABLE ALEATORIA