NOCIONES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 NOCIONES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS PEDRO PABLO CÁRDENAS ALZATE Profesor Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas Fundación Universitaria del Área Andina Profesor Universidad Tecnológica de Pereira LUZ MARÍA ROJAS DUQUE Directora Departamento de Ciencias Básicas Fundación Universitaria del Área Andina Profesor Universidad Tecnológica de Pereira JOSE GERARDO CARDONA TORO Profesor Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas Fundación Universitaria del Área Andina Profesor Universidad Tecnológica de Pereira Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas Fundación Universitaria del Área Andina Seccional Pereira 2011

2 2 Elementos de Matemáticas Financieras Cárdenas - Rojas - Cardona

3 TITULO:NOCIONES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Autores: Pedro Pablo Cárdenas Alzate Luz María Rojas Duque José Gerardo Cardona Toro Primera Edición 300 ejemplares Diciembre de 2011 Diagramación: Pedro Pablo Cárdenas Alzate Diseño de portada: Isabel C. Hernández ISBN: Derechos Reservados del Autor. Autorizada su reproducción para su uso en actividades de tipo académico sin ánimo de lucro, citando la fuente. Pereira - Colombia Cárdenas Alzate, Pedro Pablo Nociones de Matemáticas Financieras/Pedro Pablo Cárdenas Alzate, Luz María Rojas Duque, José Gerardo Cardona Toro Pereira: Fundación Universitaria del Área Andina, P. ISBN: CDD ed.21 MATEMÁTICAS FINANCIERAS.2. TASAS DE INTERES. Catalogación de la publicación - Fundación Universitaria del Área Andina Biblioteca Otto Morales Benítez

4 4 Elementos de Matemáticas Financieras Cárdenas - Rojas - Cardona

5 Índice general 1. CONCEPTOS BÁSICOS DEFINICIONES PREVIAS Matemáticas en Finanzas Interés Tasa de interés Porcentajes Interés simple Capitalización de los intereses Interés compuesto Proyecto de inversión i

6 ii Elementos de Matemáticas Financieras Riesgo Factibilidad Económica Factibilidad financiera Valor económico agregado Inflación Devaluación EL INTERÉS SIMPLE INTRODUCCIÓN CLASES DE INTERES SIMPLE VALOR DE UNA DEUDA INTERÉS COMPUESTO INTERÉS COMPUESTO - DEFINICIÓN MONTO COMPUESTO TASAS NOMINAL Y EFECTIVA EL VALOR PRESENTE VALOR PRESENTE PARA EL CASO DE UN PERIODO DE CONVERSIÓN FRACCIONARIO ECUACIONES DE VALOR Cárdenas - Rojas - Cardona

7 ÍNDICE GENERAL iii 3.7. TIEMPO EQUIVALENTE ANUALIDADES ANUALIDADES ORDINARIAS MONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD FORMULAS DE LAS ANUALIDADES PAGO PERIODICO PLAZO APROXIMACION DE LA TASA DE INTERES INTRODUCCIÓN A LOS SEGUROS DE VIDA POLIZA DE SEGURO DE VIDA SEGURO DE VIDA ENTERA SEGURO TEMPORAL SEGURO TOTAL PRIMA NATURAL RESERVAS GRADIENTE ARITMÉTICO Y GEOMÉTRICO MOTIVACIÓN Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

8 iv Elementos de Matemáticas Financieras 6.2. GRADIENTE ARITMÉTICO Gradiente creciente Gradiente decreciente GRADIENTE GEOMÉTRICO Gradiente geométrico creciente: Valor presente GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE Gradiente geométrico decreciente: Valor presente APENDICE: Función exponencial y logarítmica LA FUNCIÓN EXPONENCIAL LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Logarítmos naturales DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMI- CA Diferenciación de funciones utilizando logaritmos Cárdenas - Rojas - Cardona

9 Prólogo Las Matemáticas Financieras son una rama de las matemáticas aplicadas las cuales estudian el valor de nuestro dinero en el tiempo. La disciplina a través de una serie de modelos matemáticos sirve de apoyo a las personas, administradores y comerciantes en la toma de sus propias decisiones al momento de escoger la mejor alternativa para realizar alguna inversión. El presente texto ofrece a los estudiantes de Administración de Negocios Internacionales y Mercadeo de la Fundación Universitaria del Área Andina y/o profesionales con orientación a negocios y finanzas, los fundamentos básicos de las matemáticas financieras que servirán de guía en los cursos que requieran su estudio. Al escribir esta obra, procuramos especialmente presentar un orden en el desarrollo de los temas que faciliten al lector la comprensión de los mismos. De igual manera, ofrecemos una serie de ejemplos y ejercicios para que sean fijadas las ideas expuestas en la teoría. Hemos tenido muy presente que los problemas propuestos sean cuestiones que interesen al estudiante y sirvan de motivación para profundizar en los temas estudiados respectivamente. La descripción clara de cada capítulo hace que el estudiante se adquiera interés por los temas posteriores e indague en otros textos la profundización de los mismos, esto con el fin de que queden claras las ideas que se exponen en esta obra. Como siempre es nuestra responsabilidad los errores que el lector pueda encontrar en este texto y agradecemos inmensamente nos hagan llegar las sugerencias.

10 2 Elementos de Matemáticas Financieras Sin otro particular, los autores Pedro Pablo Cárdenas Alzate Luz María Rojas Duque José Gerardo Cardona Toro Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas Fundación Universitaria del Área Andina Seccional Pereira 2011 R Cárdenas - Rojas - Cardona

11 Agradecimientos Los autores agradecen a todas aquellas personas e instituciones que cooperaron para que este libro fuera terminado y publicado. Aun corriendo el riesgo de cometer alguna omisión importante, los principales destinatarios de estos agradecimientos son los siguientes: 1. Todos los estudiantes que han utilizado algún material de este libro, a lo largo de varios años. El nivel de aprendizaje alcanzado por cada uno de ellos, ha sido uno de los principales incentivos para llevar adelante esta tarea. Algunos de ellos ya profesionales con experiencia han sido insistentes demandantes de que este libro vea la luz. 2. Los profesores del curso de Matemáticas Financieras, Elementos para la Toma de Decisiones y Tópicos Financieros de los distintos planes de estudios de la carrera de Administración de Negocios Internacionales de la Fundación Universitaria del Área Andina seccional Pereira. Cada uno de ellos aportó alguna idea interesante para preparar ejemplos y ejercicios. 3. Agradecimientos sinceros al rector de la Fundación Universitaria del Área Andina seccional Pereira Doctor Juan Alejandro Duque Salazar, al Vicerrector Académico Doctor José Uriel Giraldo Gallón por brindarnos el apoyo para la publicación de esta obra. Los autores

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13 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1. DEFINICIONES PREVIAS Se inicia este capítulo con una serie de definiciones necesarias las cuales permitirán que el lector se adentre al mundo de las finanzas Matemáticas en Finanzas Se puede definir las matemáticas financieras como un conjunto de herramientas matemáticas que permiten analizar cuantitativamente la viabilidad y/o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión. También puede decirse que analiza el valor del dinero en un tiempo t. 5

14 6 Elementos de Matemáticas Financieras Interés Se define el interés como la cantidad que se paga o se cobra por el uso del dinero. Por ejemplo, cuando se toma prestado dinero, se debe pagar por su uso; en dicho pago debe estar incluido tanto la pérdida del valor del dinero como también la renta por su uso. De igual manera, si en vez de un crédito lo que se hace es prestar dinero, es decir, invertir, entonces se querrá recibir aparte de lo invertido, un monto a través del cual se recupere el valor que ha perdido el dinero en el tiempo y una renta por el préstamo de este Tasa de interés No es más que el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de un tiempo t, determinando lo que se refiere como el precio del dinero en el mercado financiero. La tasa de interés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible ganancia (oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual se debe pagar o cobrar por tomarlo prestado o cederlo en préstamo en una situación determinada Porcentajes El término de porcentaje o por ciento representado por el símbolo % no es otra cosa que el equivalente al centésimo, es decir, por ejemplo 50 % = 0.50 = (50/100), que es la forma correcta de trabajar con las fórmulas. Cárdenas - Rojas - Cardona

15 1.1. DEFINICIONES PREVIAS 7 EJEMPLO 1. Cuando se dice que una cierta inversión en la bolsa de valores produce rentabilidad del 45 %, esto significa que dicha inversión produce $45 anuales por cada $100 invertidos Interés simple Si cierta operación es a interés simple, entonces el interés es calculado sobre el capital original para el periodo completo de la transacción y los interés son pagados al prestamista, sin que estos se reinviertan. Esto se puede expresar como el tiempo del periodo que se reconoce al prestamista respecto a los intereses, comenzando a partir de allí una nueva liquidación solo sobre el monto original, sin que los intereses se capitalicen para generar nuevos sobre ellos nuevos intereses Capitalización de los intereses Si al final del periodo de inversión en vez de devolver los intereses devengados al prestamista, estos se suman al capital original, para a partir de ahí, calcular un nuevo interés, se dice que estos se capitalizan Interés compuesto Si cierta operación es a interés compuesto, entonces el interés es calculado sobre el capital para un periodo reinvirtiéndose los intereses, es decir, al cabo del periodo los intereses se capitalicen para calcular sobre dicho monto los nuevos intereses. Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

16 8 Elementos de Matemáticas Financieras Proyecto de inversión Se definen como oportunidades de desembolsos de dinero del cual se espera obtener rendimientos (flujos de efectivo o retornos) de acuerdo a unas condiciones particulares de riesgo. Los rendimientos deben permitir recuperar las inversiones, cubrir los gastos operacionales y además obtener una rentabilidad de acuerdo al nivel de riesgo Riesgo El riesgo se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Se debe tener en cuenta que cuanto más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa Factibilidad Económica Término financiero que trata con la determinación de la bondad de invertir o no los recursos económicos en una alternativa de inversión vs proyecto, sin importar el origen de estos Factibilidad financiera Se refiere con la determinación de si el retorno es atractivo o no para los dueños del activo (dinero), para el inversionista. Es decir, lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente por el dueño, obtiene la rentabilidad esperada por el. Cárdenas - Rojas - Cardona

17 1.1. DEFINICIONES PREVIAS Valor económico agregado Si la rentabilidad de una inversión supera el costo de capital promedio ponderado 1 entonces podemos afirmar que se generará valor económico para los propietarios de la empresa. Solo en este caso se puede decir que los inversionistas están cumpliendo sus expectativas y alcanzando sus objetivos financieros Inflación Se puede definir como el aumento generalizado del nivel de precios de bienes y servicios en una economía. Esto significa que, en una economía con inflación, la cantidad de productos que se pueden comprar con una cantidad determinada de dinero hoy es mayor a cantidad de productos que se podría comprar dentro de un tiempo. El término contrario a la inflación es la deflación, que es la disminución generalizada del nivel de los precios de los bienes y servicios en una economía. EJEMPLO 2. Si por ejemplo, el precio de índices del consumidor se incrementa de 100 a 110 en 12 meses (1 año), decimos entonces que la inflación es del 10 % anual. En este ejemplo, podemos calcular la inflación utilizando la fórmula: ( ) IP C1 IP C Infl = 100 IP C donde, 1 Es la tasa de descuento que debe utilizarse para descontar los flujos de fondos operativos para valuar una empresa utilizando el descuento de flujos de fondos. Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

18 10 Elementos de Matemáticas Financieras Infl: Es la inflación. IP C: Es el índice de precios al inicio de cierto período. IP C 1 : Es el índice de precios al final de cierto período Devaluación La devaluación es la pérdida del valor del dinero con respecto a otra moneda. La devaluación puede ser causada por muchos factores, entre ellos la falta de demanda de la moneda o una mayor demanda de la moneda con la cual se le compara. El término contrario a la devaluación es la reevaluación, es decir es la valorización de una moneda con respecto a otra. A continuación se muestran algunos términos básicos que se manejan en la matemática financiera. C: Cierta cantidad de dinero. S: Es el monto o valor acumulado de C. V P : Capital principal; valor presente, expresado en valores monetarios. V F : Capital más interés; valor futuro expresado en valores monetarias. j: Tasa nominal o la tasa de interés anual. t: Número de años (tiempo). m: Número de capitalizaciones por año. n: Número de períodos de composición. i: Tasa de interés efectiva. i EA : Tasa de interés efectiva anual. Cárdenas - Rojas - Cardona

19 1.1. DEFINICIONES PREVIAS 11 I: Interés. V P N: Valor Presente Neto. T IR: Tasa Interna de Retorno. A: Anualidad o cuota uniforme. V P A: Valor presente de una anualidad. V F A: Valor futuro de una anualidad. i a : Tasa de interés anticipada. i v : Tasa de interés vencida. Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

20 12 Elementos de Matemáticas Financieras EJERCICIOS DE REPASO 1. Un inversionista recibió un pagaré por valor de $ a un interés del 8 % el 15 de Abril con vencimiento a 120 días. El 22 de Noviembre del mismo año lo ofrece a otro inversionista el cual desea ganar el 15 %. Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?. 2. Una persona debe $ con vencimiento a 4 meses y $ con vencimiento a 9 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 3 meses y un año, respectivamente. Determinar el valor de los pagos. 3. Cierta maquinaria tiene un costo de $4500 y la cual tiene un promedio de vida estimado en $20000 horas de operación y un valor de salvamento de $ Las horas de uso durante los primeros 5 años fueron: 1800, 2300, 2500 y Realizar una tabla en la cual se muestre el valor en libros al final de uno de los 5 años. 4. Una persona tiene gastos por un valor de $ en gasolina con precio de $2400 por galón. Hallar el costo de la misma cantidad de gasolina a $2400 por galón. 5. Calcular la inflación durante el año 2008 utilizando datos reales. 6. Una factura por una valor de $3000 está fechada el 2 de junio y en ella se estipula lo siguiente: Un descuento del 10 % por pago en 15 días o un descuento del 3 % por el pago en 28 días. Hallar la suma cancelada si la liquidación fue hecha en las siguientes fechas: El 10 de junio. El 27 de junio. Cárdenas - Rojas - Cardona

21 1.1. DEFINICIONES PREVIAS Calcular los siguientes porcentajes: 20 de 10. $1200 de $ de Hallar el precio de depreciación anual y elaborar una tabla que muestre el cambio anual del valor en libros de: Una máquina cuyo costo fue de $2450 y la cual se depreció en 4 años alcanzando un salvamento de $150. Una máquina cuyo costo fue de $15000 y se depreció en 9 años, alcanzando un valor de salvamento de $ Si α es 35 % menor que β. En qué porcentaje de α excede β a α?. 10. Tres firmas de abogados (competidores) tienen el mismo precio para determinado proceso. Una de ella ofrece descuentos a los clientes del 30 % y el 20 %; la otra firma ofrece descuentos del 22 %, 10 % y 12 %. Qué descuentos son más ventajosos para los clientes y por qué? 11. Un abogado recupera el 80 % de una demanda por un valor de $ y por el concepto de honorarios cobra el 20 % de la suma total recuperada. Qué cantidad recibirá el demandante? 12. Demostrar que una utilidad del 60 % sobre el precio total de venta V de un artículo, es igual a una utilidad del 66 % sobre su costo C. 13. Una persona siempre consume tres porciones de azúcar con cada taza de café. El precio del azúcar es α y el de café β y dispone de una renta de $M. Cuánto podrían comprar de cada bien? Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

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23 CAPÍTULO 2 EL INTERÉS SIMPLE 2.1. INTRODUCCIÓN Si se considera el dinero como un bien, es de esperarse en una economía que el costo que se paga por su uso sufra ganancias y pérdidas, como cualquier mercancía. De esta forma el costo de nuestro dinero dependerá de las condiciones de oferta y demanda del mercado y otras variables como por ejemplo la inflación, devaluación y revaluación. Existe una frase popular y muy utilizada por las personas del común; ella se utiliza para significar que el poseedor del dinero espera que se le recompense por no utilizar el dinero y ponerlo a disposición de otro, por un tiempo determinado t. De esta forma, para las personas no es igual recibir una misma cifra de dinero hoy que 15

24 16 Elementos de Matemáticas Financieras un tiempo después; es decir, no se puede decir que dichos valores sean equivalentes. Dos cifras de dinero son equivalentes cuando a una persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy (V P ) y recibir otra suma diferente (V F ) al cabo de un periodo. El interés es el monto de dinero que permite hacer equivalente una cifra pasada, con una cifra futura, es decir, el interés permite hacer equivalente cifras de dinero en el tiempo. El término interés es de uso amplio en la vida de las finanzas, ello ha conducido a que tenga múltiples definiciones, entre las que se encuentran: El valor del dinero en el tiempo. Valor recibido o entregado por el uso del dinero. Utilidad o ganancia que genera un capital. Precio que se paga por el uso del dinero. Rendimiento de una inversión. DEFINICION 1. Puede definirse el interés simple como el canon de arrendamiento que se paga por hacer uso de un monto de dinero llamado capital, durante un periodo de tiempo determinado. Decimos que el interés es simple cuando se paga dicho canon de arrendamiento al momento de liquidarse, es decir al final del periodo. Existe una fórmula para calcular el interés simple; como este es el resultado de calcular el capital por la tasa periódica de interés por el número de periodos, entonces se tiene: I = V P i n (2.1) donde V P es el capital, i es la tasa de interés y n el número de periodos. Cárdenas - Rojas - Cardona

25 2.2. CLASES DE INTERES SIMPLE CLASES DE INTERES SIMPLE Existen dos clases de interés simple: Interés ordinario e interés exacto. El uso de uno o del otro depende en realidad de las costumbres donde se esté aplicando, dependiendo uno del otro con la base de días que se quiera utilizar. El interés ordinario es aquel donde tomamos como base para realizar su cálculo 360 días; el interés exacto es aquel que toma como base 365 días. EJEMPLO 3. Hallar el interés exacto y ordinario sobre $2000 al 5 % durante 50 días. En este caso 1 C = 2000 e i = 0.05, por lo tanto, el interés simple exacto se determina como sigue: como t = = 10 73, entonces: I = 2000(0.05) ( ) = 1000 = $ y para el interés simple ordinario se tiene que t = = 5 36, entonces: I = 2000(0.05) ( ) 5 36 = 125 = $ VALOR DE UNA DEUDA El valor presente de una deuda, en una fecha anterior a la de su vencimiento, se denomina como valor presente de la deuda en dicha fecha. De la ecuación S = C(1 + it) se tiene lo siguiente: C = 1 C es una cierta cantidad de dinero en una fecha dada. S 1 + it (2.2) Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

26 18 Elementos de Matemáticas Financieras que es el valor a la tasa de interés simple i del monto S con un vencimiento de t años. EJEMPLO 4. Un pagaré de $1200 está firmado el primero de abril con un vencimiento en ocho meses y con un interés de 5 % es vendido a Fernando Gómez el 14 de julio con un rendimiento en la inversión de 6 %. Cuánto paga Fernando por dicho documento?. Vemos acá que la fecha de vencimiento de dicho documento es el primero de diciembre y su valor al vencimiento es: 1200 [ 1 + (0.05)( 2 3 )] = 1240 Se necesita ahora encontrar el valor presente de $1240 con un vencimiento en 140 días al 6 % de interés simple. Así, aplicando la ecuación (2.2) se tiene que: C = S 1 + it = (0.06) ( ) = = $ Cárdenas - Rojas - Cardona

27 2.3. VALOR DE UNA DEUDA 19 EJERCICIOS DE REPASO 1. Hallar el interés simple y el monto total de: Al 5 % durante 1 año. Al 10 % durante 12 meses. Al 6.5 % durante 1 año y medio. 2. A qué tasa de interés simple el monto de $ será 4500 en un año? 3. En qué tiempo se triplica una cantidad de dinero al 6 % de interés simple? 4. Determinar en forma aproximada el tiempo transcurrido entre el 20 de Noviembre de 2006 y el 5 de Enero de Un pagaré a 12 meses por un valor de $45000 al 8 % es suscrito el día de hoy. Hallar su valor dentro de 5 meses, suponiendo inicialmente un rendimiento de 5 %. 6. Una persona debe $35000 para pagar en 14 meses con intereses al 4 %. Conviene pagar $5000 al final de 7 meses. Qué cantidad tendrá que pagar al final de los 14 meses para liquidar el resto de la deuda suponiendo un rendimiento del 6 %? 7. Una deuda por $80900 debe liquidarse el 30 de octubre de Si el deudor quisiera adelantar su pago liquidándola el 30 de junio de 2011, encuentre la cantidad que deberá pagarse en esa fecha si la tasa de interés que se aplica es del 2.5 % mensual simple. Considere tiempo aproximado e interés exacto en sus cálculos. 8. Hallar la fecha en que se firmó un pagaré que vence el 15 de septiembre de 2011 de una operación crediticia por valor de $ , cargándose el 2 % mensual Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

28 20 Elementos de Matemáticas Financieras de interés simple, si los intereses adicionales a la cantidad original que se pagan son por $50000? Considere interés real con tiempo exacto. 9. Una persona deposita $ en un banco que paga el 23 % de interés simple anual. Cuánto podrá acumular (incluyendo los intereses devengados) si retira su dinero 9 meses después de haberlo depositado? 10. Una corporación bancaria desea ganar el 10 % de interés simple por el descuento de documentos. Qué tasa de descuento debe utilizar si el período del descuento es a 3 meses o 7 meses? 11. Una empresa de computadoras pronostica que una computadora costará dentro de 4 años $ Si se considera una tasa inflacionaria del 14 % semestral capitalizable anualmente, cuánto costaría la computadora hoy? 12. En el ejercicio anterior, cuánto costará la computadora dentro de 6 años? 13. Hallar a cuánto crece el interés simple producido por un capital de $ invertido durante 6 años a una tasa anual del 5 %. 14. Una persona tiene un capital de $ invertido a una tasa de interés del 6 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de $ Cuánto tiempo ha estado invertido? 15. Una empresa de maquinaria toma prestados $ el 5 de Febrero del 2011 con el compromiso de cancelar la totalidad de la deuda después de cinco meses al 15 % mensual simple. Sin embargo, la empresa efectúa el pago el 5 de Agosto. Si el contrato estipulaba una tasa del 3 % mensual sobre el saldo en mora, cual es el valor de los intereses corrientes al vencimiento?, cual es el valor de los intereses de mora? 16. Una persona pide a una entidad bancaria un préstamo por un valor de por un período de 9 meses a una tasa de interés del 4 %. Cuando han pasado Cárdenas - Rojas - Cardona

29 2.3. VALOR DE UNA DEUDA 21 tres meses paga un valor de $ y al término de seis meses desea pagar el saldo total. Cuánto tendrá que pagar de interés simple? 17. Una computadora se vende por un valor de $ de contado o mediante iniciales y luego el resto por un mes. Determinar la tasa de interés cargada. 18. Una persona recibe $ como premio de un bono ganado y decide invertirlos de la siguiente manera: El 40 % durante 5 trimestres en una institución financiera que le ofrece el 21 % de interés simple anual y el resto durante 1 año y dos meses en un banco que le da el 25 % anual simple. Determine el total de intereses que percibirá y el capital que tendrá al final de las inversiones. 19. Pedro recibe una asignación de $ y decide hacer la siguiente secuencia de inversiones: a) Coloca la mitad del capital en un plazo fijo durante tres meses al 5 % trimestral y la otra mitad en una cuenta de ahorros por el mismo tiempo que da el 0.90 % mensual. b) Retira los intereses de las dos colocaciones y todo el capital lo invierte en otro plazo fijo por 180 días al 3.5 % trimestral. Cuánto tendrá Pedro al final de este último período? Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

30 22 Elementos de Matemáticas Financieras Cárdenas - Rojas - Cardona

31 CAPÍTULO 3 INTERÉS COMPUESTO 3.1. INTERÉS COMPUESTO - DEFINICIÓN Cuando se realizan transacciones las cuales abarcan un período de tiempo largo, el interés puede manejarse de dos formas diferentes: 1. El interés vencido se paga mediante cheque o cupones. El capital que produce los intereses permanece sin cambio durante el plazo de la transacción, así se estará tratando con interés simple. 2. El interés vencido es agregado al capital, en este caso decimos que el interés es capitalizable y en consecuencia también gana interés. La suma vencida al final de la trasacción es conocida como monto compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le conoce como interés compuesto. 23

32 24 Elementos de Matemáticas Financieras EJEMPLO 5. Hallar el interés compuesto sobre $1000 por tres años, si el interés de 5 % es convertible anualmente en capital. El capital original es de $1000. El interés por un año es 1000(0.05) = $50. El capital al final del primer año es = $1050. El interés sobre el nuevo capital por un año es 1050(0.05) = $ El capital al final del segundo año es = $ El interés sobre el nuevo capital por un año es (0.05) = $ El capital al final del tercer año es = $ El interés compuesto es = $ En los problemas que implican el interés compuesto son importantes los siguientes conceptos: El capital original. La tasa de interés por período. El número de períodos de conversión durante todo el plazo de la transacción MONTO COMPUESTO Sea un capital C invertido a la tasa i por período de conversión y desígnese con S al monto compuesto de C al final de n períodos de conversión. Ya que C produce Ci de interés en el primer período de conversión, al final de dicho período produce a C + Ci = C(1 + i). La sucesión de montos será entonces: C(1 + i), C(1 + i) 2, C(1 + i) 3,... Cárdenas - Rojas - Cardona

33 3.3. TASAS NOMINAL Y EFECTIVA 25 Esta expresión forma una progresión geométrica cuyo n-ésimo término es S = C(1 + i) n (3.1) El factor (1 + i) n es el monto compuesto de 1 a la tasa i por período, por n períodos de conversión y será conocido como el monto compuesto de 1. EJEMPLO 6. Si se invierte $1000 durante 8 1 años al 7 % convertible trimestralmente, se tiene que 2 C = 1000, i = , n = 34 y entonces: S = C(1 + i) n = 1000(1,0175) 34 = $ El interés compuesto es = $ TASAS NOMINAL Y EFECTIVA Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de conversión son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año. Cuando el interés en convertible más de una vez en un año, la tasa anual dada se conoce como tasa nominal anual o simplemente tasa nominal. La tasa de interés efectivamente ganada en un año se conoce como tasa efectiva anual o simplemente tasa efectiva EL VALOR PRESENTE A la tasa i, por período de conversión, de un monto S con vencimiento en n períodos de conversión es la suma C tal que invertida ahora a la tasa dada de interés alcanzará el monto S después de n períodos de conversión. Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

34 26 Elementos de Matemáticas Financieras S = C(1 + i) n de donde, C = S(1 + i) n (3.2) Desde la ecuación a = v n = (1 + i) n se dan valores para el factor de descuento (1 + i) n, para diferentes tasas y plazos. Cuando no es aplicable la ecuación a = v n = (1 + i) n deben utilizarse logaritmos. EJEMPLO 7. Hallar el valor presente de $2000, pagaderos en seis años, suponiendo un rendimiento a la tasa 5 % convertible semestralmente. Acá se ve que S = 2000, i = 0, 025, n = 12. De la ecuación (3.2) se tiene: C = S(1 + i) n = 2000(1, 025) 12 = 2000(0, ) = $ EJEMPLO 8. Hallar el valor al 15 de febrero de 1965 pagaderos el 15 de mayo de 1970, suponiendo un rendimiento al 4,4 % convertible trimestralmente. Acá, S = 500, i = 0.044, n = 21, por tanto: Cárdenas - Rojas - Cardona

35 3.4. EL VALOR PRESENTE 27 C = 500(1.011) 21 log C = log log log C = log C = C = $ Para hallar el valor presente de un pagaré con intereses, hallar: (a) el monto de la deuda la vencimiento, (b) el valor presente del monto encontrado en (a). Suponiendo una tasa de rendimiento efectivo de 4 %, hallar el valor presente de una deuda de $2500 contratada con intereses al 6 % convertible trimestralmente, pagadera en 8 años. (a) El valor al vencimiento S = 2500(1.015) 32 = 2500( ) = $ (b) El valor presente de $ pagadero en 8 años, al 4 % efectivo es C = (1.04) 8 = ( ) = $ Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

36 28 Elementos de Matemáticas Financieras 3.5. VALOR PRESENTE PARA EL CASO DE UN PERIODO DE CONVERSIÓN FRACCIONARIO Cuando el tiempo es una parte fraccionaria del período de conversión el valor presente puede ser encontrado en forma similar al caso de interés compuesto, mediante la regla teórica y la regla práctica. Hallar el valor presente de $3000 pagaderos en 8 años 10 meses suponiendo un rendimiento de 4 % convertible trimestralmente. Acá, S = 3000, i = 0.01, n = 106, por lo tanto 3 C = 3000(1.01) Regla teórica. C = 3000(1.01) = 3000(1.01) 35 (1.01) 1 3 = 3000( )( ) = $ Regla práctica. En este caso n = 106 = 35 1 ; se descuenta S por 36 períodos (el 3 3 número mayor entero de períodos de conversión más próximo al plazo dado) y se le suma interés simple por = 2 3 meses; por tanto, de período de conversión, es decir por dos ( C = 3000(1.01) ) 6 ( ) 3.02 = 3000( ) 3 = $ Cárdenas - Rojas - Cardona

37 3.6. ECUACIONES DE VALOR ECUACIONES DE VALOR Una ecuación de valor se obtiene igualando una fecha de comparación o fecha focal, la suma de un conjunto de obligaciones con otro conjunto de obligaciones. Cabe notar que cuando se trata con interés simple, dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una cierta fecha pueden no serlo en otra distinta. Cuando se trata con interés compuesto, dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una fecha también lo son en cualquier otra. EJEMPLO 9. M debe a N $1000 pagaderos en dos años y $3000 pagaderos en 5 años. Acuerdan que M liquide sus deudas mediante un pago único la final de 3 años sobre la base de un rendimiento de 6 % convertible semestralmente. Figura 3.1: Pago requerido Sea X el pago requerido. si tomanos el final del tercer año como fecha focal, entonces la deuda de $1000 está vencida en un año y su valor de 1000(1.03) 2 ; la deuda de $3000 vence en dos años y su valor es 3000(1.03) 4, mientras que el valor del pago X es X en la fecha focal. Igualando la suma de dos valores de las deudas con el valor del pago único, en la fecha focal se tiene: Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

38 30 Elementos de Matemáticas Financieras (a) X = 1000(1.03) (1.03) 10 Si se toma la fecha inicial como fecha focal, entonces la ecuación de valor es: (b) X(1.03) 6 = 1000(1.03) (1.03) 10 Tomando el final del quinto año como fecha focal, la ecuación de valor es: (c) X(1.03) 6 = 1000(1.03) Se puede observar que las tres ecuaciones de valor son equivalentes; por ejemplo, (b) puede ser obtenida de (a) multiplicando esta última por (1.03) 6 ; y (c) puede ser obtenida de (b) multiplicando ésta por (1.03) 10. Sin embargo, si se toma 100 años después como fecha focal, la ecuación de valor correspondiente puede ser obtenida de (b) multiplicando ésta por (1.03) 200. De todas las ecuaciones que puedan formarse, (a) es visiblemente la más simple para determinar X; aplicándolas se obtiene: X = 1000(1.03) (1.03) 4 = 1000( ) ( ) = $ EJEMPLO 10. Una persona debe $1000 pagaderos en 1 año y $3000 pagaderos en cuatro años. Acuerda con la entidad crediticia pagar $2000 al instante y el resto en 2 años. Cuánto tendrá que pagar al final del segundo año suponiendo tener un rendimiento de 5 % convertible semestralmente? Cárdenas - Rojas - Cardona

39 3.7. TIEMPO EQUIVALENTE 31 Figura 3.2: Pago requerido Póngase con X el pago requerido. Tomando como fecha focal al final del segundo año, la deuda de $1000 está vencida 1 año y su valor es 1000(1.025) 2, mientras que la deuda de $3000 vence en 2 años y su valor es 3000(1.025) 4. Análogamente, el pago de $2000 está vencido dos años en la fecha focal y su valor es de 2000(1.025) 4, mientras que el pago X vale X. Igualando la suma del valor de los dos pagos y de las dos deudas, se tiene: 2000(1.025) 4 + X = 1000(1.025) (1.025) 4 y por tanto, X = 1000(1.025) (1.025) (1.025) 4 = = $ TIEMPO EQUIVALENTE La fecha en la cual un conjunto de obligaciones, con vencimiento de fechas diferentes, puede ser liquidado mediante un pago único igual a la suma de las distintas deudas, se conoce como fecha de vencimiento promedio de las deudas. El tiempo por transcurrir hasta dicha fecha se conoce como tiempo equivalente. Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

40 32 Elementos de Matemáticas Financieras EJEMPLO 11. Cuál es el tiempo equivalente para el pago de una deudas de $1000 con vencimiento en 1 año, $3000 con vencimiento en 2 años suponiendo un rendimiento de 4 % convertible trimestralmente? Figura 3.3: Pago requerido Desígnese con x (años) el tiempo equivalente. Tomando el día de hoy como fecha focal, la ecuación de valor es: 4000(1.01) 4x = 1000(1.01) (1.01) 8 entonces, (1.01) 4x = 1000(1.01) (1.01) Interpolando con los valores generados por la ecuación = = a = v n = (1 + i) n se tiene: [ 6 ] 1 4x 7 [ x 6 ] Cárdenas - Rojas - Cardona

41 3.7. TIEMPO EQUIVALENTE 33 4x 6 1 = = 0, 985 y x = o sea, 1.75 años El lector demostrará que x años, si se usan logaritmos. Frecuentemente se usa la siguiente regla práctica para hallar el tiempo equivalente: (i) Multiplíquese cada deuda por el tiempo en (años) que falta hasta el vencimiento. (ii) Súmense los productos obtenidos y divídanse entre la suma de las deudas. EJEMPLO 12. Aplicando la regla práctica al ejemplo 6, se tiene: x = 1000(1) (2) 4000 = = 1.75 años Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

42 34 Elementos de Matemáticas Financieras EJERCICIOS DE REPASO 1. Cierta cantidad de dinero es invertida a una tasa de interés del 7 % convertible en períodos trimestrales en las fechas del 10 de octubre de 2010 al 10 de enero de Hallar la tasa de interés i por período de conversión y el número de períodos n. 2. Hallar la tasa de interés i equivalente a j = convertible trimestralmente. 3. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente a la cual el monto de $45000 es a $75000 en 3 años. 4. Determiar el monto acumulado de $ que se depositan en una cuenta de valores que paga 19 % anual convertible mensualmente: a) Al cabo de un año. b) Al cabo de dos años. 5. Cuánto dinero debe pagarse a una entidad bancaria que hizo un préstamo de $ si se reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 0.50 anual convertible trimestralmente?. 6. Qué cantidad de dinero recibe una empresa de maquinaria en calidad de préstamo si ha firmado un vale por $ que incluye capital e intereses a 18 % convertible semestralmente, y tiene vencimiento en 22 meses?. 7. Por la venta de un automovil, una consignataria recibe un pagaré por $ con vencimiento a 1 año que devenga intereses a razón de 5 % anual convertible semestralmente. Qué cantidad recibirá la consignataria si al cabo de seis meses descuenta el documento en su banco y éste le cobra 12 % de interés anual?. Cárdenas - Rojas - Cardona

43 3.7. TIEMPO EQUIVALENTE Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de una persona por valor de $ que se ha incrementado a $ en 3 años, si dicho interés se capitaliza: a) Mensualmente. b) Trimestralmente. 9. Pedro depositó $ en una cuenta bancaria hace 2 años y 5 meses. Actualmente tiene $ , y desea saber cuál es la tasa de interés que ha ganado si la capitalización es trimestral. 10. Un comerciante compra maquinaria por un valor de $ El paga inicialmente $ y $ al término del tercer mes. Supongamos un rendimiento de 4 % convertible trimestralmente, cuál será el importe del pago final que tendrá que hacer al término de 7 meses?. 11. A qué tasa efectiva, un pago único por valor de $ hoy, es equivalente a dos pagos de $ cada uno con vencimiento en dos y tres años?. 12. Un documento con fecha del 1 de marzo de 2009, estipula un pago por un valor de $ con intereses del 4.5 % convertible trimestralmente 3 años más tarde. Hallar el importe de la venta del documento el 1 de marzo de 2012 suponiendo un rendimiento del 5 % convertible semestralmente. Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

44 36 Elementos de Matemáticas Financieras Cárdenas - Rojas - Cardona

45 CAPÍTULO 4 ANUALIDADES 4.1. ANUALIDADES ORDINARIAS Una anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo. Ejemplos de anualidades son abonos semanales, pagos de renta mensuales, dividendos trimestrales sobre acciones, pagos semestrales de interés sobre bonos, primas anuales en pólizas de seguros de vida, etc. El tiempo transcurrido entre cada pago sucesivo de la anualidad se conoce como intervalo de pago. El tiempo contado desde el principio del primer intervalo de pago hasta el final del último intervalo de pago se conoce como plazo de la anualidad. La suma de todos los pagos hechos en un año se conoce como renta anual, por lo tanto, 37

46 38 Elementos de Matemáticas Financieras una renta anual de $28000 pagaderos trimestralmente significa el pago de $280 cada tres meses. Una anualidad cierta es una anualidad en la cual los pagos principian y terminan en fechas fijas. Una anualidad contingente es aquella en la cual el plazo depende de algún suceso cuya realización no puede fijarse. Una serie predeterminada de pagos periódicos forman una anualidad cierta, ya que los pagos periódicos de primas en el seguro de vida terminan al ocurrir la muerte del asegurado, éstos forman una anualidad contingente. Una anualidad cierta ordinaria es aquella en la cual los pagos son efectuados al final de cada intervalo de pago, es decir, que el primer pago se hace al final del primer intervalo de pago, el segundo intervalo de pago y, así sucesivamente. Diremos que todas las anualidades serán ciertas ordinarias. Sin embargo, consideraremos únicamente el caso simple, esto es, anualidades en las cuales el intervalo de pago y el período de interés coinciden MONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUA- LIDAD Consideremos una anualidad ordinaria de $1000 anuales, durante 4 años, al 5 %. Figura 4.1: Períodos de intereses Cárdenas - Rojas - Cardona

47 4.2. MONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD 39 El monto S de la anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. Puesto que el primer pago gana intereses 3 años, se llega a: o, invirtiendo el orden, S = 1000(1.05) (1.05) (1.05) S = (1.05) (1.05) (1.05) 3 Por lo cual, [(i)] S = 1000 [ 1 + (1.05) + (1.05) 2 + (1.05) 3] = 1000 [ ] = 1000( ) = $ Puesto que en (i) la suma dentro de los paréntesis rectangulares corresponde a la suma de la progresión geométrica s = a arn 1 r con término inicial 1 y con razón 1.05 > 1, se puede escribir: cuando r < 1 y s = arn a r 1 cuando r > 1, S = 1000 (1.05)4 1 (1.05) 1 = = = 1000( ) = $ Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

48 40 Elementos de Matemáticas Financieras El valor presente A de una anualidad es la suma de los valores presentes de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo, por tanto: A = 1000(1.05) (1.05) (1.05) (1.05) 4 = 1000 [ (1.05) 1 + (1.05) 2 + (1.05) 3 + (1.05) 4] = 1000 (1.05) 1 (1.05) 5 1 (1.05) 1 = (1.05) 4 (1.05) 1 = = $ Es conveniente que el lector represente cada anualidad en una línea de tiempo tomando como unidad de medida el período de interés. No es necesario marcar todos los períodos de interés; sin embargo, el principio del plazo (representado por 0 en la escala), el término del plazo (n, en la escala) y algunos de los períodos de interés, deben mostrarse. (El hecho que el intervalo de pago coincida con el período de interés, es únicamente requisito de anualidades ciertas ordinarias) FORMULAS DE LAS ANUALIDADES Sean R = el pago periódico de una anualidad, i = j m = la tasa de interés por período de interés, n = el número de intervalos de pago = el número de períodos de interés, S = el monto de la anualidad, A = el valor presente de la anualidad. Las fórmulas básicas de anualidades son: Cárdenas - Rojas - Cardona

49 4.3. FORMULAS DE LAS ANUALIDADES 41 y S = R s n i = R (1 + i)n 1 i 1 (1 + i) n A = R a n i = R i (4.1) (4.2) Donde s n i = (1+i)n 1 n durante n intervalos y, es el monto de una anualidad de 1 por intervalo de pago a n i = 1 (1 + i) n i es el valor presente de una anualidad de 1 por intervalo de pago durante n intervalos. El símbolo s n i se lee como s sub n a la i. Para determinadas i y n se generan valores con la siguiente ecuación s n i = (1+i)n 1 i. El símbolo a n i se lee a sub n a la i. Para determinadas i y n se generan valores con la siguiente ecuación: a n i = 1 (1 + i) n i EJEMPLO 13. Hallar el monto y el valor presente de una anualidad de $150 mensuales durante 3 años 6 meses al 6 % convertibles mensualmente R = 150, i = 0.005, n = 42; de (4.1) y(4.2) se tiene: S = R s n i = 150s = 150( ) = $ y A = R a n i = 150a = 150( ) = $ Cuando la tasa o el tiempo dado no corresponden a los valores generados por s n i = (1 + i)n 1 i Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

50 42 Elementos de Matemáticas Financieras y por a n i = 1 (1 + i) n i los cálculos pueden hacerse utilizando logaritmos. EJEMPLO 14. Hallar el monto y el valor presente de una anualidad de $2275 cada 6 meses durante 8 años y 6 meses al 5,4 % convertible semestralmente. R = 2275, i = 0.027, n = 17 ; con lo cual S = 2275s = 2275 (0.027) Calculamos primero N = (0, 027) 17 con logaritmos: log N = 17 log (1.027) log N = 17( ) log N = N = Por tanto: S = log 2275 = log 0, 5729 = colog 0, 027 = log S = S = $ Cárdenas - Rojas - Cardona

51 4.3. FORMULAS DE LAS ANUALIDADES 43 y S es el monto requerido. A = 2275a = (1.027) Primero se calcula N = (1.027) 27 con logaritmos: log N = 17 log log N = log N = N = Por tanto, A = log 2275 = log = colog = log A = A = $ y A es el valor presente requerido. Las dificultades con las anualidades provienen principalmente de no tener en cuenta los siguientes hechos al aplicar las fórmulas: (i) La fórmula (4.1) nos da el monto de la anualidad justamente después que el último pago ha sido efectuado. Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

52 44 Elementos de Matemáticas Financieras (ii) La fórmula (4.2) nos da el valor de la anualidad un período antes de hacer el primer pago PAGO PERIODICO Resolviendo para R las fórmulas (4.1) y (4.2), se tiene que y R = S 1 s n i R = A 1 a n i (4.3) (4.4) es el pago periódico o la renta periódica de una anualidad cuyo monto (4.3) o valor presente (4.4) es conocido. Para determinados i y n, se generan valores mediante la ecuación 1 s n i = i (1+i) n para el valor de. No se incluyen valores de s n i a n i ya que EJEMPLO a n i = 1 s n i + i (4.5) De los valores generados por 1 s n i = i (1+i) n 1 se tiene, 1 s = Por tanto: 1 a = 1 s = = EJEMPLO 16. Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorros que paga el 3 1 % convertible semestralmente, 2 durante 10 años para que el monto sea de $25.000, precisamente después del último depósito? Cárdenas - Rojas - Cardona

53 4.4. PAGO PERIODICO 45 Figura 4.2: Períodos de intereses Acá S = , i = , n = 20; de (4.3) se tiene que: R = S 1 s n i = s = ( ) = $ EJEMPLO 17. Tres meses antes de ingresar al colegio un estudiante recibe $10.000, los cuales son invertidos al 4 % convertible trimestralmente. Cuál es el importe de cada uno de los retiros trimestrales que podrá hacer durante cuatro años, iniciando el primero, trascurridos tres meses? Figura 4.3: Períodos de intereses Puede verse que A = , i = 0.01, n = 16; así se tiene: Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

54 46 Elementos de Matemáticas Financieras R = A 1 a n i 1 = s = ( ) = ( ) = $ PLAZO Las fórmulas (4.3) y (4.4) pueden ser resueltas aproximadamente para n, ya sea interpolando los valores generados por las ecuaciones s n i = (1+i)n 1 i o utilizando logatrimos. EJEMPLO 18. ; a n i = 1 (1+i) n i Cierta persona obtiene un crédito por un valor de $3750, pactando un plan de pagos en el cual cancela capital e intereses al 6 % convertible semestralmente mediante pagos semestrales de $225 cada uno haciendo el primero en seis meses. Cuántos pagos deberá hacer esta persona?. Puede ver que A = 3750, R = 225, i = 0.03; y así: Para i = 0.03 se tiene: 3750 = 225a n 0.03 y a n 0.03 = = a = y a = O sea una anualidad de 23 pagos tiene un valor presente ligeramente menor de $3750, Cárdenas - Rojas - Cardona

55 4.5. PLAZO 47 mientras que una de 24 pagos tiene un valor presente de algo más de $3750. En este caso nada se ganará intentando obtener n con más exactitud, ya que a la persona en mención se le presentará alguna solución con las dos alternativas siguientes: (i) Aumentar el 23 % pago en una cierta cantidad. (ii) Otra opción es realizar 23 pagos de $225 cada uno, y 6 meses después un pago final mejor a $225. En la práctica, se utiliza con más frecuencia la segunda alternativa. EJEMPLO 19. Hallar el pago final que tendrá que hacerse con la alternativa (ii) en el ejemplo 4. Con la alternativa (ii), la persona saldará su deuda haciendo 23 pagos semestrales de $225 cada uno y el 24 % de X, 6 meses más tarde, tomando como fecha focal el principio del plazo, se tiene: Figura 4.4: Períodos de intereses 225a X(1.03) 24 = 3750 de donde, Fundación Universitaria del Área Andina - Pereira

56 48 Elementos de Matemáticas Financieras X = ( a )(1.03) 24 = ( )(2.0328) = $ EJEMPLO 20. Una entidad bancaria realiza la apertura de un fondo de $5000 mediante consignaciones de $250 cada 3 meses. Si en fondo gana 4 % convertible trimestrales. Hallar el número de depósitos de $250 que tendrán que hacerse y el importe del depósito que será necesario hacer 3 meses más tarde. Según los datos se tiene S = 5000, R = 250, i = 0.01; por tanto, 250s n 0.01 = 5000 y s n 0.01 = 20 así se encuentra que i = 0.01 s = y s = O sea que se harán 18 depósitos de $250 cada uno y un depósito final de X tres meses depués. Para hallar el depósito final se toma como fecha focal el final del 19 % período de interés. Cárdenas - Rojas - Cardona