APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "APLICACIONES DE LAS DERIVADAS"

Transcripción

1 UNIDAD APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 98 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes: A B C D E F G f convea f cóncava f' decreciente f' creciente f'' < 0 f'' > 0 CD f convea f' decreciente f" < 0 DE f cóncava f' creciente f" > 0 EF f convea f' decreciente f" < 0 FG f cóncava f' creciente f" > 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

2 Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: La función está definida en [0, 7]. Solo toma valores positivos. Pasa por los puntos (0, ), (, ) y (7, ). En el intervalo (, ), la función es convea. En el intervalo (, ), f''> 0. En el intervalo (, 6), f' es decreciente. En el intervalo (6, 7), f es cóncava Página 00. Halla las rectas tangentes a la curva: y en los puntos de abscisas 0,,. Calculamos la derivada de la función: y' (5 + 6)( ) ( ) ( ) Ordenadas de los puntos: y(0) 0; y() ; y() 50 Recta tangente en (0, 0): y'(0) 8 y 8 Recta tangente en (, ): y'() 9 y 9( ) 9 + Recta tangente en (, 50): y'() y 50 + ( ) ( ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas

3 . Halla las rectas tangentes a la circunferencia: + y + y 0 en los puntos de abscisa 0. Obtención de las ordenadas correspondientes: + y + y y 6 + y 0 y + y 0 ± ± 00 y ± 0 y Punto (, ) y 7 Punto (, 7) Para hallar la pendiente en esos puntos, derivamos implícitamente: + yy' + y' 0 y'(y + ) y' y + y + Así: y'(, ) ; y'(, 7) 5 5 Recta tangente en (, ): y ( ) Recta tangente en (, 7): y 7 + ( ) Página 0. Dada la función y 9 + 5, averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece. y' 6 9 ( ) ( )( + ) a) < y' > 0 f es creciente en (, ) > y' > 0 f es creciente en (, + ) b) < < y' < 0 f es decreciente en (, ) Página 0. Comprueba que la función y /( ) tiene solo dos puntos singulares, en 0 y en 6. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada. Unidad. Aplicaciones de las derivadas

4 y' ( ) ( ) ( )(( ) ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) y' 0 ( 6) 0 ( 6) ( ) 0 6 f'( 0,0) > 0 f'(0,0) > 0 En 0 hay un punto de infleión. f'(5,99) < 0 f'(6,0) > 0 En 6 hay un mínimo relativo. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y +. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Ídem para y a) y' + ( + ) y' 0 0 Punto (0, 0) Punto (, ) Dos puntos singulares. Los dos puntos están en el intervalo [ ;,5], donde la función es derivable. Además, f ( ) 7 y f (,5),7. En (0, 0) hay un punto de infleión. En (, ) hay un máimo relativo. b) y' ( +)( +)( +) y' 0 Punto (, 0) Punto (, ) Punto (, 0) Los tres puntos están en el mismo intervalo [, 0], donde la función es derivable. Además, f ( ) f (0) 9. Hay un mínimo relativo en (, 0), un máimo relativo en (, ) y un mínimo relativo en (, 0). Tres puntos singulares. 9 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

5 Página 05. Estudia la curvatura de la función: y f'() ; f''() Punto (0, 5) f''() 0 ( ) 0 Punto (, 7 ) ( f'''() 7 8; f'''(0) 0; f'''( ) 0) Los puntos (0, 5) y (, ) son puntos de infleión. 7 La función es cóncava en (, 0) U (, + ), pues f''() > 0. La función es convea en el intervalo ( ) 0,, pues f''() < 0.. Estudia la curvatura de la función: y f'() + 9; f''() 6 f''() Punto (, ) ( f'''() 6; f'''() 0) El punto (, ) es un punto de infleión. La función es convea en (, ), pues f''() < 0. La función es cóncava en (, + ), pues f''() > 0. Página 07. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. Llamamos al número que buscamos. Ha de ser > 0. Tenemos que minimizar la función: 5 f () + f'() 5 5 f (5) (no vale, pues >0) (Como f () +, f () +, y la función es continua en (0, + ); hay 0 + un mínimo en 5). + Por tanto, el número buscado es 5. El mínimo es 0. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

6 . De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 0 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máima. + y 0 y 0 y (0 ) Área 0, 0 < < 0 Tenemos que maimizar la función: f () 0 y, 0 < < 0 0 f'() y ( 5 f (0) 0; f (0) 0; f (5) ; y f es continua. Luego, en 5 está el máimo). Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máima es de,5 cm.. Entre todos los rectángulos de perímetro m, cuál es el que tiene la diagonal menor? d (6 ) +, 0 < < 6 d 6 Tenemos que minimizar la función: f () (6 ) +, 0 < < 6 (6 ) + f'() + (6 ) + (6 ) + f'() (6 ) + ( f (0) 6; f (6) 6; f () 8,; y f () es continua. Luego, en hay un mínimo). El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado m.. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Suponemos el recipiente con dos tapas: V 6,8 l 6,8 dm h r πr r h Área total πrh + πr πr(h + r) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 6

7 Como V π r h, r h 6,8 h 6,8 h, r r Así: Áreal total πr ( + r) ( π + r ) r Tenemos que hallar el mínimo de la función: f (r) π ( + r ), r >0 f'(r) π ( + r ) π ( ) 0 + r 0 r (Como f (r) +, f (r) +, y f es continua en (0, + ); en r hay r 0 + un mínimo). r r r h El cilindro tendrá radio dm y altura dm. r r + r + r r Página 08. Calcula, aplicando L Hôpital: a) sen ( + cos ) b) 0 cos 0 a) ( ) 0 e e sen 0 0 e + e cos b) ( ) 0 sen ( + cos ) cos e e sen cos ( + cos ) + sen ( sen ) cos + ( sen ). Calcula: a) e + b) 0 a) e + e b) ( ) ( ) e Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

8 Página 09. Aplica L Hôpital: (cos + sen ) / 0 Para poner (cos + sen ) / en forma de cociente, tomamos logaritmos en f () (cos + sen ) /. 0 (ln[ f ()]) ( ln(cos + sen )) ( ). Calcula: ( / ) + + Página ( sen + cos )/(cos + sen ) f () e e 0 ( / ) ( ) + ( / ln ) ln ln + / / ln(cos + sen ) / ( / ) ln ( / ). a) Eplica por qué y sen cumple las hipótesis del T. de Rolle en el intervalo [0, π]. b) En qué punto se verifica la tesis del teorema de Rolle? a) y sen es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. Además, f (0) f (π) 0. Por tanto, cumple las hipótesis del teorema de Rolle b) y' cos 0 (0, π) π Página. Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función: f () + en [, ] Calcula el valor correspondiente a c. f () es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. Veamos dónde cumple la tesis: f (b) f (a) b a f ( ) f ( ) 6 6 ( ) + Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8

9 f'() 6 La tesis se cumple en c.. Repite el ejercicio anterior para la función g () +. g() es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. Veamos dónde cumple la tesis: g(b) g(a) b a g( ) g( ) 0 ( 9) 9 ( ) + g'() ± + 0 ± ± Por tanto, se cumple la tesis en c. ±,9,5. Demuestra que f () cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [, 6]. En qué punto cumple la tesis? f () si < si f () ( ) 5 f () ( + 0 9) 5 f () es continua en. + f () 5 Luego, f () es continua en el intervalo [, 6]. (Para está formada por dos polinomios). Veamos si es derivable: si < f'() + 0 si > En, tenemos que f'( ) f'( + ). Por tanto, la función es derivable en (, 6). Su derivada es: si f'() + 0 si > Luego, se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

10 Veamos dónde cumple la tesis: f (6) f () 6 5 f'(c) La tesis se cumple en c. 5. Aplicando el teorema de Rolle, demuestra que + b 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [, ] cualquiera que sea el valor de b. (Hazlo por reducción al absurdo: empieza suponiendo que hay dos raíces en ese intervalo). f () + b es continua en [, ] y derivable en (, ). 9 f'() 0 La derivada solo se anula en y en. Supongamos que f () tiene dos raíces en [, ], sean c y c. Por el teorema de Rolle, como f (c ) f (c ) 0, eistiría un c (c, c ) tal que f'(c) 0. Pero f'() solo se anula en y en, que no están incluidos en (c, c ), pues c, c. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto, + b 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [, ], cualquiera que sea el valo de b. 6. Calcula p, m y n para que: f () + p si m + n si 5 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, 5]. Dónde cumple la tesis? Represéntala. Si, la función es continua, pues está formada por polinomios. Su dominio es [, 5]. En, para que sea continua, ha de ser: f () ( + p) 9 + p f () (m + n) m + n 9 + p m + n + f () m + n 9 + p Unidad. Aplicaciones de las derivadas 0

11 Si (, 5) y, su derivada es: f'() + p si < < m si < < 5 Para que f () sea derivable en, ha de ser: f'( ) 6 + p f'( + ) m 6 + p m Para que se cumplan las hipótesis del teorema de Rolle, además, debe tenerse que f ( ) f (5); es decir: f ( ) p f (5) 5m + n p 5m + n Uniendo las tres condiciones anteriores, tenemos que: 9 + p m + n 6 + p m p 5m + n Con estos valores: 8 m ; n 9; p 0 f'() (, 5) 5 La tesis se cumple en c. f () 0 + si < < 8 si < si si 5,8 5 5, Página. Demuestra que: Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f'() < 0 para (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]. Si tomamos dos puntos cualesquiera < de [a, b], se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [, ] y, por tanto, su tesis: f ( ) f ( ) f'(c) < 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

12 Se deduce que f ( ) f ( ) < 0 y, por tanto, f ( ) < f ( ). La función es, pues, decreciente en [a, b].. Demuestra que: Si f'( 0 ) 0 y f''( 0 ) < 0, entonces f presenta un máimo en 0. Si h < 0, entonces: Si h > 0, entonces: f'( f''( 0 ) 0 + h) f'( 0 ) f'( 0 + h) < 0 h h h 0 h 0 f'( 0 + h) > 0 f es creciente a la izquierda de 0 () f'( 0 + h) < 0 f es decreciente a la derecha de 0 () Por () y (), f presenta un máimo en 0, ya que es creciente a la izquierda de 0 y decreciente a su derecha. Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) y ln (tg ) en b) y sen 5 en c) + y 8y en π a) Ordenada en el punto: y 0 8 ( + tg π Pendiente de la recta: y' y'( ) tg 8 ) Recta tangente: y ( ) π 8 π b) Ordenada en el punto: y 6 π 8 π 6 π Unidad. Aplicaciones de las derivadas

13 Pendiente de la recta: 5 cos 5 π y' y'( ) 5( /) sen 5 6 / Recta tangente: y ( ) π c) Ordenadas en los puntos: + y 8y y 8y ± 6 60 y Pendiente de las rectas: 8 ± y 5 Punto (, 5) y Punto (, ) + yy' 8y' 0 y'(y 8) y' y 8 y y'(, 5) 5 y'(, ) Recta tangente en (, 5): y 5 ( ) y + 7 Recta tangente en (, ): y + ( ) y + Halla las tangentes a la curva y paralelas a la recta + y 0. S La pendiente de la recta + y 0 es m. Buscamos los puntos en los que la derivada sea igual a : y' ( ) ( ) + + y' ( + ) ( ) 0 0 Punto (0, 0) Punto (, ) Recta tangente en (0, 0): y Recta tangente en (, ): y ( ) y + 8 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

14 Escribe las ecuaciones de las tangentes en los puntos que se indican (si en algún caso no se puede, indica por qué): a) y Sh e e en 0 y ln b) y + + en 0 c) y ( + ) sen en 0 y π a) y' e + e En 0 f (0) 0; f'(0) y En ln f (ln ) ; f'(ln ) 5 y + ( ln ) + b) y' ; f'(0) ; f (0) y + c) Hallamos la derivada tomando logaritmos: ln y ln( + ) sen ln y sen ln( + ) y' y cos ln( + ) + sen + y' ( + ) [ sen cos ln( + ) + sen ] + En 0: f (0) ; f'(0) 0 y En π: f (π) ; f'(π) ln(π + ) y ln(π + ) ( π) 5 S Halla un punto de la gráfica y en el cual la recta tangente sea paralela a y + 8. La pendiente de la recta y + 8 es m. Buscamos un punto en el que la derivada valga : f'() + f'() + y 7 El punto es (, 7). Unidad. Aplicaciones de las derivadas

15 5 Halla una recta que sea tangente a la curva: S y + y que forme un ángulo de 5 con el eje de abscisas. Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal? Si forma un ángulo de 5 con el eje de abscisas, su pendiente es tg 5. Buscamos un punto en el que la derivada valga : f'() f'() y 9 La recta es: y + ( ) y + Veamos si hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal; es decir, en el que la derivada valga cero: f'() 0 y Punto (, ) 9 6 Obtén la ecuación de la recta tangente paralela al eje de abscisas en las siguientes curvas: a) y ln b) y e c) y sen Una recta paralela al eje de abscisas tiene pendiente cero. a) y' ln + ln + y' 0 ln + 0 ln e y e e La recta tangente en el punto (, ) es: y e e e b) y' e + e ( + )e. Como e 0 para todo : y' ( + ) 0 0 Punto (0, 0) Punto (, /e ) En el punto (0, 0), la recta tangente es: y 0 En el punto ( ), e, la recta tangente es: y e c) y' cos y' 0 cos 0 π π + πk + πk y π π + πk + πk y Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

16 π En los puntos ( + πk, ), con k Z, la recta tangente es: y π En los puntos ( + πk, ), con k Z, la recta tangente es: y 7 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y y en el punto (, ). Para hallar la derivada tomamos logaritmos: y y y ln + ln y ln y ln + ln y 0 Derivamos: y' y' ln + y + ln y + 0 y y' y ln + y + y ln y + y' 0 y'(y ln + ) y y ln y y' y y ln y y ln + y'(, ) Por tanto, la ecuación de la recta tangente en (, ) es: y ( ); es decir, y + 8 Halla el punto de la gráfica de y en el que la tangente forme un ángulo de 60 con el eje X. Escribe la ecuación de esa tangente. Si forma un ángulo de 60 con el eje X, su pendiente es tg 60. Buscamos un punto en el que la derivada valga : y' y' y El punto es (, ). La recta tangente en ese punto será: y + ( ) y + y + Unidad. Aplicaciones de las derivadas 6

17 Máimos y mínimos. Puntos de infleión 9 Halla los máimos, mínimos y puntos de infleión de las siguientes funciones: S a) y b) y ( 8) c) y d) y + e) y f) y e ( ) + a) f'() + 9 f'() 0 ( ± 6 + ) 0 ± y 0 y Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en (, 0) y un máimo en (, ). Puntos de infleión: f''() 6 0 y Como f''() < 0 para < y f''() > 0 para >, el punto (, ) es un punto de infleión. b) y 8 f'() f'() 0 ( ) 0 0 y 0 y (/) f' < 0 f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en (, ). f''() 0 ( ) 0 0 y 0 / y (6/8) f'' > 0 f'' < 0 f'' > Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

18 c) f'() 6 f'() 0 ( 6) 0 0 y 0 / y (7/6) f' < 0 f' < 0 f' > Hay un mínimo en (, ). f''() ( ) 0 0 y 0 y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). d) f'() f'() 0 ( + ) 0 0 y 0 f' < 0 f' > 0 0 Hay un mínimo en (0, 0). f''() + 0 para todo. No hay puntos de infleión. e) f'() ( + ) f'() y f' > 0 f' < 0 0 Hay un máimo en (0, ). f''() ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 ( + ) ( + ) 6 ( + ) f''() 0 ± ± ± y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8

19 Hay un punto de infleión en (, ) y otro en (, ). f) f'() e ( ) + e e ( + ) e f'() 0 e 0 0 (pues e 0 para todo ) y f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un mínimo en (0, ). f''() e + e e ( + ) f''() 0 y e f'' < 0 f'' > 0 e Hay un punto de infleión en (, ). 0 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y di si tienen máimo o mínimos: S a) y b) y c) y d) y + + a) y. Dominio Á {, } f'() 0 0 ( ) Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: crece en (, ) U (, 0) decrece en (0, ) U (, + ) ( ) tiene un máimo en 0, Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

20 b) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + + ( + ) ( + ) 5 ( + ) f'() > 0 para todo. Por tanto, la función es creciente en (, ) U (, + ). No tiene máimos ni mínimos. c) y. Dominio Á + f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) f'() > Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 0 La función: decrece en (, 0) crece en (0, + ) tiene un mínimo en (0, 0) d) y. Dominio Á {0} f'() ( ) + + f'() 0 para todo 0. f'() > 0 para todo 0. La función es creciente en (, 0) U (0, + ). No tiene máimos ni mínimos. Halla los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de las siguientes funciones: S 8 a) y b) y + c) y ( ) d) y e) y 9 f) y 8 ( ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 0

21 8 a) y 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() ( ) (8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 6 ± ± ± 8 6 / Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 f' > 0 La función: es creciente en (, 0) U ( ) 0, es decreciente en (, ) U (, ) 9 tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en ( ), b) y +. Dominio Á {, } U (, + ) f'() ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f'() Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, 0) es decreciente en (0, ) U (, + ) tiene un máimo en (0, ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas

22 c) y. Dominio Á {, } f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 0 Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, ) tiene un punto de infleión en (0, 0) d) y. Dominio Á {} f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) f'() 0 ± 6 ± + 0 ± Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

23 La función: es creciente en (, ) U (, ) es decreciente en (, ) U (, + ) tiene un mínimo en (, ) tiene un máimo en (, 9) e) y 9. Dominio Á f'() 6 9 ( ) ± + ± 6 f'() 0 Signo de la derivada: ± f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) tiene un máimo en (, 5) tiene un mínimo en (, 7) f) y 8 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() 8( 6) 8( 6) ( ) ( ) 8( 6) ( ) f'() Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f' < 0 La función: es creciente en (0, ) es decreciente en (, 0) U (, ) U (, + ) tiene un máimo en (, ) S Estudia la concavidad, conveidad y puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y + b) y 6 c) y ( ) d) y e e) y + f) y ln ( + ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas

24 a) y +. Dominio Á f'() ; f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 0 La función: es convea en (, 0) es cóncava en (0, + ) tiene un punto de infleión en (0, ) b) y 6. Dominio Á f'() ; f''() f''() 0 ( ) 0 Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 La función: es cóncava en (, ) U (, + ) es convea en (, ) tiene un punto de infleión en (, 5) y otro en (, 5) c) y ( ). Dominio Á f'() ( ) ; f''() ( ) f''() 0 f''() > 0 para Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de infleión. d) y e. Dominio Á f'() e + e ( + )e ; f''() e + ( + )e ( + )e f''() 0 (e 0 para todo ) Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

25 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) tiene un punto de infleión en ( ), e) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + ( +) ( +) f''() 6 ( +) e ( +) f''() 0 para todo. Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) no tiene puntos de infleión f) y ln( +). Dominio (, + ) f'() f''() + ( +) f''() < 0 para (, + ) Por tanto, la función es convea en (, + ). PARA RESOLVER Estudia si las siguientes funciones tienen máimos, mínimos o puntos de infleión en el punto de abscisa : a) y + ( ) b) y + ( ) c) y ( ) 6 d) y + ( ) 5 a) f'() ( ) ; f''() 6( ) f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

26 b) f'() ( ) ; f''() ( ) f' < 0 f' > 0 f'' > 0 f'' > 0 Hay un mínimo en. c) f'() 6( ) 5 ; f''() 0( ) f' > 0 f' < 0 f'' < 0 f'' < 0 Hay un máimo en. d) f'() 0( ) ; f''() 0( ) f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en. Página Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto ( ),. Comprueba que el segmento de esa recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia. f'() ; f'() 9 Ecuación de la recta tangente en (, ) : y ( ) 9 Puntos de corte de la recta tangente con los ejes coordenados: 0 y Punto ( ) 0, y 0 6 Punto (6, 0) dist [( ), ( )], 0, ( 0) + ( ) dist [( ), ], (6, 0) (6 ) + ( ) 0 8 Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8 La distancia es la misma. 6

27 5 Dada la parábola y, encuentra un punto en el que la recta tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0, 0) y (, 8). La cuerda que une los puntos (0, 0) y (, 8) tiene pendiente: 8 m Buscamos un punto de la función y en el que la derivada valga : f'() 6 f'() 6 El punto es (, ). 6 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y 0 en su S punto de infleión. Hallamos su punto de infleión: f'() ; f''() f''() 0 6 f'' < 0 f'' > 0 6 Hay un punto de infleión en (, ) Pendiente de la recta tangente en ese punto: f'( ) 6 Ecuación de la recta tangente: 7 y ( ) Estudia los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la función dada por: y + ± ± f () f'() + si < + si + si > + si < si < < + si > Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

28 En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). Veamos dónde se anula la derivada: + 0 Pero f'() + para < y >. 0 y f'() para < < Por tanto f'() se anula en. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, 0) y otro en (, 0). 8 Estudia la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos de la función y. f () f'() si < + si si > si < si < < si > En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). La derivada se anula en 0. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 La función tiene un máimo relativo en (0, ). No tiene máimo absoluto ( f () f () + ). + Tiene un mínimo relativo en (, 0) y otro en (, 0). En estos puntos, el mínimo también es absoluto, puesto que f () 0 para todo. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8

29 9 Halla el valor de c de modo que la función y tenga un único etremo relativo. + c S Se trata de un máimo o de un mínimo? f'() e ( + c) e e ( + c ) ( + c) ( + c) e f'() 0 + c 0 ± c Para que solo haya un etremo relativo, ha de ser: c 0 c En este caso sería: e y ; f'() + e ( +) ( +) f'() 0 f'() > 0 si f () es creciente si. Hay un punto de infleión en. 0 Estudia el crecimiento de la función: f () e (cos + sen ) y determina los máimos y mínimos de la función para [0, π]. Consideramos la función: f () e (cos + sen ) para [0, π]. Calculamos la derivada: f'() e (cos + sen ) + e ( sen + cos ) e ( cos ) e cos f'() 0 cos 0 Signo de la derivada: π π (para [0, π]) f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π π π La función: es creciente en [ ) 0, π ( U π, π] π π es decreciente en (, ) π tiene un máimo en (, e ) π/ ( ) tiene un mínimo en π, eπ/ Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

30 Dada la función y a + b a, calcula los valores de a y b sabiendo que la función tiene dos puntos de infleión, uno en y otro en /. f'() a + 9b 6 a f''() a + 8b 6 f''() 0 a + 8b 6 0 f''(/) 0 a + 9b 6 0 a + b 0 a + b 0 Restando las igualdades: a + 0 a Sustituyendo en la -ª ecuación: b 0 b Sea f () a + b + c + d un polinomio que cumple f () 0, f'(0) S y tiene dos etremos relativos para y. a) Halla a, b, c y d. b) Son máimos o mínimos los etremos relativos? a) f () a + b + c + d f'() a +b + c f () 0 a + b + c + d 0 a + b + d a f'(0) c c b f'() 0 a + b + c 0 a + b c f'() 0 a + b + c 0 6a +b d Así: f () 5 + ; f'() + ( ) ( ) 6 b) Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' > Hay un máimo para y un mínimo para. La curva y + a + b + c corta al eje de abscisas en y tiene un S punto de infleión en (, ). Calcula a, b y c. y + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a Unidad. Aplicaciones de las derivadas 0

31 f ( ) 0 + a b + c 0 a b + c a 6 f () 8 + a + b + c a + b + c 7 b f''() 0 + a 0 a 6 c De la función f () a + b sabemos que pasa por (, ) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta + y 0. a) Halla a y b. b) Determina sus etremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 0 a) f () a + b; f'() a + b f () a + b f'() a + b a b f () + b) f'() 6 + f'() 0 ( ) 0 Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 La función: es decreciente en ( ), ( U, + ) es creciente en ( ), tiene un mínimo en ( ), tiene un máimo en (, ) 5 La función f () + a + b + c verifica que f (), f'() 0 y que f no tiene etremo relativo en. Calcula a, b y c. Si es f'() 0 y no hay etremo relativo, tiene que haber una infleión en. f () + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a Unidad. Aplicaciones de las derivadas

32 f () + a + b + c f'() 0 + a + b 0 f''() a 0 a b c 0 f () + 6 Sea f () + a + b + 5. Halla a y b para que la curva y f () tenga S en un punto de infleión con tangente horizontal. Si en tiene un punto de infleión con tangente horizontal, ha de ser f'() f''() 0. f () + a + b +5 f'() + a + b f''() 6 + a f'() 0 + a + b 0 f''() a 0 a b f () La curva y + α + β + γ corta al eje OX en y tiene un punto de S infleión en (, ). Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje OX. f () + α + β + γ; f'() + α + β; f''() 6 + α f () 0 + α + β + γ 0 f () 7 + 9α + β + γ f''() α 0 α 9 β γ 6 Así: f () 9 + 6; f'() 8 + Puntos con tangente horizontal: 8 ± 88 8 ± 6 f'() Los puntos son (, 0) y (, ). 8 ± Halla los puntos de la curva y + en los que la recta tangente a esta pase por el punto (0, 8). Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes. La ecuación de la tangente es y f (a) + f'(a) ( a), donde f (a) a + a y f'(a) a +. Sustituye en la ecuación de la tangente y haz que esta pase por (0, 8). La ecuación de la tangente en (a, f (a)) es y f (a) + f'(a)( a). Unidad. Aplicaciones de las derivadas

33 Como f(a) a + a y f'(a) a +, queda: y a + a + ( a +) ( a) Si la recta tangente pasa por (0, 8): 8 a + a + ( a +) ( a) 8 a + a a a a 6 a a 6 Hay dos puntos: (, 6) y (, 6) a a Recta tangente en (, 6): f'( ) y 6 + ( + ) y 8 Recta tangente en (, 6): f'() 6 y 6 + 6( + ) y Halla los puntos de la curva y 5 + en los que la recta tangente a S ella pase por el origen de coordenadas. Escribe las ecuaciones de dichas tangentes. y 5 + ; f'() 6 5 La recta tangente en un punto (a, f (a)) es: y f (a) + f'(a)( a); es decir: y a 5a + + (6a 5) ( a) Para que pase por el origen de coordenadas, ha de ser: 0 a 5a + + (6a 5) ( a) 0 a 5a + 6a + 5a a a Hay dos puntos: (, ) y (, ) Recta tangente en (, ): f'( ) 7 y 7( + ) y 7 Recta tangente en (, ): f'() 7 y + 7( ) y 7 a a Unidad. Aplicaciones de las derivadas

34 0 Dada la función f () + : S a) Halla la ecuación de la recta tangente a f en un punto cualquiera a. b) Halla el valor o valores de a para que dicha recta pase por el punto P (0, 0) (eterior a la curva). a) f () + ; f'() La recta tangente en a es: y f (a) + f'(a)( a); es decir y a a + +(a ) ( a) b) Para que la recta pase por (0, 0) será: 0 a a + + (a ) ( a) 0 a a + a + a a a a Página Halla el ángulo que forman las rectas tangentes a las funciones f () y g() en el punto de abscisa : f () g() Recuerda que el ángulo de dos rectas se puede calcular así: tg α m m + m donde m, y m son las pendientes de las rectas. m La pendiente de la recta tangente a f () en es: f'() f'() La pendiente de la recta tangente a g() en es: g'() g'() El ángulo que forman las dos rectas será: 6 tg α α 5 Halla el dominio de definición, máimos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a) y ln b) y + a) y ln. Dominio (0, + ) f'() ln + ln + ( ln + ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas

35 f'() 0 ( ln + ) 0 0 (no vale, pues no está en el dominio) ln + 0 ln e / e Signo de la derivada: 0 f' < 0 f' > 0 e / La función: es decreciente en (0, e / ) es creciente en (e /, + ) tiene un mínimo en ( e /, e ) b) y +. Dominio Á + f'() (La función no es derivable en 0 ni en ). ( + ) f'() Signo de la derivada: f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f' > 0 La función: es decreciente en (, ) es creciente en (, + ) tiene un mínimo en (, ) Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0 cm, cuál es el de área S máima? Perímetro + y 0 y 0 Altura h y (c ) (0 ) y h Área y h (0 ) 0 5 (5 ) 0 5 (5 ) (0 5) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

36 Tenemos que maimizar la función área: f () f'() f'() ( ) 0 5 ± ± 5 5 ± 5 5 (no vale) 0 ( 5 no vale, pues quedaría y 0, al ser perímetro 0) (f'() > 0 a la izquierda de 0 y f'() < 0 a la derecha de 0. Por tanto, en 0 hay un máimo). Luego, el triángulo de área máima es el equilátero de lado 0 cm, cuya área es 5, cm. Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 0 cm y de capacidad máima. Cuál debe ser el radio de la base? h R 0 cm h + R 00 R 00 h (consideramos la raíz positiva, pues h 0). Volumen πr h π (00 h )h π (00h h ) Tenemos que maimizar la función volumen: f (h) π (00h h ) f'(h) π (00 h ) f'(h) 0 00 h 0 h ( f'(h) > 0 a la izquierda de h y f'(h) < 0 a la derecha de h Luego, en h hay un 00 máimo). Por tanto, el radio de la base será: R 00 h R Unidad. Aplicaciones de las derivadas 6

37 5 S Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8dm. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie eterior sea mínima. Volumen y 8 dm y 8 y Superficie y Tenemos que hallar el mínimo de la función superficie: f () + f'() + + f'() y (En hay un mínimo, pues f'() < 0 para < y f'() > 0 para > ). Por tanto, la caja ha de ser un cubo de lado dm. 6 En un triángulo isósceles de base cm (el lado desigual) y altura 0 cm, se S inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales: a) Epresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base,, y di cuál es el dominio de la función. b) Halla el valor máimo de esa función. a) A Los triángulos ABC y DEC son semejantes; luego: A B 0 cm AB BC EC DE cm y D B E C Como AB 0 cm BC 6 cm 0( ) 5( ) 0( ) y y 6 DE y EC tenemos que: y y Por tanto, el área del rectángulo es: (60 5) A y A() puede tomar valores entre 0 y. Por tanto, el dominio de A() es: Dominio (0, ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

38 b) Hallamos el máimo de A(): 60 0 A'() 6 A'() y 5 (En 6 hay un máimo, pues A'() > 0 para < 6 y A'() < 0 para > 6). El máimo de la función A() se alcanza en 6, que corresponde al rectángulo de base 6 cm y altura 5 cm. En este caso, el área es de 0 cm (que es el área máima). 7 De todos los rectángulos de área 00 dm, halla las dimensiones del que S tenga la diagonal mínima. d Área y 00 dm y La diagonal mide: d + y Tenemos que minimizar la función: d() y d'() d'() y 0 (En 0 hay un mínimo, pues d'() < 0 a la izquierda de 0 y d'() > 0 a la derecha de 0). Por tanto, la diagonal mínima corresponde al cuadrado de lado 0 dm. + ( 00 ) Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de m y la altura relativa a ese lado de 5 m. Encuentra un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima. altura 5 m d d d 6 6 Unidad. Aplicaciones de las derivadas La suma de las distancias a los tres vértices es: S d + d Pero: d + 6 y d 5 Por tanto: S()

39 Tenemos que minimizar la función S(): S'() S'() (consideramos solo la raíz positiva, pues 0). (En hay un mínimo, pues S'() < 0 a la izquierda de este valor y S'() > 0 a su derecha). Por tanto, el punto buscado se encuentra a m de la base, situado sobre la altura. 9 Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máimo. y Perímetro cartulina +y 60 + y 0 0 y Volumen πy πy (0 y) π(0y y ) Tenemos que maimizar la función: V(y) π(0y y ) V'(y) π(60y y ) V'(y) 60y y 0 y(0 y) 0 y 0 (no vale) y 0 0 (En y 0 hay un máimo, pues V'(y) > 0 a la izquierda de este valor y V'(y) < 0 a su derecha). Los lados de la cartulina medirán 0 cm y 0 cm. 0 El punto P (, y) recorre la elipse de ecuación: + S 5 9 Deduce las posiciones del punto P para las que su distancia al punto (0, 0) es máima y también aquellas para las que su distancia es mínima. y D P(, y) y La distancia de P a (0, 0) es: D + y 5 5 Como P es un punto de la elipse: 5 + y ( ) y Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

40 Así, la distancia es: D() ( ) El dominio de la función es el intervalo [ 5, 5]. Hallamos el máimo y el mínimo de D(): D'() D'() 0 0 (En 0 hay un mínimo relativo, pues D'() < 0 para < 0 y D'() > 0 para > 0). Veamos el valor de D() en 0 y en los etremos del intervalo [ 5, 5]: D(0) ; D( 5) D(5) 5 Por tanto, las posiciones de P que nos dan la distancia máima son P(5, 0) y P( 5, 0); y las que nos dan la distancia mínima son P(0, ) y P(0, ). S En un cuadrado de lado 0 cm queremos apoyar la base de un cilindro cuya área lateral es 50 cm. Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea el mayor posible? Área lateral cilindro πrh 50 cm 50 h πr El volumen del cilindro es: h V πr h πr 50 πr 5r V(r) 5r Al estar apoyada la base sobre el cuadrado, tenemos r que el dominio de V(r) es el intervalo (0, 5]. 0 cm 0 cm Tenemos que maimizar V(r) 5r, con r (0, 5]. Como V(r) es una función creciente, su máimo se alcanza en r 5. Dada la función f: [, e] Á definida por f () + ln, determina cuáles de las rectas tangentes a la gráfica de f tienen la máima S pendiente. La pendiente de la recta tangente a f () en a es f'(a). Tenemos que hallar el máimo de: f'() +, [, e] Unidad. Aplicaciones de las derivadas 0

41 Calculamos la derivada de f'(); es decir, f''(): f''() f''() 0 0 [, e] (En hay un máimo relativo de f'(), pues f''() > 0 a la izquierda de ese valor y f''() < 0 a su derecha). Hallamos f'() en y en los etremos del intervalo [, e]: f'() 0,5; f'() 0; f'(e) e 0, e Por tanto, la recta tangente con pendiente máima es la recta tangente en. La hallamos: f () + ln ; f'() La recta es: y + ln + ( ) Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total S 5 cm. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo. h r Área total πrh + πr 5 cm h 5 πr πr Volumen πr h πr 5 πr r(7 πr ) 7r πr πr Tenemos que maimizar la función V(r) 7r πr : V'(r) 7 πr V'(r) 0 7 πr 0 r 7 9 r π π π (En r hay un mínimo, pues V'(r) < 0 a la izquierda de este valor y π V'(r) > 0 a su derecha). 6 Para r h, dimensiones del cilindro de volumen máimo. π π Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado material, pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible. Unidad. Aplicaciones de las derivadas

42 y Volumen y 80 cm y 80 Para la tapa y el lateral z /cm Para la base,5z /cm El precio total será: P z( + y) +,5z( ) z( + ) +,5 z 0 z( + ) +,5 z z( + +,5 ) 0 z(,5 + ) 0 80 Tenemos que minimizar la función que nos da el precio: 0 P() z(,5 + ) P'() z( ) ( ) 5 0 z 5 0 P'() y 5 (En hay un mínimo, pues P'() < 0 a la izquierda de ese valor y P'() > 0 a su derecha). El envase debe tener la base cuadrada de lado cm y 5 cm de altura. 5 Entre todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia de 0 cm de S diámetro, cuál es el de área máima? 0 cm h La base mide 0 cm. El área es: 0 h Área 5h; h (0, 5]. El de área máima será el que tenga la máima altura; es decir, h 5 cm. Su área es 5 cm. Página 6 Con una lámina cuadrada de 0 dm de lado se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máimo. Si la altura de la caja no puede pasar de dm, cuál es la medida del lado del cuadrado que debemos recortar? Unidad. Aplicaciones de las derivadas

43 0 dm 0 dm 0 0 El volumen de la caja es: V() (0 ), (0, 5) Tenemos que maimizar esta función: V() (0 ) (00 + 0) V'() ( 0 + 5) 0 ± ± 00 V'() ± (no vale) 5/ (En 5/ hay un máimo, pues la derivada es positiva a la izquierda de este valor y es negativa a su derecha). Por tanto, el lado del cuadradito es 5/. Si la altura no puede pasar de dm; es decir, si (0, ), obtenemos el mismo resultado: 5/. 7 Dado r > 0, prueba que entre todos los números positivos e y tales que + y r, la suma + y es máima cuando y. Como + y r y nos dicen que y > 0, entonces: y r Así, la suma es: S + y + r Tenemos que maimizar la función S() + r : S'() + r r r r S'() 0 r r r r Como >0 r (En r hay un máimo, pues S'() > 0 a la izquierda de ese valor y S'() < 0 a su derecha). Hallamos y: y r r r r Por tanto, la suma es máima cuando y. r Unidad. Aplicaciones de las derivadas

44 8 El valor, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t viene dado por f(t) 9 (t ), 0 t,5. Deduce en qué valor de t alcanzó su máimo valor y en qué valor de t alcanzó su valor mínimo. Derivamos la función f (t): f'(t) (t ) Los puntos críticos son: f'(t) 0 (t ) 0 t 0 t La función f tiene un punto crítico en (, 9). f''(t) f''(t) < 0 (, 9) es un máimo. Además, como la función es una parábola con las ramas hacia abajo, el mínimo se alcanzará en uno de los etremos del intervalo: f (0) 5 f (,5),75 (,5;,75) es un mínimo. Por tanto, el máimo se alcanza para t y el mínimo para t,5. 9 De todas las rectas que pasan por el punto (, ), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. Las rectas que pasan por el punto (, ) son de la forma: y + m( ) (, ) Hallamos los puntos de corte con los ejes de la recta: Con el eje Y 0 y m Punto (0, m) Con el eje X y 0 Punto ( m m ), 0 El área del triángulo es: A(m) ( ) ( ( m) ) ( m ) + m m m m Hallamos el mínimo de la función: A'(m) ( ) + m + m m m (no vale) A'(m) 0 m + 0 m (m no vale, pues no formará un triángulo en el primer cuadrante la recta con los ejes). Unidad. Aplicaciones de las derivadas

45 (En m hay un mínimo, pues A'(m) < 0 a la izquierda de ese valor y A'(m) > 0 a su derecha). Por tanto, la recta es: y ( ); es decir: y + 50 Calcula la generatriz y el radio que debe tener un bote cilíndrico de leche condensada, cuya área total (incluyendo las dos tapas) es de 50 cm, para que su volumen sea máimo. g Área total πrg + πr 50 cm g 50 πr πr Volumen πr g πr 50 πr 75r πr πr r Tenemos que maimizar el volumen: V(r) 75r πr ; V'(r) 75 πr V'(r) 0 75 πr 0 r 75 5 π π (Solo consideramos la raíz positiva, pues r > 0). 5 π 5 (En r hay un máimo, pues V'(r) > 0 a la izquierda de ese valor y π V'(r) < 0 a su derecha). 5 Por tanto: r y g π 0 π 5 Dos postes de y 8 m de altura distan entre sí 0 m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los etremos de estos. Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima? La longitud total del cable es: m 8 m L() + + (0 ) + 8 ; es decir: 0 0 m L() L'() ( 0) + ( + ) ( 60 + ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

46 L'() ( 0) ( 0) + ( 60 + ) ( 0) ( + ) 60 + ( )( + ) ± ± ± 7 60 (no vale) (En hay un mínimo, pues L'() < 0 a la izquierda de ese valor y L'() > 0 a su derecha). Por tanto, el punto del suelo debe situarse a m del poste de m (y a 8 m del poste de 8 m). 5 Calcula el punto de la curva y + en el que la pendiente de la recta tangente sea máima. La pendiente de la recta tangente a f () hallar el máimo de f'(). f'() ( + ) + en es f'(). Tenemos que f''() ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 ( + ) ( + ) f''() ± 6 ( + ) f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 f'() f'() 0 + En hay un máimo (absoluto) de f'() y en hay un mínimo (absoluto) de f'(). Por tanto, el punto en el que la pendiente de la recta tangente es máima es: ( ), Unidad. Aplicaciones de las derivadas 6

47 5 Dentro del triángulo limitado por los ejes OX y OY y la recta + y 8, se S inscribe un rectángulo de vértices (a, 0), (0, 0), (a, b) y (0, b). Determina el punto (a, b) al que corresponde el rectángulo de área máima. 8 b + y 8 (a, b) El punto (a, b) es un punto de la recta + y 8. Por tanto, a + b 8; es decir, b 8 a. Como el rectángulo está inscrito en el triángulo, a (0, ). El área del rectángulo es: Área a b a (8 a) 8a a, a (0, ) a Tenemos que maimizar la función: A(a) 8a a, a (0, ) A'(a) 8 a 0 a b (En a hay un máimo, pues A'(a) > 0 a la izquierda de este valor y A'(a) < 0 a su derecha). Por tanto, el punto es (, ). 5 Calcula, utilizando la regla de L Hôpital, los siguientes ites, que son del S 0 tipo ( 0 ) : a) + sen b) ln (e + ) c) 0 0 cos a d) b arctg e) f) 0 0 sen 0 ln ( + ) g) ln (cos ) h) i) sen j) ( sen ) 0 a) b) ln (e + ) e e + sen cos c) 0 cos 0 sen Hallamos los ites laterales: cos cos ; + 0 sen 0 + sen e e sen cos cos () Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

48 a d) b a ln a b ln b a ln a ln b ln 0 0 b 6 arctg ( + e) + ( + ) ) 0 sen 0 cos 0 sen 0 cos e f) e e e sen cos sen 0 cos 0 sen e e sen cos + e sen sen 0 0 cos sen cos tg g) ln (cos ) ( + tg ) 9 0 ln ( + ) + h) ( + ) i) cos () cos () sen () sen sen sen sen cos 0 0 cos sen + cos sen cos + cos sen j) ( ) Calcula los siguientes ites: a) cos ln (tg ) b) (cos + sen ) / (π/) 0 c) (tg ) cos d) (e + ) / π/ 0 e) ( + ) / + f) ln ( ) + g) ( sen ) cotg h) ( ) tg Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8

49 a) cos ln (tg ) (0 + ) ( ) (π/) + tg tg + tg cos ( + tg ) (π/) sen (π/) tg (π/) tg cos cos tg cos ( + ) 0 0 (π/) (π/) ln (tg ) cos + + b) (cos + sen ) /. Tomamos logaritmos: 0 ln (cos + sen ) / ln (cos + sen ) sen + cos cos + sen Por tanto: (cos + sen ) / e 0 c) (tg ) cos. Tomamos logaritmos: π/ ln (tg ) cos cos ln (tg ) π/ π/ (*) 0 (*) (ver apartado a)) Por tanto: (tg ) cos e 0 π/ d) (e + ) /. Tomamos logaritmos: 0 ln (e + ) / ln (e + ) e e + Por tanto: (e + ) / e 0 e) ( + ) /. Tomamos logaritmos: + ln ( + ) / ln ( + ) Por tanto: ( + ) / e 0 + f) ln ( ) ln ( + ) ln ( + ) + ln [ ( + ) ] ln e Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

50 g) ( sen ) cotg ( sen ) /tg. Tomamos logaritmos: 0 0 cos ln ( sen ) /tg ln ( sen ) sen 0 0 tg 0 ( + tg ) Por tanto: ( sen ) cotg e / 0 h) ( ) tg. Tomamos logaritmos: 0 0 ln ( ) tg tg ln ( ) sen ( ln ) [tg ( ln )] 0 0 cos ln sen cos sen 0 0 cos sen sen Por tanto: ( ) tg e Halla los siguientes ites: S tg 8 a) b) c) cos + cos 0 e π/ sec a) cos sen 0 0 e 0 e tg 8 cos b) π/ sec + 0 π/ sen π/ sen cos c) cos + sen + cos Página 5 57 Calcula los siguientes ites: tg a) ( ) b) ( ) 0 sen π/ cos (/π) c) e ( ) e e Unidad. Aplicaciones de las derivadas 50

51 a) ( ) 0 sen cos + cos sen b) ( ) π/ sen cos 0 tg (/π) sen sen 0 cos sen + cos (/π) tg cos π/ (cos ) ( (/π)) /π cos + tg sen cos π/ sen ( (/π)) + cos ( /π) /π 0 Hallamos los ites laterales: π/ f (), f () + ( siendo f () ). e e e e e e + e (e e)( ) e e (e e)( ) c) ( ) π/ + cos tg (/π) e e e e e ( ) + (e e) e ( ) + e + e e 58 Calcula: a) (e / + e / ) b) (e / + e / ) a) (e / + e / ). Tomamos logaritmos: 0 + ln (e / + e / ) ln (e / + e / ) (0 + ) e / ( / ) + e / ( / ) ln (e / + e / ) e / + e / 0 + / 0 + / e / + e (*) e / + / 0 + e / + e / 0 + e / + ( (*) Dividimos numerador y denominador entre e / ). Por tanto: (e / + e / ) e 0 + b) (e / + e / ). Tomamos logaritmos: 0 0 ln (e / + e / ) ln (e / + e / ) (0 ) 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

52 ln (e / + e / ) e / + e (*) + e / / 0 / 0 e / + e / 0 + e / ( (*) Dividimos numerador y denominador entre e / ). Por tanto: (e / + e / ) e e 0 CUESTIONES TEÓRICAS 59 La gráfica adjunta corresponde a la función derivada, f', de una función f. a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f y di si tiene máimo o mínimo. f'() b) Estudia la concavidad y conveidad de f. Tiene punto de infleión? a) Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f'( ) 0 Por tanto, la función f es decreciente en (, ) es creciente en (, + ) tiene un mínimo en. b) Como f'() es una recta con pendiente, entonces f''() > 0. Por tanto, f es una función cóncava. No tiene puntos de infleión. 60 Encuentra una función f cuya gráfica no sea una recta y en la que eistan infinitos puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f sea y. f () cos Veamos que la recta tangente a f () en los puntos de la forma πk, con k Z, es y. f (πk) cos (πk) f'() sen f'(πk) sen (πk) 0 La recta tangente es: y Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

53 b 6 Sea f () a +, con a y b números positivos. Demuestra que el valor mínimo de f en (0, + ) es ab. f'() a b a b f'() 0 a b 0 ± f''() b f''( ) > 0 b a en b a hay un mínimo. f''( ) < 0 b a en b a hay un máimo. Además, f () + y f () b a Luego, en b a se encuentra el mínimo absoluto de f (). Este mínimo vale: b a b a a b b a f ( ) a a b Es decir, el mínimo de f () en (0, + ) es ab. b b/a ab ab ab 6 Si la función f tiene derivadas primera y segunda y es f'(a) 0 y f''(a) 0, puede presentar f un máimo relativo en el punto a? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí puede presentar un máimo. Por ejemplo: f () en 0 es tal que: f' > 0 f' < 0 0 f'() f''() Por tanto: f'(0) 0 y f''(0) 0 En (0, 0) hay un máimo relativo. 6 Una función f es decreciente en el punto a y derivable en él. Puede ser f'(a) > 0? Puede ser f'(a) 0? Puede ser f'(a) < 0? Razónalo. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

54 Si f es decreciente en a y es derivable en él, entonces f'(a) 0. Lo probamos: f decreciente en a signo de [ f () f (a)] signo de ( a) f () f (a) < 0 a f () f (a) Por tanto, f'() 0; es decir: f'(a) 0 a a Ejemplo: f'(a) es decreciente en Á y tenemos que: f'() f'(0) 0 (y f () es decreciente en 0) f'(0) < 0 para 0 6 Si la derivada de una función f es positiva en el punto 0, es decir, f'(0) > 0, para qué valores de h se puede afirmar que el incremento f (h) f (0) es negativo? f'(0) h 0 f (h) f (0) h > 0 signo de [ f (h) f (0)] signo de h (para h próimo a cero ) Luego, si f (h) f (0) < 0, ha de ser h < La función (valor absoluto de ), presenta un mínimo relativo en algún punto? En qué puntos es derivable? Razónalo. si 0 si < 0 f () ; f'() si > 0 si > 0 f () no es derivable en 0, pues f'(0 ) f'(0 + ). Por tanto, f es derivable para 0. y Pero f () presenta un mínimo relativo en 0, pues f (0) 0 < f () si 0. De hecho, es el mínimo absoluto de f (). 66 En la ecuación de la recta y m + b, eplica cómo se determinarían los números m y b para que sea tangente a la gráfica de la función y f () en el punto en que esta tiene de abscisa p. La ecuación de la recta tangente a y f () en p es: y f (p) + f'(p) ( p); es decir: y f'(p) +[f (p) p f'(p)] Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

55 Por tanto, si la recta es y m + b, tenemos que: m f'(p); b f (p) p f'(p) 67 Un polinomio de er grado a + b + c + d tiene un máimo relativo en S el punto p. Ese máimo relativo, puede ser máimo absoluto de la función? Razónalo. Un polinomio de tercer grado no tiene máimo absoluto. Veamos por qué: Si f () a + b + c + d, con a > 0, entonces: f () + f () no tiene máimo absoluto. + Si f () a + b + c + d, con a < 0, entonces: f () + f () no tiene máimo absoluto. 68 Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable, puede haber dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b)? Razónalo. No es posible, si la función es derivable (y nos dicen que lo es, pues f'() > 0 para todo ). Lo probamos por reducción al absurdo: Supongamos que eisten dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b). f () es derivable para todo. Por el teorema de Rolle, habría un punto c, en el que f'(c) 0. Esto contradice el que f'() > 0 para todo. 69 Si f''() > 0 para todo del dominio de f, qué podemos decir de la gráfica de f? Será una función cóncava. 70 De una función f sabemos que f'(a) 0, f''(a) 0 y f'''(a) 5. Podemos S asegurar que f tiene máimo, mínimo o punto de infleión en a? f tiene un punto de infleión en a. Veamos por qué: f'''(a) 5 > 0 f'' es creciente en a. Como, además, f''(a) 0, tenemos que f''() < 0 a la izquierda de a y f''() > 0 a su derecha. Es decir, f () cambia de convea a cóncava en a. Por tanto, hay un punto de infleión en a. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 55

56 7 Si f'(a) 0, cuál de estas proposiciones es cierta? S a) f tiene máimo o mínimo en a. b) f tiene una infleión en a. c) f tiene en a tangente paralela al eje OX. Si f'(a) 0, solo podemos asegurar que f tiene en a tangente horizontal (paralela al eje OX). Podría tener un máimo, un mínimo o un punto de infleión en a. Por tanto, solo es cierta la proposición c). Página 6 7 Si y f () es una función creciente en a, se puede asegurar que g() f () es decreciente en a? f () f (a) f () es creciente en a > 0. a Como g() f (), tenemos que: g() g(a) a f () + f (a) a g() es decreciente en a f () f (a) a ( ) < 0 7 Se tiene la función: S f () si si 0 Prueba que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en [, 0] y calcula el o los puntos en los que se cumple el teorema. Veamos que f () es continua en [, 0]: Si f () es continua, pues está formada por dos funciones continuas. Si : + f () ( ) f () ( ) f() es continua en f() Por tanto, f () es continua en [, 0]. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 56

57 Veamos que f () es continua en [, 0]: Si y (, 0), f es derivable. Su derivada es: si < < f'() si < < 0 En, tenemos que: f'( ) f'( + ) Por tanto f () es derivable en (, 0). Su derivada es: si < f'() si < 0 Como f () cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [, 0], eiste f (0) f ( ) / ( /) algún punto, c (, 0) tal que f'(c). 0 ( ) Calculamos c: f'() si < f'() si < 0 (, 0) Por tanto, hay dos soluciones: c y c (, ) (, ) 7 Es posible calcular a, b, c para que la función: 5 + si < f () a + b + si cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, c]? Calculamos a y b para que f () sea continua y derivable. Continuidad: Si f () es continua, pues está formada por dos polinomios. En, tenemos que: Unidad. Aplicaciones de las derivadas 57

58 f () (5 + ) 6 f () (a + b +) a + b + + f() a + b + Para que sea continua, ha de ser: a + b + 6, es decir, a + b. Derivabilidad: Si f () es derivable. Además: f'() En, tenemos que: 5 si < a + b si > f'( ) 5 f'( + ) a + b Para que sea derivable, ha de ser: a + b 5 Con las dos condiciones obtenidas, hallamos a y b para que f () sea continua y derivable: a + b a + b 5 b a a + a 5 a b Con estos valores de a y b, queda: 5 + si < 5 si < f () f'() + + si + si f'() > 0 para todo Á f () es creciente No eiste ningún valor de c tal que f (0) f (c) No eiste ningún c tal que f () cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en [0, c]. 75 La función y 5 +, cumple las hipótesis del teorema del valor S medio en el intervalo [0, ]? En caso afirmativo, di cuál es el 0 que cumple la tesis. f () 5 + es continua en [0, ] y derivable en (0, ); luego cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [0, ]. Veamos en qué punto, o puntos, cumple la tesis: f'() 0 + f () f (0) 6 ( ) f'() ± ± 5 0 ± ± Hay dos puntos: 0 5 y 5 + Unidad. Aplicaciones de las derivadas 58

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

Demuestra que el punto de tangencia, T, es el lugar de la recta r desde el que se ve el segmento AB con ángulo máximo.

Demuestra que el punto de tangencia, T, es el lugar de la recta r desde el que se ve el segmento AB con ángulo máximo. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Resuelve Página 7 Optimización Una persona se acerca a una estatua de m de altura. Los ojos de la persona están m por debajo de los pies de la escultura.

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 0 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 8 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0

Más detalles

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en un punto

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4 CÁLCULO. Curso 2003-2004. Tema 7. Derivabilidad.. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las funciones: {, si 0 (a) e, si > 0 2 +, si > 0 (b), si = 0 2. Dada la función (c) 2 si < 0 e, si > 0 2

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress. FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVAVILIDAD 1- Sea : definida por a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN 9- DERIVADAS - DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de - en o = utilizando la definición Solución: y '() = -6 Calcula

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?.

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?. ejerciciosyeamenes.com EXAMEN DERIVADAS. Estudia la derivabilidad de la función si f ()= si > 3. )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg() tiene pendiente?. 4. Ecuación de la recta tangente

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3. 6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 7 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 67 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2 Unidad. Derivadas Resuelve Página 0 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de flas cada décima de segundo (0, s) durante

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)

Más detalles

tiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo.

tiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo. Selectividad CCNN 006. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f() = -. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Calcula los etremos relativos

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?

Más detalles

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad página / Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad Hoja. Calcula la derivada de f ()= +3 8 +9 +3. Encuentra tres números no negativos que sumen 4 y tales que uno sea doble de otro y la

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD . Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES REALES

DERIVADA DE FUNCIONES REALES . Recta tangente a una curva DERIVADA DE FUNCIONES REALES Consideremos la curva y = f() correspondiente a una función continua y en ella dos puntos distintos P( ; y ) y Q( ; y ). PQ es una recta secante

Más detalles

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x) CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto

Más detalles

DERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3]

DERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3] 1 DERIVABILIDAD 1. Definir derivada y derivadas laterales de una función en un punto. Probar que la función f es derivable en =1 y que la derivada lateral por la derecha en =0 es infinito. para [0, 1)

Más detalles

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 75 REFLEIONA RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la

Más detalles

1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1) 3 (x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1. +2x+2. x 3

1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1) 3 (x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1. +2x+2. x 3 [4] [EXT-A] a) La derivada de la función f() es: (-) (-) Determine la función f() sabiendo que f() = b) Determine el límite: lim + ++ ++ + [4] [EXT-B] a) Dadas las funciones f() = y g() = - +, determine

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación

Más detalles

1 Problemas de Optimización

1 Problemas de Optimización 1 Problemas de Optimización Eercise 1.1 Hallar un número positivo ue sumado con su inverso nos dé una suma mínima Si llamamos a dicho número; entonces la epresión ue nos permite calcular la suma de él

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución:

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución: RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I Departamento de Matemáticas 1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º BAC Aplicaciones de las derivadas

MATEMÁTICAS 1º BAC Aplicaciones de las derivadas . Queremos construir una caja abierta, de base cuadrada y volumen 56 litros. Halla las dimenones para que la superficie, y por tanto el coste, sea mínimo.. Entre todos los rectángulos de área 6 halla el

Más detalles

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2 Integrales. Calcular las siguientes integrales: i) d ii) d 6 iii) sen d i) Operando se tiene: d = / / / / d = 7 / / / / / = c = c 7 7 ii) Ajustando constantes se tiene: d 6d = 6 c 6 6 iii) Haciendo el

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2) Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del

Más detalles

Ejercicios resueltos. 4 continua en R luego continua en cualquier. , [ 1,1] = 0 que equivale a decir 1,1

Ejercicios resueltos. 4 continua en R luego continua en cualquier. , [ 1,1] = 0 que equivale a decir 1,1 Teoremas de continuidad y derivabilidad Ejercicios resueltos.- Demostrar que la siguiente ecuación tiene una solución en el intervalo, : 4 º. Se considera la función 4 continua en R luego continua en cualquier

Más detalles

3. y = (2x+1)2 2x+3. x, x < 2 x+1, x 2

3. y = (2x+1)2 2x+3. x, x < 2 x+1, x 2 Derivadas. Dada la siguiente función, calcular, por la definición, la derivada que se indica:. f() = - ; f (-). f() = ; f (0). f() = ln ; f () 4. f() = - ; f (0) 5. f() = +, < 0, 0 ; f (0) 6. f() = sen,

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

Derivadas Parciales. Aplicaciones.

Derivadas Parciales. Aplicaciones. RELACIÓN DE PROBLEMAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Curso 2004/2005 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola Departamento de Matemática Aplicada I Tema 3. Derivadas Parciales. Aplicaciones.

Más detalles

Definición 1. Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal c ) no existe.

Definición 1. Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal c ) no existe. CALCULO DIFERENCIAL Definición. Una función f ( ) tiene un máimo absoluto (o máimo global) en c si f ( c ) f ( ) D, donde D es el dominio de f. El numero f ( c ) se llama valor máimo de f en D. De manera

Más detalles

Funciones reales. Números complejos

Funciones reales. Números complejos Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica

Más detalles

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS Página PARA EMPEZAR, RELEXIONA Y RESUELVE Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas Completa la siguiente tabla, en la que α es el ángulo que forman las generatrices con el

Más detalles

RELACION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.

RELACION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97. RELACION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - De una función continua f: R R se sabe que F: R R es una primitiva suya, entonces también lo es la

Más detalles

Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6

Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 página 1/13 Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 Hoja 1 1. Dado el segmento de extremos A( 7,3) y B(5,11), halla la ecuación de su mediatriz. 2. Halla la distancia del punto

Más detalles

Aplicaciones de la derivada 7

Aplicaciones de la derivada 7 Aplicaciones de la derivada 7 ACTIVIDADES 1. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es 12. b) La pendiente de la recta tangente es 3. 2. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es. b)

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA

APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA Matemáticas º Bachillerato APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA CRECIMIENTO DECRECIMIENTO, CONCAVIDAD CONVEXIDAD Sea y = f() una función continua cuya gráfica es la de la figura. DEFINICIÓN

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

Problemas de selectividad. Análisis

Problemas de selectividad. Análisis Departamento de Matemáticas Página 1 Problemas de selectividad. Anális 14.01.- De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm, determina las dimenones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Más detalles

Representaciones gráficas

Representaciones gráficas 1 MAJ99 Representaciones gráficas 1. Se considera la función 3 f ( ) 1 60 3 (a) Hállense sus máimos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente.

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio

Más detalles

RELACIÓN 3a DE EJERCICIOS. MATEMÁTICAS 1. INGENIERÍA QUÍMICA.

RELACIÓN 3a DE EJERCICIOS. MATEMÁTICAS 1. INGENIERÍA QUÍMICA. RELACIÓN 3a DE EJERCICIOS. MATEMÁTICAS 1. INGENIERÍA QUÍMICA. 1. Sea f : IR IR definida por f() = 2 + 1, IR. Probar, utilizando la definición, que f es derivable en cualquier punto de IR. Encontrar los

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 Página 160 PRCTIC Ángulos 1 Calcula la medida de X en cada figura: a) 180 139 40' b) 180 17 a) b) ^ 40 0' X^ ^ ^ X^ ^ 53 Calcula la medida de X en cada caso: a) ^ ^ 140 ^ 150 b) ^ X^ ^ c) ^ 33 ^

Más detalles

Derivadas e integrales

Derivadas e integrales Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................

Más detalles

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría

Más detalles

EXAMEN A: Ejercicio nº 1.- Página 1 de 25 Indica el valor de los ángulos señalados en cada figura: Ejercicio nº 2.- La siguiente figura es una esfera de centro C y radio 3 unidades. Cómo definirías dicha

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros

Más detalles

1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6

1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6 ejerciciosyeamenes.com PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES Representación gráfica Monotonía Curvatura - Asíntotas 1. Dadas las funciones siguientes, 6 + 1 a) b) = c) = 1 + d) + 4 1 = e) = f) = 1 g) + 1 + 1 = h) = i) =, 1 +

Más detalles

1. y = 3x 5-4x y = x+ln x 3. y = 2x 2 -e 2 4. y = xe x 5. y = x x 6. y = x+2 x-2

1. y = 3x 5-4x y = x+ln x 3. y = 2x 2 -e 2 4. y = xe x 5. y = x x 6. y = x+2 x-2 Colección A.. Calcula la derivada de las siguientes funciones:. y = 5-4 -4. y = +ln. y = -e 4. y = e 5. y =. y = + 7. y = ln 8. y = e + 9. y = (+) 0. y =. y = e -. y = (-)e - e. y = - 4. y = ln 5. y =

Más detalles

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula. f(x) f(a) x a. x a

La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula. f(x) f(a) x a. x a 3 Derivación 3.. La derivada La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula f (a) = lím a f() f(a) a El cociente f() f(a) a es la pendiente de la recta secante a la función

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(,) a las coordenadas del punto genérico aplicando analíticamente

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas 11 Aplicaciones de las derivadas 1. Representación de funciones polinómicas Piensa y calcula Calcula mentalmente: a) lím ( 3 3) b) lím ( 3 3) +@ a) + @ b) @ @ Aplica la teoría Representa las siguientes

Más detalles

Cálculo de derivadas

Cálculo de derivadas 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa

Más detalles

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid! CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,

Más detalles

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 página 1/20 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 Hoja 2. Problema 2 Resuelto por Carmen Jiménez Cejudo (diciembre 2014)

Más detalles

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=

Más detalles

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E1000. (1) Sea f(x) una función cuya derivada es

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E1000. (1) Sea f(x) una función cuya derivada es CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 ) Sea f) una función cuya derivada es f ) = 3 3 4 3+) 50 + 6 y con dominio igual al de su derivada. Determine los intervalos de monotonía

Más detalles

Funciones. Rectas y parábolas

Funciones. Rectas y parábolas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: el perímetro. el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = Indica cuál de las siguientes gráficas

Más detalles

DIBUJO TÉCNICO II EJERCICIOS DE APOYO. Prof. Jesús Macho Martínez

DIBUJO TÉCNICO II EJERCICIOS DE APOYO. Prof. Jesús Macho Martínez DIBUJO TÉCNICO II EJERCICIOS DE APOYO Esta obra de Jesús Macho Martínez está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported 1º.- Deducir razonadamente el valor del ángulo α marcado

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. 1. Ángulos. 2. Razones trigonométricas de ángulos agudos

TRIGONOMETRÍA. 1. Ángulos. 2. Razones trigonométricas de ángulos agudos TRIGONOMETRÍA 1 Ángulos Hasta ahora se han considerado los ángulos como la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con el origen común De esta manera, el ángulo está comprendido entre 0 y 360

Más detalles

PRESENTACIÓN TODOS LOS APUNTES Y HOJAS DE EJERCICIOS ESTÁN EN EL BLOG QUE HE CREADO PARA MIS CLASES:

PRESENTACIÓN TODOS LOS APUNTES Y HOJAS DE EJERCICIOS ESTÁN EN EL BLOG QUE HE CREADO PARA MIS CLASES: PRESENTACIÓN TODOS LOS APUNTES Y HOJAS DE EJERCICIOS ESTÁN EN EL BLOG QUE HE CREADO PARA MIS CLASES: http://espaiescolar.wordpress.com CONCEPTOS PREVIOS PROPORCIONALIDAD Recta: línea continua formada por

Más detalles

LA RECTA Y SUS ECUACIONES

LA RECTA Y SUS ECUACIONES UNIDAD LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivo. Recordarás

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a

Más detalles

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 139

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 139 ÁGIN 9 ág. RTI Figuras semejantes uáles de estas figuras son semejantes? uál es la razón de semejanza? F F F F es semejante a F. La razón de semejanza es. a) Son semejantes los triángulos interior y eterior?

Más detalles

LA DERIVADA. Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x 2 en el intervalo [0,2] Solución

LA DERIVADA. Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x 2 en el intervalo [0,2] Solución LA DERIVADA INTRODUCCIÓN El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,

Más detalles

Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3

Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3 EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 6y 0. Represéntala gráficamente. Para calcular la pendiente, despejamos la y: 6y 0

Más detalles

f(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR.

f(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR. Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema Funciones derivables. Derivada de una función en un punto Definición 4.- Se dice que f: (a, b IR es derivable en el punto (a, b si f( f( = L IR es decir,

Más detalles

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE 1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora: a) Cuántos

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS

Más detalles

Derivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.

Derivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN. Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en

Más detalles

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios:

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios: TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia.

Más detalles