Se entiende por sistema numérico a los símbolos y al conjunto de reglas que se aplican sobre ellos para realizar la representación de una cantidad.

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1 CAPITULO Nº SISTEMAS NUMÉRICOS. Introducción. La necesidad del homre de representar cantidades lo ha llevado a inventar símolos que las representen. Se entiende por número a una expresión formada por un símolo o una secuencia de símolos que representan una cantidad. Se entiende por sistema numérico a los símolos y al conjunto de reglas que se aplican sore ellos para realizar la representación de una cantidad. El sistema numérico más simple que se puede pensar es el que asocia la cantidad unitaria con un símolo. La regla de generación de otras cantidades es un símolo por elemento a contar. El sistema anterior tiene evidentes prolemas cuando se desea representar cantidades grandes. Por ello, se comenzó a utilizarse un conjunto finito de símolos que equivalen a una cantidad determinada, y a través de la cominación de ellos, siguiendo una regla específica, se representan las otras cantidades. Los egipcios utilizaan para representar cantidades un sistema similar al decimal, donde asignaan un símolo gráfico a las potencias de desde el al... Los siete símolos empleados eran los siguientes:..... Una característica del sistema egipcio de numeración es ser de ase y además ser aditivo. De esta forma, el número 4 se escriía usando cuatro diez y dos unos.

2 El anterior es el método más ásico, que resulta cómodo para expresar cantidades pequeñas. En el caso de cantidades grandes, los símolos iguales se juntaan de la siguiente forma: Uno de los sistemas numéricos más conocidos en occidente es el sistema romano, en el cual existen ciertas cantidades que se representan por símolos preestalecidos, a saer: Decimal Romano I V X L C D M Las restantes cantidades se forman mediante una cominación de los anteriores siguiendo las siguientes reglas: Si una letra va seguida de otra de igual o menor valor se suman sus valores: II = + = III = + + VIII = = 8 XVI = = 6 LXXVII = = 77 Las letras V, L y D no se repiten. Las letras I, X, C y M se repiten máximo hasta tres veces seguidas. Si una letra va precedida inmediatamente de otra de menor valor, se le esta ese valor: IX = - = 9 XL = 5 = 4 CD = - = 9 Las letras V, L y D no se anteponen a otra de mayor valor. La letra I solo dee anteponerse a V y X. La letra X solo se antepone a L y C.

3 Si una letra está colocada después de una de mayor valor y antes de otra tamién de mayor valor que ella, se resta de esta última. MXC = + (-) Una característica importante de este sistema es que los símolos o dígitos tienen un valor fijo, independiente de la posición que tengan en el número.

4 . Sistemas con notación posicional. Al contrario del sistema griego y romano, en que el dígito o símolo siempre tiene el mismo valor, independiente de la posición que ocupe en el número, en los sistemas con notación posicional la uicación si tiene relevancia. Es decir, el símolo adquiere un valor distinto dependiendo de la posición en que este se encuentre. En estos sistemas, el número se construye mediante una sumatoria de los dígitos ponderados por una potencia de la ase. N = a * * +... * +a - * - - * m * -m Donde: N = a k k= -m * k N : Número en sistema numérico de ase. : Base del sistema numérico. a i : Coeficiente de la potencia de la ase ( a i ) n : Número de dígitos enteros. m : Número de dígitos decimales Ejemplos : es: 3 * * * + 5 * + 6 * 34856,4 es: 3 * * * + 5 * + 6 * + * + 4 * - La cifra más significativa o dígito más significativo (MSD) es el que tiene la ponderación más alta (MSD) y se encuentra más a la izquierda. El dígito menos significativo (LSD) es la que tiene es la tiene la ponderación más aja y se encuentra más a la derecha.

5 Ejemplo de distintos sistemas de notación posicional Base Base Base 3 Base 4 Base 8 Base 6 Base A A 3 3 B B 3 4 C C D D E E F F 6 G A B A Oservaciones Un sistema en ase necesita una cantidad de símolos ásicos diferentes. Los símolos de un sistema de ase se encuentran entre,,..., -. La ase de un sistema siempre se representa con Las potencias de la ase son potencias de, es decir:,,, etc. En sistemas de ase mayor a se utilizan como símolos las letras A, B, C,...,Z.

6 3. Transformaciones entre sistemas. 3. Conversión de ase X a ase. Método evaluación del polinomio. Para convertir un número de ase cualquiera a ase se evalúa el polinomio que genera el número, realizando las operaciones en ase. Si el sistema tiene ase mayor a, previo a la evaluación del polinomio se convierten los símolos en su equivalente a ase. Ejemplos: 33 4 = 3 * 4 +3 * 4 = 5 B 7 = * 7 + B * 7 = * 7 + * 7 = 8 Método de los productos sucesivos. Este método se deriva de una forma distinta de evaluar el polinomio y es aplicale sólo a números enteros. i N = ai * = a i= = (a = ((a = ((...((( a n-4 ) n n-5 ) n ) +... ) ) ) +... ) ) Ejemplo: Transformar 3 a ase *3 + = 7 7*3 + = 3 =

7 3. Conversión de ase a ase X. Método para números enteros: Divisiones sucesivas.. Se realizan divisiones enteras sucesivas en las cuales el divisor es la ase.. Primer dividendo es el número en ase. 3. Siguientes dividendos son los cuocientes de las divisiones enteras. 4. Los dígitos del número en ase X están formados por los restos de las divisiones enteras. 5. Dígito menos significativo del número en ase X corresponde al primer resto. 6. Dígito más significativo corresponde al último cuociente. 7. Termina la división hasta que el cuociente sea menor que la ase. Algoritmo : N : ase = cuociente (), resto () : cuociente () : ase = cuociente (), resto () 3: cuociente (3) : ase = cuociente (3), resto (3) 4:.. i : cuociente (i) : ase = cuociente (i), resto (i) Condición de Termino del ciclo: cuociente (i) < ase Número en ase X: cuociente (i) resto (i) resto (i-)... resto () resto () Ejemplo: 6 a ase 6 : = 3, 3 : = 6, 6 : = 3, 3 : =, 6 = Ejemplo: 47 a ase 5 47 : 5 = 9, 9 : 5 =, 4 47 = 4 5

8 Método para números fraccionarios. Para convertir un número fraccionario de ase a ase X se dee utilizar el siguiente método. Se multiplica el número fraccionario decimal por la ase X. La parte entera del número resultante corresponde a la primera cifra decimal del número en la ase X. Se realizan sucesivas multiplicaciones por la ase X considerando las partes decimales de las multiplicaciones. Los enteros de los productos otenidos corresponden a los decimales del número en ase X. Ejemplo:,476 a ase 3,476 * 3 =,48 a - =,,48 * 3 =,84 a - =,,84 * 3 =,85 a -3 =,,85 * 3 =,556 a -4 =,,556 * 3 =,668 a -5 =,,668 * 3 =,4 a -6 =,,4 * 3 =, a -7 =, Respecto del número de decimales que dee tener el número en la nueva ase se dee considerar la siguiente expresión: donde -nd = -ndx nd : Número de decimales del número en ase. : Nueva ase del número. ndx : Número de decimales del número en ase.

9 4. Algera en distintos sistemas. 4. Algera en sistema inario. a) Suma inaria. La suma se realiza tomando consideración la siguiente tala: + Ejemplo: + ) Resta inaria. - R P R P R: Resultado. P: Préstamo. Ejemplo -

10 c) Multiplicación inaria. Se realiza de la misma forma que la multiplicación decimal pero considerando la siguiente tala de multiplicar inaria. * Ejemplo de multiplicación decimal 5 * => 5 * ( + + ) Ejemplo de multiplicación inaria *

11 d) División Binaria. Se realiza de la misma forma que la división decimal pero tomando en cuenta las talas de multiplicar en inario. Ejemplo de división decimal 3 8` ` ` : 5 = Ejemplo de división en inario Dec Bin ` ` ` ` ` : =

12 .4. Algera en sistema octal. Tala de números en sistema octal. Dec Oct a) Suma en octal. Se realiza de la misma forma que la suma decimal, tomando en cuenta la siguiente tala de sumas en octal Ejemplo de suma en octal ) Resta en octal. La resta en octal se realiza de la misma forma que la resta decimal, teniendo en cuenta que cuando el minuendo es mayor que el sustraendo se dee pedir un prestamo. Ejemplo de resta en octal

13 c) Multiplicación en octal. Para realizar las multiplicaciones en el sistema octal se deen considerar las talas de multiplicar en octal. * Ejemplo de multiplicación en sistema octal * c) División en octal. Ejemplo de división 4` 3` ` 5`: =

14 .4.3 Algera en sistema Hexadecimal. Tala de números en sistema hexadecimal Dec Hex A B C D E F Dec Hex A B C D E F Dec Hex A B C D E F Dec Hex A 3B 3C 3D 3E 3F a) Suma en sistema hexadecimal. Se dee considerar para efectuar la suma la siguiente tala: A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A B D D E F A B C E E F A B C D F F A B C D E Ejemplo de suma C A B + A F 6 B C

15 ) Resta en hexadecimal 6 B 6 B C - A F C A B ) Multiplicación en Hexadecimal. Para la realización de la multiplicación en hexadecimal es necesario considerar las talas de multiplicar en el sistema hexadecimal. * A B C D E F A B C D E F A C E A C E C F 5 8 B E 4 7 A D C 4 8 C 4 8 C C 5 5 A F 4 9 E 3 8 D C B 6 6 C 8 E 4 A C E 54 5A A C * 5 A 6 5 C A + 3 A C 3 9 D E A

16 .5 Multiplicación y división por la ase. a) Multiplicación por la ase. Para multiplicar por la ase se multiplica el polinomio generador del número N por de la siguiente forma: N N* = (a i = ai * = a i= = a = a n n ) * + * Luego el número N* se escrie en términos de los coeficientes del polinomio de la siguiente forma: N * = a a a... a a a Lo anterior significa que para números enteros multiplicar por la ase implica agregar como dígito menos significativo un cero. En forma similar a lo anterior, la multiplicación de un número con decimales por la ase implica correr la coma a la derecha un dígito. ) División por la ase. N = a * * +... * +a - * - - * m * -m N / = (a * * +... * +a - * - - * m * -m ) / = a * * +... * * - +a - * - - * m * -m- Se oserva que el primer dígito decimal (que tiene la ponderación - ) es ahora a. Lo anterior equivale a correr la coma a la izquierda un dígito.

17 .6 Sistemas complementarios. Se utilizan los sistemas complementarios para transformar la operación de resta en una suma como sigue:.6. Complemento a la ase. A B = A + (-B) Con: [N] = n (N) : Base del número. n : Número de dígitos del número. [N] : Complemento a la ase del número N. (N) : Número en ase. Ejemplos: [3] = 3 = 3 = 87 [] = = = [ 9 3] = 3 = 93 = 7 Si se resta con complemento a la ase, se otiene el resultado con signo. Método de resta ampliamente usado en computadoras, pues un solo módulo puede hacer restas y sumas. Las operaciones de multiplicación y división se hace más fácil realizarlas, pues estas operaciones están asadas en sumas y restas.

18 .6. Complemento a la ase con números inarios. Ejemplo: Complemento a dos de. [] = 3 = - - Métodos específicos para el caso inario..- Se camia el valor de cada it, y al número resultante se le suma. [] = ()* + = + =.- Partiendo del dígito menos significativo se copia el número original hasta copiar el primer número, luego se camia el valor de los its restantes. [ ] = x x x x =

19 .6.3 Complemento a la ase de números fraccionarios. Se define como: [N] = (N) Ejemplo: Complemento a de,79 [,79] =,79, -, 7 9, Resta inaria complementaria. Para realizar la operación: (A) (B) se realizan los siguientes pasos:.- Se otiene el complemento a del sustraendo: [B].- Se suma el minuendo con el complemento a dos del sustraendo. 3.- Si el resultado en la posición (n+) produce un acarreo (), el número es positivo. Si el resultado en la posición (n+) no produce acarreo (), el número es negativo.

20 .6.5 Complemento a la ase disminuida. El complemento a la ase disminuida se define como: [N] - = n - -m (N) Con: = ase del número. N = número en ase. n = número de dígitos enteros. m = número de dígitos decimales Para números enteros se tiene que m =, luego Ejemplos: Complemento a ( ) de,79. n = m = [N] - = n - -m (N) = [N] [,79] - = - - -,79 =..79 = 87. Complemento a (-) de n = 4 m= [] - = 4 = - - Existe un método particular para calcular el complemento a la ase disminuida para números en ase y consiste en camiar el valor de dígitos. Ejemplo: Calcular el complemento (-) de. [ ] - = ( )* =