ANÁLISIS GRÁFICO DE UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO

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1 Insttuto de Poesoes Atgas Físca Expemental 1 Guía páctca Nº ANÁLISIS GRÁFICO DE UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO DISPOSITIVO EXPERIMENTAL El dspostvo expemental se muesta en la gua 1. Un egstado electónco o tme se ha montado de oma que se pueda egsta una caída vetcal. Estos apaatos están dseñados paa genea macas sobe la cnta de papel, de modo que el ntevalo de tempo tanscudo ente dos macas consecutvas tene un únco valo. Una cnta de papel adecuado se adosaá a un cuepo, se haá pasa po Fgua 1 una anua del tme, de manea que luego que se deje cae el cuepo, la cnta tendá un egsto de su movmento. Po tanto, al nal de la taea expemental tendemos dsponble una cnta de papel con macas que codcan nomacón sobe el movmento del cuepo. Sobe ella tabajaemos. El aspecto que tendá la cnta se esquematza en la gua. MEDIDAS A REALIZAR Debdo a que el cuepo, cuyo movmento se quee estuda, se dejaá en lbetad desde el eposo especto al pso, el tayecto que descbá el msmo especto a ese maco de eeenca seá ectlíneo. Poscón Fgua Po smplcdad, tatándose de movmentos ectlíneos, la poscón se dene, especto de un luga que petenezca a la ecta sobe la que está apoyada la tayectoa (ogen de poscones O). En stuacones como esta, se elge uno de las pmeas macas claas sobe la cnta, que se dstnga claamente del esto. Téngase pesente, que s se quee analza una evolucón tempoal de las macas, se debe eleg a una de ellas como epesentante del ogen de poscones (no cualque punto de la cnta). De modo que los mejoes valoes de las poscones del cuepo ( x ) se obtendán mdendo, con una egla, las longtudes dendas ente el ogen O y cada maca que se quea estuda. Desplazamento El desplazamento ( Δ x ) podía obtenese al menos de dos omas: 1

2 Δx x A pat de su dencón ( x ) y de los datos de las poscones. A pat de su dencón y mdéndolos dectamente sobe la cnta. Velocdad meda En cada ntevalo en que se ha detemnado el desplazamento se puede calcula la velocdad meda, a pat de su dencón, en donde Δ t es el ntevalo de tempo que le coesponde a cada Δx : Δx v m [.1] Δt Velocdad nstantánea La velocdad nstantánea se puede den como el límte que toma el cocente que dene la velocdad meda cuando el ntevalo de tempo tende a ceo, en símbolos: Δx v lím Δt 0 Δt [.a] S se peee, ya que el cocente ncemental dene la devada pmea de la poscón especto del tempo, es posble escblo con la notacón popa de las devadas: dx v [.b] dt Medante el pocedmento que elegmos paa ealza esta actvdad, no tenemos heamentas paa calcula el valo del límte, o la devada (salvo una apoxmacón a pat del gaco poscón-tempo ). Planteaemos una hpótess azonable que nos pemta asgna cada valo de velocdad meda calculado, a un nstante de tempo del ntevalo. Aceptemos a po que en el poblema que estudaemos, el módulo la velocdad á cecendo a medda que tanscue el tempo. Dado ceto ntevalo de tempo ( Δt t t ) ente dos macas, tales que la velocdad meda se conoce, podemos ama: La velocdad del cuepo, en el nstante ( ) en que se ceó la pmea maca del ntevalo, tene un valo meno que la meda del ntevalo. La velocdad del cuepo, en el nstante ( t ) en que se geneó la segunda maca del ntevalo tene un valo mayo que la meda del ntevalo. S aceptamos que la velocdad nstantánea va tomando todos los valoes ntemedos ente los que toma en los extemos del ntevalo, seguamente habá un nstante de tempo de ese ntevalo en que la velocdad nstantánea concda con la velocdad meda en el msmo. t Asumemos como HIPÓTESIS 1 + t que en el nstante medo t de cada ntevalo la velocdad nstantánea ( v ) del cuepo concde con la velocdad meda del msmo ( v m ). t 1 Esta amacón es estctamente válda en caso de un movmento ectlíneo con aceleacón constante.

3 Tendemos así, un conjunto de valoes de velocdad nstantánea ( v ) y sus coespondentes valoes de tempo ( t ), que podemos analza gácamente. Seguamente seá útl odena la nomacón anteo en una tabla. Aceleacón La aceleacón meda de una patícula, en un ntevalo de tempo ( Δt t dene: a m v t v t [.3] t A pat de su dencón, podemos conclu que s se dspone de un gáco velocdad - tempo paa un movmento ectlíneo, la pendente de un segmento de ecta dendo ente dos puntos del gaco, pemte calcula la aceleacón meda en dcho ntevalo. S es váldo (como seguamente ocuá en esta actvdad) den una uncón lneal paa descb el conjunto de puntos del gáco menconado, obtendemos valoes smlaes ente sí paa el cálculo de la pendente en deentes ntevalos. En tal caso, la aceleacón en cada nstante concdá con el de la aceleacón meda. INCERTIDUMBRES EN MEDIDAS INDIRECTAS En esta actvdad expemental, detemnaemos al menos dos magntudes de oma ndecta: velocdad y aceleacón. Analzaemos aquí de que oma contbuyen (se popagan) las ncetdumbes en las meddas dectas ealzadas a las obtendas ndectamente. Supongamos pmeo un caso geneal en que ceta magntud V es uncón de otas x, y, z,.... Estas últmas son todas ndependentes ente sí, se conocen sus valoes medos, y, z,...,y sus espectvas ncetdumbes absolutas δx, δy, δz,.... Es posble demosta que la ncetdumbe absoluta de la magntud V (δv), está dada po la expesón: V V V δ V δx + δy + δz + [.4] x y z En la expesón anteo, el símbolo denota la devada pacal de la uncón V especto de la vaables ndependentes x, y, z,..., y la ómula se evalúa paa los valoes, y, z,.... Obsévese que esta expesón tene un aspecto análogo al de dencones ya ealzadas paa las ncetdumbes nomnal y combnada en meddas dectas. Una expesón más cómoda, aunque menos apoxmada, paa tabaja es la sguente: V V V δv δx + δy + δz + x y z [.5] que como veemos a contnuacón pemte obtene expesones paa cetos casos patculaes de nteés. Caso1. En una uncón que puede expesase en la oma potencal: α β γ V x y z [.6] ) se la ncetdumbe absoluta puede escbse: δv α x y z δx + β x y α 1 β γ α β 1 z γ δy + [.7] 3

4 S se dvde po la uncón V, evaluada en los valoes medos de las meddas dectas, se obtene la ncetdumbe elatva de V: δv V δx δy δz α + β + γ + x y z [.8] En la páctca este azonamento puede aplcase a uncones dendas exclusvamente medante poductos o cocentes. Algunas de las magntudes que vamos a detemna en esta actvdad se denen medante esas opeacones. Cómo quedaían expesada las ncetdumbes de una velocdad meda?, y de la aceleacón meda? Caso. Una magntud Z que pueda expesase medante una uncón, que se dene medante la suma o la esta de otas magntudes x, y, z,... Z x ± y ± z ± [.9] A pat de [.5] se puede obtene una expesón apoxmada paa la ncetdumbe absoluta en Z, cuando esta magntud se genea a pat de sumas o estas de las magntudes meddas dectamente: δ Z δx + δy + δz + [.10] A modo de ejemplo, s el desplazamento en esta actvdad se obtuvea de oma ndecta, seía aplcable esta oma apoxmada de detemna su ncetdumbe absoluta. En el Apéndce II se ncluye una tabla, donde pueden encontase expesones apoxmadas paa detemna ncetdumbes asocadas a magntudes obtendas medante opeacones sencllas. GRÁFICOS Constuccón manual Algunas sugeencas paa la constuccón manual de gácos x,y : Identca en una tabla de datos los valoes mínmos y máxmos que se quee epesenta en cada eje. Paa el caso en que se dena constu gácos con escalas homogéneas es convenente utlza papel mlmetado. Den escalas gácas adecuadas paa cada eje tenendo en cuenta que: o Se optmce el espaco dsponble. o Se pueda ubca toda la nomacón de la tabla. o Especalmente cuando se equee veca elacones de popoconaldad decta, es convenente tene a la vsta los oígenes de los ejes. Repesenta puntos sobe el gaco, cuyas coodenadas son los mejoes valoes de las magntudes. Repesenta ncetdumbes en las magntudes, tazando segmentos de ecta que epesenten a escala dchas ncetdumbes. En un pa de ejes catesanos, cada punto se tansoma en un ectángulo de ncetdumbe, en el caso que las ncetdumbes de ambas magntudes sean vsbles con la escala gáca elegda. A modo de ejemplo, en los gácos de las guas 3, 4 y 5, se han epesentado a escala ncetdumbes absolutas en la magntud gacada en el eje de odenadas de valo 0,1 m/s. En cetas ocasones es útl constu gácos sobe un sustato en el que uno de los ejes tene escala logaítmca ( semlog ), o que ambos la tengan ( log-log ) 4

5 Tazado de una línea que sea epesentatva del conjunto de puntos expementales. En geneal, la pmea opcón que se consdea es el tazado de un segmento de ecta, cuando se obseva a ojo que es váldo. En caso contao se ntentaá el tazado de una línea suave que epesente adecuadamente el compotamento geneal. En la gua 3 se muesta un conjunto de puntos expementales y una línea tazada unendo los puntos que NO es adecuada, poque a smple vsta se obseva que es posble den una únca ecta que epesenta de oma más smple la elacón unconal ente las magntudes meddas (gua 4). ESTE TRAZADO NO SE CONSIDERA CORRECTO en FÍSICA Fgua 3 Fgua 4 5

6 Constuccón de gácos medante heamentas nomátcas Paa el caso de una elacón lneal ente las vaables Exsten heamentas de este tpo (calculadoas centícas, pogamas nomátcos 3 ) paa analza gácamente nomacón expemental, como la dsponble en esta expeenca (con pesunta elacón lneal: velocdad y tempo). Medante ellas es posble den lo que habtualmente se llama egesón lneal, ajuste lneal (lnea t 4 ) o ecta de cuadados mínmos. Paa que sea posble utlza este ajuste de la manea que lo planteamos aquí (en oma elemental), se equee que las magntudes meddas sean ndependentes, que la ncetdumbe absoluta en la magntud que se ubca en el eje de abscsas tenda a ceo, que la magntud que se coloca en el eje de odenadas tenga una pecsón apoxmadamente constante. Esta ecta se dene de modo que el pomedo de desvacones cuadátcas, ente el valo de la uncón lneal y el valo de la odenada paa cada punto que epesenta un dato expemental, sea mínmo. En el Apéndce I se desaolla esta amacón. Las heamentas nomátcas dsponbles en el medo, dan al menos dos paámetos como esultado del ajuste: pendente de la ecta (slope), y odenada en el ogen de abscsas (Y-ntecept). En algunos casos se pueden conoce tambén el coecente de coelacón 5 (coelaton coecent), y la desvacón cuadátca meda (RMSE, Root Mean Squae Eo) Fgua 5 3 A modo de ejemplo, y con una gama muy vaada de pestacones, menconamos: Sotwae Cassy, Excel, Cuve Expet, Ogn, Mathcad, Gaphcal Analyss, Logge Po, Matlab. 4 La temnología nglesa utlzada en esta seccón coesponde a una de ellas (Gaphcal Analyss), con la cual se han constudo los gácos de las guas 3 a 5. Puede habe alguna deenca temnológca s se utlza ota heamenta. 5 O su valo absoluto, o su cuadado, dependendo de la heamenta utlzada. 6

7 Se dene una ecta y m x + n, de oma que se obtene su pendente (m), la odenada en el ogen de abscsas (n, que se nomba b en el ejemplo de la gua 5). Es posble tambén den omas de evalua las ncetdumbes en estas cuantías, que no analzaemos aquí. El coecente de coelacón, es un númeo que puede toma valoes ente 0 y +1 paa una ecta que tene pendente postva. Este coecente mde el gado en que las dos vaables están lnealmente elaconadas. Un valo +1 ndca una coelacón peecta ente las vaables, un valo 0 ndca que no exste elacón lneal. En la páctca encontamos que las elacones con aspecto lneal tenen coecentes de coelacón cecanos a 1, como en el ejemplo de la gua 5. La desvacón cuadátca meda (RMSE) es una medda de que tan lejos están, en pomedo, los puntos que epesentan a los datos de la cuva ajustada. Se da en las undades del eje de odenadas. Se dene: ( ( x ) y ) RMSE n d [.11] Donde (x ) es el valo de la uncón lneal evaluada en la vaable x paa el valo x, y es el valo de la coodenada y del punto, n es el númeo de puntos y d es el númeo de paámetos lbes en la uncón (x). A pat del análss de estos dos últmos coecentes es posble evalua la bondad del ajuste lneal a un conjunto de datos expementales. Paa el caso de una elacón no lneal Cuando se evalúe que la bondad del ajuste lneal no es aceptable, debeía buscase una cuva que epesente mejo la elacón ente las vaables. Incluso las heamentas más modestas dsponbles en el ámbto secundao, pemten exploa ajustes no lneales: cuadátcos, nvesos, logaítmcos, etc. En nuesto caso esas heamentas nos seán útles paa dentca la elacón ente la poscón y el tempo. Esta guía ha sdo escta, evsada y/o coegda po los poesoes del cuso de Físca Expemental 1, de la especaldad Físca, del Insttuto de Poesoes "Atgas": Guzmán Tndad, Alejanda Delgado, Gustavo Cabonell y Danel Baccno. La pmea vesón ue escta en 008. La últma evsón se ha hecho en

8 APÉNDICE I: CUADRADOS MÍNIMOS Lo que sgue es una tascpcón textual, tomada de: Roede, Juan G., Mecánca Elemental, Ed. Eudeba. Bs. As, Cuadados mínmos Sea ahoa una elacón lneal ente las dos magntudes íscas y,x po ejemplo, la longtud de un esote y la ueza aplcada, la pesón en un punto de un líqudo y la dstanca a la supece: y a x + b Sea el poblema de detemna los coecentes a y b expementalmente, a pat de la medcón de x e y. S no hubea eo 6 en las medcones de x e y, bastaá hace dos paes de medcones y x y esolve el sstema: x y y 1 1 y a x + b 1 1 y a x + b Desgacadamente, ello nunca ocue en la páctca. Debemos pat de una see de paes de valoes coespondentes ( x1, y1 ; x, y ; ; xn, y n ), los cuales debdo a sus eoes, nunca satsacen exactamente la elacón y a x + b. En otas palabas, la deenca y a x b ε nunca es ceo. Los valoes de ε seán postvos y negatvos. Pocedemos como en el caso de una sola vaable. La suma de los ε cuadados nos daá una ceta dea de las luctuacones (ahoa combnadas) x y. Evdentemente esa suma depende de los coecentes a y b en la oma: a ( y a x b) ε x + b N a x y b y ab x + y Eso es una uncón cuadátca de a y b que pasa po un mínmo paa un dado pa de valoes de a y b. Podemos aplca el cteo conocdo, de eleg como valoes más pobables de a y b aquellos que hacen mínma a ε. O sea, a y b seán solucones del sstema (condcón de extemo): O sea: ε a a y cuyas solucones seán: 0 ε b x x y + b x Nb y + a x 0 a N 0 x y x N x ( x ) y 0 6 En este cuso, peemos llama ncetdumbe a lo que Roedee denomna eo. 8

9 b x y x N x ( x ) Cada uno de esos valoes tene a su vez un eo. Paa ello hay expesones algo complcadas que pueden consultase en los lbos. Veamos algo sobe la ntepetacón gáca del método de cuadados mínmos. Repesentamos en el plano ( x, y) los paes de valoes meddos ( x1, y1 ; x, y ; ; xn, yn ). S éstos obedecen a una elacón lneal, y s caecen de eoes, caeían exactamente sobe una ecta de pendente a y de odenada en el ogen b. Peo debdo a las luctuacones casuales en las medcones de x e y, los puntos omaán una nube que se condensaá tanto más en las vecndades de la ecta, cuanto menoes sean las luctuacones: x y Los coecentes a y b detemnados po el método de los cuadados mínmos son los paámetos de la ecta paa la cual ε es mínmo. Peo obsévese en el plano ( x, y), que ε y a x b es pecsamente la dstanca vetcal del punto expemental a la ecta. La ecta po cuadados mínmos es entonces aquella po la cual la suma de las dstancas vetcales (en ealdad sus cuadados) es mínma. Esto pemte con un poco de expeenca, taza a ojo la ecta po cuadados mínmos, y detemna así gácamente los coecentes de la elacón lneal. Muchas veces, esto es sucente paa la páctca. 9

10 APÉNDICE II: TEOREMAS DE PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRES La tabla sguente es una tascpcón pacal con algunas modcacones, tomada de: Díaz, J, Pecad R., Físca Expemental (T. 1), Ed. Kapeluz, Agentna, Opeacón En símbolos Incetdumbe absoluta Incetdumbe elatva Suma Deenca Poducto Poducto Cocente Potenca Raíz Seno Coseno Tangente S a + b δ S δa + δb D a b δ D δa + δb M a b δm a δb + b δa M k a 7 δm k δa a a δb + b δa C δc b b n n 1 P a δp n a δa 1 n n ((1 n) ) R a δr a 1 δa sen θ δ (sen θ ) cosθ δθ 8 cos θ δ (cos θ ) senθ. δθ tg θ δθ (tg θ ) cos θ δ δs δa + δb S a + b δd δa + δb D a b δm δa δb + M a b δm δa M a δc δa δb + C a b δp a n δ P a δr δa 1 R n a δ (senθ ) δθ senθ tgθ δ (cosθ ) tgθ. δθ cosθ δ (tgθ ) δθ tgθ senθ.cosθ REFERENCIAS Cenusch, F., Geco, F., Teoía de eoes de medcones, Ed. EUDEBA, Bs. As., Díaz, J., Pecad R., Físca Expemental (T. 1), Ed. Kapeluz, Agentna, Gl, S., Rodíguez, E., Físca Re-Ceatva, Ed. Peason Educaton. Bs. As, 001. Roedee, Juan G., Mecánca Elemental, Ed. EUDEBA. Bs. As, Vene Sotwae and Technology. Logge Po 3.4., 006. Vene Sotwae and Technology. Gaphcal Analyss 3., k es un coecente numéco. 8 El eo absoluto del ángulo δθ en todos los casos debe expesase en adanes. Recodemos, paa tansoma gados en adanes, que 360 equvale a π ad. 10