APLICACIONES DE LA DERIVADA

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1 APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión de abscisa = (b) [ punto] Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de infleión Ejercicio [ 5 puntos] Un alambre de longitud metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima Ejercicio [ 5 puntos] Halla la función f: R R sabiendo que f ( ) = 6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene de ecuación y 7 = Ejercicio [ 5 puntos] Determina un punto de la curva de ecuación pendiente de la recta tangente sea máima y = e en el que la Ejercicio 5- [ 5 puntos] Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de cm Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máimo Ejercicio 6 [ 5 puntos] Determina una función f: R R sabiendo que su derivada viene dada por f ( ) = + 6 y que el valor que alcanza f en su punto máimo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo) Ejercicio 7 Sea f: (-,+ ) R la función definida por f ( ) = Ln( + ) (Ln denota la función logaritmo neperiano) (a) [ punto] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = (b) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta = Ejercicio 8 [ 5 puntos] Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es y que el producto de sus cuadrados es máimo Ejercicio 9 [ 5 puntos] Sea f: R R la función definida por f ( ) = + + a + b Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión es la recta y = + Ejercicio [ 5 puntos] Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos El precio de cada uno de estos materiales es y euros por centímetro cuadrado, respectivamente Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser metro Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo? Ejercicio [ 5 puntos] De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación + y = (ver figura), determina el que tiene mayor

2 Ejercicio Sea f: R R la función definida por f ( ) = ( ) e (a) [ punto] Calcula los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan) (b) [ 5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión Ejercicio [ 5 puntos] Determina la función f: R R sabiendo que f ( ) = y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = es la recta y = Ejercicio [ 5 puntos] Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 5 m Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su superficie sea mínima? Ejercicio 5 Sean f: R R y g: R R las funciones definidas por f ( ) = + a + b y ( + ) g ( ) = c e Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (, ) y tienen en ese punto la misma recta tangente (a) [ puntos] Calcula los valores de a, b y c (b) [ 5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente Ejercicio 6 Sea g: (, + ) R la función dada por g( ) = ln (ln denota logaritmo neperiano) (a) [ 75 puntos] Justifica que la recta de ecuación y = es la recta tangente a la gráfica de g e en el punto de abscisa = e (b) [ 75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior Ejercicio 7 [ 5 puntos] De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (, ), encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima Halla el área de dicho triángulo Ejercicio 8 [ 5 puntos] De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud + Ejercicio 9 [ 5 puntos] Dada la función f: R R definida por f ( ) =, determina la e ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión Ejercicio [ 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máima Ejercicio Sea f: (, + ) R la función definida por f ( ) = ln( + ), donde ln denota el logaritmo neperiano (a) [ 5 puntos] Determina, si eisten, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación y + = (b) [ punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =

3 Ejercicio [ 5 puntos] Calcula neperiano lim Ln siendo Ln la función logaritmo e e Ejercicio [ 5 puntos] Calcula lim sen Ejercicio [ 5 puntos] Sea f: R R la función definida como f ( ) = ( + ) Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 5 y en el punto de abscisa = Ejercicio 5 [ 5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9 cm Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máimo? (Recuerda que el volumen del cono es V = π r h ) Ejercicio 6 [ 5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 8 cm de teto Los márgenes superior e inferior han de ser de cm cada uno y los laterales cm Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo Ejercicio 7 [ 5 puntos] Dada la función f: R R definida como f ( ) = asen( ) + b + c + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto (, ) y que la segunda derivada de f es f ( ) = sen( ) Ejercicio 8- [ 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo De entre todas las ventanas normandas de perímetro m, halla las dimensiones del marco de la de área máima Ejercicio 9- ['5 puntos] Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máima Ejercicio - Sea f: R R la función definida por f ( ) = (a) [ punto] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = (b) ['5 puntos] Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta + y = Ejercicio - ['5 puntos] Un alambre de m de longitud se divide en dos trozos Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima

4 Ejercicio - [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta euros el metro Cuáles son las dimensiones del prado de área máima que podemos cercar con euros? Ejercicio - [ 5 puntos] En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y = + Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máima Ejercicio - [ 5 puntos] Dada la función f: R R definida por f ( ) = a + b + c, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de infleión en (,), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y = + Ejercicio 5- Sea la función f : (,+ ) R definida por f ( ) = + ln( ) donde ln denota la función logaritmo neperiano (a) [,75 puntos] Halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que es alcanzan) en el intervalo e,e (b) [,75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = e Ejercicio 6- Sea la función f [,e] R : definida por f ( ) = 8ln( ) donde ln denota la función logaritmo neperiano (a) [,75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (b) [ punto] Calcula los etremos absolutos y relativos de la función f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan) (c) [,75 puntos] Estudia los intervalos de concavidad y conveidad Ejercicio 7- Sea la función : R R (a) [ punto] Calcula f ( ) y f ( ) f definida por f ( ) = e ( + ) lim lim + (b) [ punto] Halla los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máimos o mínimos (c) [,5 puntos] Determina las abscisas de los puntos de infleión de la gráfica de f R la función definida por ( ) Ejercicio 8 Sea f: [, π] f ( ) = e sen + cos (a) [ 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f (b) [ 5 puntos] Calcula los puntos de infleión de la gráfica de f a sen( ) e Ejercicio 9- [,5 puntos] Sabiendo que lim a en dicho límite es finito, calcula el valor de Ejercicio - [5 puntos] Un alambre de longitud m se divide en dos trozos Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un

5 cuadrado Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo resultantes sea mínima Ejercicio - [ 5 puntos] Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de 5 cm De radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible Ejercicio - Sea la función f: R R definida por f ( ) == ln( + + ) donde ln denota la función logaritmo neperiano (a) ['5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) (b) [ punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = - Ejercicio - ['5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa unidades, determina las dimensiones del de área máima Ejercicio - [ 5 puntos] Halla las dimensiones del rectángulo de área máima inscrito en un triangulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y metros de alto Ejercicio 5- ['5 puntos] Un alambre de metros de longitud se divide en dos trozos Con uno de ellos se forma un triangulo equilátero y con el otro un cuadrado Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima Ejercicio 6- ['5 puntos] Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + c Se sabe que un punto de infleión de la grafica de f tiene abscisa = y que f tiene un mínimo relativo en = de valor -9 Calcula a, b y c Ejercicio 7- [ 5 puntos] Considera la función f: R R dada por f ( ) = + a + b + c Determina a, b y c sabiendo que la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = es y + = y que el punto de infleión tiene abscisa = cos + bsen Ejercicio 8- [ 5 puntos] Sabiendo que lim del límite es finito, calcula b y el valor Ejercicio 9- ['5 puntos] Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de 5 m Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima Ejercicio 5- Sea f la función definida por f ( ) = + ln( ) para > (ln denota el logaritmo neperiano) (a) [ 75 puntos] Determina el punto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente es máima (a) [ 75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 5

6 Ejercicio 5- [ 5 puntos] Sabiendo que límite (ln denota el logaritmo neperiano) lim a es finito, calcula a y el valor del ln Ejercicio 5- Sea f: R R definida por f ( ) = + a + b + c a) [ 75 puntos] Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga tiene un punto de infleión de abscisa = / y que la recta tangente en el punto de abscisa = tenga de ecuación y = 5 6 a) [ 75 puntos] Para a =, b = -9 y c = 8, calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan) Ejercicio 5- [ 5 puntos] Sea f: R R la función definida por f ( ) = + b + c + d f ( ) Halla b, c y d sabiendo que f tiene un máimo relativo en = - y que lim = INTEGRALES Ejercicio Calcula 5 6 (a) [ 5 puntos] d 5 tg d, siendo tg la función tangente (b) [ punto] ( ) ( ) Ejercicio Sea = I d + (a) [ 5 puntos] Epresa I aplicando el cambio de variable t = + (b) [ 5 puntos] Calcula el valor de I Ejercicio [5 puntos] El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = a, con a >, vale Calcula el valor de a y = e a Ejercicio (a) [ 5 puntos] Sea f: R R la función dada por f ( ) = a + b Halla los 6 valores de a y b sabiendo f ( ) d = 6 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa vale (b) [ punto] Sea f: R R la función dada por f ( ) = + p + q Calcula los valores de p y q sabiendo que la función f tiene un etremo en = 6 y su valor en él es Ejercicio 5 [ 5 puntos] Calcula ( ) e d Ejercicio 6 [ 5 puntos] Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f ( ) = sen y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisas = y = π 6

7 Ejercicio 7 [ 5 puntos] Sean las funciones f y g: [, + ) R, dadas por f ( ) = y g( ) = λ, donde λ es un número real positivo fijo Calcula el valor de λ sabiendo que área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones es / 5 Ejercicio 8- (a) [ 75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas y = + e y = (b) [ 75 puntos] Calcula el área de dicho recinto Ejercicio 9 Sean f: R R y g: R R las funciones definidas mediante f ( ) = + y g ( ) = + (a) [ 5 puntos] Esboza las gráficas de f y de g calculando sus puntos de corte (b) [ 5 puntos] Calcula el área de cada uno de los recintos limitados entre las gráficas de f y g Ejercicio [ 5 puntos] Dada la función f: R R definida por f ( ) = Ln( + ), halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas (Ln denota la función logaritmo neperiano) Ejercicio Considera las funciones f: R R y g: R R definidas por g( ) = e f ( ) = e y (a) [ 5 puntos] Esboza las gráficas de f y de g y determina su punto de corte (b) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g f ( ) = Ejercicio Sea f: R R la función definida por ( ) (a) [ punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f (b) [ 5 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de f (c) [ punto] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas Ejercicio Sea d e (a) [ punto] Epresa I haciendo el cambio de variable t = e (b) [ 5 puntos] Calcula I Ejercicio [ 5 puntos] Dadas las funciones f: [,+ ) R y g: [, + ) R definidas por f ( ) = y g ( ) = Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g Ejercicio 5 Calcula + (a) [ punto] + (b) [ 5 puntos] π cos() d 7

8 Ejercicio 6 [ 5 puntos] Calcula β > para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f: R R y g: R R definidas por f ( ) = y g ( ) = + β sea 7 (unidades de área) Ejercicio 7 Sea f: R R la función definida por f ( ) = (a) [ 75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = (b) [ 75 puntos] Dibuja el recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX Calcula su área Ejercicio 8 [ 5 puntos] Sea f: R R la función definida por f ( ) = a + b + c + d Se sabe que f tiene un máimo local en =, que el punto (, ) es un punto de infleión de su 9 gráfica y que f ( ) d = Calcula a, b, c y d Ejercicio 9 Dada la función g: R R, definida por g ( ) = + (a) [ punto] Esboza la gráfica de g (b) [ 5 puntos] Calcula g ( ) d Ejercicio Sean f: R R y g: R R las funciones definidas por f ( ) = y g ( ) = + (a) [ 5 puntos] Esboza las gráficas de f y g (b) [ puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas Ejercicio [ 5 puntos] Calcula d ( ) ( ) Ejercicio Sea f: R R la función definida por f ( ) = e (a) [ punto] Justifica que la recta de ecuación y = -e es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = (b) [ 5 puntos] Calcula el área el recinto limitado por la gráfica e f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior Ejercicio Sean f: R R y g: R R las funciones definidas mediante g ( ) = 6 (a) [ 75 puntos] Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g (b) [ 75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas f ( ) = y Ejercicio [ 5 puntos] Calcula ln( ) + d (ln denota la función logaritmo neperiano) Ejercicio 5 [ 5 puntos] Sean f: R R y g: R R las funciones dadas por f ( ) = y g ( ) = a (con a > ) Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es / Calcula el valor de la constante a 8

9 Ejercicio 6 [ 5 puntos] Calcula e ln( ) d (ln denota la función logaritmo neperiano) Ejercicio 7 Considera las funciones f :(,π) R y g: (, + ) R definidas por sen f ( ) = y g( ) = ln [ln denota la función logaritmo neperiano] cos (a) [ 5 puntos] Halla la primitiva de f que toma el valor cuando = / (se puede hacer el cambio de variable t = cos ) (b) [ 5 puntos] Calcula g ( ) d Ejercicio 8 Sea g: R R la función definida por g ( ) = + (a) [ 5 puntos] Esboza la gráfica de g (b) [ 75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa = (c) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de abscisas Ejercicio 9 [ 5 puntos] Sea f :(, + ) R la función definida por f() = ln( + ) Halla una primitiva F de f que verifique F() = (ln denota el logaritmo neperiano) Ejercicio [ 5 puntos] Calcula el valor de a > sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y = + a y la recta y + = vale 6 unidades cuadradas π Ejercicio [ 5 puntos] Calcula ( ) = t sen d Sugerencia: Efectúa el cambio Ejercicio Considera la función f dada por f() = 5 y la función g definida como g( ) = para (a) [ punto] Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte (b) [ 5 puntos] Calcula el área de dicho recinto Ejercicio [ 5 puntos] Dada la función f definida por f ( ) = para 5 + y Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas =, = Ejercicio Sea la función f dada por una primitiva F de f tal que F() = f ( ) = para - y Determina + Ejercicio 5 Considera la función f: R R definida por f ( ) = (a) [ punto] Esboza su gráfica (b) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta de ecuación = 9

10 Ejercicio 6 Considera las funciones f, g: R R definidas por f() =, g() = (a) [ punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados (b) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g Ejercicio 7 Dada la función f: (,+ ) R definida por f() = ln, donde ln la función logaritmo neperiano, se pide: a) [ 75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación y = e + + e es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = e b) [ 75 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a) 5 Ejercicio 8 Sea I = d + e (a) [ punto] Epresa I haciendo el cambio de variable (b) [ 5 puntos] Determina I t = e Ejercicio 9 Considera la función f: R R dada por f() = + (a) [ 75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = (b) [ 75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta de ecuación y = + Calcula su área Ejercicio Sean f, g: R R las funciones definidas por f ( ) = + y g ( ) = + (a) [ punto] Esboza las gráficas de f y g, y halla su punto de corte (b) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas Ejercicio - [ 5 puntos] Calcula el valor de b>, sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva y = y la recta y = b es de unidades cuadradas Ejercicio - ['5 puntos] Sea f: (;+ ) R la función definida por f ( ) = ( ln( ) ), donde ln denota la función logaritmo neperiano Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto P(,) Ejercicio - Considera las funciones f, g: R R definidas por f() = 6 y g() = (a) ['75 puntos] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte (b) [ 75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g Ejercicio - [ 5 puntos] Calcula: π cos( ) d

11 Ejercicio 5- Sean f, g: R R las funciones definidas por f ( ) = + y g() = (a) ['75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = (b) [ 75 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y = + 5 Calcula el área de este recinto Ejercicio 6- Sean f: R R y g: R R las funciones definidas por: f ( ) = y g ( ) = (a) [ punto] Esboza las gráficas de f y g Determina sus puntos de corte (b) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g Ejercicio 7- [ 5 puntos] Calcula un número positivo a, menor que, para que el recinto limitado por la parábola de ecuación y = y las dos rectas horizontales de ecuaciones y = a e y =, tenga un área de unidades cuadradas Ejercicio 8- Dada la función f: R R definida por f ( ) = + (a) [ 5 puntos] Prueba que las rectas y = + e y = son tangentes a su gráfica (b) [ puntos] Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior Ejercicio 9- ['5 puntos] Determina la función f:(-,+ ) R tal que y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(,) + Ejercicio 5- ['5 puntos] Calcula: d + f ( ) = Ln < Ejercicio 5- Sea f: (, ) R la función definida por f ( ) =, Ln( ) < < siendo Ln la función logaritmo neperiano (a) [,5 puntos] Estudia la derivabilidad de f en el punto = (b) [,5 puntos] Calcula 5 f ( ) d Ejercicio 5-(a) [ 75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas 5 y = e y = + (b) [ 75 puntos] Calcula el área de dicho recinto Ejercicio 5- [,5 puntos] Sea la función f : R R definida por f ( ) = cos( ) Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (π, )

12 Ejercicio 5- Sean f, g: R R las funciones definidas por f ( ) = sen y g( ) = cos respectivamente (a) [,75 puntos] Realiza un esbozo de las gráficas f y g en el intervalo, π (b) [,75 puntos] Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas = y = π f ( ) = e Ejercicio 55- ['5 puntos] Sea la función f: R R definida por ( ) Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (-, ) Ejercicio 56- Sea f : R R la función definida por f ( ) = (a) [,75 puntos] Halla la ecuación de la recta a la gráfica de f en el punto de abscisa = (b) [,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y =, determinando los puntos de corte de ambas gráficas (c) [ punto] Calcula el área del recinto anterior Ejercicio 57- Sean f, g : R R las funciones definidas por f ( ) = y g( ) = + respectivamente (a) [,75 puntos] Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan (b) [,75 puntos] Calcula el área de dicho recinto Ejercicio 58- Sea I = d + (a) ['75 puntos] Epresa la integral I aplicando el cambio de variable (b) [ 75 puntos] Calcula el valor de I t = 9 Ejercicio 59- Sea f: R R la función definida por f ( ) = (a) [ 75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa = (b) [ 5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta + y = 5 y el eje de abscisas Calcula el área de dicho recinto Ejercicio 6- Sea f una función continua en el intervalo [, ] y F una primitiva de f tal que F() = y F() = Calcula: (a) [,75 puntos] f ( ) d (b) [,75 puntos] ( f ( ) 7) (c) [ punto] ( F ( ) ) f ( ) d 5 d Ejercicio 6- [ 5 puntos] Sea g: R R definida por g() = ln( + ) (donde ln denota el logaritmo neperiano) Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas

13 Ejercicio 6- Sea la función f definida por f ( ) = para y (a) [,5 puntos] Halla una primitiva de f (b) [,5 puntos] Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de f en el intervalo [, k] sea ln(), donde ln denota el logaritmo neperiano Ejercicio 6- Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y =, y = 8 y la curva y = (a) ['5 puntos] Realiza un esbozo de dicho recinto (b) [ puntos] Calcula su área Ejercicio 6- ['5 puntos] Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f: (,+) R definida por f ( ) = a + bln( ), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un etremo relativo en = y que f ( ) d = 7 8ln() Ejercicio 65- Sean las funciones f: R R y g: [;+) R definidas por f ( ) = y g( ) =, respectivamente (a) ['75 puntos] Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g Realiza un esbozo del recinto que limitan (b) ['75 puntos] Calcula el área de dicho recinto Ejercicio 66- Sean f y g las funciones definidas por f () = y g( ) = para + a) [ 5 puntos] Calcula los puntos de corte entre las gráficas de f y g b) [ 5 puntos] Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes c) [ 5 puntos] Halla el área del recinto limitado por las gráficas de f y g e Ejercicio 67- [ 5 puntos] Calcula + e variable t = e Sugerencia: se puede hacer el cambio de Ejercicio 68- Sean f: R R y g: R R las funciones definidas por f() = ( ) y g() = + a) [ 5 puntos] Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes Calcula el punto de corte entre ambas gráficas a) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g Ejercicio 69- [ 5 puntos] Sea g: (, + ) R la función definida por g( ) = + Determina la primitiva de g cuya gráfica pasa por el punto P(,) Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable t = Ejercicio 7- [ 5 puntos] Calcula sen( ) π d

14 Ejercicio 7- Sea g: (, + ) R la función definida por g() = ln() (donde ln denota el logaritmo neperiano) a) [ 5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta y = Calcula los puntos de corte entre ellas b) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto anterior Ejercicio 7- ['5 puntos] De la función f: R R definida por f ( ) = a + b + c + d se sabe que alcanza un máimo relativo en =, que la grafica tiene un punto de infleión en (,) 5 y que f ( ) d = Calcula a, b, c y d Ejercicio 7- ['5 puntos] Calcula d Ejercicio 7- a) [ puntos] Determina la función f: R R tal que f ( ) = ( + ) e y su grafica pasa por el origen de coordenadas b) ['5 puntos] Calcula la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa = Ejercicio 75- Sea g: R R la función definida por g ( ) = a) ['75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la grafica de g en el punto de abscisa = b) ['75 puntos] Esboza el recinto limitado por la grafica de g y la recta y + = Calcula el área de este recinto Ejercicio 76- [ 5 puntos] Calcula ln( ) d (ln denota el logaritmo neperiano) Ejercicio 77- Sea f: R R la función definida por f ( ) = + + (a) [ 5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = (b) [ 75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta + y 7 = y el eje OX, calculando los puntos de corte (c) [ 5 puntos] Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior Ejercicio 78- ['5 puntos] Sea la función definida por f ( ) = ln( + ) para > - (ln denota el logaritmo neperiano) Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, ) Ejercicio 79- Considera el recinto limitado por las siguientes curvas y =, y =, y = (a) [ punto] Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas (b) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto Ejercicio 8- Sea f: R R la función definida por f ( ) = + + (a) [ 5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = (b) [ 75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta + y 7 = y el eje OX, calculando los puntos de corte (c) [ 5 puntos] Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior

15 Ejercicio 8- Sean f: R R y g: R R las funciones definidas respectivamente por f ( ) = y g( ) = + a) [ puntos] Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas a) [ 5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g 5

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