Apuntes de la asignatura Química Física II (Licenciatura en Química) Tema 7: El átomo de hidrógeno
|
|
- Juan Francisco Ojeda Fernández
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Apuntes de la asignatura Química Física II (Licenciatura en Química) Tema 7: El átomo de hidrógeno Ángel José Pérez Jiménez Dept. de Química Física (Univ. Alicante) Índice 1. Partícula sometida a un potencial central Ecuación de Schrödinger para una partícula en un campo central Autofunciones: producto de parte radial y un armónico esférico Ecuación radial para un potencial central Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide Descripción del problema: forma del potencial Separación del movimiento relativo y del centro de masas Resolución de la ecuación radial Funciones de onda: orbitales hidrogenoides Análisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides Niveles energéticos. Degeneración Caracterización y representaciones gráficas de orbitales hidrogenoides Espín Evidencia experimental del momento angular intrínseco o espín Introducción del espín en Mecánica Cuántica Espín-orbitales Unidades atómicas Problemas 27
2 2 Tema 7: El átomo de hidrógeno 1. Partícula sometida a un potencial central 1.1. Ecuación de Schrödinger para una partícula en un campo central Potencial en un campo central. En esta sección vamos a estudiar la estructura y posibles soluciones de la ecuación de Schrödinger para una partícula de masa m que se mueve bajo un potencial esféricamente simétrico: V ( r) = V (r) (1) A este tipo de potencial también se le denomina potencial central y se caracteriza porque la energía potencial sólo depende de la distancia al origen del campo, r, siendo independiente de la orientación. Una fuerza central es una fuerza que proviene de un potencial central. La relación entre ambas se deduce de: [( ) ( ) ( ] V V V F = V (x, y, z) = i + j + ) k (2) x y z Si V = V (r) F = 1 r V/ x = (x/r)(dv/dr) V/ y = (y/r)(dv/dr) V/ z = (z/r)(dv/dr) dv dr ( x i + y j + z k ) = dv r dr r donde r/r = u r es el vector unitario en la dirección radial: una fuerza central sólo tiene componente radial. Estructura de la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para esta partícula es: [ ] h2 2m 2 + V (r) ψ( r) = Eψ( r) (5) Dado que el Hamiltoniano es esféricamente simétrico utilizaremos las coordenadas esféricas introducidas en el Tema anterior. El operador Laplaciana se separa entonces en una parte radial, 2 r, y en una parte angular, 2 Ω : 2 = 2 r 1 h 2 r 2 2 Ω (6) 2 2 r = 1 r r r (7) 2 [ ( ) ] 2 Ω = ˆL 2 = h 2 1 senθ (8) senθ θ θ sen 2 θ φ 2 (3) (4)
3 1 Partícula sometida a un potencial central 3 De forma que la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares adopta la forma: [ h2 1 2m r 2 r r mr 2 ˆL 2 + V (r) ] ψ( r) = Eψ( r) (9) Por tanto, el Hamiltoniano se divide en una parte radial asociada a la suma de energía potencial, V (r) y de energía cinética radial h m r r r = ˆp2 r 2 2m ˆp r = i h 1 r (1) r r (11) y una parte angular donde ˆL 2 /(2mr 2 ) puede identificarse con la energía cinética rotacional originada por la rotación pura de la partícula alrededor del origen Autofunciones: producto de parte radial y un armónico esférico Conjunto completo de operadores que conmutan. Puesto que ˆL no depende de r conmuta tanto con V (r) y la energía cinética radial conmuta con Ĥ. Como ˆL z conmuta con ˆL 2, los tres operadores Ĥ, ˆL 2 y ˆL z conmutan entre sí: [Ĥ, ˆL2 ] = [ Ĥ, ˆL z ] = (12) Por tanto Ĥ, ˆL2 y ˆL z poseen un conjunto de funciones propias simultáneas para el problema de fuerzas centrales. Dado que Ĥ es la suma de una parte radial y una parte angular, podemos buscar soluciones que sean productos de una parte radial y una parte angular. Como, además, la parte angular de Ĥ es proporcional a ˆL 2, la parte angular de las autofunciones son armónicos esféricos: ψ( r) = ψ nlm (r, θ, φ) = R nl (r)y lm (θ, φ) (13) Conclusiones. La función de onda radial R nl (r) debe ser determinada para cada tipo de potencial V (r) y, como veremos, en general depende de l y el número cuántico n asociado a la energía del sistema: Ĥψ nlm (r, θ, φ) = E n ψ nlm (r, θ, φ) (14) ˆL 2 ψ nlm (r, θ, φ) = l(l + 1) h 2 ψ nlm (r, θ, φ); l =, 1, 2, 3,... (15) ˆL z ψ nlm (r, θ, φ) = m l hψ nlm (r, θ, φ); m l = l, l + 1,...,,..., l 1, l (16)
4 4 Tema 7: El átomo de hidrógeno 1.3. Ecuación radial para un potencial central Ecuación radial de un potencial central. Sustituyendo (13) en la ecuación de Schrödinger (9) y teniendo en cuenta que ψ nlm (r, θ, φ) es autofunción de ˆL 2 según la ecuación (15) llegamos a: h 2 d 2 ( rrnl (r) ) [ ] l(l + 1) h2 (rrnl(r) + V (r) + ) = E 2m dr 2 2mr 2 n (rr ) nl(r) (17) Es importante resaltar que la estructura de la ecuación anterior es la de una ecuación unidimensional en r h 2 2m denominada ecuación radial de un potencial central. d 2 U nl (r) dr 2 + V ef (r)u nl (r) = E n U nl (r) (18) Cuyas soluciones proporcionan los niveles de energía del sistema y cuyas autofunciones se relacionan con R nl (r) mediante El potencial U nl (r) = rr nl (r) (19) V ef (r) = V (r) + se denomina potencial efectivo o centrífugo, donde V (r) es el potencial central l(l + 1) h2 2mr 2 (2) l(l + 1) h 2 /2mr 2 es un potencial repulsivo centrífugo asociado con el momento angular orbital que tiende a repeler la partícula del origen Para que la ecuación radial describa estados ligados V (r) debe ser atractivo (negativo) La Figura 1 muestra que, a medida que l aumenta la profundidad de V ef (r) disminuye y su mínimo se aleja del origen al aumentar el módulo del momento angular la partícula está cada vez menos ligada. Autovalores de la ecuación radial. Los autovalores de dicha ecuación proporcionan la energía total del sistema. Como la ecuación no depende del número cuántico m se deduce que los autovalores están (2l + 1)-degenerados: para un l dado hay (2l + 1) autofunciones distintas: ψ n,l, l, ψ n,l, l+1,..., ψ n,l,l 1, ψ n,l,l con el mismo valor de la autoenergía E n. La degeneración anterior es típica de los potenciales centrales.
5 1 Partícula sometida a un potencial central 5 l(l+1)h 2 /4π 2 mr 2 V(r) V ef (r), l=1 V ef (r), l=2 V ef (r), l=3 E r Figura 1: Potencial efectivo V ef (r) = V (r)+ h 2 l(l+1)/(2mr 2 ) para distintos valores de l =, 1, 2, 3.
6 6 Tema 7: El átomo de hidrógeno Autofunciones de la ecuación radial. Las autofunciones de la ecuación radial proporcionan la función radial, que depende de l al aparecer éste en dicha ecuación. Su forma expĺıcita es función de la expresión matemática del potencial central. En la siguiente sección se aborda el caso del potencial Coulombiano presente en el átomo de Hidrógeno. 2. Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 2.1. Descripción del problema: forma del potencial El átomo de hidrógeno consiste en un electrón y un protón. Por simplicidad ignoraremos el espín (ver 4). Por tanto la función de onda depende de 6 coordenadas: tres del protón y tres del electrón: r e = x e i + y e j + z e k (21) r p = x p i + y p j + z p k (22) De acuerdo con la interpretación probabiĺıstica de la función de onda, la cantidad Ψ( r e, r p, t) 2 d 3 r e d 3 r p (23) representa la probabilidad de que la medida simultánea de la posición del electrón y el protón en el instante t resulte en que el primero se encuentre en el elemento de volumen d 3 r e, localizado en r e, y el segundo en elemento de volumen d 3 r p, localizado en r p. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es: [ ] h2 2 p h2 2 e + V (r) Ψ( r e, r p, t) = i h 2m p 2m e t Ψ( r e, r p, t) (24) donde 2 p y 2 e representan los operadores Laplaciana respecto a las coordenadas de posición de protón y electrón, respectivamente: 2 p = x 2 p yp 2 2 e = 2 x 2 e + 2 y 2 e + 2 z 2 p + 2 z 2 e (25) (26)
7 2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 7 El potencial V (r) es un potencial central pues representa la energía de atracción electrostática entre el protón y el electrón: 1 V (r) = e2 r = e 2 r e r p Como V (r) no depende del tiempo las soluciones de (24) son estacionarias: (27) Ψ( r e, r p, t) = χ( r e, r p )e iet/ h (28) donde E es la energía total del sistema. Sustituyendo ésta en (24) se llega a la correspondiente ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: [ ] h2 2 p h2 2 e 2 e χ( r e, r p ) = Eχ( r e, r p ) (29) 2m p 2m e r e r p cuya resolución abordamos en las dos secciones siguientes Separación del movimiento relativo y del centro de masas Cambio de coordenadas. Como V sólo depende de la distancia entre protón y electrón es conveniente hacer el cambio de variables de forma que, en lugar de r p y r e usemos la coordenada del centro de masas, R y la coordenada relativa r, definidas como: R = X i + Y j + Z k = m e r e + m p r p m e + m p (3) r = x i + y j + z k = r e r p (31) De tal manera que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en el nuevo sistema de coordenadas queda así: [ ] h2 2M 2 R h2 2µ 2 r e2 Ψ E ( R, r r) = EΨ E ( R, r) (32) Y donde Ψ E ( R, r) = χ( r e, r p ) 2 R = (33) 2 X Y + 2 Laplaciana del centro de masas (34) 2 Z 2 2 r = 2 x y z 2 Laplaciana del movimiento relativo (35) M = m e + m p Masa total (36) µ = m em p m e + m p Masa reducida (37) 1 En el sistema cgs la fuerza de atracción electrostática entre dos cargas Q 1 y Q 2 separadas una distancia r en el vacío es F = Q 1 Q 2 /r 2, donde las cargas vienen en statcoulombios (statc), mientras que en el SI es F = Q 1Q 2/4πε r 2, con Q 1 y Q 2 en Columbios (C). Para simplificar las expresiones asumiremos que estamos trabajando en el sistema cgs hasta que introduzcamos un nuevo sistema de unidades atómicas en la sección 5.
8 8 Tema 7: El átomo de hidrógeno El Hamiltoniano en el nuevo sistema de coordenadas es separable. Tal y como se puede comprobar el Hamiltoniano en este nuevo sistema de coordenadas es separable, por lo que podemos buscar soluciones del tipo: Ψ E ( R, r) = Φ( R)ψ( r) (38) donde Φ( R) y ψ( r) son funciones de onda para el movimiento del centro de y relativo, respectivamente. Sustituyendo (38) en (32) y dividiendo por Φ( R)ψ( r) se tiene que: [ ] [ ] h2 1 2M Φ( R) 2 RΦ( R) + h2 1 2µ ψ( r) 2 rψ( r) + V (r) = E (39) Como el primer término sólo depende de vecr y el segundo sólo de r, siendo ambas variables independientes, cada una de ellos debe ser igual a una constante; de forma que: Interpretación física: separación del movimiento. h2 2M 2 RΦ( R) = E R Φ( R) (4) h2 2µ 2 rψ( r) + V (r)ψ( r) = E r ψ( r) (41) E R + E r = E (42) Interpretación matemática: hemos reducido la ecuación de Schrödinger (32), que depende de dos variables, R y r, a dos ecuaciones, (4) y (41), cada una de las cuales depende de una sola variable. La primera ecuación describe el movimiento del centro de masas, y se corresponde con el de una partícula libre de masa M, cuya solución conduce a: Φ( R) = (2π) 3/2 e i k R E R = h2 k 2 2M donde k y E R representan, respectivamente, el vector de onda y la energía cinética del centro de masas. La segunda ecuación, (41), representa la ecuación de Schrödinger de una partícula ficticia de masa µ moviéndose en el potencial central e 2 /r. Interpretación física: la ecuación (32) es separable en sendas ecuaciones correspondientes al movimiento del centro de masas como una partícula libre y al movimiento relativo de electrón y núcleo respecto al centro de masas. Es importante resaltar que la función de onda total Ψ E ( R, r) = Φ( R)ψ( r) se usa raramente. Cuando se menciona el problema del átomo de hidrógeno se hace referencia impĺıcita a ψ( r) y E r, que se toman como la función de onda y la energía del átomo de hidrógeno. (43) (44)
9 2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide Resolución de la ecuación radial Límites asintóticos y solución general. La ecuación de Schrödinger (41) correspondiente al movimiento relativo tiene la forma de una ecuación para un potencial central. Tal y como hemos visto en 1 la solución general es de la forma: ψ( r) = R(r)Y lm (θ, φ) (45) donde Y lm es un armónico esférico y la parte radial, R(r), puede obtenerse al resolver la ecuación radial: [ ] h2 d 2 U(r) l(l + 1) h 2 + e2 U(r) = EU(r) (46) 2µ dr 2 2µr 2 r donde U(r) = rr(r) (47) Comenzamos la resolución de la ecuación anterior considerando sus soluciones asintóticas: r : = d2 U(r) l(l + 1) + U(r) dr 2 r 2 (48) Solución general: U(r) = Ar l+1 + Br l (49) U(r)no diverge en : B = (5) r = d2 U(r) + 2µE dr 2 2 U(r) (51) h Solución gral. estados ligados (E < ) U(r) exp ± 2µ( E)r/ h (52) ( U(r)no diverge cuando r U(r) exp ) 2µ( E)r/ h (53) En resumen, para los estados ligados del átomo de hidrógeno U(r) r l+1 si r (54) ( U(r) exp ) 2µ( E)r/ h si r (55) De manera que la solución general puede escribirse como ( U(r) = r l+1 f(r) exp ) 2µ( E)r/ h (56) siendo f(r) un polinomio en r: f(r) = k= b k r k (57)
10 1 Tema 7: El átomo de hidrógeno Cuantización y condiciones de contorno. Insertando la expresión general con λ definido como U(r) = r l+1 f(r)e λr λ = 2µ( E)/ h (58) en la ecuación radial (46) se llega a una ecuación diferencial para el polinomio f(r): ( ) [ ] d 2 f dr + 2 l + 1 df λ 2 r dr + 2 λ(l + 1) + µe 2 / h 2 f(r) = (59) r A partir de la cual se obtiene la siguiente relación de recurrencia para los coeficientes del polinomio f(r): [ ] k(k + 2l + 1)b k = 2 λ(k + l) µe2 h 2 b k 1 (6) Al igual que hemos visto con el oscilador armónico y los armónicos esféricos, para que la función sea aceptable no puede diverger cuando r, por lo que el polinomio f(r) debe truncarse a un cierto orden N: N f(r) = b k r k (61) de forma que los coeficientes b N+1, b N+2,... deben ser cero. En particular, cuando b N+1 = la fórmula (6) conduce a: k= λ(n + l + 1) µe2 h 2 = (62) Teniendo en cuenta (58) y definiendo el número cuántico n como n N + l + 1 (63) se tiene que los autovalores de la energía E r están cuantizados: donde se ha introducido el radio de Bohr en función del cual puede escribirse λ: λ = E n = µe4 2 h 2 1 n 2 = e2 2a 1 n 2 (64) 2 µ h 2 E n = a = h2 µe 2 (65) 2 1 e 2 a e 2 2a n 2 = 1 na (66)
11 2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 11 Puesto que N =, 1, 2, 3,... los valores permitidos de n son l + 1, l + 2, l + 3,... En otras palabras: n = 1, 2, 3,... (67) l =, 1, 2,..., n 1 (68) Obsérvese cómo los valores de E n coinciden con los deducidos en el modelo de Bohr. Por otro lado, el tratamiento realizado hasta el momento es igualmente válido para cualquier ión hidrogenoide (por ejemplo, He +, Li 2+, etc.) pues V (r) = Ze 2 /r, con lo que: Polinomios asociados de Laguerre. E n = µe4 2 h 2 Z 2 n 2 (69) Los polinomios que obedecen la ecuación diferencial (59) y la correspondiente ley de recurrencia (6) están relacionados con los polinomios asociados de Laguerre, L N k (x), (ver tabla 1). Tabla 1: Algunos polinomios asociados de Laguerre. k N L N k (x) x x 3x x x 48x 2 + 4x x + 12x x x 6x 2 + 1x 3 5x x + 3x 2 2x x 6x x En este caso en particular las soluciones de (59) son los polinomios asociados de Laguerre L 2l+1 n+l (2λr).
12 12 Tema 7: El átomo de hidrógeno Con lo que las funciones radiales R(r) para el átomo de hidrógeno están dadas por la expresión: ( ) l 2r ( 2r ) R nl (r) = N nl e r/na L 2l+1 n+l (7) na na siendo N nl el correspondiente factor de normalización: ( ) 3/2 2 (n l 1)! N nl = na 2n [ (n + l)! ] 3 (71) En la Tabla 2 se recogen las expresiones matemáticas de algunas funciones radiales. En ella, además de la expresión anaĺıtica, se incluye la notación habitual de estas funciones que consiste en el número cuántico principal, n, más una letra, s, p, d,..., dependiendo del valor del número cuántico angular l, como ya vimos en el tema anterior. Tabla 2: Funciones de onda radiales R nl de átomos hidrogenoides. Designación n l R nl (r) a 1s 1 (Z/a ) 3/2 2 exp( ρ/2) 2s 2 (Z/a ) 3/2 8 1/2 (2 ρ) exp( ρ/2) 2p 2 1 (Z/a ) 3/2 24 1/2 ρ exp( ρ/2) 3s 3 (Z/a ) 3/ /2 (6 6ρ + ρ 2 ) exp( ρ/2) 3p 3 1 (Z/a ) 3/ /2 (4 ρ)ρ exp( ρ/2) 3d 3 2 (Z/a ) 3/ /2 ρ 2 exp( ρ/2) 4s 4 (Z/a ) 3/ (24 36ρ + 12ρ 2 ρ 3 ) exp( ρ/2) 4p 4 1 (Z/a ) 3/ /2 (2 1ρ + ρ 2 )ρ exp( ρ/2) 4d 4 2 (Z/a ) 3/ /2 (6 ρ)ρ 2 exp( ρ/2) 4f 4 3 (Z/a ) 3/ /2 ρ 3 exp( ρ/2) a ρ = 2Zr/(na ). Representación gráfica y caracterización. En la figura 2 se representan gráficamente funciones radiales con n = 1, 2, 3.
13 2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 13 R s R p r/a r/a R s R p r/a r/a R s R d r/a r/a Figura 2: Representación de la función radial para los primeros estados del átomo de hidrógeno. Comportamiento asintótico cuando r : todas las funciones radiales tienden a cero pues en ese ĺımite domina el término exponencial: ecuaciones (51)-(53). Comportamiento asintótico cuando r : debido al término en r l de la ecuación (7) existen dos situaciones 1. l = R n () debido a la ausencia del término repulsivo centrífugo en V ef (r): ver ecuación (2) y la Figura l R nl () = pues el término repulsivo centrífugo es proporcional a r 2, mientras que el término atractivo es proporcional a r 1. Las funciones R nl (r) poseen n l 1 nodos radiales pues L 2l+1 n+l orden n l 1. es un polinomio de De las representaciones de la figura 2 podría pensarse que cuando l = la probabilidad de presencia del electrón es máxima sobre el núcleo, pero ello no es así pues falta considerar la dependencia angular, como veremos en la siguiente sección.
14 14 Tema 7: El átomo de hidrógeno 2.4. Funciones de onda: orbitales hidrogenoides Expresión matemática. En definitiva, la expresión matemática de las funciones de onda de los estados ligados de un átomo o ión hidrogenoide, denominadas orbitales hidrogenoides es la siguiente: ψ nlm (r, θ, φ) = R nl (r)y lm (θ, φ); ( 2 R nl (r) = na ( Y l,m (θ, φ) = ( 1) m ) 3/2 (n l 1)! 2n [ (n + l)! ] 3 (2l + 1)(l m )! 4π(l + m )! n = 1, 2, 3,... l =, 1, 2,... n 1 m = l, l + 1,..., l 1, l (72) ( ) l 2r ( 2r ) e r/na L 2l+1 n+l (73) na na ) 1/2 P m l (cos θ)e imφ (74) Estados y números cuánticos Los orbitales hidrogenoides están definidos a partir de los números cuánticos: n: determina la energía número cuántico principal. l: determina el módulo del momento angular número cuántico angular. m: determina la proyección del momento angular en el eje z número cuántico azimutal ó magnético. Los correspondientes estados están, pues, caracterizados por dichos números cuánticos, por lo que se suelen designar con la notación nlm. Otra notación muy empleada consiste en designar al orbital con el número n seguido de la notación introducida para el armónico esférico. Por ejemplo: 1 1s 2 2s 21 2p p p 1 3 3s 31 3p En la Tabla 3 se recogen las expresiones para las funciones de onda hidrogenoides reales, construidas a partir de R nl y los armónicos esféricos reales introducidos en el tema anterior.
15 2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 15 Tabla 3: Funciones de onda hidrogenoides reales. 1s = 1 π 1/2 ( Za ) 3/2 e Zr/a ( ) 2s = 1 Za 3/2( 4(2π) 1/2 2 Zr ) a e Zr/2a 2p z = 1 4(2π) 1/2 ( Za ) 5/2 re Zr/2a cos θ 2p x = 1 4(2π) 1/2 ( Za ) 5/2 re Zr/2a sen θ cos φ 2p y = 1 4(2π) 1/2 ( Za ) 5/2 re Zr/2a sen θsen φ ( ) 3s = 1 Za 3/2( 81(3π) 1/ Zr a + 2 Z2 r 2 ) a 2 e Zr/3a 3p z = 21/2 81π 1/2 ( Za ) 5/2( 6 Zr a )re Zr/3a cos θ 3p x = 21/2 81π 1/2 ( Za ) 5/2( 6 Zr a )re Zr/3a sen θ cos φ 3p y = 21/2 81π 1/2 ( Za ) 5/2( 6 Zr a )re Zr/3a sen θsen φ ( ) 3d z 2 = 1 7/2 Za ( r 2 81(6π) 1/2 e Zr/3a 3 cos 2 θ 1 ) 3d xz = 21/2 81π 1/2 ( Za ) 7/2 r 2 e Zr/3a cos θsen θ cos φ 3d yz = 21/2 81π 1/2 ( Za ) 7/2 r 2 e Zr/3a cos θsen θsen φ 3d x 2 y 2 = 1 81(2π) 1/2 ( Za ) 7/2 r 2 e Zr/3a sen 2 θ cos 2φ 3d xy = 1 81(2π) 1/2 ( Za ) 7/2 r 2 e Zr/3a sen 2 θsen 2φ
16 16 Tema 7: El átomo de hidrógeno 3. Análisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides 3.1. Niveles energéticos. Degeneración. Recordemos que los autovalores de la energía en el átomo de hidrógeno y en iones hidrogenoides son independientes de m y de l. Lo primero es consecuencia de tener un potencial central y lo segundo es característico del potencial Coulombiano. Como consecuencia de lo anterior los niveles energéticos en dichos sistemas tienen cierto nivel de degeneración. Tal y como puede comprobarse en la Tabla 4 para cada valor de n hay n 1 posibles valores de l, y para cada uno de estos 2l + 1 posibles valores de m, con lo que la degeneración de cada nivel es: n 1 g n = (2l + 1) = n 2 (75) l= Tabla 4: Niveles de energía y sus degeneraciones en el átomo de hidrógeno (sin tener en cuenta el espín). n l Tipo de orbital m g n E n 1 s 1 e 2 /(2a ) 2 s 4 e 2 /(8a ) 2 1 p -1,,1 3 s 9 e 2 /(18a ) 3 1 p -1,,1 3 2 d -2,-1,,1,2 4 s 16 e 2 /(32a ) 4 1 p -1,,1 4 2 d -2,-1,,1,2 4 3 f -3,-2,-1,,1,2,3 5 s 25 e 2 /(5a ) 5 1 p -1,,1 5 2 d -2,-1,,1,2 5 3 f -3,-2,-1,,1,2,3 5 4 g -4,-3,-2,-1,,1,2,3,4
17 3 Análisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides 17 En la Figura 3 se presenta el diagrama de niveles energéticos del átomo de hidrógeno, del cual se desprende que: Todos los niveles tienen energía negativa: estados ligados. A medida que n aumenta la separación entre niveles disminuye. -,625 -,1111 -,25 n= n=4 n=3 n=2 E/hcR H -1 n=1 Figura 3: Diagrama de niveles energéticos para el átomo de hidrógeno El valor de energía cero corresponde al ĺımite de la ionización del átomo: Electrón y protón no están ligados la energía de un nivel cambiada de signo = potencial de ionización para ese nivel 13,6 ev para el estado fundamental. El valor de energía cero corresponde, pues, a la transición entre los estados ligados y no ligados. En los estados ligados la energía está cuantizada espectro discreto. En los estados no ligados la energía no está cuantizada espectro continuo Caracterización y representaciones gráficas de orbitales hidrogenoides Características de los orbitales hidrogenoides: densidad de distribución radial. Densidad de distribución radial: proporciona la densidad de probabilidad de encontrar al electrón a una distancia r, por lo que se obtiene al integrar ψ nlm (r, θ, φ) 2 respecto a los ángulos θ y φ: D nl (r) 2π π φ= θ= ψ nlm(r, θ, φ)ψ nlm (r, θ, φ)r 2 sen θdθdφ = R 2 nl(r)r 2 (76) donde se ha tenido en cuenta que los armónicos esféricos están normalizados.
18 18 Tema 7: El átomo de hidrógeno Por tanto, la cantidad D nl (r)dr = R 2 nl (r)r2 dr proporciona la probabilidad de encontrar un electrón en una cáscara esférica de anchura dr situada a una distancia r. En la figura 4 se representa D(r) para distintos orbitales con n = 1, 2, 3, de las que se deduce que: 1. D nl () = debido al término en r 2 : la densidad de probabilidad de encontrar el electrón en el núcleo es nula. 2. D nl (r ) = pues domina el término exponencial de R nl (r). 3. D nl (r) se hace máxima para ciertos valores de r. En particular, es posible demostrar que r max (D n,l=n 1 ) = n 2 a (77) de manera que los radios de Bohr dan la posición del máximo para la densidad de probabilidad radial para el orbital con l = l max = n 1. r 2 R s r 2 R p r/a r/a r 2 R s r 2 R p r/a r/a s.1 3d.8.8 r 2 R r 2 R r/a r/a Figura 4: Representación de la función de distribución radial para los primeros estados del H.
19 3 Análisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides 19 Obviamente, de la condición de normalización de ψ n,l,m (r, θ, φ) se cumple que: r= D nl (r)dr = 1 (78) Características de los orbitales hidrogenoides: valores esperados. A continuación especificamos el valor esperado de diversas potencias de r y componentes de la energía: Dado que ψ nlm (r, θ, φ) = R nl (r)y lm (θ, φ) se comprueba que el valor esperado de r k es independiente del número cuántico azimutal m: r k = nlm r k nlm = r k ψ nlm (r, θ, φ) 2 r 2 sen θdrdθdφ = = r k+2 R nl (r) 2 dr π sen θdθ 2π Y lm(θ, φ)y lm (θ, φ)dφ (79) r k+2 R nl (r) 2 dr (8) Empleando la ecuación anterior junto con las propiedades de los polinomios de Laguerre es posible demostrar que: r = 1 2[ 3n 2 l(l + 1) ] a (81) r 2 = 1 2 n2[ 5n l(l + 1) ] a 2 (82) r 1 = 1 (83) n 2 a r 2 2 = (84) n 3 (2l + 1)a 2 Obsérvese que 1/ r = 1/r, pero son del mismo orden de magnitud, pues: r n 2 a (85) La razón por la cual r max r (por ejemplo r max (1s) = a 1s r 1s = 3a /2) es que la función de distribución radial no es simétrica respecto a su máximo: ver Figura 4. Empleando la ecuación (83) para r 1 se puede determinar el valor esperado de la energía potencial Coulombiana: V (r) = e 2 1 r que resulta ser el doble de la energía total: = e2 a 1 n 2 (86) E n = 1 e2 1 V (r) = (87) 2 2a n 2
20 2 Tema 7: El átomo de hidrógeno El resultado anterior es consecuencia del denominado teorema del virial, según el cual si V (αr) = α n V (r) entonces T = n V (88) 2 Por ejemplo, para un potencial Coulombiano V (αr) = α 1 V (r) T = V /2 E = V /2 + V = V /2. Representación gráfica. Como los orbitales hidrogenoides son funciones de tres variables su representación gráfica requeriría el uso de cuatro dimensiones. Debido a este hecho dichos orbitales se pueden visualizar de varias formas que enumeramos a continuación: 1. Representar por separado la parte radial y angular (ver figuras correspondientes en este tema y el anterior). 2. Seleccionar un plano y representar la función en dicho plano: al restringir el valor de una coordenada se puede representar en función de las otras dos: ver figura Representar figuras envolventes: superficie de isodensidad tridimensional en el interior de la cual la probabilidad de presencia del electrón tiene un valor determinado; por ejemplo 95 %: ver figura Espín 4.1. Evidencia experimental del momento angular intrínseco o espín Estructura fina del espectro de emisión del hidrógeno. El tratamiento mecano-cuántico realizado en las secciones anteriores es incompleto. Debido a diversos términos adicionales no incluidos en el Hamiltoniano se produce el desdoblamiento de las correspondientes ĺıneas del espectro conformando su estructura fina (ver Tema 9). Experimento de Stern y Gerlach. En 1922 estos dos científicos observaron que, al hacer pasar un haz de átomos de plata o alcalinos a través de un campo magnético no uniforme, se separaba en dos haces simétricos en la dirección del campo. Dicho experimento no podía ser explicado a partir de la Mecánica Clásica el desdoblamiento debía ser continuo y simétrico respecto a la dirección original del haz. Tampoco podía ser explicado mediante la Mecánica Cuántica desarrollada hasta el momento pues sería necesario que el momento angular fuese distinto de cero, cosa que no sucedía para los átomos en cuestión (ver Tema 9).
21 4 Espín 21 2s 1s y x y x 3p y 2p y x x y y 3d z 2 3d x 2 -y x y z x Figura 5: Representación de algunos orbitales hidrogenoides en un plano que contiene al núcleo.
22 22 Tema 7: El átomo de hidrógeno Figura 6: Arriba: superficies de isodensidad dentro de las cuales la probabilidad de encontrar al electrón es del 95 % para algunos estados del átomo de hidrógeno; de izquierda a derecha: 1s, 2p z, 3d z 2, 3d yz. Abajo: idem para el orbital 3d yz al 99 % de probabilidad. El signo de cada orbital en cada región del espacio se indica mediante color: blanco=positivo, azul=negativo Introducción del espín en Mecánica Cuántica Momento angular de espín. Para justificar los resultados experimentales anteriores Uhlenbeck y Goudsmit propusieron en 1925 que, además de su momento angular orbital: El electrón tiene un momento angular intrínseco denominado momento angular de espín o, simplemente, espín. En ocasiones se justifica el espín considerando que el electrón es una esfera cargada que rota (en inglés spin ) alrededor de su eje. Sin embargo la imagen anterior es errónea pues el momento angular de espín no depende de los grados de libertad espaciales. El espín es un grado de libertad intrínseco de toda partícula microscópica que no tiene análogo clásico, siendo un concepto puramente mecano-cuántico. Surge de forma natural del tratamiento mecano-cuántico relativista desarrollado por Dirac en La complejidad de dicho tratamiento obliga a introducir el espín en Mecánica Cuántica no relativista mediante una serie de postulados adicionales a los del Tema 4.
23 4 Espín 23 Tratamiento teórico del espín. Se postula que el momento angular de espín tiene asociado los correspondientes operadores Ŝ2, Ŝx, Ŝy, Ŝz que están relacionados según y obedecen las siguientes reglas de conmutación: Ŝ 2 = Ŝ2 x + Ŝ2 y + Ŝ2 z (89) ] [Ŝx, Ŝy = i h Ŝ z (9) ] [Ŝy, Ŝz = i h Ŝ x (91) ] [Ŝz, Ŝx = i h Ŝ y (92) [Ŝ2, Ŝx] = (93) [Ŝ2, Ŝy] = (94) [Ŝ2, Ŝz] = (95) de manera que el electrón posee un momento magnético intrínseco dado por µ S = g e e 2m e c S (96) donde g e electrón. = 2, 23 es el denominado factor de Landé o ratio girodinámico del De las reglas de conmutación (9)-(95) se deduce que las autofunciones comunes de Ŝ2 y Ŝz cumplen las siguientes ecuaciones de autovalores: Ŝ 2 s, m s = s(s + 1) h 2 s, m s ; s =, 1 2, 1, 3 2,... (97) Ŝ z s, m s = m s h s, m s ; m s = s, s + 1,..., s 1, s (98) es decir el módulo y la componente z del momento angular de espín están cuantizados. Toda partícula fundamental posee un espín específico, denominándose bosones a aquéllas con espín entero: s =, 1, 2,... y fermiones a aquéllas con espín semi-entero s = 1/2, 3/2,.... Ejemplos de bosones: piones (s = ) y fotones (s = 1). Ejemplos de fermiones: electrones, protones y neutrones; todos con s = 1/2. En este caso, de las relaciones (97)-(98) se tiene que, para el electrón: Ŝ 2 1/2, m s = 3 4 h2 1/2, m s (99) Ŝ z 1/2, m s = m s h 1/2, m s ; m s = ± 1 2 (1)
24 24 Tema 7: El átomo de hidrógeno Funciones α y β. donde las autofunciones 1/2, 1/2 y 1/2, 1/2 forman una base completa ortonormal para el grado de libertad del espín: 1 2, , 1 = 1 (11) 2 1 2, , 1 = 1 (12) 2 1 2, , 1 1 = = 2 2, , 1 (13) 2 La existencia del momento magnético de espín del electrón µ S y la cuantización anterior permiten explicar correctamente la estructura fina de los espectros (ver Tema 9) y la interacción con campos magnéticos, como en el experimento de Stern y Gerlach. Es común representar las autofunciones de Ŝ2 y Ŝz mediante la siguiente notación: α 1/2, 1/2 (14) β 1/2, 1/2 (15) de forma que las ecuaciones (99)-(13) pueden escribirse de la siguiente forma: Ŝ 2 α = 3 4 h2 α (16) Ŝ 2 β = 3 4 h2 β (17) 1 Ŝ z α = + (18) 2 h α 1 Ŝ z β = (19) 2 h β α α = β β = 1 (11) α β = β α = (111) Cuáles son las variables de las funciones propias de espín α y β? A menudo se habla de una coordenada de espín ω sin especificar qué es. Es muy habitual tomar el número cuántico m s como la variable de la que dependen las funciones propias de espín, de manera que: α α(m s ) = δ ms,1/2 (112) β β(m s ) = δ ms, 1/2 (113) donde las igualdades se han introducido para que se cumplan las condiciones de ortonormalidad; dado que m s varía de forma discreta, éstas pueden escribirse formalmente de
25 4 Espín 25 la siguiente manera: 4.3. Espín-orbitales. +1/2 m s= 1/2 +1/2 m s = 1/2 +1/2 m s = 1/2 α(m s ) 2 = 1 (114) β(m s ) 2 = 1 (115) α (m s )β(m s ) = (116) La función de onda que especifica el estado de un electrón depende, pues, de las tres coordenadas de posición x, y, z, y también del estado del espín del electrón. Qué efecto tiene en las funciones de onda y valores de la energía? En el tratamiento aproximado no relativista el espín se introduce expresando el vector de estado del electrón como el producto χ nlml m s = ψ nlml g ms (117) donde ψ nlml representa los orbitales hidrogenoides de la sección 2.4 y g ms = α, β en función del valor que tome m s. De manera que la correspondiente función de onda, denominada espín-orbital, adopta la forma: donde se usa el número cuántico m s como variable de espín. χ nlml ( r; m s ) = ψ nlml ( r)g(m s ) (118) Debido a las condiciones de ortonormalidad de los orbitales hidrogenoides y de las funciones de espín se cumple que: χ nlml m s χ n l m l m s = δ nn δ ll δ m l m l δ m s m s (119) Despreciando la interacción entre el momento angular de espín y el momento angular orbital del electrón (ver Tema 9) el operador Hamiltoniano del átomo de hidrógeno es independiente del espín, de forma que: Ĥ[χ nlml ( r; m s )] = g(m s )Ĥψ nlm l ( r) = E[χ nlml ( r; m s )] (12) de forma que obtenemos las mismas energías deducidas sin considerar el espín. Bajo la aproximación anterior la única diferencia al considerar el espín es duplicar el número de estados posibles con la misma energía: ψ nlml ψ nlml α, ψ nlml β La degeneración de los niveles de energía del átomo de hidrógeno pasa a ser 2n 2.
26 26 Tema 7: El átomo de hidrógeno 5. Unidades atómicas En la resolución de la ecuación de Schrödinger para átomos y moléculas es necesario arrastrar toda una serie de constantes. Para simplificar la expresión de la misma se introduce un nuevo sistema de unidades, denominadas unidades atómicas (u.a.), en las que: La unidad de masa es la del electrón m e = 1. La unidad de carga es la del protón e = 1. La unidad de momento angular es h h = 1. De esta forma, la expresión para el Hamiltoniano del átomo de hidrógeno suponiendo masa nuclear infinita (µ m e ) se simplificaría de la siguiente manera: Ĥ = h2 2m e 2 e2 r r (en u.a.) (121) Análogamente el valor numérico de a (el radio de Bohr) en unidades atómicas (masa nuclear infinita) es la unidad, pues: a = h2 m e e 2 a = 1 (en u.a.) (122) y se toma como unidad atómica de longitud, denominándose Bohr: 1 Bohr a h2 =, Å (123) m e e2 Así mismo los autovalores de la energía del átomo de hidrógeno, asumiendo masa nuclear infinita, expresados en unidades atómicas quedan así: E n = m ee 4 2 h 2 1 n 2 = e2 2a 1 n 2 E n = 1 2n 2 (en u.a.) (124) tomándose como unidad atómica de energía el denominado Hartree: 1 Hartree E h e2 a = 27, 2114 ev = 4, J (125) con lo que la energía del estado fundamental del hidrógeno es 1/2 en unidades atómicas. Para obtener la unidad atómica de cualquier otra magnitud se combinan h, m e y e para producir una cantidad que tenga las dimensiones deseadas. Por ejemplo: la unidad atómica de tiempo es h/e h = 2, s la unidad atómica de momento dipolar eléctrico es ea = 8, C m.
27 6 Problemas Problemas 1: a) Mostrar que los orbitales 1s y 2s del hidrógeno son ortonormales: Ψ 1s = ( ) 1 ( ) /2 a e r a 1 2 3/2 Ψ 2s = a (2 r )e r 2a π 32π a b) Comprobar si son ortogonales las funciones de Slater para los orbitales 1s y 2s del carbono, dadas por: Φ 1s = ( ) 1 Z 3 2 1s e Z 1s r π Φ 2s = ( ) 1 Z 5 2 2s re Z 2s r 2 96π tal que: Z 1s = 6,3 y Z 2s = 6 2(,85) 3(,359) 2: La ecuación radial para un átomo o ión hidrogenoide (en unidades atómicas y considerando masa nuclear infinita) es : 1 [ l(l + 1) 2r 2 r r2 r R(r) + Z ] R(r) = ER(r) 2r 2 r a) Transformar esta ecuación considerando el cambio: P (r) = rr(r). b) Representar la función potencial efectivo que aparece en la ecuación para P (r), frente a r, para los tres primeros valores de l, suponiendo que Z = 1. 3: Calcular, para la función de onda para el estado fundamental del átomo de hidrógeno: Ψ 1s = 1 π a 3/2 e r/a a) La densidad de probabilidad de encontrar al electrón a una distancia del núcleo igual a 1 a. b) La probabilidad de encontrar al electrón en cualquier lugar entre,9 a y 1,1 a. c) La probabilidad de encontrarlo más allá de 2 a. d) Calcular el radio de la esfera que encierra un 9 % de probabilidad de encontrar el electrón descrito por este orbital. e) La distancia más probable del electrón con respecto al núcleo. f) El valor promedio de r.
28 28 Tema 7: El átomo de hidrógeno 4: Conocida la expresión del operador 2 en coordenadas polares: 2 = 1 ( r 2 r 2 ) + 1 ( 1 r r r 2 senθ senθ θ θ ) + 1 r 2 1 sen 2 θ Calcule el valor de T, V y H para la siguiente función, correspondiente al átomo de hidrógeno Ψ = Ne r, analizando la relación que existe entre ellos. 5: Dados los siguientes orbitales hidrogenoides: 2 ϕ 2 Ψ 2p 1 = Nre r/2 senθe iϕ Ψ 2px = Nre r/2 senθ cos ϕ Son funciones propias de los operadores ˆL z y ˆL 2?. Si se puede conocer, cuanto vale el módulo del momento angular asociado a ambas funciones?, y la componente z de dicho momento?. Comentar los resultados.
El átomo de hidrógeno
El átomo de hiógeno Antonio. árquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Curso 017/018 Índice 1. Ecuación de Schrodinger 1. Orbitales hiogenoides 5 3. Función de distribución radial 7
Más detallesFÍSICA 4 PRIMER CUATRIMESTRE DE 2015 GUÍA 9: POTENCIALES EN 2-D Y 3-D, MOMENTO ANGULAR, ÁTOMO DE HIDRÓGENO, ESPÍN
FÍSICA 4 PRIMER CUATRIMESTRE DE 2015 GUÍA 9: POTENCIALES EN 2-D Y 3-D, MOMENTO ANGULAR, ÁTOMO DE HIDRÓGENO, ESPÍN 1. Considere el siguiente potencial (pozo infinito): { 0 x a; y b y z c V(x)= sino Escribiendo
Más detallesATOMO DE HIDROGENO. o = permitividad al vacío = 8.85 X C 2 N -1 cm -1. = metros. F = Newtons 2. Ó (3)
ATOMO DE HIDROGENO I. Atomo de hidrógeno A. Descripción del sistema: Dos partículas que interaccionan por atracción de carga eléctrica y culómbica. 1. Ley de coulomb: a. En el sistema cgs en unidades de
Más detalles1.1 DEFINICIÓN CLÁSICA DEL MOMENTO ANGU- LAR
Chapter MOMENTO ANGULAR La teoría del momento angular en mecánica cuántica es de gran importancia tanto por el número como por la variedad de sus consecuencias. A partir de la espectroscopía rotacional,
Más detallesEl ÁTOMO de HIDRÓGENO
El ÁTOMO de HIDRÓGENO Dr. Andres Ozols Dra. María Rebollo FIUBA 006 Dr. A. Ozols 1 ESPECTROS DE HIDROGENO espectros de emisión espectro de absorción Dr. A. Ozols ESPECTROS DE HIDROGENO Secuencias de las
Más detallesSimetría de funciones de onda y Principio de Pauli. Rueda Carlos Alberto Tinajero Verónica Tavera Hernández Rosario
Simetría de funciones de onda y Principio de Pauli Rueda Carlos Alberto Tinajero Verónica Tavera Hernández Rosario Introducción. En el espectro de emisión del sodio la línea amarilla es la más intensa
Más detallesCapítulo 3. Átomos Hidrogenoides.
Capítulo 3. Átomos Hidrogenoides. Objetivos: Introducción del concepto de orbital atómico Descripción de los números cuánticos en los orbitales atómicos Justificación cualitativa de la cuantización de
Más detallesApuntes del Modelo del átomo hidrogenoide.
Apuntes del Modelo del átomo hidrogenoide. Dr. Andrés Soto Bubert Un átomo hidrogenoide es aquel que tiene un solo electrón de carga e, rodeando un núcleo de carga +Ze. Átomos que cumplen esta descripción
Más detallesd x e z d y Z d Ecuación de Schroedinger tridimensional en coordenadas cartesianas x, y, z. El operador Hamiltoniano (H), ahora es:
1 Ecuación de Schroedinger tridimensional E e z d y d x d h r Z d d d m 0 4 8 en coordenadas cartesianas x, y, z. El operador Hamiltoniano (H), ahora es: z d y d x d h d d d m 8 El primer término de esta
Más detallesHoja de Problemas 5. Física Atómica.
Hoja de Problemas 5. Física Atómica. Fundamentos de Física III. Grado en Física. Curso 25/26. Grupo 56. UAM. 3-3-26 Problema En 896 el astrónomo americano Edward Charles Pickering observó unas misteriosas
Más detallesESTRUCTURA DE LA MATERIA
7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 0 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 1 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 1 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 3 7/03/18 FUNDAMENTOS
Más detallesTema 14 11/02/2005. Tema 8. Mecánica Cuántica. 8.1 Fundamentos de la mecánica cuántica
Tema 14 11/0/005 Tema 8 Mecánica Cuántica 8.1 Fundamentos de la mecánica cuántica 8. La ecuación de Schrödinger 8.3 Significado físico de la función de onda 8.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger
Más detallesTema 14 Mecánica Cuántica
Tema 14 Mecánica Cuántica 1 14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica 14. La ecuación de Schrödinger 14.3 Significado físico de la función de onda 14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger para el átomo
Más detallesApuntes de la asignatura Química Física II (Licenciatura en Química) Tema 6: Momento angular
Apuntes de la asignatura Química Física II Licenciatura en Química) Tema 6: Momento angular Ángel José Pére Jiméne Dept. de Química Física Univ. Alicante) Índice 1. Momento angular en Mecánica Clásica.
Más detallesQuímica Cuántica I: Espín electrónico. Espín electrónico/jht 1 / 36
Química Cuántica I: Espín electrónico Jesús Hernández Trujillo Fac. Química, UNAM Espín electrónico/jht 1 / 36 Introducción Experimento de La ecuación de Schrodinger proporciona buenos valores de la energía
Más detallesEstructura electrónica de los átomos
Estructura electrónica de los átomos Partículas subatómicas Protón (p) 1,673 10-27 Kg + 1,602 10-19 C Goldstein (1886) Electrón (e) 9,109 10-31 Kg - 1,602 10-19 C Thomson (1897) Neutrón (n) 1,673 10-27
Más detallesESPÍN ELECTRÓNICO (4.1)
TEMA 4 ESPÍN ELECTRÓNICO 1 El momento angular de espín en átomos monoelectrónicos La ecuación de Schrödinger proporciona un valor excelente para la energía de ionización del átomo de hidrógeno; además,
Más detallesEstructura de la Materia. Átomo de Hidrógeno. Martha M. Flores Leonar FQ UNAM. 16 de abril de 2018
Estructura de la Materia Átomo de Hidrógeno Martha M. Flores Leonar FQ UNAM 16 de abril de 2018 ÁTOMO DE HIDRÓGENO z θ r φ y x Ψ (r, θ, φ) = R (r) Θ (θ) Φ (φ) (1) Ĥ = 2 2µ 2 kze2 r (2) ĤΨ (r, θ, φ) = EΨ
Más detallesEL ÁTOMO DE HIDRÓGENO
EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO El átomo de hidrógeno constituye uno de los pocos sistemas de interés químico que admite una solución exacta de la ecuación de Schröedinger. Para todos los demás sólo es factible
Más detallesSerie de problemas para el curso. Química Cuantica I
erie de problemas para el curso Química Cuantica I Matemáticas Tema Resuelva todos los problemas del capítulo de la referencia B6 y compare sus resultados con las soluciones que se incluyen al final de
Más detallesProblemas de Mecánica Cuántica (para el Exámen Predoctoral)
Problemas de Mecánica Cuántica (para el Exámen Predoctoral) 1 Formalismo general 1. Problema: Consideremos un sistema cuántico que contiene sólo dos estados linealmente independientes 1 y 2, 1 = 2 = (
Más detallesFísica Cuántica Atomos multielectrónicos.
Física Cuántica Atomos multielectrónicos. José Manuel López y Luis Enrique González Universidad de Valladolid Curso 2004-2005 p. 1/19 Atomos multielectrónicos. Tenemos un sistema formado por un núcleo
Más detallesRotación de moléculas diatómicas
Rotación de moléculas diatómicas Química Física Aplicada, UAM 23 de enero de 2011 (Química Física Aplicada, UAM) Rotación de moléculas diatómicas 23 de enero de 2011 1 / 29 Movimiento nuclear en moléculas
Más detallesEl átomo de hidrógeno
El átomo de hiógeno Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Curso 16-17 Problema 1 Calcule la probabilidad de que un electrón 1s del H se encuentre entre r y r. Solución
Más detallesEspectroscopía atómica
C A P Í T U L O 6 Espectroscopía atómica 6.. ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROBLEMAS 6. Demuestre la regla de selección angular del átomo hidrogenoide m = 0, ±. Para m m 2π 0 e im Φ e imφ dφ
Más detallesTEMA 2. Modelo mecanocuántico. ntico del átomo de
TEMA. Modelo mecanocuántico ntico del átomo de hidrógeno Aunque la teoría de Bohr y la etensión de Somerfeld conducen a resultados satisfactorios para el átomo de hidrógeno su aplicación tropezaba con
Más detallesUNIVERSIDAD SANTO TOMAS SECCIONAL BUCARAMANGA. División de Ingenierías - Facultad de Química Ambiental
UNIVERSIDAD SANTO TOMAS SECCIONAL BUCARAMANGA División de Ingeniería Facultad de Química Ambiental Nombre de Asignatura: QUÍMICA CUÁNTICA Àrea: Básicas de Química Fisicoquímica Créditos: 3 Modalidad: Teórica
Más detallesCuestiones de Autoevaluación
Cuestiones de Autoevaluación Temas 1-5 Razone cuál de las respuestas es correcta en cada caso 1. En un experimento fotoeléctrico que se realiza con fotones de energías superiores a la función trabajo del
Más detalles1 EL OSCILADOR ARMONICO
1 EL OSCILADOR ARMONICO 1.1 Autofunciones y Autovalores El potencial del oscilador armónico en una dimensión corresponde a la siguiente expresión matemática: V = 1 kx (1) donde k es la constante de la
Más detallesLOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA POSTULADO I Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas puede ser descrito por una función de las 3N coordenadas y del tiempo: La cantidad Ψ(q 1, q 2,...,
Más detallesApuntes de la asignatura Química Física II (Licenciatura en Química) Tema 4: Postulados de la Mecánica Cuántica
Apuntes de la asignatura Química Física II (Licenciatura en Química) Tema 4: Postulados de la Mecánica Cuántica Ángel José Pérez Jiménez Dept. de Química Física (Univ. Alicante) Índice 1. Descripción de
Más detalles+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h
Ecuación n de Schrödinger -h ( Ψ Ψ Ψ ) m Ψ +V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h x y z t h = h / π i = (-1) 1/ ψ(x,y,z,t)... función (compleja) de onda V(x,y,z)... función de energía potencial ψ (x,y,z,t)... puede
Más detallesFísica cuántica I Grupo C 2015/16 Examen final 22 de junio de 2016
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA I GRADO EN FÍSICA Física cuántica I Grupo C 15/1 Examen final de junio de 1 Nombre: Soluciones Firma: Problema 1 (1 punto). Un haz de radiación
Más detallesSolución de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico
Solución de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico Erika Armenta Jaime Francisco Barrera Raul Camiña Blando Geraldyne L. Castro Herrera Antecedentes Max Plank (1900) propone que la emisión
Más detallesFÍSICA MODERNA FÍSICA CUÁNTICA. José Luis Rodríguez Blanco
FÍSICA MODERNA FÍSICA CUÁNTICA José Luis Rodríguez Blanco CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA Problemas de la Física Clásica a finales del siglo XIX, principios del XX Espectros discontinuos de gases Efecto fotoeléctrico
Más detallesRespuestas de la Serie 2
Respuestas de la Serie 2 1. N h 2 Ĥ = 2 2M I I=1 }{{} A n h 2 2 + 2m i }{{} B N N I=1 J>I kz 2 e 2 R I R J } {{ } C N n kze 2 I } i R I r i {{} D + n n ke 2 r j>i i r j }{{} E a) En el orden en el que
Más detallesRangel Grimaldo Manuel Eduardo Reyes Mata Carlos Salazar Cervantes Gabriela Serrano Mora Luis Eduardo
Rangel Grimaldo Manuel Eduardo Reyes Mata Carlos Salazar Cervantes Gabriela Serrano Mora Luis Eduardo 1 Postulado de la Mecánica Cuántica Postulado VIII: La función de onda correspondiente a un sistema
Más detalles0 si dos índices coinciden 1 si jkl es permutación impar de 123. = εjkl i X l (2) = εjkl i P l (3) = εjkl i L l (4)
Momento angular Operador momento angular L = R P, L j = ε jkl X k P l (1) Tensor antisimétrico ε jkl = 0 si dos índices coinciden 1 si jkl es permutación par de 123 1 si jkl es permutación impar de 123
Más detallesEl átomo: sus partículas elementales
El átomo: sus partículas elementales Los rayos catódicos estaban constituidos por partículas cargadas negativamente ( a las que se llamo electrones) y que la relación carga/masa de éstas partículas era
Más detallesEstructura de la Materia Serie 2
structura de la Materia Serie 2 ra. Martha M. Flores Leonar Semestre 218-2 1. Para un sistema de N núcleos y n electrones la forma del Hamiltoniano siguiente (Hamiltoniano molecular): Ĥ es la Ĥ = N h 2
Más detallesEl átomo de hidrógeno
El átomo de hiógeno Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Curso 15-16 Problema 1 Calcule la probabilidad de que un electrón 1s del H se encuentre entre r r. La probabilidad
Más detallesHOJA DE PROBLEMAS 1: ENUNCIADOS
Tema: ESTRUCTURA ELECTRÓNICA DE LOS ÁTOMOS HOJA DE PROBLEMAS 1: ENUNCIADOS 1. ( ) Para describir el estado fundamental de una partícula que se encuentra en una caja de potencial unidimensional definida
Más detallesESTRUCTURA DE LA MATERIA
ESTRUCTURA DE LA MATERIA 1. Naturaleza de la materia (el átomo). 2. Modelos atómicos clásicos. 3. Modelo mecánico cuántico. 4. Mecánica ondulatoria de Schrödinger. 5. Números cuánticos. 6. Orbitales atómicos.
Más detallesPara ser considerada una función aceptable, la función de onda debe ser:
Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas puede ser descrito por la llamada función de onda de las 3N coordenadas espaciales y del tiempo: (1) Para ser considerada una función aceptable,
Más detallesMovimiento vibracional
ESPECTROSCOPÍA Movimiento vibracional El oscilador armónico como modelo de la vibración molecular Los sistemas que vibran a nivel molecular incluyen las vibraciones internas de una molécula y las vibraciones
Más detallesFísica Teórica II Práctica 8: Teoría de Perturbaciones Parte I: Perturbaciones Independientes del Tiempo
Física Teórica II Parte I: Perturbaciones Independientes del Tiempo 1. Si los estados vibracionales de una molécula diatómica dipolar pueden ser descriptos adecuadamente por un potencial armónico unidimensional,
Más detallesQuímica Física II. Tema II
Química Física II. Tema II TEMA II: LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER 1. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo 2. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo 3. Principio de incertidumbre
Más detallesDe órbitas a orbitales. De órbitas a orbitales
De órbitas de Bohr a orbitales de Schrödinger Una consecuencia muy importante de la naturaleza dual de la materia es un hecho estudiado por Heisenberg, enunciado en 97. Este fenómeno muestra que es imposible
Más detalles1.6 La estructura del átomo.
.6 La estructura del átomo. Aplicaremos la mecánica cuántica al estudio de la estructura atómica interna del átomo, constituído por un núcleo y un conjunto de electrones. El átomo de Hidrógeno. Es el sistema
Más detallesEXTRUCTURA ATOMICA ACTUAL
ATOMOS Y ELEMENTOS TEMA 4 Química ATOMOS EXTRUCTURA ATOMICA ACTUAL PARTICULA UBICACION CARGA MASA PROTON NUCLEO + SI NEUTRON NUCLEO 0 SI ELECTRON ORBITAS - DESPRECIABLE La masa del átomo reside en el núcleo.
Más detallesModelos Atómicos Históricos.
Modelos Atómicos Históricos. THOMSON-1910: budín de pasas, radio 10-10 m; máxima deflección de partículas α=10-4 rad. Rutherford-1911: scattering de partículas α Modelo: núcleo central con carga positiva
Más detallesAnarmonicidad y resonancias en vibraciones de moléculas
Anarmonicidad y resonancias en vibraciones de moléculas PRINCIPIOS DE ESTRUCTURA DE LA MATERIA DR. LUIS ALBERTO VICENTE HINESTROZA WILLIAM GARCÍA SANTOS ARMANDO MARTÍNEZ DE LA PEÑA ELIA MÉNDEZ VARGAS Ciencia
Más detallesModelo Atómico. Thompson (1898): Esfera uniforme de materia con carga (+) en la cual se encuentran embebidos los electrones con carga (-)
Modelo Atómico 1 Thompson (1898): Esfera uniforme de materia con carga (+) en la cual se encuentran embebidos los electrones con carga () Electrón Conceptos:» Neutralidad eléctrica» Carga elemental del
Más detallesPrincipios de Estructura de la Materia Equipo 4. Solución de la ecuación de Schrödinger para un rotor rígido
Principios de Estructura de la Materia Equipo 4 Ramírez Palma Lillian Gisela Rendón Gaytán Fernando Torres Alcalá Andrea Villanueva Sánchez Luis Felipe Solución de la ecuación de Schrödinger para un rotor
Más detallesQuímica Física II. Curso Serie L02. Problemas de una partícula
Química Física II. Curso 009-00. Serie L0. Problemas de una partícula. La función de onda de una partícula libre que se mueve en una dimensión con energía constante es Ψ k (x, t) = ψ k (x)e iωt = Ae ikx
Más detallesEXAMEN DE FÍSICA ATÓMICA Y MOLECULAR SEGUNDA SEMANA (MARTES 03 DE JUNIO 2014)
SEGUNDA SEMANA MARTES 03 DE JUNIO 014) Problema 1. Cuando un electrón libre que se mueve en el plano {X, Y } es sometido a un campo magnético estático cuya dirección coincide con el eje Z, los niveles
Más detallesFísica del Estado Sólido I. Tema 2: Enlace y propiedades de los materiales
Física del Estado Sólido I Tema : Enlace y propiedades de los materiales Tema : Enlace y propiedades de los materiales Introducción Qué interacción es responsable de la cohesión en los cristales? - La
Más detallesExamen de Física Cuántica I
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS 9 de Junio de 2017 Examen de Física Cuántica I Nombre y Apellidos: Firma y DNI: Los alumnos que se presentan a toda la asignatura tienen que
Más detallesFísica Cuántica Partículas idénticas.
Física Cuántica Partículas idénticas. José Manuel López y Luis Enrique González Universidad de Valladolid Curso 2004-2005 p. 1/18 Partículas idénticas Qué son varias partículas idénticas? Las que tienen
Más detallesEjemplos de interferencia
Tema 2_2 Ejemplos de interferencia El efecto fotoeléctrico Hipótesis de Plank: Sólo fotones con frecuencia mayor que un umbral Energía cinética del electrón emitido Qué tipo de partícula es el fotón?
Más detallesEl Atomo de Hidrógeno
1 El Atomo de Hidrógeno 2 * Huheey, J. E., Keiter, R. L., Keiter, E. A., Inorganic Chemistry: Principles of Structure and Reactivity, 4ª Ed., Harper Collins, 1993. Capítulo 2. * Moeller, T., Inorganic
Más detallesEL MODELO ATOMICO DE BOHR
EL MODELO ATOMICO DE BOHR En 1913, Niels Bohr ideó un modelo atómico que explica perfectamente los espectros determinados experimentalmente para átomos hidrogenoides. Estos son sistemas formados solamente
Más detallesÁtomos Hidrogenoides
Átomos Hidrogenoides Gonzalo Abal Instituto de Física Facultad de Ingeniería Montevideo, Uruguay August 18, 2004 Contents 1 Introducción 1 2 Potenciales con simetría esférica 2 2.1 Armónicos Esféricos.........................
Más detalles! Cómo procedió Schrödinger? " utilizaba la ecuación clásica de las ondas estacionarias " hipótesis de De Broglie:
Módulo 2865- Enlace Químico y Estructura de la Materia Responsable: Juan José Borrás (juan.j.borras@uv.es) Curso 25 6 Grupo E- Aula F- http://www.uv.es/~borrasj Tema 2 Estructura electrónica del átomo
Más detalles21. Efecto fotoeléctrico.
Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 21-1 21. Efecto fotoeléctrico. [Ynd 22.6; premio Nobel 1921 (Einstein)] Concepto. Ionización del hidrógeno. Se llama efecto fotoeléctrico a la emisión de electrones
Más detallesPROGRAMA DE LA ASIGNATURA A DESARROLLAR DURANTE EL TERCER TRIMESTRE (CURSO ).
ASIGNATURA: QUIMICA FÍSICA I. SEGUNDO CURSO. LICENCIADO EN QUIMICA. AREA DE CONOCIMIENTO: QUIMICA FISICA. PROGRAMA DE LA ASIGNATURA A DESARROLLAR DURANTE EL TERCER TRIMESTRE (CURSO 2008-2009). 1. PRINCIPIOS
Más detallesRespuestas del Control 1. Curso Noviembre 2008
NOMBRE y APELLIDOS... NOTA: En los cálculos numéricos tenga en cuenta la precisión de las constantes y de las magnitudes que se dan y dé el resultado con el número de cifras significativas adecuado. La
Más detallesSegundo cuatrimestre de Guía 4: 5 Teoría de perturbaciones
Física Teórica 2 Segundo cuatrimestre de 234 Guía 4: 5 Teoría de perturbaciones. Un oscilador armónico unidimensional está sujeto a la perturbación donde b es una constante real. V = bx, a Calcule el desplazamiento
Más detallesTema 2. Los átomos: estructura electrónica.
Tema 2. Los átomos: estructura electrónica. 1. Introducción. 2. Antecedentes de la mecánica ondulatoria. 3. Mecánica ondulatoria. 4. Orbitales atómicos. 5. Configuraciones electrónicas. 1. Introducción
Más detallesEl Atomo de Hidrógeno (1)
1 El Atomo de Hidrógeno (1) 2 * Huheey, J. E., Keiter, R. L., Keiter, E. A., Inorganic Chemistry: Principles of Structure and Reactivity, 4ª Ed., Harper Collins, 1993. Capítulo 2. * Moeller, T., Inorganic
Más detallesVibración y rotación en mecánica cuántica
Vibración y rotación en mecánica cuántica Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Ultima actualización de marzo de 017 Índice 1. Oscilador armónico monodimensional 1. Cuantización
Más detalles14. Átomos en campos e.m. externos. [Ynd ]
Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 14-1 14. Átomos en campos e.m. externos. [Ynd. 18.3-4] Átomo de hidrógeno en B = cte.: efecto Zeeman Hamiltoniano Supongamos un átomo de hidrógeno en un campo magnético
Más detallesEstructura electrónica molecular
Estructura electrónica molecular Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Ultima actualización 4 de noviembre de 2016 Índice 1. Aproximación de Born-Oppenheimer 1 2. Ion
Más detallesÍNDICE. Prólogo... 11
ÍNDICE Prólogo... 11 1. INTRODUCCIÓN... 15 1.1. La radiación electromagnética... 15 1.2. Ecuación de Rydberg... 20 1.3. Teoría atómica de Bohr... 22 1.4. La longitud de onda de de Broglie... 30 1.5. El
Más detallesEstructura Fina. (Multiplicidad) de las líneas atómicas (serie Balmer, por ejemplo). Exp λ 6563 Å Δλ =5.4 Å. predicción
Capítulo 8 Espín electrónico Estructura Fina. (Multiplicidad) de las líneas atómicas (serie almer, por ejemplo). predicción Exp. 3 λ 6563 Å Δλ =5.4 Å Efecto Zeeman (896). En un campo magnético el estado
Más detallesSOLO UNAS CUANTAS DE LAS ÓRBITAS DEL ÁTOMO PLANETARIO ESTÁN PERMITIDAS. 1) La energía total del átomo de Z protones está cuantizada.
Recapitulando sobre el modelo de Bohr SOLO UNAS CUANTAS DE LAS ÓRBITAS DEL ÁTOMO PLANETARIO ESTÁN PERMITIDAS 1) La energía total del átomo de Z protones está cuantizada E 4 π κ Z e m con n n h 1,,3,...
Más detallesVibración y rotación de moléculas diatómicas
C A P Í T U L O 7 Vibración y rotación de moléculas diatómicas [Contestar, razonando las respuestas brevemente (4-5 líneas).] 7.1. SEPARACIÓN DE BORN-OPPENHEIMER 7.1-1 Cual es la base física de la denominada
Más detalles! Parte I. " Introducción " Bases experimentales de la Mecánica Cuántica. ! Parte II
Módulo 865- Enlace Químico y Estructura de la Materia Responsable: Juan José Borrás (juan.j.borras@uv.es) Curso 7-8 Grupo D- Aula F9 http://www.uv.es/~borrasj Tema Estructura electrónica del átomo Parte
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA NOMBRE... APELLIDOS... CALLE... POBLACIÓN... PROVINCIA...C.P... QUÍMICA CUÁNTICA PRUEBA DE EVALUACIÓN A DISTANCIA Número de expediente 09534 09534 Química
Más detallesGráficas de las partes angulares En la figura presentamos la gráfica de la función s: (1/4π) 1/2
Gráficas de las partes angulares En la figura presentamos la gráfica de la función s: (1/4π) 1/2 La función s es un círculo porque siempre vale (1/4π) 1/2 independientemente del valor de los ángulos θ
Más detallesUNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Vicerrectorado Académico
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Vicerrectorado Académico 1.Departamento: FÍSICA 2. Asignatura: FISICA MODERNA I 3. Código de la asignatura: FS-3411 No. de unidades-crédito: 4 No. de horas semanales: Teoría 4
Más detallesESPECTROSCOPÍA VIBRACIONAL
ESPECTROSCOPÍA VIBRACIONAL Infrarrojo: La E entre estados vibracionales corresponde a la energía de la radiación infrarroja Espectros IR y la simetría molecular Cómo vibran las moléculas? Modelo: Modos
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA INFORME FINAL DEL TEXTO TEXTO: MECÁNICA CUÁNTICA II
Más detallesDISPOSITIVOS OPTOELECTRÓNICOS Tema 2: Fundamentos de mecánica cuántica
Tema : Fundamentos de mecánica cuántica DISPOSITIVOS OPTOELECTRÓNICOS Tema : Fundamentos de mecánica cuántica Lluís Prat Viñas Escola Tècnica Superior d Enginyers de Telecomunicació de Barcelona (ETSETB)
Más detallesENLACE ATÓMICO. Física del Estado Sólido. Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires Dr. Andrés Ozols. Enlace Atómico. Dr. A.
Física del Estado Sólido ENLACE ATÓMICO Dr. Andrés Ozols Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires 2009 Dr. A. Ozols 1 Dr. A. Ozols 1 ESPECTROS DE HIDROGENO espectros de emisión espectro de absorción
Más detallesEspectros atómicos. 1=c=197.3 MeV. fm = 1973 ev.å; si k=10 ev y r=10 Å, kr = 100/1973 < 0.05
EM2011, GRUPO D Conceptos atómicos Sirven como introducción los apuntes de FC2 de Joaquín Retamosa Se puede ampliar con el Brasden and Joachaim Physics of Atoms and Molecules, libro fácil de conseguir
Más detallesEL ÁTOMO MECANO CUÁNTICO Ecuación de Schrödinger y Orbitales atómicos
Obtención de la ecuación de Schrödinger Se parte de la ecuación de una onda ψ= Asen( ωt kx) en la cual Ψ es la elongación, A la amplitud, ω frecuencia angular, k el número de onda, y x la posición respecto
Más detallesPLANEACIÓN DEL CONTENIDO DE CURSO
PÁGINA: 1 de 5 FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS PROGRAMA DE QUÍMICA PLANEACIÓN DEL CONTENIDO DE CURSO 1. IDENTIFICACIÓN DEL CURSO NOMBRE : QUÍMICA CUÁNTICA CÓDIGO : 23415 SEMESTRE : SÉPTIMO NUMERO DE CRÉDITOS
Más detalles13. Partícula cargada en B =constante. Niveles de Landau.
Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 13-1 13. Partícula cargada en B =constante. Niveles de Landau. [Sak.6, Ynd 18., Lan 11] Partícula clásica en B=cte. B Supongamos una partícula con masa m y carga
Más detallesMecánica Cuántica. 3. Un electrón se mueve a velocidad 0,001c dentro de una caja unidimensional de 9.7 nm. Qué número cuántico tiene dicho electrón?
Mecánica Cuántica 1. Un electrón está confinado en una caja unidimensional de ancho a = 1,00 nm. Cuál es la probabilidad que el electrón esté entre x=0 y x=0,5 nm?. La función de onda para el primer estado
Más detallesDado que toda partícula se representa cuánticamente como una onda, ciertas variables físicas estarán objetivamente indeterminadas.
4.2 Mecánica Cuántica 4.2.1 Fotones Vista con detalle, la luz está formada por fotones: 4.2.2 Principio de Incertidumbre de Heissenberg Enunciados de De Broglie (adaptados): Ec 7 - Todas las partículas
Más detallesÍNDICE
ÍNDICE 1 Radiación térmica y el postulado de Planck... 17 1-1 Introducción... 19 1-2 Radiación térmica... 19 1-3 Teoría clásica de la cavidad radiante... 24 1-4 Teoría de Planck de la cavidad radiante...
Más detallesTEMA 1: Estructura Atómica
TEMA 1: Estructura Atómica 1. Configuraciones electrónicas. 2. Propiedades periódicas: Energía de activación Afinidad electrónica Electronegatividad Descripción mecánico- cuántica del átomo: Orbitales
Más detallesFotones-Propiedades corpusculares de la radiación 45
&C.A:tQ -~ 2 E. 'S 2ol~ c-t Contenido Radiación térmica y el postulado de Planck l 7 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 Introducción 19 Radiación térmica 19 Teoría clásica de la cavidad radiante 24 Teoría de
Más detallesORBITALES ATÓMICOS HIDROGENOIDES p
ORBITALES ATÓMICOS HIDROGENOIDES p La enseñanza del tema de orbitales atómicos en la Química de Enseñanzas Medias, siempre es muy problemática, por la interpretación matemática de la función de onda, de
Más detallesQuímica General e Inorgánica I. Unidad 2. Estructura atómica y molecular
Química General e Inorgánica I Unidad 2 Estructura atómica y molecular Bohr usted cree en un Dios que juega a los dados Powler Piccard De Donder Schrödinger Verschaffelt Pauli Heisenberg Brillouin Henriot
Más detallesA) NOMBRE DE CADA CURSO O ACTIVIDAD CURRICULAR B) DATOS BÁSICOS DEL CURSO C) OBJETIVOS DEL CURSO MECÁNICA CUÁNTICA II (OPTATIVA) Pág.
A) NOMBRE DE CADA CURSO O ACTIVIDAD CURRICULAR MECÁNICA CUÁNTICA II (OPTATIVA) B) DATOS BÁSICOS DEL CURSO Semestre Horas de teoría Horas de práctica Horas trabajo Créditos por semana por semana adicional
Más detalles