EVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS

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1 EVERYDAY ENGINEERING EXAMPLES FOR SIMPLE CONCEPTS Arte, finanzas y sucesiones en EXCEL MATH 2252 Calculus II Dra. Carmen Caiseda Copyright 2015

2 Arte, Finanzas y sucesiones en Excel Engage: MSEIP Engineering Everyday Engineering Examples La matemática es bella! Los patrones y conexiones entre conceptos están en todos lados para descubrir. Por comunicar ideas y estructuras en forma abstracta la matemática se aplica a cosas tan diversas como el arte y las fianzas. Observa por ejemplo el girasol en la figura 1. Hay espirales de semillas que crecen en ambas direcciones, a favor (azul) y en contra (verde) de las manecillas del reloj. Contando 21 espirales azules, y 13 espirales verdes. Figura 1 Esos son dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci: {1,1,2,3,5,8,13,21, } = {a n } n=1 Las artes gráficas usan estos patrones de la sucesión de Fibonacci para generar diseños como el de la Figura 2. Page 1

3 Figura 2 Pero igualmente estos patrones han sido usados por los grandes artistas para definir proporciones agradables y la belleza. Por ejemplo vean la Figura 3. Figura 3 Page 2

4 La razón áurea se muestra en los rectángulos de forma que la razón ancho : largo = 1: Observa los rectángulos que se generan recursivamente de mayor área a menor en la figura 3. La recursión consiste en subdividir el rectángulo mayor en un cuadrado (s=a) y un nuevo rectángulo menor que nuevamente guarda la razón aurea, áurea (Golden ratio) φ (Para explorar más sobre la razón áurea visita la razón áurea Pero, qué relación hay entre la razón áurea, la sucesión de Fibonacci?, y qué relación existe entre las sucesiones y las finanzas? Exploramos estas relaciones sorprendentes usando una hoja e Excel, que se adjunta. Explore: 1. Qué relación hay entre la razón áurea, la sucesión de Fibonacci? La hoja de Excel contiene los primeros 13 términos de la sucesión de Fibonacci. Pasa a la Hoja de Excel Instrucciones: Observaciones 1. Calcula an/an-1 para n = 1, Converge a un límite o diverge? Si converge indica a qué número 3. Para n = 1-10 calcula en Excel a1 = /an-1 4. Converge a un límite? Si converge indica a qué número 2. Qué relación existe entre las sucesiones y las finanzas? Page 3

5 En finanzas para calcular el valor futuro (A) de una inversión inicial o principal (P) que gana intereses al una tasa (r), n veces al año se usa la fórmula: A = P (1 + r n )nt. Entonces una inversión que gana intereses continuamente se obtiene de esta fórmula cuando n. Exploremos entonces expresión que se obtiene de esta fórmula: (1 + 1 n )n. Pasa a la Hoja de Excel Instrucciones: Observaciones 1. Calcula la sucesión (1 + 1 n )n Para n = 1, 10, 100, 1000, 10, Converge a un límite o diverge? Si converge indica a qué número Explain 1. La razón áurea se obtiene al dividir términos sucesivos consecutivos de la sucesión de Fibonacci!. La precisión aumenta para términos mayores, es decir usando el lenguaje matemático, si F(n) es el término n de la sucesión de Fibonacci: lim = φ. F(n 1) 2. La sucesión (1 + 1 n )n converge al número irracional e, la base del logaritmo natural. Es decir lim (1 + 1 n )n = e. Entonces la fórmula para hallar el valor futuro de una inversión que gana intereses continuamente se obtiene como: A = lim P (1 + r n )nt = Pe rt. Esto lo puedes obtener con un cambio de variable sencillo: sea n r = m, F(n) entonces: lim m =. m A = lim m P (1 + 1 m )m rt = Pe rt, debido a que n lim = r Page 4

6 Elaborate: Excel sirvió para explorar numéricamente el límite de las sucesiones. Los términos de una sucesión convergen a un límite o divergen. Para calcular el límite definimos las sucesiones usando una fórmula {a n } n=1, donde a n varía de acuerdo a la sucesión. Las siguientes son definiciones recursiva (usan términos previos) de las sucesiones que exploraste en Excel para contestar las preguntas 1 y 2. Fibonacci: a 1 = 0, a 2 = 1, y para n > 2: a n = a n 2 + a n 1, diverge a infinito División a n a n 1 converge a φ donde a n, a n 1 son términos consecutivos de Fibonacci a n = a n 1 converge a φ ** La última ecuación se obtiene de la relación que existe entre los lados de los rectángulos construidos recursivamente de forma que si el largo es a, y el a+b ancho es a+b, entonces los números a > b guardan la proporción: = a. a b Separando la suma en el lado izquierdo obtienes: 1 + b/a = a/b. Denota a/b = φ, entonces b/a = φ -1. Obtenemos: 1 + b/a = a/b 1 + 1/ φ = φ (Multiplica la ecuación por φ ) φ + 1 = φ 2 = 0 = φ 2 φ 1 (Usando la fórmula cuadrática) φ = NOTA: La fórmula recursiva en ** funciona porque está calculando φ a n = a n 1 = 1 + 1/ φ, es decir usa la fórmula que acabamos de obtener φ = 1 + 1/ φ. Definimos la sucesión de la pregunta 2 en forma directa: a n = (1 + 1 n )n : que converge a e. Pero podemos entonces calcular este límite directamente usando L Hopital! Page 5

7 Por lo tanto el estudio de sucesiones nos lleva a calcular límites para contestar preguntas del artes o finanzas que son de cálculo : lim a n. Una vez definida la forma de los términos de una sucesión el límite se puede calcular directamente o usando L Hopital. What did you learn? Las relaciones entre el arte, la razón áurea y la sucesión de Fibonacci La relación entre las fórmulas de finanzas para hallar valor futuro de una inversión y e Uso práctico de Excel para buscar límites de sucesiones numéricamente Evaluate: 1. Demuestra que lim (1 + 1 n )n = e, usando la regla de L Hopital. 2. Indica si las siguientes sucesiones convergen o divergen. Si convergen indica el límite. a. lim (1 + 1 n )n b. lim (1 + 1 ) n c. lim (( 1) n + 1 ) n d. lim ( 100 ) n e. a n = (1 + 1 ), a a 1 = 1, Halla lim (a n ) n 1 f. a 1 = 0, a 2 = 1, a n = a n 1 + a n 2 para n >2 3. Usando Excel Indica si las siguientes sucesiones convergen o divergen. Si convergen aproxima el límite. Esta es la importante sucesión geométrica. a. lim 3(0.5) n b. lim 3(2) n Page 6