Geometría y Arte. Didáctica de la Geometría en Educación Secundaria

Transcripción

1 Geometrí y Arte Didáctic de l Geometrí en Educción Secundri Mª Encrnción Reyes. ETS Arquitectur. Universidd de Vlldolid Fcultd de Educción Vlldolid, Febrero 007

2 Proporciones

3 Proporciones Otrs: Cordobes, Plástic

4 Proporciones i

5 Segmento Áureo Definición: Se dice que un segmento AB está dividido según l proporción áure o divin si l relción entre l prte myor y l prte menor es igul l relción entre el todo y l myor. c b A C b b = + = b+ b = b b 1 0 b 0 B Llmndo x =, tenemos x x 1= 0 y x = 1± 5. b Denotmos por φ = ' y φ = ls soluciones obtenids El número se llmó número de oro; Fue MARK BARR quien propuso est notción en honor FIDIAS (PHEIDIAS), escultor griego que utilizó números de oro en sus obrs.

6 CONSTRUCCION EFECTIVA DE LA DIVISON ÁUREA DE AB r s (+b)/ D E A C b B

7 Proporción en un rectángulo Definición: Ddo un rectángulo de ldos y b, se define l proporción del rectángulo como pb (, ) mx(, b) min(, b) Propieddes de l proporción de un rectángulo = p(, b) 1 pb (, ) = 1 (1) y corresponde l cudrdo. p( λ, λ b) = p(, b), λ () > 0, es decir, l proporción en un rectángulo es invrinte por homotecis y semejnzs. (3) L proporción de un rectángulo coincide con l proporción de sus rectángulos recíprocos externos e internos.

8 Rectángulos recíprocos externos Los rectángulos R1 y R tienen l mism proporción que el rectángulo R inicil. R no posee l mism proporción, pero el rectángulo totl sí.

9 Rectángulos recíprocos internos L proporción de un rectángulo es igul l proporción de sus rectángulos recíprocos internos. L construcción de los rectángulos recíprocos internos se efectú de l siguiente form: Trzmos desde C (resp. B) l perpendiculr l digonl DB (resp.ac) y sí obtenemos uno de ellos, el de l derech. Desde D (resp.a) trzmos l perpendiculr AC (resp. DB), obteniendo el rectángulo recíproco de l izquierd. A F' F β B BC cot nα = = cot nβ = FB AB AD α D E' E C

10 Rectángulo áureo Definición: Un rectángulo de ldos y b se dice con proporción divin o áure si: p(, b ) = φ A prtir de un cudrdo podemos obtener un sucesión decreciente de rectángulos en proporción áure y otr sucesión creciente de rectángulos en proporción áure. El rectángulo BQPC tmbién es áureo. Bst observr que: Q B A QP CP = = 1 φ φ 1 = φ F I E φ = φ + 1 φ ( ) φ 1 = 1 K P C D

11 Proporciones 50, 31, 19, 1, 7, 5,... Tz gignte volnte con nexo inexplicble de cinco metros de longitud. ( ) Slvdor Dlí ( ) Tz gignte A volnte con i+ 1 nexo i+ 1 = inexplicble Ai+ de i+ cinco = φ metros de longitud i i+1 ( ) D D i+ 1 i+ = φ Slvdor Dlí ( ) = φ

12 Rectángulo de plt θ = 1 + 1

13 Rectángulo de plt Plcio de Snt Cruz. Vlldolid Proporción de plt en l fchd. Los dos cudrdos contenidos en el rectángulo de plt determinn l colocción del blcón y de l blustrd superior que remt l cornis.

14 Rectángulo de plt y DIN Si se extre un cudrdo de un rectángulo en proporción ríz de dos, se obtiene un rectángulo de plt. 1 1 = 1 + = θ

15 Rectángulo de plt El Rectángulo de plt puede descomponerse en dos cudrdos y un rectángulo de plt θ = 1+ = + ( 1)

16 Número plástico

17 L solución rel, P, de l ecución x 3 = 1+ x se llm número plástico Si representmos en el 3 plno l curv y = x y = x + 1 y l rect se observ que se intersecn en un único punto P de bcis comprendid entre 1 y.

18 Números áureo y plástico El rectángulo áureo es el único en el cul l prolongción de un digonl contiene el vértice del mismo rectángulo dycente colocdo verticlmente l ldo. En efecto: 1 φ tn α = = φ φ = φ 1+ φ Si tenemos un rectángulo de ldos y b (>b) que verific b = + b 1 α ϕ 1 ϕ entonces b tn α = = b + b b b + b = 0 = 0 b = φ b α b b b b

19 Número plástico Versión tridimensionl de l propiedd nterior.

20 Número plástico

21 Proporciones

22 Proporción poligonl

23 Proporciones en el hexágono

24 Proporciones en el octógono

25 Proporciones en el octógono

26 Proporciones en el hexágonos encjdos

27 Proporciones en ls estrells 6/ A1 = L A = L3... Ai = Li A A n+ 1 n = L L n+ n+ 1 = 1 3

28 Proporciones en octógonos encjdos L sucesión se form prtir del octógono exterior trzndo el polígono estrelldo 8/3. Se repite el proceso. L L n+ 1 n = 1 θ

29 Proporciones en ls estrells 8/3 L sucesión de estrells 8/3 verific: A A n n +1 = θ θ es el número de plt

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