Aplicaciones de la derivada (II)

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1 UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre l ecución crtesin de l rect tngente en cd uno de los puntos ( 3 9), (0 0) (1 1). Después de encontrr ls ecuciones, hg un representción gráfic de ( ), trce ls tres rects mencionds, reslte clrmente los tres puntos menciondos compruebe geométricmente los resultdos.. Se ( ) l función definid por ( ) = Encuentre todos los puntos de l gráfic de ( ) en donde l rect tngente es horizontl. Hg un representción gráfic de ( ) tomndo, como ventn de visulizción, el rectángulo 1 5 4, como unidd de escl, centímetros. Reslte los puntos de l gráfic encontrdos trce ls respectivs rects horizontles que psn por ellos. Compruebe que en efecto cd un de ests rects es tngente l gráfic de ( ) en el punto respectivo. 3. Resuelv l mism pregunt del ejercicio nterior pr l función ( ) definid por ( ) = 5 +1 Pr representr gráficmente ( ) tome, como ventn de visulizción, el rectángulo, como unidd de escl, 1 centímetro Se ( ) = +1. Encuentre l ecución de l rect tngente l gráfic de ( ) en un punto rbitrrio ( ( )) de ell. Demuestre que l rect tngente en culquier punto de l curv siempre tiene pendiente negtiv. Hg un representción gráfic de l función ( ), seleccione lgunos puntos de dich gráfic, encuentre ls correspondientes ecuciones de ls rects tngentes, trce ests últims compruebe que tods quedn inclinds hci bjo. 5. Se ( ) = + + donde son constntes reles dds. Encuentre los vlores de de tl mner que l rect =3 se tngente l gráfic de ( ) en el punto ( 6). Después de resolver el problem nlíticmente, hg un representción gráfic de ( ), trce l rect =3 compruebe geométricmente que en efecto est rect es tngente l gráfic de ( ) en el punto ( 6).

2 Ejercicios 6. Sen ( ) = + + ( ) = 3 donde, son constntes reles dds. Encuentre los vlores de, de tl mner que ls gráfics de ( ) ( ) se intersecten en el punto (1 ) tengn l mism rect tngente en ese punto. Después de clculr los vlores de ls constntes, hg un representción gráfic de ( ) ( ) en el mismo plno, reslte el punto (1 ), trce l rect tngente l gráfic de ( ) en el punto (1 ) (pr lo cul tendrá que hllr primero l ecución de dich tngente) compruebe geométricmente que en efecto ls dos gráfics se intersectn en el punto (1 ) tienen l mism tngente en dicho punto. 7. Se ( ) = + + donde, son constntes reles dds con 6= 0. Encuentre todos los puntos de l gráfic de ( ) en los cules l rect tngente es perpendiculr l rect = +3. Después de resolver el problem nlíticmente, hg un representción gráfic de ( ), trcels rects tngentes en considerción compruebe geométricmente sus resultdos nlíticos. 8. Demuestre que l rect = es tngente l gráfic de l función ( ) = Encuentre el punto de tngenci. Demuestre que est rect tngente intersect l gráfic de ( ) en otro punto (no necesrimente punto de tngenci). Después de relizr mbs demostrciones, represente gráficmente l función ( ) l rect =. Tome, como ventn de visulizción, el cudrdo , como unidd de escl, 1 centímetro. Compruebe geométricmente los resultdos demostrdos. 9. Encuentre l ecución crtesin de l rect tngente l curv pln de ecución =0 en cd uno de los puntos de corte de est curv con los ejes coordendos. L siguiente figur muestr l prte de l curv en l ventn de visulizción Páginde5

3 Aplicciones de l derivd (II) 10. Encuentre l ecución de l rect tngente l curv de ecución +log =0 en el punto 1 0.Lsiguientefigurmuestrlprtedelcurvenlventndevisulizción ( e - 1,0) Se l curv representd por l ecución = 3 donde es un constnte rel positiv. Est curv se denomin un stroide o tmbién un hipocicloide de cutro cúspides. L figur siguiente muestr un gráfic de est curv. (Inmeditmente se entiende por qué se llm stroide. El segundo nombre se debe que es l curv que describe un punto fijo de un circunferenci de rdio 4 que rued sin resblr por l prte interior de otr circunferenci de rdio.) Se =( 0 0 ) unpuntoculquierdelstroidedistintodesuscutro vértices ( 0), (0 ), ( 0) (0 ). Demuestre que el segmento de l rect tngente en, comprendido entre los ejes de coordends, tiene longitud. Págin3de5

4 Ejercicios C - P = (, ) Págin4de5

5 Aplicciones de l derivd (II) Respuests Rects tngentes 1. = 6 9 =0 = Ã + 9 5! Ã µ 1 7 3! 9 + (3 1) = p ( )+ ( ) ( +1) 5. = 1 =4 6. =1 =0 = 1 µ 7. Solo h un punto que cumple l condición dd: El punto de tngenci es (3 3). L rect tngente tmbién cort l gráfic de ( ) en el punto (0 0) Ã! Los puntos de corte de l curv con los ejes coordendos son (0 1) 0. Ls ecuciones crtesins de ls rects tngentes son, respectivmente, = +1 = =0 Págin5de5

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