Demuestra que el punto de tangencia, T, es el lugar de la recta r desde el que se ve el segmento AB con ángulo máximo.

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1 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Resuelve Página 7 Optimización Una persona se acerca a una estatua de m de altura. Los ojos de la persona están m por debajo de los pies de la escultura. A qué distancia se debe acercar para que el ángulo, φ, bajo el cual ve la estatua sea máimo? Hay una hermosa resolución por métodos geométricos. Obsérvala: Se traza una circunferencia que pasa por los puntos A y B y es tangente a la recta r. B A O T r Demuestra que el punto de tangencia, T, es el lugar de la recta r desde el que se ve el segmento AB con ángulo máimo. Para probar que el ángulo trazado desde el punto de tangencia T es el mayor posible entre todos los trazados desde puntos de la recta usaremos la siguiente propiedad: Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. Sea P un punto cualquiera situado sobre la recta r (análogamente se razonaría si se encuentra en la posición de Q). Unimos el punto P con A y B y obtenemos el punto de corte P ' con la circunferencia. % % El ángulo APB % % es menor que el ángulo AP' B pero AP' B= ATB porque los dos son ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco AB. En consecuencia el ángulo trazado desde P es menor que el trazado desde el punto de tangencia T. Así, cualquier ángulo trazado desde puntos de % la recta distintos de T es menor que ATB, de donde se deduce que este es el mayor ángulo posible. B A P' Q' O Q T P r

2 Recta tangente a una curva Página 75 Halla las rectas tangentes a cada curva que cumplen la condición que se indica: a) y = b) y = 6 en los puntos de abscisa,,. paralelas a la recta y = 9 c) y = d) y = que pasan por el punto P (, ). que pasan por el punto P (, ). a) Calculamos la derivada de la función: y' = ( )( ) ( ) = 8+ ( ) ( ) Ordenadas de los puntos: y () = ; y () = 4; y () = 5 Recta tangente en (, ): y' () = 8 y = 8 Recta tangente en (, 4): y' () = 9 y = 4 9( ) = 9 + Recta tangente en (, 5): y' () = y = 5 + ( ) = + 7 b) Pendiente de la recta: y = 9 + m = Resolvemos f '() = : + = = Punto de tangencia: y = 8, + 6 = 7 d 7 n Recta tangente: y = 7 + ( ) 8 y= + c) El punto T de tangencia es de la curva. Sus coordenadas son (c, c c ). Y sea P = (, y ) = (, ). La pendiente de la recta PT debe ser igual a la derivada de f en c : f () c y = f '(c ) c c c = c c c 4c + = c =, c = Hay dos rectas tangentes: c =, f (c ) =, f '(c ) = y = c =, f (c ) =, f '(c ) = 4 y = 4( ) y = 9 4 d) La pendiente de la recta tangente en =, y = es: y' () = + =. Entonces la recta tangente es: y =. + +

3 Crecimiento y decrecimiento de una función en un punto Página 76 Demuestra que si una función y = f () es decreciente en, entonces: f ' ( ) Si f () es decreciente en entonces eiste un entorno de, E = ( a, + a) tal que, si E,, entonces: f () f ( ) < Por tanto, si f () es derivable en, se tiene que f ' ( ) = lm í 8 f () f ( ). Dada la función y = 9 + 5: a) Dónde crece? b) Dónde decrece? y' = 6 9 = ( ) = ( )( + ) a) < y' > f es creciente en (, ) > y' > f es creciente en (, + ) b) < < y' < f es decreciente en (, )

4 Máimos y mínimos relativos de una función Página 77 Comprueba que la función y = /( ) tiene solo dos puntos singulares, en = y en = 6. Averigua de qué tipo es cada uno de estos dos puntos singulares; para ello, debes estudiar el signo de la derivada. ( ) ( ) ( ) `( ) j ( 6 ) ( 6) y' = = = = ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) y' = = ( 6) = = 6 f '(, ) > 4 En = hay un punto de infleión. f '(, ) > f '( 599, ) < 4 En = 6 hay un mínimo relativo. f '( 6, ) > a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y = Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Haz lo mismo para y = a) y' = + = ( + ) y' = = 8 Punto (, ) 4 Dos puntos singulares. = 8 Punto (, ) Los dos puntos están en el intervalo [ ;,5], donde la función es derivable. Además, f ( ) = 7 y f (,5) =,7. En (, ) hay un punto de infleión. En (, ) hay un máimo relativo. b) y' = = 4( + )( + )( + ) y' = = 8 Punto (, ) = 8 Punto (, ) 4 Tres puntos singulares. = 8 Punto (, ) Los tres puntos están en el mismo intervalo [ 4, ], donde la función es derivable. Además, f ( 4) = f () = 9. Hay un mínimo relativo en (, ), un máimo relativo en (, ) y un mínimo relativo en (, )

5 4 Información etraída de la segunda derivada Página 79 Estudia la curvatura de esta función: y = f '() = 4 ; f ''() = 6 48 f '' () = ( 4) = = 8 Punto (, 5) = 4 8 Punto c4, m 7 f f''' () = 7 48; f''' ( ) ; f ''' c4 m p Los puntos (, 5) y c4, m son puntos de infleión. 7 La función es cóncava en (, ) c 4, + m, pues f ''() >. La función es convea en el intervalo c, 4 m, pues f ''() <. Estudia la curvatura de la función siguiente: y = f '() = + 9; f ''() = 6 f ''() = 6 = = Punto (, ) ( f ''' () = 6; f ''' () ) El punto (, ) es un punto de infleión. La función en convea es (, ), pues f ''() <. La función en cóncava es (, + ), pues f ''() >. 5

6 5 Optimización de funciones Página 8 Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. Llamamos al número que buscamos. Ha de ser >. Tenemos que minimizar la función: f () = + 5 f '() = 5 5 = 5 8 f( 5) = = = = 5 8 ( novale, pues > ) (Como lm í f () =+, lm í f ( ) =+, y la función es continua en (, + ); hay un mínimo en = 5) Por tanto, el número buscado es = 5. El mínimo es. De entre todos los triángulos rectángulos cuyos catetos tienen longitudes que suman cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máima. f ' () = + y = y = y ( ) Área = = =, < < Tenemos que maimizar la función: f () = + y, < < = 5 = = 5 y = 5 = 5 cf () = ; f () = ; f (5) = 5 ; y f es continua. Luego en = 5 está el máimom. Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máima es de,5 cm. Entre todos los rectángulos de perímetro m, cuál es el que tiene la diagonal menor? d 6 d = ( ) +, < < 6 Tenemos que minimizar la función: 6 f () = ( ) +, < < 6 6 ( ) + f '() = = + 4 = 6+ ( 6 ) + ( 6 ) + ( 6 ) + f '() = 6 + = = 6 ( f () = 6; f (6) = 6; f () = 8 = 4,4; y f () es continua. Luego en = hay un mínimo). El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado m. 4 Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Suponemos el recipiente con dos tapas: h r πr r h Área total = πr h + πr = πr (h + r) V = 6,8 l = 6,8 dm 6

7 Como V = π r h =,4 r h = 6,8 h = Así: Área total = πr c r r + m = πr c + r r m Tenemos que hallar el mínimo de la función: 68, 4, r = r (Como f (r) = πc + r m, r > r f '(r) = πc r r + m = e + r o = + r = r = = r lm í f (r) = +, lm í + r = h = r = = El cilindro tendrá radio dm y altura dm. f (r) = +, y f es continua en (, + ); en r = hay un mínimo). 7

8 Ejercicios y problemas resueltos Página 8. Tangente en un punto de la curva Hazlo tú. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f () = e b) Si es posible, halla la recta tangente a f () en =. en el punto de abscisa =. a) f () = * + e e si si < Derivamos la función por intervalos: f ' () = * e + e si < si > =, f () =, f '() = La ecuación de la recta tangente en = es y =. b) Estudiamos la derivabilidad en = : En primer lugar, observamos que la función es continua en =, ya que: lm í f () = lm f () = f () = + 8 í 8 Hallamos las derivadas laterales: f '( ) = e f ' ( + ) = e Al ser distintas, la función no es derivable en = y no es posible hallar la recta tangente en este valor.. Tangente que pasa por un punto eterior Hazlo tú. Halla los puntos de la curva f () = + 4 en los que la recta tangente a ella pasa por el origen de coordenadas. Los puntos de tangencia están en la curva y son de la forma (a, a a + 4). La pendiente de la recta que pasa por el punto de tangencia y por el origen de coordenadas es Por otro lado, la pendiente de la recta tangente será f ' (a) = a. a a + 4 a. Por tanto, a a + 4 a = a a a + 4 = a a a =, a =. Hay dos puntos de tangencia que corresponden a dos rectas tangentes: =, f ( ) =, f '( ) = 6 y = 6( + ) =, f () = 4, f '() = y = 4 + ( + ) 8

9 . Coeficientes de una función Hazlo tú. Halla los coeficientes de la función f () = a + b + c sabiendo que la tangente a la curva en el punto (, ) es y = +, y que ese punto es un punto de infleión. Como la función pasa por el punto (, ), se cumple que f () =. La pendiente de la recta tangente en este punto es, es decir, f ' () =. Como el punto de abscisa = es un punto de infleión, entonces f ''() =. Por otro lado, f '() = a + b f ''() = 6a + b Sustituyendo obtenemos: f () = a + b + c = f '() = a + b = f '' () = 6a + b = Resolvemos el sistema: a+ b+ c = a+ b = 4 a =, b =, c = 6a+ b = Página 8 4. Intervalos de crecimiento Hazlo tú. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a) f () = b) f () = ln ( + 4 5) 4 a) El dominio de definición es Á {, }. ( 4) f '() = 4 = ( 4) ( 4) f '() = 4 = =, =, = Como el denominador es un cuadrado, el signo de f '() depende solo del signo del numerador. f ' > f ' < f ' < f ' < f ' < f ' > Es creciente en (, ) y (, + ). Es decreciente en (, ); (, ); (, ) y (, ). b) El dominio de definición es (, 5) (, + ). f '() = f '() = + 4 = = (que no pertenece al dominio) No tiene puntos singulares. f ' < No eiste f f ' > 5 Es creciente en el intervalo (, + ) y decreciente en (, 5). 9

10 Página Máimos y mínimos Hazlo tú. Halla los máimos y mínimos de las siguientes funciones: a) f () = ln b) f () = e ln a) f '() = = ln = ln 4 4 f '() = ln = = e / Estudiamos el crecimiento. Para ello, debemos tener en cuenta que el dominio de la función es (, + ). f ' > f ' < e / / = e, f ( e / ) / = El punto de, n es un máimo. e e b) f '() = 6e + e = e ( + ) f '() = e ( + ) = =, = f ' > f ' < f ' > =, f ( ) = e El punto (, e ) es un máimo. =, f () = El punto (, ) es un mínimo. 7. Puntos de infleión Hazlo tú. a) Halla los puntos de infleión de la función f () = cos, [ π, π]. b) Tiene f máimo o mínimo en ese intervalo? a) f '() = + sen f '' () = cos f '' () = cos = = π, = π Estudiamos el signo de la derivada segunda. = π, f c π m= π cos c π m= π = π, f c π m= π cos c π m= π f '' < f '' > f '' < π π π π Los puntos de infleión son c π, πm y cπ, πm.

11 b) f '() = + sen = sen = 8 = π 6 Para averiguar si en el punto de abscisa = derivada: f '' c πm= cos c πm= > 6 6 π hay un máimo o un mínimo, evaluamos la segunda 6 = π, f c π m= π cos c π m= π El punto c π, π 6 6 m es un mínimo. Página Máimo absoluto Hazlo tú. Se estima que el beneficio de una empresa viene dado por la función 8t t si t 6 B (t ) = * t si 6 t En qué momento se obtiene el beneficio máimo en los primeros 6 años y cuál es su valor? Es relativo o absoluto ese beneficio? Para obtener el beneficio máimo en el intervalo [, 6], estudiamos la eistencia de etremos relativos y evaluamos tanto en ellos como en los etremos del intervalo. B' (t ) = 8 t si < t < 6 ) 8 t = t = 4 si 6< t < B () =, B (4) = 6, B (6) = El beneficio máimo en los seis primeros años lo alcanza en el cuarto año y su valor es 6. Observamos que la función vuelve a crecer a partir del seto año, ya que, por ejemplo, el beneficio en el décimo año es B () =. Por tanto, el beneficio en el cuarto año representa un máimo relativo. 9. Inversión publicitaria Hazlo tú. Halla dos números naturales cuya suma sea 5 y tales que el producto de uno por el cuadrado del otro sea el mayor posible. Sean e y los números naturales buscados. Cumplen que + y = 5. Por otro lado, P = y es la función que queremos optimizar. Sustituyendo y = 5, obtenemos: P = (5 ) = 5 P' () = P' () = = ( ) = = (no válido), = Ahora usamos la derivada segunda para saber si es máimo o mínimo: P'' () = 6 P'' () = < Hay un máimo en =. Los números son =, y = 5.

12 Página 86. Área máima Hazlo tú. Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total 54 cm. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo. Llamemos r al radio del cilindro y h a la altura. El área total es S = πr + πr h. πr + πr h = 54 h = 7 πr πr El volumen del cilindro es V = πr h = πr 7 πr = r (7 πr πr ) = 7r πr. Buscamos las dimensiones del cilindro de volumen máimo. V '(r) = 7 πr V ' (r ) = 7 πr = r = V '' (r ) = 6πr V '' (r ) < En r = cm π e o hay un máimo relativo. π Solo falta calcular la altura del cilindro, que es h = 7 π 9/ π = 6 cm. π / π π. Problema de tiempo mínimo Hazlo tú. La vela mayor de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa debe medir 6 m, calcula sus dimensiones para que la superficie de la vela sea máima. Llamemos, y a las medidas de los catetos del triángulo rectángulo. + y = 6 y = 6 La superficie de la vela es S = y Se obtiene: ya que los catetos hacen de base y de altura del triángulo rectángulo. S () = 6 S' () = 6 8 e + 6 o= 6 S' () = 8 = =, = (no vale) El valor = es un máimo como se puede comprobar estudiando el signo de f ' a ambos lados del mismo. El otro cateto del triángulo mide y = 6 ( ) = La vela es un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden m.

13 Ejercicios y problemas guiados Página 87. Tangente perpendicular a una recta Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f () = 4 + que son perpendiculares a la recta + y =. La recta y = + tiene pendiente. Cualquier recta perpendicular a ella tendrá pendiente =. Por tanto, debemos calcular los puntos de la curva en los que la pendiente vale. f '() = f '() = = =, = =, f c m = 4c m c m + = y = + c + m y = + =, f c m = 4c m c m + = y = + c m y =. Intervalos de concavidad y conveidad Determinar los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de la función: El dominio de definición es Á {, }. f () = f '() = ( ) ( ) f ''() = + ( ) f () = f '' () = + = no tiene solución No tiene puntos de infleión y la tabla de los signos de la segunda derivada es: f '' > f '' < f '' > (el signo de la segunda derivada solo depende del denominador) La función es cóncava en (, ) y (, + ). Es convea en (, ).. Máimo y mínimo absoluto Calcular el máimo y el mínimo absolutos, en el intervalo [, ] de la función: f () = ln ( + + ) f () = ln ( + + ) está definida en Á ya que el argumento del logaritmo siempre es positivo. Es una función continua y derivable en [, ]. Por ser continua en un intervalo cerrado y acotado, alcanza sus etremos absolutos. Estos pueden ser los etremos del intervalo o los etremos relativos si están en el interior. f '() = f '() = + = + = + + =, = + +

14 Evaluamos: = f ( ) = ln (( ) + ( ) + ) ( ) = = f () = ln = = f () = ln,986 = f () = ln 7,54 Alcanza el máimo absoluto en (, ) y el mínimo absoluto en (, ln 7 ). 4. Puntos en los que se anulan f ', f '' y f ''' Dada la función f () = ( ) 5, estudiar si tiene máimo, mínimo o punto de infleión en =. Hallamos f ', f '', f ''' : f '() = 5 ( ) 4 f ''() = ( ) f '''() = 6 ( ) Al hacer =, se verifica f '() = f ''() = f '''() =. Estudiamos el signo de f ' a la izquierda y a la derecha de = : f ' > f ' > f crece a la izquierda y a la derecha de f no tiene máimo ni mínimo en =. Comprobamos que tiene un punto de infleión estudiando el signo de f '': f '' < f '' > A la izquierda de =, la función es convea, y a la derecha de =, la función es cóncava. El punto (, ) es un punto de infleión. 5. Etremos relativos Sea f () = e a con a. a) Calcular el valor de a para que la función tenga un etremo relativo en el punto de abscisa =. b) Clasificar los etremos relativos cuando a =. a) f ' () = e a a e a f ' () = 4e a 4ae a = e a (4 4a) = 4 4a = a = (ya que la eponencial nunca se anula) b) Para a = la derivada es f ' () = e e. f ' () = = =, = =, f () = (, ) es un mínimo relativo. f ' < f ' > f ' < =, f () = e (, e ) es un máimo relativo. 4

15 Ejercicios y problemas propuestos Página 88 Para practicar Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) y = + en = b) y = (,, ) en = c) y = + en = d) y = e en = e) y = ln en = e a) f '() = 4, f '() = ( ) =, f () = La recta tangente es y =. b) f '() = (,, )(,,), f '() =,4 =, f () = 4 La recta tangente es y = 4 +,4( ). c) f '() =, f '( ) = + 6 =, f ( ) = La recta tangente es y = + ( + ) 6 d) f '() = e, f ' d n = =, f d n= La recta tangente es y = + d n. e) f '() = ln +, f '(e) = = e, f (e) = e La recta tangente es y = e + ( e ). Obtén la ecuación de la recta tangente paralela al eje de abscisas en las siguientes curvas: a) y = ln b) y = e c) y = sen Una recta paralela al eje de abscisas tiene pendiente cero. a) y' = ln + = ln + y' = ln + = ln = = e = e y = La recta tangente en el punto c, m es: y = e e e e 5

16 b) y' = e + e = ( + )e Como e para todo : y' = + = ( + ) = = 8 Punto (, ) = 8 Punto (, 4/ e) En el punto (, ), la recta tangente es: y = En el punto e, 4 o, la recta tangente es: y = 4 e e c) y' = cos = π + πk 8 = π + π k 8 y = 4 4 y' = cos = = π + πk 8 = π + π k 8 y = 4 4 En los puntos bπ + πk, l, con k Z, la recta tangente es: y = 4 En los puntos c π + πk, m, con k Z, la recta tangente es: y = 4 Dada la función y =, halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente sea 5. 4 ( ) f '() = = + f '() = , 4 = = = = 4 Los puntos pedidos son d, n y d, n. 4 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y = 4 que son paralelas a la recta + 6 y + 5 =. La recta dada es y = Por tanto, tenemos que hallar los puntos de la función dada en los que las pendientes de las rectas tangentes valen 6. + ( 4) f '() = = 6 ( + ) ( + ) f '() = 6 6 = 6 ( + ) = =, = ( + ) =, f ( ) = 7 La tangente en (, 7) es y = 7 + 6( + ). =, f ( ) = 5 La tangente en (, 5) es y = 5 + 6( + ). 5 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = cuya pendiente es. Definimos la función por intervalos: f () = ( + ) si < + si < * = * ( ) si si Hallamos la derivada: f ' () = + si < ) si > La función dada es continua en todo Á y es derivable cuando. 6

17 Para que la pendiente de la recta tangente a la curva sea pueden darse dos casos: + = = 5 8 f 5 5 d n= 4 = = (no válido porque no pertenece al intervalo) El punto en el que la tangente tiene pendiente es d 5, y = 5 4 d 5 n n y la recta tangente en dicho punto es: 6 a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f () = + + en =. b) Eiste otra recta tangente a la gráfica de f que sea paralela a la que has hallado? En caso afirmativo, hállala. a) Hallamos la pendiente de la recta tangente usando la derivada: f '() = 6 + =, f () = 8, f '() = y = 8 + ( ) b) Para saber si eiste otro punto en el que la recta tangente sea paralela resolvemos: f '() = 6 + = =, = Hay otro punto: =, f ( ) = 4 y = 4 + ( + ) es la recta tangente en este punto. 7 Halla la recta tangente a la curva y = 4 en su punto de infleión. Calculamos primero el punto de infleión resolviendo f ''() = : f '() = 4 f '' () = 4 4 f '' () = 4 4 = = 6 Evaluando la derivada segunda a ambos lados de = 6 observamos que la función pasa de convea a cóncava. Luego es un punto de infleión. =, f c m = 4c m c m = 7, f ' c m = c m 4 = La ecuación es y = 7 c m Halla los puntos de la curva y = 5 + en los que la recta tangente a ella pase por el origen de coordenadas. Debemos hallar las ecuaciones de las tangentes desde un punto eterior a la gráfica de la función. Los puntos de tangencia son de la forma (a, a 5a + ). La pendiente de la recta tangente que pasa por el origen es a 5a+ a = 5a+. a a Usando la derivada, la pendiente anterior también es 6a 5. a 5a+ = 6a 5 a a 5a + = 6a 5a a, a = Obtenemos dos puntos de tangencia y dos rectas tangentes: =, f ( ) = 4, f '( ) = 7 y = 7 =, f () = 4, f '() = 7 y = 7

18 9 Halla los puntos de la curva y = en los que la recta tangente a esta pase por el punto (, 8). Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes en dichos puntos. Debemos hallar las ecuaciones de las tangentes desde un punto eterior a la gráfica de la función. Los puntos de tangencia son de la forma e a, a 4a 4 o. 4 a + 4a 4 ( 8) a + 4a+ 4 La pendiente de la recta tangente que pasa por (, 8) es 4 = 4. a a Usando la derivada, la pendiente anterior también es a + 4. a + 4a = a + 4 a + 4a + 4 = a + 4a a = 4, a = 4 a 4 4 Obtenemos dos rectas tangentes: f '( 4) = y = 8 + f '(4) = 6 y = Halla, en cada caso, las ecuaciones de las rectas tangentes paralelas al eje X: + a) y = ( ) b) y = c) y = ln + e a) El eje horizontal tiene pendiente. y' = ( ) ( ) = ( ) ( ) y' = ( ) = =, = =, f () = y = c m =, f c m = = 9 4 y = 4 9 b) y' = ln + ln ( ln + ) = ln y' = ( ln + ) = = (no vale), = e = e, f ae k a k e = = e c) y' = ( + ) e ( + ) e = e e y = e y' = = =, = =, f ( ) = =, f ( ) = + e e y = + e y = e ( ) 8

19 Máimos y mínimos. Puntos de infleión Halla los máimos, los mínimos y los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y = ( 8) b) y = d) y = 4 + e) y = + c) y = 4 f) y = e ( ) a) f '() = + 9 f '() = ( 4 + ) = = Signo de la derivada: 4± 6 = 4 ± f ' > f ' < f ' > = 8 y = = 8 y = 4 Hay un mínimo en (, ) y un máimo en (, 4). Puntos de infleión: f '' () = 6 = = y = Como f '' () < para < y f ''() > para >, el punto (, ) es un punto de infleión. b) y = 4 8 f '() = 4 = f '() = ( ) = = 8 y= = 8 y= 4/ f ' < f ' < f ' > Hay un mínimo en c, 4 m. f '' () = 4 = ( 4) = = 8 y= = 4 / 8 y= ( 64/ 8) f '' > f '' < f '' > 4 Hay un punto de infleión en (, ) y otro en c4, 64 m. 8 c) f '() = 4 6 f ' () = (4 6) = = 8 y= = / 8 y= 7/ 6 f ' < f ' < f ' > Hay un mínimo en c, 7 m. 6 f '' () = = ( ) = = 8 y= = 8 y= f '' > f '' < f '' > Hay un punto de infleión en (, ) y otro en (, ). 9

20 d) f '() = f '() = 4 ( + ) = = y = f ' < f ' > Hay un mínimo en (, ). f '' () = + 4 para todo. No hay puntos de infleión. e) f '() = ( + ) f '() = = = y = f ' > f ' < Hay un máimo en (, ). ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 f '' () = 6 = = ( ) 4 ( ) ( ) f '' () = = ± ± = = ± y = 4 f '' > f '' < f '' > Hay un punto de infleión en e, o y otro en e, o. 4 4 f) f ' () = e ( ) + e = e ( + ) = e f ' () = e = = (pues e para todo ) y = f ' < f ' > Hay un mínimo en (, ). f '' () = e + e = e ( + ) f '' () = = y = e f '' < f '' > Hay un punto de infleión en c, m. e Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máimos y los mínimos de las siguientes funciones: a) y = 8 b) y = + c) y = ( ) d) y = e) y = f ) y = 8 ( ) a) y = 8 = 8. Dominio = Á {, } ( ) ( ) ( 8 ) ( ) f '() = = = ( ) ( ) ( )

21 f ' () = = = Signo de la derivada: f ' > f ' > 6 ± ± 64 = = 6 ± f ' < f ' < 4 4 f ' > = 4 = 4 / La función es creciente en (, ) c, 4 m (4, + ). Es decreciente en c4, m (, 4). Tiene un máimo en c4, 9 m, y un mínimo en c4, m. b) y = +. Dominio = Á {, } f ' () = ( ) ( + ) = = 4 ( ) ( ) ( ) f ' () = 4 = = Signo de la derivada: f ' > f ' > f ' < f ' < La función es creciente en (, ) (, ). Es decreciente en (, ) (, + ). Tiene un máimo en (, ). c) y =. Dominio = Á {, } ( ) ( ) f '() = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) = f '() = ( ) = = Signo de la derivada: f ' > f ' < f ' < La función es creciente en (, ) (, + ). Es decreciente en (, ) (, ) (, ). Tiene un máimo en e, o. f ' < f ' < f ' > Tiene un mínimo en e, o. Tiene un punto de infleión en (, ). d) y =. Dominio = Á {} ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f '() = = + + = + + = ( ) ( ) ( ) ( )

22 f '() = 4 + = = Signo de la derivada: 4± 6 4 ± 4 = = 4 ± = = f ' < f ' > f ' > f ' < La función: es creciente en (, ) (, ). es decreciente en (, ) (, + ). tiene un mínimo en (, ). tiene un máimo en (, 9). e) y = f ' () =. Dominio = Á {} f ' () = ( ) = + = + =. No tiene solución. Signo de la derivada: f ' > f ' > La función es creciente en todo su dominio. f) y = 8 = 8. Dominio = Á {, } ( ) f ' () = 8 ( 6) 8( 6) 8 ( 6) = = 4( ) 4( ) ( ) f '() = 6 = = Signo de la derivada: f ' < f ' > f ' < f ' < La función: es creciente en (, ). es decreciente en (, ) (, ) (, + ). tiene un máimo en (, ). Estudia la concavidad, la conveidad y los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y = + 4 b) y = 4 6 c) y = ( ) 4 d) y = e e) y = + f) y = ln ( + ) a) y = + 4. Dominio = Á f '() = ; f ''() = 6 f '' () = 6 = = Signo de f '' (): f '' < f '' > La función es convea en (, ) y cóncava en (, + ). Tiene un punto de infleión en (, 4).

23 b) y = 4 6. Dominio = Á f '() = 4 ; f ''() = f '' () = ( = ) = = Signo de f '' (): f '' > f '' < f '' > La función es cóncava en (, ) (, + ) y convea en (, ). Tiene un punto de infleión en (, 5) y otro en (, 5). c) y = ( ) 4. Dominio = Á f ' () = 4( ) ; f '' () = ( ) f '' () = = f '' () > para Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de infleión. d) y = e. Dominio = Á f ' () = e + e = ( + )e ; f '' () = e + ( + )e = ( + )e f '' () = = (e pata todo ) Signo de f '' (): f '' < f '' > La función es convea en (, ) y cóncava en (, + ). Tiene un punto de infleión en c, e m. e) y =. Dominio = Á { } + f ' () = f '' () = 6 ( + ) ( + ) ( ) = + ( ) = + ( + ) ( + ) f '' () para todo. Signo de f '' (): f '' < f '' > La función es convea en (, ) y cóncava en (, + ). No tiene puntos de infleión. f) y = ln ( + ). Dominio = (, + ) f '() = + f '' () = ( + ) f '' () < para (, + ) Por tanto, la función es convea en (, + ).

24 4 Estudia si las siguientes funciones tienen máimos, mínimos o puntos de infleión en el punto de abscisa = : a) y = + ( ) b) y = + ( ) 4 c) y = ( ) 6 d) y = + ( ) 5 a) Máimos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '() =. f '() = ( ) ( ) = =, f () = Estudiamos el signo de la derivada: f ' > f ' > La función crece a la izquierda y a la derecha de =. No hay ni un máimo ni un mínimo. Puntos de infleión: buscamos los puntos en los que f ''() =. f '' () = 6( ) 6( ) = =, f () = Estudiamos el signo de f ''(): f '' < f '' > Es convea a la izquierda de = y cóncava a su derecha. Hay un punto de infleión en (, ). b) Máimos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '() =. f '() = 4( ) 4( ) = =, f () = Estudiamos el signo de la derivada: f ' < f ' > La función decrece a la izquierda de = y crece a su derecha. Hay un mínimo en (, ). Podemos comprobar que no hay puntos de infleión con el signo de f ''(): f '' () = ( ) f ''() para cualquier. La función es cóncava en todo su dominio. c) Máimos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '() =. f '() = 6( ) 5 6( ) 5 = =, f () = Estudiamos el signo de la derivada: f ' > f ' < La función crece a la izquierda de = y decrece a su derecha. Hay un máimo en (, ). Como f '' () = ( ) 4, la función es convea en todo su dominio. d) Máimos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '() =. f '() = ( ) 4 ( ) 4 = =, f () = Como f '() = ( ) 4, la función es creciente en todo su dominio. No hay máimos ni mínimos. Estudiamos el signo de f'' () = 4( ) : f '' < f '' > La función es convea a la izquierda de = y cóncava a su derecha. Hay un punto de infleión en (, ). 4

25 Coeficientes de una función 5 Dada la función f () = + a + 6, calcula a sabiendo que f () tiene un etremo relativo en el punto de abscisa =. Se trata de un máimo o un mínimo? Como tiene un etremo relativo en = debe cumplirse que f '() =. f '() = a f '() = a = a = Por tanto, f () = f '() = 4 ; f ''() = =, f () =, f ''() = = 4 > El punto c, m es un mínimo relativo De la función f () = a + b sabemos que pasa por (, ) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta + y =. Halla a y b. f () = a + b ; f ' () = a + b f( ) = 8 a+ b = a = 4 f () = f'( ) = 8 a+ b = b = + 7 Halla una función f () = + a + b + c que tenga un etremo relativo en el punto de abscisa = y un punto de infleión en P (, ). f () = + a + b + c f '() = + a + b f '' () = 6 + a f () = + a + b + c = f '' () = 6 + a = f '() = + 4a + b = + a+ b+ c = 6+ a = 4 a = 7, b = 6, c = 8 + 4a+ b= 8 Calcula los coeficientes a, b y c de la funciónf () = 4 + a + b + c, sabiendo que: a) La ecuación de la recta tangente a f en = es y =. b) Tiene un etremo relativo en el punto (, ). f () = 4 + a + b + c f ' () = 4 + a + b + c Del apartado a) se deduce que pasa por el punto (, ) y que f '() =. El apartado b) implica que f ( ) = y que f '( ) =. f '() = c = f ( ) = a + b = a + b = f '( ) = 4 + a b + = a+ b= 4+ a b+ = a =, b = 5

26 Página 89 9 Halla a, b, c y d para que f () = a + b + c + d tenga un máimo relativo en el punto (, 4) y un mínimo relativo en el punto (, ). Las condiciones del problema implican que: f () = 4, f '() =, f () =, f '() = f () = a + b + c + d f '() = a + b + c d = 4 c = 8a+ 4b+ 4= a =, b = a+ 4b= Sea f () = a + b + c + d un polinomio que cumple f () =, f ' () = y tiene dos etremos relativos para = y =. Halla a, b, c y d. f () = a + b + c + d f '() = a + b + c _ f ( ) = 8 a+ b+ c+ d = b b f '( ) = 8 a+ b+ d + c = b ` f '( ) = 8 a+ b+ c = b b f '( ) = 8 a+ 4b+ c = b a a+ b+ d = b a = b b b c = b b = b ` ` a+ b= b c = b b b 6a+ b= b d = 5 b a 6 a Así: f () = d; f ' () = + = ( ) ( ) Dada la función y = a 4 + b a, calcula los valores de a y b sabiendo que tiene dos puntos de infleión, uno en = y otro en = /. f '() = 4a + 9b 6 a f '' () = a + 8b 6 f ''( ) = f ''( / ) = 8 8 a+ 8b 6= a+ b = 4 a+ 9b 6= a+ b = Restando las igualdades: a + = a = Sustituyendo en la.ª ecuación: b = b = La curva y = + a + b + c corta al eje de abscisas en = y tiene un punto de infleión en el punto (, ). Calcula a, b y c. y = + a + b + c f '() = + a + b f '' () = 6 + a _ f ( ) = 8 + a b+ c = b f ( ) = a+ b+ c = b ` b f ''( ) = 8 + a = b a 6 _ a b+ c = b 4a+ b+ c = 7 b ` b a = 6 b a a = 6 b = c =

27 La función f () = + a + b + c verifica que f () =, f ' () = y que f no tiene etremo relativo en =. Calcula a, b y c. f () = + a + b + c f '() = + a + b f '' () = 6 + a f ( ) = f '( ) = f ''( ) = a+ b+ c = + a+ b= 6+ a = a = b = c = 4 4 f () = + 4 Sea f () = + a + b + 5. Halla a y b para que la curva y = f () tenga en = un punto de infleión con tangente horizontal. Si la curva tiene un punto de infleión en =, debe ser f ''() =. f '() = + a + b f ''() = 6 + a f ''() = 6 + a 6 + a = Si en = la tangente es horizontal, su pendiente será ; y, por tanto, f '() =. f '() = + a + b = + a + b = Resolvemos: 6+ a= 8 a= * + a+ b= 8 b = ( ) = La curva será f () = Para resolver 5 Dadas las funciones: + si si < f () = * g () = * 4 si > + si a) Comprueba que son derivables en Á. b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máimos y mínimos. Ambas funciones son continuas y derivables salvo quizás en los puntos donde se separan los trozos porque están definidas por intervalos mediante funciones polinómicas. a) Estudiamos el punto = : lm í ( ) 8 lm í f() = * + = 8 lm í ( 4 ) = lm í f () = = f () Es continua también en = si < f '() = ) f '( ) = 4 = f '( + ) Es derivable en =. 4 si > Estudiamos el punto = : lm í ( 7 4) 4 8 lm í g () = * + = 8 lm í ( + ) = 4 lm í g () = 4 = g () Es continua también en = si < g' () = ) f '( ) = = f '( + ) Es derivable en =. 4 + si > b) En el caso de f (): f '() = + = = (pertenece al intervalo de definición) =, y =, f ''( ) > El punto (, ) es un mínimo relativo. 7

28 En el caso de g (): Z ] + = = ( pertenece al intervalodedefinición) g' () = [ 4 8 ] + = = ( no vale porque no está en el intervalo de definición) \ 4 = 7, y = 65, g'' c 7 m > El punto c 7, 65 m es un mínimo relativo Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f () =. Tiene máimos o mínimos? Determina los intervalos de concavidad y conveidad. Tiene algún punto de infleión? si < f () = * Es una función continua en Á. si si < f '() = ), f '( ) = = f '( + ) También es derivable en =. si > La primera derivada solo se anula cuando =. f ' > f ' > La función no tiene ni máimos ni mínimos relativos. si < f '' () = ) Es convea en el intervalo (, ) y cóncava en (, + ). si > El punto (, ) es un punto de infleión porque cambia de convea a cóncava. 7 Halla el valor de c de modo que la función y = e tenga un único punto crítico. + c Se trata de un máimo, de un mínimo o de un punto de infleión? f ' () = e ( + c) e e ( + c ) = ( + c) ( + c) f '() = ± 4 4c + c = = Para que solo haya un etremo relativo, ha de ser: 4 4c = c = En este caso sería: y = e + ; f '() = e ( + ) ( + ) f '() = = f '() = si f () es creciente si. Hay un punto de infleión en =. 8 a) Calcula los valores de los parámetros a y b para que sea derivable la función: si < f () = e * + a+ b si b) Halla sus etremos relativos en el caso a =, b =. a) La función está definida por intervalos mediante funciones continuas y derivables. Solo nos queda estudiar el punto =. Veamos la continuidad de la función: 8

29 Z ] lm í f() = [ 8 ] \ lm í = 8 e lm í ( + a+ b) = b 8 + b = Para el valor obtenido de b la función es continua porque lm í f() = f (): 8 si < 8 f' ( ) = f '() = e * a = para que sea derivable en =. + a si > 8 f' ( + ) = a Si a = y b = la función es continua y derivable en Á. b) f () = * e + si si < > f ' () = * e si si < f ' () = * = 8 = ( no vale) e = 8 = Estudiando el signo de la primera derivada en las proimidades de =, obtenemos que el punto (, ) es un mínimo relativo. 9 La curva y = + α + β + γ corta al eje de abscisas en = y tiene un punto de infleión en (, ). Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje X. f () = + α + β + γ; f ' () = + α + β; f '' () = 6 + α f ( ) = f ( ) = f ''( ) = a+ b+ g = 7 9a b g 8+ a = a = 9 b = 4 g = = 4 4 Así: f () = ; f ' () = Puntos con tangente horizontal: f ' () = = 8 ± = ± = 8 ± = 4 = Los puntos son (4, ) y (, 4). Halla el valor que debe tener a para que la función f () = ln a, a >, tenga un punto singular en = e. El dominio de definición es (, + ) por ser a positivo. f ' () = + ln a Para que tenga un punto singular en = e debe ser f ' (e) = e + e ln e = e b+ ln e l = + (ln e ln a) = + ln a = ln a = a a a = e / 9

30 Comprueba si eiste algún valor de a para el cual la función f () = aln + tenga un punto de infleión en =. Para que eista punto de infleión en =, debe ser f ''() = : f () = a ln + f '() = a a + = + f '' () = a 6 + f ''() = a + 6 = a = 6 Comprobamos con f ''' si eiste punto de infleión: f '' () = f '''() = f '''() Para a = 6, la función tiene un punto de infleión en =. a Se considera la función f () = + b + c si *. ln si > Determina a, b y c para que sea continua, tenga un máimo en = y la tangente en = sea paralela a la recta y =. La función está definida por intervalos mediante funciones continuas. Eigimos la continuidad en = y así será continua en Á. lm í (a + b + c) = c 8 lm í ( ln ) = lm í ln = (indeterminado) Usando la regla de L Hôpital lm í = lm í ( ) = Luego lm í ( ln ) =. 8 + Por tanto, para que sea continua c =. Si <, f '() = a + b Por tener un máimo en =, f '( ) = a + b = b = a Para que la tangente en = sea paralela a la recta y =, debe ser f '() = 4a + b =. b= a a =, b = 4a+ b= a) Dada la función: + p si f () = * + m+ n si > calcula los valores de m, n y p para que f sea derivable en Á y tenga un etremo relativo en =. b) Es un máimo o un mínimo? c) Comprueba si eisten otros puntos singulares y representa la función. a) La función está definida por intervalos mediante funciones polinómicas, luego es continua y derivable salvo, quizás, en el punto. Estudiamos el punto =. Continuidad: lm í ( + p) = + p 8+ lm í ( 4 + p = + m + n m + n p = + m+ n) = + m+ n 8

31 Si se cumple la condición anterior la función será continua en = porque lm í f () = f (). 8 + p si < f' ( f '() = ) ) = + p * + p = + m m p = 4 + m si > f' ( + ) = + m Si se cumple la condición anterior la función será derivable en = al coincidir las derivadas laterales. Para que tenga un etremo relativo en =, f ' c m = + p = p =. p = m p= 4 4 m = 5, n =, p = m+ n p = b) f '' c m = < El etremo relativo es un máimo. c) Si eiste otro etremo relativo, debe estar en el segundo intervalo. f '() = ( > ) 5 = = 5 f '' c 5 m = > En = 5 hay un mínimo relativo. Y X 4 Dada la función f () = ( + ), halla los puntos donde las tangentes son paralelas a la recta y = 6. ( )( + ) si < + + f () = * = * ( )( + ) si si si < + si < f '() = ) si > La función no es derivable en = porque las derivadas laterales son distintas. + = 6 8 = f '() = 6 ) = 6 8 = 4 =, y = 5 = 4, y = 5 Los puntos buscados son (, 5) y (4, 5). 5 Calcula el máimo y el mínimo absolutos en el intervalo [, ] de la función: f () = ln ( + ) + ( ) La función dada es continua en el intervalo [, ] luego alcanza su máimo y su mínimo absoluto. Estos pueden ser los etremos del intervalo o los máimos y mínimos relativos. f '() = + +

32 f '() = + = = + Evaluamos: =, f ( ) = ln 5 5,9 =, f ( ) = ln 4, =, f () = ln Su mínimo absoluto es el punto (, ln 5 5) y su máimo absoluto es el punto (, ln ). 6 La función de coste total de producción de unidades de un determinado producto es: C () = + + Se define la función de coste medio por unidad como: C () Q () = Cuál debe ser la producción para que sea mínimo el coste medio por unidad? C () Buscamos el mínimo de la función Q () = igualando a su derivada: Q () = + + Q' () = Q' () = = = 4 = (no válido), = Comprobamos que hay un mínimo en = : Q'' () = 4 Q'' () = > Se deben producir unidades para minimizar el coste medio por unidad. 7 Una empresa quiere producir C (t ) = + t unidades de un producto para vender a un precio p (t ) = t euros por unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción. a) Calcula el beneficio si t =. b) Escribe, dependiendo de t, la función de beneficio ( t 6). c) Determina cuándo el beneficio es máimo. a) Si t = C( ) = + = unidades p( ) = = 8 por unidad Beneficio: C () p() = 8 = 54 b) B (t ) = C (t ) p(t ) = ( + t )( t ) = t + 6t + 4 si t 6 c) Para hallar el máimo, hacemos B' (t ) = : B' (t ) = 4t + 6 = t = 4 Al cabo de 4 días se obtiene el máimo beneficio, que es: B (4) = = 7

33 Página 9 8 Se quiere fabricar una caja de volumen máimo que sea el doble de larga que de ancha y que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. Calcula las medidas que debe tener la caja y cuál será su volumen. Volumen de la caja: V = a a b = a b b a + a + b = b = a a a V = a ( a) = a 6a Para hallar el máimo volumen, derivamos e igualamos a cero: a = ( no vale) V' = 4a 8a = a (4 8a) = a = 9 Comprobamos si el volumen es máimo para a = : 9 V'' = 4 6a V'' d n =, = 4 < máimo. 9 Si a = m, el largo será = 4 m, y el alto, 6 = m El volumen máimo es: V = = 8 m 4 9 Una empresa dispone de 5 comerciales que proporcionan unos ingresos por ventas de 5 75 euros mensuales cada uno. Se calcula que, por cada nuevo comercial que se contrate, los ingresos de cada uno disminuyen en 5 euros. Calcula: a) La función que determina los ingresos mensuales que se obtendrían si se contrataran comerciales más. b) El número total de comerciales que debe tener la empresa para que los ingresos sean máimos, y cuáles serían estos. a) Llamamos al número de comerciales más que se contratan. La función que determina los ingresos mensuales será: I () = (5 + )(5 75 5) = b) Buscamos el máimo de la función I () igualando a su derivada: I' () = 5 + I' () = 5 + = = 4 Comprobamos que hay un máimo en = 4: I'' () = 5 I'' (4) = 5 < Para que los ingresos sean máimos, la empresa debe tener 9 comerciales. 4 Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años de funcionamiento vienen dados, en millones de euros, por la función: B (t) = t t + 9t, t 8, t en años 4 a) Estudia la monotonía de B (t) y sus etremos. b) Describe la evolución de los beneficios de la empresa en sus 8 años de eistencia. a) Estudiamos el signo de la primera derivada: B' (t ) = t 6t B' (t ) = t 6t + 9= 8 t =, t = 6 4

34 B () =, B () = 8, B (6) =, B (8) = 8 B' > B' < B' > 6 8 La función es creciente en los intervalos (, ) y (6, 8); y es decreciente en el intervalo (, 6). Los puntos (, ) y (6, ) son mínimos absolutos; y los puntos (, 8) y (8, 8) son máimos absolutos. b) Los beneficios de la empresa crecen durante los dos primeros años hasta que en el segundo año se alcanza un beneficio máimo de 8 millones de euros. A continuación descienden durante los cuatro años siguientes hasta que en el seto año no se obtienen beneficios. Finalmente, crecen durante los dos años siguientes y en el octavo se vuelve a alcanzar un beneficio máimo de 8 millones de euros. 4 Sea f () la función que representa el coste medio, en euros por kilogramo de alimento preparado, en una jornada en la que se producen kg de alimento. f () = + + 9, > a) Estudia la variación del coste medio. Cuál debe ser la cantidad de producto que se debe preparar en una jornada para minimizar el coste medio por kilogramo? b) Si el coste medio no se mantiene inferior a, será necesario un reajuste del proceso. Cuál puede ser la producción para que no se tenga que hacer ese reajuste? a) Para estudiar la variación analizamos el signo de la primera derivada: f '() = 9 f ' () = 9 = = (no válido), = f ' < f ' > El coste medio disminuye hasta que se producen kg y a partir de esa cantidad, aumenta indefinidamente. Se deben preparar kg en una jornada para minimizar el coste. b) Para no tener que reajustar, tenemos que averiguar cuándo el coste medio no supera el valor = = = 4 7,5; = ,65 Por tanto, tenemos que mantener la producción entre,5 kg y 6,65 kg de alimento preparado. 4 El número de vehículos que ha pasado cierto día por el peaje de una autopista viene dado por la función: c t m + si t 9 N (t) = * c t 5 m si 9 t 4 donde N indica el número de vehículos y t el tiempo transcurrido en horas desde las : h. a) Entre qué horas aumentó el número de vehículos que pasaba por el peaje? b) A qué hora pasó el mayor número de vehículos? Cuántos fueron? a) Para saber cuándo la función es creciente, estudiaremos el signo de su derivada. Las funciones con las que N (t) está definida son continuas y derivables si t < 9 y si 9 < t 4. Estudiamos la derivabilidad en t = 9: N' (t ) = * d t n d t 5 n si si t < 9 9< t 4 4

35 N' ( 9 ) = 4 4 N es derivable en t = 9. + N' ( 9 ) = 4 N ' (t) = Signo de N ' (t ): t 8 t c m = = t 8 t c 5 m = = 5 N' (t) < N' (t) > N' (t) < El número de vehículos aumentó entre las h y las 5 h. b) El máimo absoluto de una función continua definida en un intervalo cerrado se encuentra entre los máimos relativos de la función o en los etremos del intervalo: N () = ; N (5) = ; N (4) = El mayor número de vehículos pasó a las 5 h, y fueron vehículos. 4 Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta,5 y el de tramo vertical,. a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b) Cuál será ese coste mínimo? a) Área = y = 6 y = 6 6 m y Perímetro = + y Coste =,5 + y = 5 + 6y C = C' = = =,68 m y = 5,4 m 5 (C'' = 7 ; C'' e o > = es mínimo) Las dimensiones son = m e y = 5 m. 5 b) C = = 5 6,8 44 El nivel medio diario de CO de una ciudad depende del número de habitantes, p, y viene dado por la función: p C (p) = +7 con p en miles y C en partes por millón (ppm). Si la evolución de la población de esa ciudad en t años es p (t) =, +,t, en miles de habitantes, con qué rapidez estará variando la concentración de CO en ese lugar dentro de años? La epresión del nivel medio diario de CO en función del tiempo en años es C [ p (t )] = (C p)(t ). La variación de CO viene dada por la derivada de la función anterior., +, t (C p)'(t ) = C' [ p (t)] p' (t) =,t (, +, t )

36 Ya que: p C' ( p) = y p' (t) =,t p + 7, + 9, Si t = (C p)'() =,6 =,4 (, + 9, ) + 7 Nos da un crecimiento de,4 partes por millón a los años. 45 En un cuadrado de lado cm queremos apoyar la base de un cilindro cuya área lateral es 5 cm. Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea máimo? h cm r cm Área lateral cilindro = πr h = 5 cm h = El volumen del cilindro es: 5 πr V = πr h = πr 5 = 5r V (r) = 5r πr Al estar apoyada la base sobre el cuadrado, tenemos que el dominio de V (r) es el intervalo (, 5]. Tenemos que maimizar V (r) = 5r, con r (, 5]. Como V (r) es una función creciente, su máimo se alcanza en r = Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz cm y de capacidad máima. Cuál debe ser el radio de la base? h + R = R = h h cm Volumen = πr π( ) h = h h= π( h h ) Tenemos que maimizar la función volumen: f (h) = π (h h ) f '(h) = π (h h ) R f '(h) = h = h = ± (consideramos la raíz positiva, pues h ). ( f ' (h) > a la izquierda de h = h = hay un máimo). Así, el radio de la base será: R = h = = 8 R = y f '(h) < a la derecha de h =. Por tanto, en 6

37 47 Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 6 cm q ue, al girar alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máimo. y Perímetro cartulina = + y = 6 + y = = y Volumen = πy = πy ( y) = π(y y ) Tenemos que maimizar la función: V ( y) = π(y y ) V '( y) = π(6y y ) V '( y) = 6y y = y( y) = y = ( no vale) y= 8 = (En y = hay un máimo, pues V '( y) > a la izquierda de este valor y V '( y) < a su derecha). Los lados de la cartulina medirán cm y cm. 48 Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de la pista sea de m, halla las dimensiones que hacen máima el área de la región rectangular. y Perímetro de la pista = + π y = Despejamos: y = π Área del rectángulo = y = = π π Derivamos: A' = 4 = 8 8 y π π = 5 m = m π (A'' = 4 ; A'' (5) < = 5 es máimo). π 49 Dos postes de m y 8 m de altura distan entre sí m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los etremos de estos. Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima? m m 8 m La longitud total del cable es: L() = + + ( ) + 8 ; es decir: L() = ; 7

38 L' () = = + 6 = + = ( ) + 44 ( + 44)( 6 + 4) L' () = ( ) + 44 = = 6+ 4 = ( ) + 44 ( 6 + 4) = ( )( + 44) = ( 6 + 9)( + 44) = = = 48 ± ± 584 = = 48 ± 7 = = 6 ( novale) (En = hay un mínimo, pues L' () < a la izquierda de ese valor y L' () > a su derecha). Por tanto, el punto del suelo debe situarse a m del poste de m (y a 8 m del poste de 8 m). 5 Determina el radio de la base y la altura de un cilindro de 54 cm de área total para que su volumen sea máimo. Área total = πr h + πr h r Volumen = πr h πr h + πr = 54 h = V = πr 54 πr πr 54 πr = r (7 πr πr ) = 7r πr Buscamos el máimo de V : V' = 7 πr 7 πr = r = 7 = 9 π π r = (la solución negativa no vale). π Comprobamos si el volumen es máimo: V '' = 6πr V '' e o <, es un máimo. π ( / ) Si r = 7 π 9 π 8 π 6 π 8 h = = = π π( / π) π π Por tanto, para que el volumen sea máimo debe ser: r = 6 π,7 cm y h =,4 cm π π 5 Dada f: [, e] Á definida por f () = + ln, determina cuáles de las rectas tangentes a la gráfica de f tienen la máima pendiente. La pendiente de la recta tangente a f () en = a es f '(a). Tenemos que hallar el máimo de: f '() = +, [, e] 8

39 Calculamos la derivada de f '(); es decir, f ''(): f '' () = = f '' () = = = [, e] (En = hay un máimo relativo de f '(), pues f ''() > a la izquierda de ese valor y f ''() < a su derecha). Hallamos f '() en = y en los etremos del intervalo [, e]: f '() = =,5; f '() = ; f '(e) = e, 4 e Por tanto, la recta tangente con pendiente máima es la recta tengente en =. La hallamos: f () = + ln ; f '() = 4 La recta es: y = + ln + ( ) 4 Página 9 Cuestiones teóricas 5 Observando la gráfica de la función f ', derivada de f, di: a) Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Tiene f máimos o mínimos? a) f es creciente ( f ' > ) en el intervalo (, ) y decreciente ( f ' < ) en (, + ). b) f tiene un máimo en =. ( f '() = y la función pasa de creciente a decreciente). f' 5 Esta es la gráfica de la función derivada de f (). Eplica si f () tiene máimos, mínimos o puntos de infleión en =, = y = 5. f' = : en este punto, la función tiene un mínimo, porque pasa de ser decreciente ( f ' < ) a creciente ( f ' > ), y f ' () =. = : en este punto, f tiene un punto de infleión, ya que f '' () =. = 5: en este punto, f tiene un máimo, pues pasa de ser creciente a decreciente y f ' (5) =. 54 La función f tiene derivadas primera y segunda y esf ' (a) = y f '' (a) =. Puede presentar f un máimo relativo en el punto a? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí puede presentar un máimo. Por ejemplo: f () = 4 en = es tal que: f ' () = 4 f '' () = f ' > f ' < Por tanto: f ' () = y f '' () = En (, ) hay un máimo relativo. 9

40 55 Considera la función (valor absoluto de ): a) Presenta un mínimo relativo en algún punto? b) En qué puntos es derivable? Razona tus respuestas. a) f () presenta un mínimo relativo en =, pues f () = < f () si. y = De hecho, es el mínimo absoluto de f (). si si < b) f () = = ) ; f '() = ) si > si > f () no es derivable en =, pues f '( ) = f '( + ) =. Por tanto, f es derivable para. 56 Si f ' (a) =, qué proposición es cierta?: a) f tiene un máimo o un mínimo en el punto = a. b) f tiene un punto de infleión en = a. c) f tiene en el punto = a tangente paralela al eje X. Si f '(a) =, solo podemos asegurar que f tiene en = a tangente horizontal (paralela al eje OX ). Podría tener un máimo, un mínimo o un punto de infleión en = a. Por tanto, solo es cierta la proposición c). Para profundizar 57 Halla el dominio de definición y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: f () = ln e o + La función está definida cuando >. Como el denominador es siempre positivo, debe ser + >. Por tanto el dominio de definición es (, ) (, + ). f '() = 4 ( + )( ) f '() = = (este punto no es válido porque no está en el dominio de definición). f ' < No eiste f f ' > La función es decreciente en (, ) y creciente en (, + ). 58 Estudia los intervalos de crecimiento y los máimos y los mínimos de la función dada por: y = + Definimos la función por intervalos. Para ello, calculamos los puntos donde f () = : ± 4+ + = = ± 4 = = = + si < f () = * + si + si > 4

41 Hallamos la derivada de f : + f '() = * + si < si < si > En = no es derivable, pues f '( ) = 4 f '( + ) = 4. En = no es derivable, pues f '( ) = 4 f '( + ) = 4. Veamos dónde se anula la derivada: + = = Pero f '() = + para < y >. = = y f '() = para < < Por tanto, f '() se anula en = f ( ) = 4. Signo de la derivada: f ' < f ' > f ' < f ' > La función: es creciente en (, ) (, + ). Es decreciente en (, ) (, ). Tiene un máimo en (, 4). Tiene un mínimo en (, ) y otro en (, ). Son los puntos donde f no es derivable. 59 Estudia la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos de la función y = 4. 4 si < si < f () = * + 4 si f '() = * si < < 4 si > si > En = no es derivable, pues f '( ) = 4 f '( + ) = 4. En = no es derivable, pues f '( ) = 4 f '( + ) = 4. La derivada se anula en =. Signo de la derivada: f ' < f ' > f ' < f ' > La función tiene un máimo relativo en (, 4). No tiene máimo absoluto a lm í f() lm í f() k Tiene un mínimo relativo en (, ) y otro en (, ). En estos puntos, el mínimo también es absoluto, puesto que f () para todo. + e si 6 Sea f la función definida por f () = *. a b si > a) Determina el valor de a y b sabiendo que f () es derivable en =. b) Tiene puntos singulares? a) Eigimos la continuidad y derivabilidad en =. Veamos la continuidad: lm í ( + e ) = 8 lm í a b = a b + 8 Cuando a b =, la función es continua ya que lm í f () = f (). 8 4

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