Matemáticas Financieras en Mercados Incompletos Sesión 3: Valoración de Derivados Mercados Completos

Transcripción

1 Matemáticas Aplicadas Módulo II Matemáticas Financieras en Sesión 3: Valoración de Derivados Mercados Completos Diego Jara Introducción al Modelos Financieros para Valoración de Derivados en el Sector Eléctrico con Aplicaciones al Caso Colombiano Enero 2012

2 Mapa del Módulo 1. MOTIVACIÓN DEL MÓDULO 2. VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS COMPLETOS Principio de no Arbitraje Tiempo discreto: Modelo Binomial Tiempo continuo: Modelos de difusión Teoremas Fundamentales de Matemáticas Financieras 3. VALORACIÓN DE DERIVADOS EN MERCADOS INCOMPLETOS Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de electricidad d Ejemplos teóricos Esquemas de Valoración de derivados

3 Referencias Björk, T., Arbitrage in Continuous Time. Oxford University Press. Capinski, M. and T. Zastawniak (2003). MATHEMATICS FOR FINANCE. Springer Carr, P., Geman, H., Madan, D. (2001). Pricing and Hedging in Incomplete Markets. J. Financial Economics 62 Hull, J. (2006). OPTIONS, FUTURES AND OTHER DERIVATIVES. Prentice Hall, 6 th Ed. Karatzas, I., and Shreve, S., METHODS OF MATHEMATICAL FINANCE. Springer Verlag. Kramkov, D., and Shachermayer, W. (1999). The Assymptotic Elasticity of Utility Functions and Optimal Investment in Incomplete Markets. The Annals of Applied Probability, Vol 3. Shreve, S., STOCHASTIC CALCULUS FOR FINANCE (I & II). Springer Verlag. Wolczynska, G. (1998). Option Pricing in Incomplete Discrete Markets. Applied Mathematical Finance, Vol 5. Xu, M..(2005). Risk Measure Pricing and Hedging gin Incomplete Markets. Annals of Finance, Vol 2.. (muchísimos más)

4 Motivación del Módulo Antes de la difusión de la teoría de valoración de derivados, éstos se valoraban como se valoraría una lotería: Conocimiento de pagos futuros (en términos de un subyacente) Factores de descuento para traer a valor presente Ajuste por riesgo, según preferencias del inversionista La metodología Black-Scholes-Merton forzó un giro radical: Si yo puedo replicar un derivado, su valor debe ser igual al valor del portafolio replicante (si no, habría oportunidad de arbitraje) Esto permitió ignorar preferencias: para valorar derivados solo necesito La función final de pago La estructura de la tasa libre de riesgo La estructura de volatilidad del subyacente La replicación elimina el riesgo dos agentes muy distintos deben valorar idénticamente un derivado (porque ninguno de los dos puede admitir oportunidades de arbitraje)

5 Motivación del Módulo Sin embargo, la metodología usa fuertemente algunas suposiciones Existe una tasa libre de riesgo accesible a todos los inversionistas No hay fricciones (costos de transacción, iliquidez, etc.) No hay restricciones fuertes en el mercado (p.ej., es posible tener posiciones cortas en el subyacente) El modelo de la estructura de volatilidad futura del subyacente es acertado ES POSIBLE ENCONTRAR SIEMPRE UN PORTAFOLIO REPLICANTE Esto es lo mismo que decir que los mercados son completos En la práctica ningún mercado es completo Normalmente se pueden ignorar las fuentes de incompletitud, y llegar a resultados razonablemente precisos

6 Motivación del Módulo En el mercado de electricidad, la fuente de incompletitud es muy fuerte y no se puede ignorar: El subyacente no es un activo transable Es imposible mantener un portafolio de unidades de electricidad Es imposible replicar pagos finales de derivados Antes de volver al mercado de electricidad, es necesario investigar qué dice en general la teoría para mercados incompletos Observación: esta es una rama relativamente joven en la teoría de Matemática Financieras; aún queda mucho por decir Intención: presentar el estado del arte académico Requisito: repasar la metodología para mercados completos y resaltar los puntos esenciales en el desarrollo

7 Valoración de Derivados en Mercados Completos Principio de no Arbitraje Tiempo discreto: Modelo Binomial Tiempo continuo: Modelos de difusión Teoremas Fundamentales de Matemáticas Financieras

8 Mercados Financieros Básicos Acciones Bonos Monedas (?) Fondos de Inversión Mercado Monetario Activos Físicos Bienes de Consumo (Commodities)

9 Mercados Financieros Básicos Mercados (centros de transacción) OTC Bolsas Existencia de precios para cada instrumento básico (no es trivial esto) Definición estándar de Derivados: Instrumentos (contratos) cuyos flujos de caja están definidos por precios de instrumentos básicos transables Adición: los flujos de caja pueden estar definidos por variables observables (que pueden no representar precios de instrumentos básicos transables)

10 Descripción de Mercados Teóricos Se trabaja en un mercado ficticio, con las siguientes suposiciones: Existen instrumento financieros, con precios S bien definidos Estos precios varían en el tiempo S(t) Existen compradores yvendedores, yun mercado transaccional organizado Existe un mercado monetario: se puede prestar o pedir prestada plata a cualquier término T, a una tasa r = r(t) (la tomamos compuesta continuamente)

11 Descripción de Mercados Teóricos Se supone lo siguiente 1. S(t) 0 para todo activo y todo t 2. No hay fricciones a. No hay costos de transacción b. Infinita Divisibilidad c. Infinita Liquidez 3. No hay restricciones de venta en corto 4. Admisibilidad (no se puede apostar con doble o nada infinitamente) 5. No existen oportunidades de arbitraje (no hay almuerzos gratis )

12 Descripción de Mercados Reales Las suposiciones anteriores fallan (en mayor o menor medida) en mercados reales Detalles significativos: Capacidad idd de pedir prestada plata en cualquier momento, y por cualquier monto Costos de transacción Liquidez Capacidad de vender en corto

13 Principio de No Arbitraje Recordemos la existencia del mercado monetario B(t,T) factor de descuento de madurez T, tal como se observa en t (es el precio de un bono cero cupón a T T-bonos ) B(t,T) = e -r(t,t)(t-t) = e -r(t-t) En lo que sigue, no se necesita que r sea constante, ni que sea dt determinística iíti (puede variar aleatoriamente t en el tiempo) Invertir es comprar T-bonos. Pedir prestado es vender (emitir) T-bonos. Precio Forward: F(t,T) Precios de Opciones: C E, C A, P E, P A

14 Vl Valoración Pi Principio i i de No Abit Arbitraje Ej. 1. Precio Forward de una acción sin dividendos F(0,T) = S(0) / B(0,T) Dem./ Supongamos F(0,T) S(0) / B(0,T) t=0: - Comprar un forward por $0 -Vender en corto una acción por +$S(0) - Comprar S(0)/B(0,T) T-bonos por -$S(0) Portafolio: largo un forward, corto una acción, largo S(0)/B(0,T) T- bonos Caja : $0 (se armó el portafolio sin plata) t=t: - liquidación del fwd: +1 acción, -$F(0,T) - acciones: -1 acción -T-bonos: +$[S(0)/B(0,T)] Portafolio: nada Caja : +$[S(0)/B(0,T)]-F(0,T)0. ARBITRAJE! Suposición falsa.

15 Vl Valoración Pi Principio i i de No Abit Arbitraje Ej. 2. Para una acción sin dividendos C E = C A Dem./ Supongamos C E C A, y que la opción americana se ejerce en T (si no es así, se da un arbitraje trivial) t=0: - Comprar una call europea por $ C E -Vender una call americana por $ C A - Consumir la diferencia (positiva) t=t: - contraparte ejerce call americana: -1 acción, +$K - Comprar K/B(,T) T-bonos: -$K t=t: - call europea: si S(T) K, no se ejerce y el pago del T-bono alcanza a cubrir el precio del corto de la acción (y sobra) si S(T) K, se ejerce, se cancela el corto de la acción, y se paga con el bono (y sobra) En cualquier caso, se gana plata, y nunca se pierde ARBITRAJE! Suposición falsa.

16 Valoración de Derivados en Mercados Completos Principio de no Arbitraje Tiempo discreto: Modelo Binomial Tiempo continuo: Modelos de difusión Teoremas Fundamentales de Matemáticas Financieras

17 Un Periodo Debemos suponer características del precio del subyacente MODELOS Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocástica) Deben incorporar características importantes de los mercados Deben ser sencillos (de implementar y de usar)

18 Un Periodo Tomemos la siguiente opción call europea: Precio Acción: S(0) = 80 Strike: K = 100 Expiración: T = 1 Tasás cero cupón compuestas continuamente (se suponen constantes): r = 10% Se plantea el siguiente modelo para S(T): 80 S(T) 90% 120?? C E (t=t) 90% C E 10% 60 10% 0 t=0 t=t t=0 t=t 20

19 Un Periodo Intento natural:?? C C E C E (t=t) 90% 10% Encontrar valor esperado de precio final Descontar ese promedio a valor presente 20 Resultado de este intento: C E =? e -rt (90% % 0) =

20 Un Periodo Idea: construir un portafolio (con acciones y bonos cero cupón) que replique los flujos de caja de la acción (solo hay flujos en t=t) Pago opción = valor portafolio en estado arriba Pago opción = valor portafolio en estado abajo Si se logra esto, se debe tener C E = precio (hoy) del portafolio replicante de lo contrario habría arbitraje P. ej., si C E < precio portafolio, se compra la opción y se vende el portafolio Hoy, t=0: ganancia igual a la diferencia En t=t: ingreso opción = egreso portafolio Neto, hoy ganamos plata sin riesgo arbitraje

21 Un Periodo x: número de acciones en el portafolio y: número de T-bonos (cero cupón, con principal 100, madurez T) en el portafolio Se quiere ( arriba ) 120x + 100y = 20 ( abajo ) 60x + 100y = 0 x = y = -0.2 Valor portafolio: 80x + 100e -rt y = 8.57 C E = 8.57 Esto es independiente de las probabilidades iniciales

22 Un Periodo En general, el modelo del precio de la acción es S(T) p S 0 S 0 eut d < r < u Para evitar arbitraje 1-p S0e dt t=0 t=t El pago final de un derivado depende del precio final de la acción: D u =D u (S u ) y D d =D d (S d ) p D 0 D(T) D u 1-p D d

23 Un Periodo x: número de acciones en el portafolio y: número de T-bonos (cero cupón, con principal 100, madurez T) en el portafolio Se quiere ( arriba ) S 0 e ut x + 100y = D u ( abajo ) S 0 e dt x + 100y = D d x = (D u -D d ) / S 0 (e ut -e dt ) y = (D ut dt ut dt d e - D u e ) / 100(e -e ) Valor portafolio: e -rt [q* D u + (1-q*) D d ], donde q* = (e rt - e dt ) / (e ut - e dt )

24 Un Periodo Luego el precio del derivado se obtiene Encontrando valor esperado* del precio final Descontando ese promedio a valor presente El valor esperado se encuentra con q* p no afecta el precio del derivado q* probabilidad de neutralidad al riesgo Esta es la metodología de Black, Scholes y Merton En este modelo hay dos ecuaciones y dos incógnitas; en general hay solución hay forma de replicar cualquier derivado Excepción: ecuaciones dependientes la acción tiene el mismo precio arriba y abajo. Pero en este caso el derivado solo tendría un precio final, y podría replicarse solo con bonos

25 Un Periodo Resumen: Nota: D 0 = E*[e -rt D final ] E*[e -rt S(T)] = e -rt [q* S u + (1-q*) S d d] = e -rt S(0)[e ut (e rt -e dt )+e dt (e ut -e rt )] / (e ut -e dt ) = S(0) De ahí el nombre de neutralidad al riesgo : es la probabilidad que me pronostica igual rendimiento de la acción (riesgosa) )q que del bono (sin riesgo) En términos matemáticos, el precio descontado de la acción (bajo q*), es una martingala Por esto, q* también se llama medida de martingala

26 Múltiples Periodos Extensión Dividir T en más de N periodos t i =T i/n i Δt=T/N Podrían ser distintos T S 0 P. ej., N = 2 S u =S 0 e u1δt Sd=S0e d1δt S uu =S 0 e (u1+u2)δt S ud =S 0 e (u1+d2)δt S du =S 0 e (d1+u2)δt S dd =S 0 e (d1+d2)δt

27 Múltiples Periodos Si el estado UD coincide con DU, el árbol es recombinante Aplicación: opción put americana, S(0)=50, K=58, r=3%, u1=u2=u=40%, d1=d2=d=-20%, T=1 Proceso Estocástico de S(t) t=0: S 0 = 50 t=0.5: S(U) = 61.07, S(D) = t=1: S(UU) = 74.59, S(UD) = S(DU) = 55.26, S(DD) = 40.94

28 Múltiples Periodos q* q = 34.8% Proceso del valor de P A (t) t=1: P A (UU) = 0, P A (UD) = P A (DU) = 2.74, P A (DD) = t=0.5: P A (U) = max {(K-S(U)) ( +, e -rδt [q* P A (UU) + (1-q*) P A (UD)]} = 1.76 P A (D) = max {(K-S(D)) +, e -rδt [q* P A (DU) + (1-q*) P A (DD)]} = t=0: P A = max{(k-s 0 ) +, e -rδt [q* P A (U) + (1-q*) P A (D)]} =

29 Múltiples Periodos Extensión a N periodos, recombinante Δt=T/N, u, d, r const j=#veces arriba - - S=S 0 e (ju+(n-j)d)t/n # caminos que llegan ahí: N j q* probabilidad de neutralidad al riesgo Probabilidad bilid d de llegar ahí: N ( q *) j j (1 q *) N j

30 E Múltiples Periodos Notar: N ( ju ( N j) d ) t N j *[ S( T )] S0 e ( q*) (1 q*) j0 j S S N N ut j dt N j 0 ( q * e ) ([1 q*] e ) j 0 j 0 q ut * e (1 rtn S0e S0 e rt q*) e dt Bajo la probabilidad q*, S crece a un ritmo r N N j

31 Múltiples Periodos Precio de un derivado estilo europeo con pago final V(T,S(T)), cuyo precio depende del precio final de la acción, S(T): V(0) = E*[e -rt V(T)] N N rt e V ( T, S j0 j Para derivados en general, el precio inicial se obtiene devolviéndose en el árbol, en efecto repitiendo la solución del modelo de un tiempo. ( ju ( N j ) d ) t j N 0 e ) ( q*) (1 q*) j

32 Múltiples Periodos Histograma S(T), N=25

33 Múltiples Periodos Histograma de Ln(S(T)/S(0)), N=100

34 Valoración de Derivados en Mercados Completos Principio de no Arbitraje Tiempo discreto: Modelo Binomial Tiempo continuo: Modelos de difusión Teoremas Fundamentales de Matemáticas Financieras

35 Tiempo Continuo N grande distribución normal para el logaritmo de la acción Modelo en el límite: S(T) = S(0) exp{(r -½σ 2 )T + σ T Z}, donde Z ~ N(0,1) (bajo la probabilidad q*). El término (r - ½σ 2 )T hace que E*[S(T)] = e rt S(0) La valoración de derivados se preserva: V(0) = E*[e -rt V(T)] Por ejemplo, si V(T) = (S(T)-K) +, se obtiene la fórmula de Black & Scholes para el precio de una opción call europea

36 Tiempo Continuo Movimiento Browniano W( ) es un proceso estocástico continuo W(0) = 0 Bajo una probabilidad P: W(t) ~ N (0, t) W(t+Δt) W(t) es independiente de W(t) W(t+Δt) W(t) ~ N (0, Δt) REPRESENTACION: Otros procesos continuos (p.ej., el precio de una acción) se pueden escribir como dx(t) = (t)dt + σ(t)dw(t)

37 Tiempo Continuo Interpretación intuitiva: reemplazar el d por un X(t) = (t) t + σ(t) W(t) Por o ejemplo, un modelo o típico para a una acción es ds(t) = (t)s(t) dt + σ(t)s(t) dw(t) La interpretación correspondiente (t pequeño) es S(t) = S(t+t) S(t) = (t)s(t) t + σ(t)s(t) W(t) Es decir, S(t+t) S(t) ~ N( (t)s(t)t,σ(t) 2 S(t) 2 t) El retorno esperado anualizado de S durante el intervalo [t,t+t] t+t] es (t)

38 Tiempo Continuo Modelo de Black y Scholes: y constantes ds(t) = S(t) dt + σs(t) dw(t) Esta expresión tiene una solución ; una fórmula cerrada: 2 S(t) = S(0) exp{( -½σ 2 )T + σw(t)} Esto se puede verificar con el lema de Itô, que es la regla de la cadena + expansión de Taylor en el mundo Browniano Lema de Ito: o f(x) es una función suave o dx(t) () = (t)dt () + σ(t)dw(t) () ( ) o Y = f(x) Entonces dy(t) = f (X)dX + ½f (X)dXdX = [(t)f (X)+½(t) () ( ) () 2 f (X)]dt + (t)f (X)dW(t) ( ) ( ) ()

39 Tiempo Continuo En nuestro modelo, S(t) = S(0) exp{( -½σ 2 )t + σw(t)} Tomando f(x) = S 0 e x, X(t) =(( - ½σ 2 )t + σw(t)), y S = f(x), o dx(t) = ( - ½σ 2 ) dt + σ(t)dw(t) o f (X) = f (X) = S(t) Entonces ds(t) = [( -½σ 2 ) f (X)+½(t) 2 f (X)]dt + (t)f (X)dW(t) = S(t)dt + (t)s(t)dw(t), que es la expresión original del modelo

40 Tiempo Continuo El modelo también se llama Movimiento Browniano Geométrico, y se ha convertido en el modelo por defecto para modelar variables financieras Este es el mismo modelo al que se había llegado como límite del modelo binomial, cambiando por r Pero recordemos que en ese modelo se había trabajado con una medida q*. Si se hubiera trabajado con la medida física original, se hubiera llegado a un distinto de r. A partir de este modelo se pretende llegar a valorar derivados, de forma similar al esquema usado en el modelo binomial Activo libre de riesgo ( Bono ): Precio B(t) db(t) = rb(t)dt No tiene expresión en dw(t) (de ahí el nombre) Observación Crucial: si un activo X transable sigue un proceso dx(t) = (t)x(t)dt, entonces (t) = r (de lo contrario existiría una oportunidad de arbitraje contra el bono)

41 Tiempo Continuo Consideremos un derivado d que depende d de la acción S, y que en el tiempo T paga (S(T)) ds(t) = S(t) dt + σs(t) dw(t) Llamemos el precio de este derivado = (t, S(t)) Llamamos t = /dt y S = /ds Lema de Itô: d = ( t +S(t) S +½ 2 S(t) 2 SS )dt + S(t) S dw(t)

42 Tiempo Continuo Replicación: Construimos un portafolio +1 unidad del derivado (hasta T, sin rebalancear) - S unidades de la acción (se debe rebalancear continuamente) Delta Evolución del valor del portafolio: V=(t) - S S(t) dv = - S ds + desta fórmula garantiza que no entra ni sale plata =( t +½ 2 S(t) 2 SS )dt Según la observación crucial, se debe tener t + ½ 2 S(t) () 2 SS = rv = r -r S S, o t + r S S+ ½ 2 S(t) 2 SS = r, Ecuación de Black y Scholes No aparece en esta expresión (T, S(T)) = (S(T))

43 Tiempo Continuo Para llegar a la ecuación se necesitó poder replicar el derivado (más de esto después) Para resolver la ecuación se requiere (típicamente) acceder a métodos numéricos Esta ecuación no ofrece mucha intuición; falta un análisis adicional que sí lo dará Girsanov: Si W(t) es un Movimiento Browniano bajo una probabilidad P P, entonces el proceso Ŵ = W + [(-r)/] t es un Movimiento Browniano bajo otra probabilidad Q Interpretación: Se genera un nuevo proceso Ŵ que tiende a subir más rápido que W (a un ritmo (-r)/ adicional) (-r)/ Prima de Riesgo, es el exceso de rentabilidad promedio de la acción, sobre la tasa libre de riesgo, por unidad d de riesgo (volatilidad) d) Luego al hacer este cambio se elimina esa rentabilidad exceso del movimiento de la acción La transformación de medida exige conocer

44 Tiempo Continuo Recordemos: Ŵ = W + [(-r)/] t es un Movimiento Browniano bajo otra probabilidad Q Se tiene ds = Sdt + σsdw = rsdt + σsdŵ Notar: Bajo la probabilidad Q, S crece a un ritmo r (En otras palabras, S(0) = E Q [e -rt S(T)]) Similar al caso binomial, esta probabilidad se llama de neutralidad al riesgo, o equivalente de martingala (el valor descontado de S(t) es una martingala) La transformación de medida exige conocer, pero uno puede arrancar directamente de Q, simplemente exigiendo que la acción crezca a un ritmo r realmente no se necesita

45 Tiempo Continuo Esto no cambia el análisis anterior: t + r S S+ ½ 2 S 2 SS = r, (T, S(T)) = (S(T)) Si se vuelve a aplicar Itô a, se obtiene d = ( 2 2 t +rs(t) S +½ S(t) SS )dt + S(t) S dŵ(t) Con la ecuación de arriba, d = r dt + S(t) S dŵ(t) Si se define G(t,x) = e -rt (t,x), se tiene (otra vez Itô) dg = e -rt S S dŵ(t) Es decir, G crece a un ritmo 0 Luego E Q [G(T,S(T))] = G(0,S(0)) = (0,S(0)) (0,S(0)) = E Q [e -rt (S(T))] El valor inicial de un derivado es el promedio del valor presente del pago final pero para calcular el promedio se usa Q

46 Tiempo Continuo Ejemplo para opciones call: Fórmula de Black y Scholes C E = E Q [e -rt (S(T)-K) + ] = E Q [ {S(0) exp(-½σ 2 T + σŵ(t)) - e -rt K} + ] (integrar) = S(0) N(d + ) - e -rt K N(d - ), donde d + = [ ln(s(0)/k) + (r + ½σ 2 )T ] / σ T d - = d + - σ T Fórmula de Black y Scholes para puts europeas: P E = e -rt K N(-dd - ) - S(0) N(-d d + )

47 Tiempo Continuo Resumen Modelo probabilístico del precio del subyacente Se pretende capturar ciertas características del movimiento. la volatilidad del subyacente, por ejemplo Bajo la probabilidad de valoración, los activos crecen a un ritmo r Valor teórico: promedio (bajo esta probabilidad de valoración) de VPN de pagos finales Implementación l t de esta distribución ib ió (árboles, simulación) Incorporar posibles terminaciones tempranas

48 Modelos de Valoración Es importante diferenciar entre Modelos de Valoración Métodos de Valoración Modelos o o o o Establecen una dinámica de movimiento del (los) subyacente(s) Enmarcan la dinámica en un espacio de probabilidad Simplifican el entorno económico y financiero en modelos matemáticos Exhiben fórmulas de valoración y análisis (no necesariamente simplificadas) Métodos o o Establecen herramientas numéricas y computacionales para realizar los cálculos requeridos según el modelo Simplifican numéricamente los cálculos

49 Valoración de Derivados en Mercados Completos Principio de no Arbitraje Tiempo discreto: Modelo Binomial Tiempo continuo: Modelos de difusión Teoremas Fundamentales de Matemáticas Financieras

50 Modelos de Valoración Marco Teórico El Valor de no arbitraje de un derivado d consiste en: o o o o o Valor presente (descontado) del pago final Valor esperado de este valor presente El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad muy particular Probabilidad de Neutralidad al Riesgo Bajo esta probabilidad, el valor esperado del retorno de (todos) los activos modelados es igual a la tasa libre de riesgo Et Esta fórmula es un teorema; hay una plataforma matemática detrás que permite llegar a esto Concepto usado: el valor de un derivado debe ser igual al valor de un portafolio de instrumentos básicos que repliquen los flujos de caja del derivado d Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio replicante) siempre existe? Es única?

51 Modelos de Valoración Marco Teórico PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay arbitraje SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una única probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de caja derivados de los instrumentos básicos)

52 Modelos de Valoración Modelos Buscados o o o Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su naturaleza estocástica) Deben incorporar características importantes de los mercados Deben ser sencillos (de implementar y de usar) Variables Modeladas o o o Precios de subyacentes Tasas de Interés Otras variables: clima, energía, catástrofes Las distribuciones usadas típicamente giran alrededor de distribuciones normales Se busca la distribución bajo la probabilidad de neutralidad al riesgo

53 Modelos de Valoración Calibración del modelo o o o Escoger parámetros de tal forma que el modelo valore cercanamente instrumentos observados en el mercado Parámetros no observables pueden acercarse a comportamiento histórico, o se puede usar precios de instrumentos similares Métodos para calibrar estos parámetros: Mínimos Cuadrados, máximo-verosimilitud,

54 Modelos de Valoración Valoración y Análisis de Riesgo Un modelo es tan bueno como la estrategia de cobertura de riesgos que ofrezca Matemáticamente, se busca: o o Métodos o o o Evaluar una integral (un valor esperado) Solucionar una ecuación diferencial parcial Simulación (Monte Carlo) Árboles (Modelo Binomial y extensiones) Análisis numérico para soluciones de Ecuaciones Diferenciales Parciales

55 Opciones FIN