Ejercicios de Exámenes de Microsoft Excel

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1 Ejercicios de Exámenes de Microsoft Excel Versión 2.0 Diciembre de 2003 Escuela Politécnica Superior de Zamora Departamento de Informática y Automática Universidad de Salamanca

2 1. Hacer una hoja de cálculo que dado un número entre 1 y 20 en G1 (en el ejemplo es el 7), calcule la tabla de multiplicar módulo dicho número, es decir, el resultado intersección de la fila i y la columna j es el resto de dividir i*j entre el contenido de la celda G1. (Arquitectura Técnica, Jun. 2001) 2. Hacer una hoja de cálculo que dado un número entre 1 y 20 en G1 (en el ejemplo es el 7), calcule la tabla de multiplicar módulo dicho número, es decir, el resultado intersección de la fila i y la columna j es el resto de dividir i+j entre el contenido de la celda G1. (Arquitectura Técnica, Jun. 2001) 3. Si se deja caer un cuerpo desde una altura h, la altura que alcanza para tiempo t es h(t)=h-gt 2 /2. El tiempo que emplea en llegar al suelo es: t = 2* h / g Hacer una hoja de cálculo, que partiendo del valor de g, y de la altura inicial, calcule el tiempo de caída, y la altura alcanzada para los valores enteros del tiempo menores o iguales que el tiempo de caída, como se muestra en la imagen de la izquierda. La columna rotulada velocidad contiene las diferencias entre dos alturas sucesivas y la rotulada aceleración las diferencias entre dos velocidades sucesivas. 1

3 (Arquitectura Técnica, Jun. 2000) 4. Hacer una hoja de cálculo, que calcule áreas de círculos (A=πr 2 ) y volúmenes de esferas (V=4πr 3 /3) para los valores del radio entre 0 y un máximo prefijado en metros. Hacer la conversión de dichos valores a pulgadas, empleando para ello el factor de conversión 1in=0.0254m, pero permitiendo que sea variable, es decir almacenándolo en una celda de la hoja, como se muestra en la imagen de la izquierda. (Arquitectura Técnica, Jun. 2000) 2

4 5. Utilizar Excel para confeccionar la siguiente tabla: El precio por habitación doble es igual a 2500 Pts por cada estrella del hotel. Se aplica un IVA del 16%. El precio de la habitación individual es la mitad que el precio total de la doble. Los resultados se deben expresar en pesetas 6. Utilizar Excel para confeccionar la siguiente tabla. La nota final es la suma de las tres notas 7. El siguiente algoritmo (derivado del método Newton-Raphson de análisis numérico) sirve para calcular la raíz cuadrada de un número real positivo: Partiendo de un número real positivo a se puede calcular la siguiente secuencia x i de números positivos: x 0 = 1 1 a x i 1 = ( x i + ) 2 x pues bien, cuando + para i = 0,1, 2, i i, entonces x i a. Realizar una hoja de cálculo que obtenga la sucesión x i. La sucesión deberá parar cuando el término x i, redondeado a cuatro decimales, sea igual al resultado de la función raíz. 3

5 Si en F1 no hay dato, o es negativo, deberá aparecer un mensaje de error. (I.T.I., Feb. 2002) 8. Se denominan Variaciones ordinarias, o Variaciones sin repetición, de n elementos tomados r a r con r n, y se representa como V n,r, a las distintas muestras que se pueden tomar con n elementos, tal que: En cada muestra entren r elementos distintos Dos muestras son distintas, si difieren en algún elemento o en el orden de colocación de los mismos El número de estas variaciones se puede calcular de la siguiente forma: V n, r n! = n ( n 1) ( n 2) ( n r + 1) = ( n r)! Realizar una hoja de cálculo que dado un Número Natural n distinto de muestre el número de variaciones desde V n,1 hasta V n,n. 4

6 Si en G4 no hay dato, o no cumple las condiciones adecuadas, deberá aparecer un mensaje de error. (I.T.O.P., Jun. 2002) 9. Hacer una hoja de cálculo para calcular los N primeros términos de una progresión aritmética a partir del primer término A y la diferencia entre los mismos D, siendo N>0. Debe calcular también su suma. Si N no cumple las condiciones, deberá aparecer un mensaje de error. 5

7 ( I.T.O.P., Sep. 2002) 10. Dados dos números enteros positivos N y D, se dice que D es un divisor de N si el resto de dividir N entre D es 0. Se dice que un número N es primo si no tiene más divisores que él mismo y la unidad. Hacer una hoja de cálculo que dado N nos diga si es, o no, primo. (I.T.O.P., Sep. 2001) 11. Utilizando Excel, crear una hoja de cálculo para determinar el premio que obtiene una persona al jugar a una lotería en la que debe apostar a 4 números. La persona tiene que indicar 4 números, que supone serán la combinación ganadora. Tanto el resultado del juego como la apuesta del jugador se introducen manualmente en la hoja de cálculo. Para cada número, si es un acierto, se escribirá a su lado la palabra acierto y no se escribirá nada en caso contrario. El jugador cobrará pesetas por cada número acertado. Se debe determinar su premio total. A continuación se muestra un ejemplo de cómo debería quedar la hoja: 6

8 En la tabla, el título está escrito en Times New Roman a 14 puntos y el resto en Arial a 10 puntos (Jun. 2000) 12. Utilizando Excel, crear una hoja de cálculo para determinar el número de aciertos que obtiene una persona al jugar a una lotería en la que debe determina el resultado de 3 partidos. La persona tiene que indicar el resultado de cada partido (1 si gana el primer equipo, 2 si gana el segundo y 3 si hay un empate). Tanto el resultado del juego como la apuesta del jugador se introducen manualmente en la hoja de cálculo. Se utilizarán tres celdas para determinar el número de aciertos del jugador. Si obtiene 1 acierto, se escribirá un 1 en la primera; si obtiene 2, se escribirá un 2 en la segunda y si obtiene 3 se escribirá un 3 en la tercera. Si no tiene ningún acierto, no se escribirá nada en ninguna de las tres celdas. A continuación se muestra un ejemplo de cómo podría quedar la hoja: En la tabla, la expresión Resultado del Juego está escrita en Arial de 12 puntos y el resto en Times New Roman a 10 puntos (Jun. 2000) 7

9 13. Utilizando Excel, crear una hoja de cálculo que permita realizar las siguientes operaciones: en una celda se indicará el precio de un producto y en otra la cantidad de dinero entregada para pagarlo. Se debe determinar el número de monedas de 500, 100, 50, 25, 5 y 1 para dar la vuelta. Se debe dar el menor número de monedas posibles. Si la cantidad aportada como pago es inferior al precio a pagar, se indicarán las monedas que faltan para completar el pago (con números negativos). A continuación se muestran dos ejemplos de cómo podría quedar la hoja: (Jun. 2000) 14. Utilizando Excel, crear una hoja de cálculo para convertir a binario números entre 0 y 100. Se indicará el número resultante como aparece en el siguiente ejemplo (para el número 25): 8

10 El único valor que se introduce es el número decimal. El resto de valores deben calcularse. Se debe tener en cuenta que, aunque las divisiones se hacen como si se operase manualmente, sólo se incluye el resto de cada división y no se incluyen los resultados parciales para cada una de las cifras obtenidas como cociente. (Sep. 2000) 15. Dados dos números A 1 y B 1, se definen su media aritmética y su media geométrica respectivamente como A1 + B1 A2 = 2 Por el mismo procedimiento se calculan A 3 y B 3 a partir de A 2 y B 2, y así sucesivamente. Las sucesiones {A n } y {B n } así construidas son B 2 = A1 * B1 convergentes y su límite es el mismo, y recibe el nombre de media aritmético-geométrica de A 1 y B 1. Hacer una hoja de cálculo usando Excel, que partiendo de A 1, B 1 (situados en B4 y C4 respectivamente) y un valor ε> situado en B2), calcule los términos que sean precisos de ambas sucesiones hasta que la diferencia en valor absoluto de A n y B n sea menor que el valor de ε prefijado. La función valor absoluto en Excel es ABS(...). 9

11 (Arquitectura Técnica, Feb. 2000) 16. Para hacer el examen de su asignatura, un profesor realiza dos pruebas, una teórica y otra práctica, la prueba teórica consta de tres preguntas, cuyo valor relativo para la nota teórica es del 40%, 20% y 40%. De igual forma la prueba práctica consta de otras tres preguntas, siendo en este caso su valor relativo para la nota práctica del 30%, 30% y 40%, para aprobar el examen es preciso que la nota media entre la teórica y la práctica sea de al menos 5 puntos y que la nota media de la teoría y de la práctica sea al menos de 3 puntos. Para hacer más fácil la labor del profesor, se debe realizar una hoja de cálculo con Excel, que a partir de las notas en las 6 preguntas (sobre 10), calcule la nota media en teoría, la nota media en práctica y decida si un alumno suspende o aprueba la asignatura (no hace falta tener en cuenta los notables o sobresalientes). (Arquitectura Técnica, Feb. 2000) 17. Hacer una hoja de cálculo que dado un ángulo x (en B1) y un valor n (en D1) calcule en la fila 3 el seno y el coseno de a=x/2n, empleando las fórmulas sin(a)=a-a3/6 y cos(a)=1-a2/2. En la fila 4 debe calcular el seno y el coseno de 2a, con las fórmulas: sin(2a)=2*sin(a)*cos(a) y cos(2a)=cos2(a)-sin2(a), y repetir con las filas sucesivas hasta obtener el seno y el coseno de x 18. Hacer una hoja de cálculo que dado un ángulo x (en B1) y un valor n (en D1) calcule en la fila 3 el seno y el coseno hiperbólicos de a=x/2n, empleando las fórmulas sinh(a)=a+a3/6 y cosh(a)=1+a2/2. En la fila 4 debe calcular el seno y el coseno hiperbólicos de 2a, con las fórmulas: sinh(2a)=2*sinh(a)*cosh(a) y cosh(2a)=cosh2(a)+sinh2(a), y repetir con las filas sucesivas hasta obtener el seno y el coseno hiperbólicos de x. 10

12 19. Una empresa alquila un autobús para excursiones con capacidad para 10 viajeros. Una vez determinados los kilómetros del viaje, el coste por persona y kilómetro (para evitar valores negativos, supondremos que siempre será al menos 10) y las edades de los viajeros, calcular los valores que se indican en el siguiente ejemplo y aplicar los formatos adecuados. El coste total será la suma del coste asociado a cada persona del grupo, teniendo en cuenta que la empresa aplica los siguientes descuentos: una persona con más de 65 años se ahorra 10 euros por kilómetro recorrido los niños de 5 años o menos pagan una cantidad fija de 25 euros por viaje si el grupo que alquila el autobús es de al menos 7 personas, se descuenta del coste total el 1% por cada una de las personas del grupo (sea cual sea su edad) (I.T. Agrícola, Sep. 2002) 20. Dado un depósito esférico de radio R, el volumen V de agua que contiene en función de la altura h del agua es: 2 2 ( h R) V = V + ( ) 0 π h R R 3 siendo V 0 el volumen de una semiesfera de radio R. 11

13 Hacer una hoja de cálculo con Excel, que debe permitir calcular el volumen en función de la altura para alturas comenzando en 0, con incrementos de 0.1 y hasta la altura total (2R). Además debe permitir calcular la altura del agua para un volumen dado, para ello se utilizará el procedimiento siguiente. Si despejamos h en la fórmula dada arriba se obtiene: 3 3( V V0 ) + π ( h R) h = R + 2 3πR se considera la función 3 3( V V0 ) + π ( h R) f ( h) = R + 2 3πR y se construye a partir de la misma la siguiente sucesión, h 0 = R, h 1 = f(h 0 ), h 2 = f(h 1 ),... Dicha sucesión converge al valor de la altura buscada, calcular los valores necesarios de la sucesión { h n }, junto con el volumen correspondiente, hasta que la diferencia V (h n ) - V b < ε, siendo V b el volumen buscado, V (h n ) el volumen hasta la altura h n y ε > 0 un valor prefijado. (Arquitectura técnica, feb. 2002) 21. Dado un depósito cónico de altura 2R y radio de la base R, el volumen V de agua que contiene en función de la altura h del agua es: 12

14 2 3 2 Rh h V = π R h Hacer una hoja de cálculo con Excel, que debe permitir calcular el volumen en función de la altura para alturas comenzando en 0, con incrementos de 0.1 y hasta la altura total (2R). Además debe permitir calcular la altura del agua para un volumen dado, para ello se utilizará el procedimiento siguiente. Si despejamos h en la fórmula dada arriba se obtiene: V + 6πRh πh h = 2 12πR se considera la función V + 6πRh πh f ( h) = 2 12πR y se construye a partir de la misma la siguiente sucesión, h 0 = R, h 1 = f(h 0 ), h 2 = f(h 1 ),... Dicha sucesión converge al valor de la altura buscada, calcular los valores necesarios de la sucesión { h n }, junto con el volumen correspondiente, hasta que la diferencia V (h n ) - V b < ε, siendo V b el volumen buscado, V (h n ) el volumen hasta la altura h n y ε > 0 un valor prefijado. 13 (Arquitectura técnica, feb. 2002)

15 22. Hacer una plantilla de Excel que realice las suguientes operaciones: una vez introducidos en celdas consecutivas el número de sobresalientes, notables, aprobados y suspensos de una asignatura, calcular el porcentaje correspondiente a cada calificación (el resultado debe tener formato de tanto por ciento). La hoja que contiene los datos se llamará NOTAS y el resto se eliminará. (I.T. Agrícola, Jun. 2002) 23. Calcular los valores de X partiendo de un valor inicial y una razón dados. Calcular después los valores de la siguiente función: F(X) = π 1 si X=0 sen X si X 0 ( ) X ( I.T. Agrícola, Jun. 2002) 24. Realizar una hoja de cálculo, en la que se introducirá en la celda E1, la cantidad de números con los que se va a trabajar, de tal forma que se genere automáticamente en la columna A dicha cantidad de números, los números serán introducidos en la columna B. Se debe obtener el mayor, el menor y la media aritmética de los valores introducidos, así como indicar cuantos son mayores, menores e iguales a cero. Por último dar el valor de la suma de los positivos. 14

16 (I.T. I, Feb. 2003) 25. Hacer una hoja de cálculo para pasar a decimal un nùmero de hasta 10 cifras. El número puede venir dado en binario o en octal. La base utilizada se indicará en la celda F1 y el número en cuestión se escribirá en la fila 3; la fila 4 se reserva para las potencias de la base y en la 5 se escriben los productos. El resultado de las operaciones aparecerá en la celda F7. A continuación aparece un ejemplo binario: (I.T. Agrícola, Sep. 2001) 26. Realizar una hoja de cálculo que nos proporcione la resistencia equivalente de un conjunto de N resistencias, siendo N un valor entre 1 y 100. Los datos son los valores de las resistencias (celdas A5 hasta A105) y modo de asociación: serie o paralelo (celda E8) Ten en cuenta que para resistencias en serie, la resistencia equivalente se calcula: R = R e 1 R N Y para resistencias en paralelo, es: 15

17 1 R 1 = R e 1 R N si la celda E8 no hay texto o no es el correcto debe aparecer un mensaje de error adecuado al caso. (I.T.I.G, Feb. 2003) 27. Voy a participar en una carrera benéfica y quiero hacer una hoja de cálculo para determinar cuanto dinero puedo recaudar. En la carrera habrá controles cada 2 kilómetros (empezando en la salida y terminando en el kilómetro 36). Para cada control quiero calcular cuántos kilómetros y cuánto dinero llevaría acumulado si paro en dicho control (se supone que sólo puedo parar en los controles). En la última columna debe aparecer la expresión Recaudación justo en la fila correspondiente a los kilómetros que yo he cubierto. Tanto los kilómetros cubiertos como el dinero que cobraré por kilómetro son valores que introduzco manualmente en la hoja de cálculo. En la figura aparece un ejemplo en el que supongo que he cubierto 20 kilómetros y me pagan 100 pesetas por kilómetro. 16

18 (Jun. 2001) 28. Resolver el siguiente problema utilizando Excel: una persona decide repartir su herencia entre 20 familiares que coloca en una lista. Cada uno recibirá la vigésima parte del dinero, pero todos salvo el primero tienen que restar a su parte lo que ha recibido el anterior dividido por su propia posición dentro de la lista de herederos. De la herencia correspondiente a cada persona, la cantidad que se queda Hacienda será un 5% para los que reciban como mucho un millón de pesetas y del 10% para el resto. Calcular, para cada persona, la parte de herencia que le corresponde, lo que se queda Hacienda y lo que cobrará en total. La hoja se debe parecer al ejemplo que se incluye, en el que se ha supuesto que se repartirá un millón de pesetas. Observar que las cantidades incluyen 3 decimales de precisión. 17

19 (Sep. 2001) 29. Hacer una hoja de cálculo que permita averiguar si un número es capicúa en una base también dada, entre 4 y 10. El número se introducirá en B2, y la base en B3, en la fila 4 se calcularán los restos sucesivos de las divisiones necesarias para hacer el cambio de base, la fila 5 debe contener los cocientes de las divisiones anteriores. En la fila 6 se pondrá un 1 cuando el número de la misma columna y sucesivas hasta la H y de la fila 4 sean todos 0, y 0 en otro caso. Sirve para contar cuantos ceros aparecen como cifras iniciales en el número convertido a la base elegida. En B7 se contará el número de unos de la fila anterior. En la fila 8 se construirá el número invertido, en la base dada, pero teniendo cuidado de parar el proceso cuando se llegue a la zona de los ceros iniciales. Finalmente en B9 y D9 se pondrá SI si el número es capicúa en la base elegida, y NO si no lo es. 18

20 (Arquitectura Técnica, Feb. 2003) 30. Realiza una hoja de cálculo en el que todos los campos son datos exceptuando el coste total, que se obtiene sumando al coste fijo, para el coche elegido, el coste de los kilómetros recorridos. También hay que hacer los diagramas que se ven en la imagen. El consumo son litros pro cada 100 Km. (I.T.O.P:, Jun. 2002) 19

21 31. El principio de conservación de la energía exige que en un sistema conservativo la energía permanezca constante. Para un cuerpo de masa m en caída libre desde una altura h, teniendo sólo en cuenta las energías mecánicas y en ausencia de rozamiento, el principio de conservación de la energía se expresa así: E total = E p otencial + Ec inetica Donde las energías potencial y cinética cumplen las siguientes fórmulas: E E potencial cinetica = m g h 1 = m v 2 Siendo la velocidad del cuerpo en la caída: v = 2 2 g h ' Donde h es el trayecto de la altura recorrida por el cuerpo en la caída. Realice una hoja de cálculo donde dada la masa del cuerpo y la altura desde la que se deja caer desde el reposo, calcule las energías cinética y potencial en los valores enteros de la altura hasta el suelo. Comprobar el principio de conservación de la energía h V E potencial E cinética E Total g 9, m , ,2 156, h , ,4 313, , ,6 470, , ,8 627, , , ,2 940, , ,4 1097, , ,6 1254, , ,8 1411, , ,2 1724, , ,4 1881, , ,6 2038, , ,8 2195, , (I.T. AGRÍCOLA, Jun. 2003) 20

22 32. Un tiro parabólico es el que se obtiene al componer un movimiento rectilíneo y uniforme, según la horizontal, con otro de elevación, rectilíneo y uniformemente acelerado. Es el caso del lanzamiento de un proyectil con un ángulo de inclinación α y una velocidad inicial V0, en el campo gravitatorio terrestre. La posición del proyectil viene dada por las coordenadas de éste en cada instante, que cumplen las siguientes fórmulas: x = v t cosα 0 1 y = v 0 t senα g t 2 Siendo el tiempo que tarda dicho proyectil en impactar con el suelo: 2 v senα t = 0 g Realice una hoja de cálculo donde dado el ángulo de inclinación alfa (en grados) y la velocidad de lanzamiento del proyectil, V inicial, calcule la posición de éste en los valores enteros de tiempo antes del momento de impacto con el suelo. 2 T X Y g 9,8 0 0,000 0,000 alfa ,904 70,100 V inicial , , , ,900 T max 15, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,653 89, ,557 22,5 (I.T. AGRÍCOLA, Jun. 2003) 21

23 33. El principio de Arquímedes establece que: E Todo cuerpo sumergido en el seno de un fluido, experimenta una fuerza ascendente (empuje) cuyo valor es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo P E = ml g = Vs d l g Siendo V s, el volumen sumergido del cuerpo y d l la densidad del líquido. Sabemos que el peso de un cuerpo (m c la masa del cuerpo, V c el volumen del cuerpo y d c su densidad), se calcula: P = mc g = Vc d c g El hecho de que un cuerpo flote o se hunda depende de su peso (hacia abajo), y de la magnitud de empuje hidrostático (hacia arriba) determinada por el principio de Arquímedes. Ocurriendo que: Si el peso del cuerpo es mayor que el peso del líquido que desplaza ( P E ), el cuerpo se hunde en el líquido. Si el peso del cuerpo es menor que el peso del líquido que desplaza ( P < E ), el cuerpo flota en la superficie del líquido. Realice una hoja de cálculo donde dados la densidad del líquido, d l, el área de la base del cuerpo, y su altura, calcule el empuje que experimenta el cuerpo totalmente sumergido, para densidades del cuerpo comprendidas entre d c =0.1gr/cm 3 y la densidad del líquido, d l, en el que se encuentra sumergido tomadas en incrementos de 0.1. Determinar si el cuerpo flota en el líquido o se hunde y calcular, en el equilibrio ( F = P E = 0 ), el volumen de cuerpo que se encuentra sumergido en el líquido, según la fórmula siguente: d c Vs = Vc d l d c Peso del Empuje SITUACIÓN Volumen cuerpo sumergido LÍQUIDO 0,1 1960, ,000 flota 2,000 d l 1 0,2 3920, ,000 flota 4,000 0,3 5880, ,000 flota 6,000 0,4 7840, ,000 flota 8,000 CUERPO 0,5 9800, ,000 flota 10,000 Area base 10 0, , ,000 flota 12,000 Altura 2 0, , ,000 flota 14,000 Vc 20 0, , ,000 flota 16,000 0, , ,000 flota 18, , ,000 se hunde 20,000 GRAVEDAD 980 (I.T. AGRÍCOLA, Sept. 2003) 22

24 34. Un pirata ebrio se tambalea al subir por una rampa desde el muelle a su barco. La rampa tiene cinco pasos de ancho y 15 de largo. Comenzamos a observar al pirata cuando está en el extremo de la rampa que se apoya sobre el muelle. Si da más de dos pasos hacia la izquierda o la derecha, caerá en el agua y se ahogará, pero si da más de 15 pasos hacia adelante estará a salvo a bordo de su barco. Realizar una hoja de cálculo que simule el avance del pirata: dado un número a, si este es divisible entre 2, el pirata da un paso hacia delante; si no lo es, pero a-1 es divisible entre 4, el pirata da un paso a la derecha y si no a la izquierda. El proceso finaliza cuando, o bien a es negativo, en cuyo caso suponemos que el pirata se durmió sobre la rampa; o cuando el pirata cae por un lado de la rampa y se ahoga; o cuando el pirata logra llegar a salvo a su barco. Representaremos los pasos a derecha e izquierda como pasos laterales, que se incrementarán en 1 si va hacia la derecha y disminuirá en 1 si va hacia la izquierda. Cuando en esta celda aparezca un valor superior a 2 o inferior a 2 el pirata se habrá ahogado. Cada vez que se introduce un nuevo valor de a, se debe reflejar la nueva posición, salvo que se haya llegado con anterioridad a una situación final, en cuyo caso deben aparecer vacías las celdas relativas a los pasos, y en la celda situación final se debe reflejar la situación alcanzada. (I.T.O.P., Jun. 2003) 23

25 35. Una consecuencia de la definición de cos t y sen t es que los puntos cuyas coordenadas vienen dadas por: 2kπ 2kπ cos, sen para : k = 3 3 0,1, 2 son los vértices de un triángulo equilátero, centrado en el origen, de modo que, para k= 0 el vértice es (1,0) y su lado opuesto es vertical. Además, los puntos cuyas coordenadas son: 2kπ 2kπ cos + v, sen + v para : k = 3 3 0,1, 2 son los vértices del triángulo anterior rotado un ángulo v alrededor del origen, en sentido antihorario. Crear una hoja de Trabajo que dibuje el primer triángulo superpuesto y el segundo para diferentes valores de v. Triángulo de partida Triángulo girado k V X Y X' Y' , , ,5 0, , , ,5-0, , , ,45E-16 0, , ,8 0,6 0,4 0,2 0-1,5-1 -0,5 0-0,2 0,5 1 1,5 Triángulo de partida Triángulo girado -0,4-0,6-0,8-1 24

26 36. Dibujar el polígono: x( n) = R sen( a n + d) cos( b n) y( n) = R sen( a n + d) sen( b n) para : n = 0,1, 2,..., 630. para diferentes valores de R, a, b y d. R: 8 n X Y a: 0, b: 2 1-3, , d: 1 2-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

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