Tema 4. Experimentos aleatorios. Cálculo de probabilidades.

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1 Tema 4. Exerimentos aleatorios. Cálculo de robabilidades. Indice 1. Tios de sucesos. Sucesos robabilísticos Álgebra de oole efiniciones Oeraciones. Tios de sucesos Proiedades del álgebra de oole Esacio robabilístico Cálculo de la robabilidad Probabilidad clásica. Regla de Lalace Probabilidad exerimental. Ley de los grandes números Probabilidad subjetiva o teórica Proiedades de la robabilidad Probabilidad condicional. Sucesos indeendientes Regla del roducto Teorema de la robabilidad total Teorema de ayes Ejercicios resueltos: Problemas rouestos Auntes realizados or José Luis Lorente Página 1

2 1. Tios de sucesos. Sucesos robabilísticos. Cuando realizamos un exerimento odemos distinguir entre tres tios según la caacidad de conocer el resultado final del mismo: Exerimentos deterministas: cuando conocemos las condiciones iniciales del mismo el resultado final está fijado y en un rinciio odemos conocerlo. Son sucesos de índole físico, si tiramos una iedra sabremos que esta caerá y odemos conocer incluso el tiemo que está en el aire, o químicos si onemos dos sustancias a reaccionar sabremos si estas interactúan y en qué medida. Exerimentos robabilísticos: cuando es imosible saber lo que ocurrirá a ciencia cierta aun conociendo erfectamente las condiciones iniciales. Si lanzo una moneda, o un dado; el resultado de un artido de futbol En estos sucesos lo único que odemos es estimar la osibilidad de que ocurra robabilidad uno u otro de los osibles resultados. Exerimentos cuasi-irobalísticos: son sucesos que son deterministas, ero son tantas las variables que influyen que es imosible fijar lo que va a ocurrir. El ejemlo más claro es el de la física atmosférica que ronostica el estado del tiemo. En este tema nos centraremos en los sucesos robabilísticos. Primero estudiaremos el álgebra de oole, que nos exlica las relaciones entre los diferentes conjuntos que serán los distintos osibles sucesos que ueden ocurrir en un exerimento robabilístico; luego las distintas formas de calcular la robabilidad y las roiedades de ésta. 2. Álgebra de oole efiniciones Partimos de un conjunto E, esacio muestral o conjunto comleto suceso seguro cuando nos centremos en la robabilidad. El conjunto comleto está formado or los sucesos elementales, E{E 1, E 2,, E n }. Para centrarnos en el tema de la robabilidad ongamos un ejemlo de un exerimento robabilístico, lanzar un dado: los sucesos elementales son cada uno de los osibles resultados 1, 2, 3, 4, 5, 6. Luego el suceso seguro E{1, 2, 3, 4, 5, 6} Auntes realizados or José Luis Lorente Página 2

3 Veamos algunas definiciones del álgebra de oole centradas en la robabilidad y relaciónemelas con el ejemlo del lanzamiento de un dado. Suceso: un suceso es todo subconjunto de E, es decir todo conjunto formado or elementos de E. Se suelen denotar con letras mayúsculas A,, C. Veamos algún ejemlo relativo al ejemlo del lanzamiento de un dado: A salga un valor ar 2 {2, 4, 6}; nº rimo {2,3,5}; C menor o igual que 4 {1,2,3,4} Suceso imosible o conjunto vacio: es el conjunto que no tiene ningún elemento elemental, desde el unto de vista de la robabilidad es imosible que ocurra. Se denota como. Potencia de E, ΩPE: es el conjunto formado or todos los osibles subconjuntos o sucesos de E, incluidos el conjunto vacio y el roio E. Veamos el conjunto otencia de lanzar una moneda Ccara Xcruz ΩPE{, C, X, EC,X} 2.2. Oeraciones. Tios de sucesos Sean dos sucesos A, PE, definimos las siguientes oeraciones: Unión de sucesos: la unión de dos sucesos A es el suceso formado or todos los sucesos elementales comunes o no comunes a A y : A {E i E: E i A ó E i } Intersección de sucesos: la intersección de dos sucesos A es otro suceso formado or los sucesos elementales comunes a ambos: A {E i E: E i A y E i } Suceso contrario o comlementario: el suceso contrario al suceso A, se denota como A c o está formado or los elementos de E que no estén en A: A c {E i E: E i A} iferencia de sucesos: la diferencia de dos sucesos A- es el conjunto de elementos de A que no están en. A-{E i E: E i A y E i } Veamos estas oeraciones alicadas a los siguientes sucesos: A ar 2 {2,4,6}; menor que 4 {1,2,3}: A {1,2,3,4,6} A {2} A c {1,3,5}; c {4,5,6} Auntes realizados or José Luis Lorente Página 3

4 A-{4,6}; -A{1,3} A E E E E A A A A A A- -A A C A artir de estas oeraciones odemos distinguir entre los siguientes tios de conjuntos o sucesos: Sucesos incomatibles: son los que no ueden ocurrir nunca a la vez, y or tanto A. Ejemlo Aar{2,4,6}; {1,3} Sucesos comlementarios: son aquellos que cumlen dos remisas A y A E. Ejemlo: Aar{2,4,6}, imar{1,3,5}. Se cumle que A y A c son comlementarios. Suceso incluido: un suceso A está incluido en y se denota A si todo elemento de A está en. Ejemlo: A{2,3}; {2,3,5} A Proiedades del álgebra de oole. Unión Intersección Conmutativa A A A A Absorbente A EE A Elemento neutro A A A EA istributiva A CA A C A CA A C Leyes de Morgan A c A c c A c A c c Otra roiedad: A c c A Auntes realizados or José Luis Lorente Página 4

5 3. Esacio robabilístico Antes de ver los distintos métodos de calcular la robabilidad de un suceso, vamos a definir la función robabilidad, que denotaremos como, y sus roiedades: : Ω [0,1] A A Proiedades que definen el esacio robabilístico Ω, y que tiene que cumlir la función de robabilidad: 1. 0 A 1 0, suceso imosible y E1, suceso seguro. 2. A A+-A 3. Si A y son incomatibles A : A A+ Exlicación gráfica de las roiedades 2 y 3: E E A A A P.2 P.3 4. Cálculo de la robabilidad Probabilidad clásica. Regla de Lalace. El origen de la robabilidad surgen con los juegos cartas, dados, etc, y su mayor valedor fue el matemático francés Lalace. Suongamos un exerimento robabilístico formado or sucesos equirobables, es decir todos ellos de igual robabilidad no siemre es fácil demostrar ésto. La robabilidad de que ocurra un suceso A se calcula de la siguiente forma 1 : elementos de A casos favorables A elementos totales de E casos totales 1 Para calcular los caos favorables y totales tendremos muchas veces que usar la combinatoria tema3 Auntes realizados or José Luis Lorente Página 5

6 Veamos varios ejemlos sencillos: Ejemlo1: Calcular la robabilidad de que al lanzar un dado el valor sea un número 3 rimo: E{1,2,3,4,5,6}, A rimo {2,3,5} A 0, 5. 6 Ejemlo 2: Sacar un basto en una baraja E{1o, 2o,,1c,2c,,1e,2e,,1b,2b, } 10 y A bastos {1b,2b,3b, } A 0, Ejemlo 3: lanzar dos monedas y que salga 1 cara: E{0caras,1cara,2caras} y A{1cara}. Pero los tres sucesos de E no son equirobables, ues es más fácil que salga 1 cara dos osibilidades, la 1ª cara y la 2ª cruz o al revés que 0 ó 2 caras sólo una osibilidad. e esta forma cambiamos el esacio maestral ara que los sucesos 2 elementales misma robabilidad: E{cc,cx,xc,xx} y A{cx,xc} A 0, 5 4 Ejemlo 4: Lanzar dos dados y que la suma de ambos sea 6. Evalores suma {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. A suma 6 {6}. Pero hay que tener cuidado ues no es igual de robable que salga un que un 6 1+5,2+4,3+3,4+2,5+1, así que habrá que cambiar de esacio muestral E{11,12,13,14,15,16,,61,62,63,64,65,66} y 5 5 A{15,24,33,42,51}. A 0, 14 VR Probabilidad exerimental. Ley de los grandes números 2 6 En los ejemlos anteriores suoníamos que los sucesos elementales eran equirobables, ero y si el dado o la moneda están trucados?, Cómo odemos saberlo?. Por otro lado hay exerimentos robabilísticos que no son equirobables, dos ejemlos: Ejemlo 1: lanzamos una chincheta y queremos saber la robabilidad de que caiga con el incho ara arriba o ara abajo Ejemlo 2: lanzamos un tiro libre en una canasta de baloncesto y queremos saber la robabilidad de encestar o de fallar. Para calcular las robabilidades de los dos ejemlos anteriores y ara saber si los dados o monedas están trucados se alica la ley de los grandes números: se reite el exerimento un gran número de veces auntando los resultados, la robabilidad de que Auntes realizados or José Luis Lorente Página 6

7 ocurra un suceso será igual a la frecuencia relativa cuando el número de veces realizadas el exerimento es infinito en la ráctica un número de veces lo suficientemente grande. Esta ley resuone que el azar no existe cuando se reite un exerimento las veces necesarias. Comleta estas tablas lanzando chinchetas y monedas. Escribe la robabilidad aroximada de que caiga la chincheta hacia arriba y hacia abajo y lo mismo con cara y cruz. Chincheta Moneda Nº lanzamientos Nº lanzamientos Cara Cruz f i h i f i h i f i h i f i h i robabilidad Probabilidad Nota: todas las robabilidades calculadas or Lalace se odrían calcular usando la ley de los grandes números Probabilidad subjetiva o teórica. No en todos los exerimentos robabilísticos se ueden calcular la robabilidad siguiendo la ley de Lalace o la de los grandes números, ongamos algún ejemlo: Ejemlo 1: robabilidad de que en un artido de futbol gane uno u otro equio o ematen. Ejemlo 2: unas elecciones a las que se resentan 3 artidos olíticos, cuál es la robabilidad de que gane cada uno de los 3 artidos? Para calcular la robabilidad de estos dos ejemlos tendremos varios rocedimientos, ero ninguno de ellos odemos asegurar que sea cierto, todos son subjetivos. Lo que tienen que tener en común todos ellos es que cumlan las leyes de robabilidad marcadas en el aartado 3. Auntes realizados or José Luis Lorente Página 7

8 Una forma sencilla de crear un esacio robabilístico es con el siguiente teorema: Teorema: dada la función de robabilidad P:Ω [0,1] sobre un esacio muestral E{s 1,s 2,,s N }queda erfectamente definida si se conoce los valores de s 1 tal que: a s 1 0 i {1,2,,N} b 1 En los siguientes temas veremos la metodología ara calcular la robabilidad en estos roblemas a artir de las encuestas y las estadísticas de las mismas. Todos los exerimentos en los que no odemos calcular la robabilidad or ninguna de las dos leyes vistas en los aartados 4.1. y 4.2. son aquellos que no ueden reetirse las veces que deseemos con las mismas condiciones iniciales Proiedades de la robabilidad Además de las roiedades que definen la robabilidad veamos alguna de las roiedades más imortantes y usadas a la hora de calcular la robabilidad: 1. A ΒA+-A Β ya que sumando A+ sumamos dos veces la intersección A la robabilidad del suceso contrario más la del roio suceso es 1 3. A A 1 A Ley de Morgan 4. A A 1 A Ley de Morgan 5. Probabilidad condicional. Sucesos indeendientes. Muchos sucesos robabilísticos deenden de los resultados de algún otro suceso anteriormente acaecido. Por ejemlo la robabilidad de sacar la segunda carta sin reemlazamiento de una baraja de un determinado alo deende de si la carta anterior era de ese o de otro alo. Así la robabilidad de que ocurra un suceso, habiendo ocurrido otro suceso anteriormente A se denomina robabilidad condicionada. Se denota como /A robabilidad de que ocurra sabiendo que antes a ocurrido A. Auntes realizados or José Luis Lorente Página 8

9 El resultado de la robabilidad condicionada se uede relacionar con la robabilidad del los sucesos A y A. La fórmula es la siguiente: P A / A ó P A P A P / A P A Veamos algunos ejemlos: Ejemlo 1: Probabilidad de sacar dos cartas de una baraja y que ambas sean figuras: A rimera carta figura, segunda figura A las dos figuras cartas figuras 12 cartas figuras 11 A ; / A, cartas totales 40 cartas totales 39 2 dos cartas figuras V A A A / A 2 dos cartas cualesquiera V Ejemlo 2: robabilidad de que en una bolsa con 3 bolas negras y 4 blancas saquemos las dos negras: A 1ª negra, 2ª negra, A ambas negras 40 bolas negras 3 A ; bolas totales 7 bolas negras 2 / A, bolas totales 6 2 dos bolas negras V3 3 2 A A A / A 2 dos bolas cualesquiera V 7 6 Sucesos indeendientes: dos sucesos A y se dicen indeendientes cuando la robabilidad de A no deende de que antes haya ocurrido A. Es decir ocurre: AA/ ó /A ó A A. Los ejemlos más tíicos en extracciones sucesivas con reemlazamiento. Por ejemlo si cogemos dos cartas de una baraja con reemlazamiento, la robabilidad de sacar la segunda un as de una baraja es indeendiente de haber sacado antes otro as o la nº ases 4 carta que sea: A 1ª as, 2ª as, A las dos as : A, nº cartas 40 7 nº ases 4 / A, nº cartas 40 dos ases A dos cartas A A Resolución de roblemas mediante las tablas de contingencia: son roblemas en donde se estudian dos características de un mismo gruo de individuos. Se estructura de tal forma semejante a las tablas de doble entrada del tema 2. Veamos un ejemlo: Auntes realizados or José Luis Lorente Página 9

10 Problema: Se regunta a los 650 miembros de un instituto, 50 rofesores y 600 estudiantes si son favorables a la imlantación de dos recreos de 15 minutos en vez de uno de 30. Se obtienen que en total 110 miembros son favorables, de los cuales 10 rofesores. Elegido un miembro al azar se regunta la robabilidad de que: a Sea contrario a la imlantación de dos recreos b Sea alumno y favorable a dos recreos c Sabiendo que es rofesor sea favorable a dos recreos d Sabiendo que es favorable a un recreo sea alumno. e son los sucesos rofesor y favorable a dos recreos sucesos indeendientes? AAlumno rofesor Total dos recreos un recreo Total a b A c / d A/ e y indeendientes. / como / los dos sucesos no son 6. Regla del roducto. La regla del roducto ermite calcular la robabilidad de una intersección de varios sucesos que ocurren sucesivamente or medio de las robabilidades condicionales. Teorema del roducto: si tenemos varios sucesos A 1, A 2,, A n la robabilidad de la intersección se calcula or la siguiente fórmula: A A2... An A1 A2 / A1 A3 / A1 A2... An / A1 A2... A 1 n Auntes realizados or José Luis Lorente Página 10

11 Ejemlo: si queremos calcular la robabilidad de que al sacar tres cartas sin reosición de una baraja esañola obtengamos un rey en la rimera, una sota en la segunda y más de seis untos en la tercera. enotemos A rey en la 1ª, sota en la 2ª, C más de 6 untos en la 3ª de forma que buscamos: A CA /A C/A 0, Teorema de la robabilidad total. El teorema de la robabilidad total va a ermitir calcular la robabilidad de un suceso a artir de las suerosiciones de sucesos que son incomatibles dos a dos. La forma de calcular entender y resolver los roblemas es a artir de diagrama de árbol, donde cada rama que sale de un mismo nivel son sucesos incomatibles. Teorema de la robabilidad total: si tenemos varios sucesos A 1, A 2,, A n que son incomatibles dos a dos y cuya unión es E, es decir A 1 A 2 A n 1 entonces la robabilidad de otro suceso se uede calcular or medio de la siguiente fórmula: A / A + A / A A / A n n Ejemlo: en una fábrica de tornillos hay tres máquinas que ahora describimos: la máquina A que hace el 30% de los tornillos de los cuales el 2% son defectuosos, la máquina que hace el 50% de los tronillos de los cuales el 1% son defectuosos y la máquina C que hace el 20% restante y el 3% de los tronillos son defectuosos. Calcular a la robabilidad de que elegido un tornillo sabiendo que ha sido fabricado or A esté defectuoso, b elegido uno al azar lo haya fabricado la máquina y no esté defectuoso, c la robabilidad de que elegido un tornillo al azar sea defectuoso robabilidad total Hagamos el diagrama de árbol: defectuoso, no defectuoso Auntes realizados or José Luis Lorente Página 11

12 /A0,02 A 0,3 0,020,006 A0,3 0,5 A /A0,98 /0,01 A 0,3 0,980,0284 0,5 0,010,005 C0,2 C /0,99 /C0,03 0,5 0,990,495 C 0,2 0,030,003 /C0,97 C 0,2 0,97 0,194 a /A0,02 b / 0,5 0,990,495 c Tenemos que los tres sucesos A,, C son excluyentes y A C1, luego odemos alicar el teorema de la robabilidad total: A /A+ /+C /C0,006+0,005+0,0030, Teorema de ayes. En el roblema anterior las máquinas de tornillos conocíamos las robabilidades condicionadas de que un tornillo esté defectuoso según haya sido fabricada en cada una de las tres máquinas, ero no al revés es decir las robabilidades condicionadas de que un tornillo esté fabricado en una u otro máquina sabiendo que es defectuoso o no es decir A/, A/, /, /, C/, C/. Esta robabilidad se calcula or medio del teorema de ayes. Teorema de ayes: si tenemos varios sucesos A 1, A 2,, A n que son incomatibles dos a dos y cuya unión es E, es decir A 1 A 2 A n 1 entonces la robabilidad de que ocurra un suceso condicionada a cada uno de los sucesos A i, A i /, se uede calcular or la siguiente fórmula: Ai Ai / Ai Ai / n A / A i 1 1 i Ejemlo: en el roblema anterior de las máquinas calcular las robabilidades siguientes: a sabiendo que el tornillo es defectuoso que haya sido fabricado or la Auntes realizados or José Luis Lorente Página 12

13 Auntes realizados or José Luis Lorente Página 13 máquina, b sabiendo que el tornillo no es defectuoso el tronillo haya sido fabricado or la máquina C. uscamos las robabilidades condicionadas que no nos han dado en el roblema, or esto debemos alicar el teorema de ayes: a 36 0, 0,014 0,005 / / / / / + + C C A A b C/ 20 0, 0, ,194 1 / C C C

14 Ejercicios resueltos: 1. PAU Andalucia 2006: Sean los sucesos A y indeendientes. La robabilidad de que ocurra es 0,6. Sabemos también que PA/0,3. a. Calcule la robabilidad de que suceda, al menos, uno de los dos sucesos b. Calcular la robabilidad de que ocurra A ero no Solución: 0,6 y A/0,3, ero como son indeendientes se cumle que A/A0,3. Se cumle entonces A A /AA 0,18 a. Uno de los dos sucesos A A+-A 0,6+0,3-0,180,72 b. Si A y indeendientes también lo serán A y : A A 0,3 1-0,60,12 2. PAU Andalucia 2006: En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con resaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin resaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con resaldo 7. a. Tomada una silla al azar cuál es la robabilidad de sea nueva? b. Si se coge una silla que no es nueva Cuál es la robabilidad de que sea sin resaldo? Solución: os formas Forma 1: or tabla contingencia RResaldo no resaldo Total NNueva no nueva Total a. N10/401/40,25 b. / 7/30 Auntes realizados or José Luis Lorente Página 14

15 Forma 2: or diagrama de árbol. R30/40 R N/R7/30 /R23/30 N R N30/40 7/30 R 30/40 23/30 10/40 N/ 3/10 / 7/10 N N10/40 3/ /10 a. N b. Teorema de ayes: R N / R R / N N Nota: siemre que sea osible los ejercicios resultan más sencillos or tabla de contingencia aunque si nos dan las robabilidades en vez de los elementos no suele ser osible. 3. PAU Cantabria 2006: Una fábrica tiene tres cadenas de roducción, A, y C. La cadena A fabrica el 50% de coches; la el 30% y la C el resto. Las robabilidades de que los coches resulten defectuosos en cada cadena son en la A ½, en la ¼ y en la C 1/6. Calcular razonadamente: a. La robabilidad de que un coche sea defectuoso y haya sido fabricado en la cadena A b. La robabilidad de que el coche salga defectuoso. c. Si un coche no es defe3ctuosos la robabilidad de haya sido roducido en C Auntes realizados or José Luis Lorente Página 15

16 Solución: /A1/2 A 0,25 A0,5 0,3 A /A1/2 /1/4 A 0,25 0,075 C0,2 C /3/4 /C1/6 0,225 C 0,0333 /C5/6 C 0,167 a. A 0,25 b. 0,25+0,075+0,0330,358 C 0,167 c. C/ 0, , PAU 2006 Castilla la Mancha. En una ciudad hay tres lugares de ocio A,,C a los que van habitualmente un gruo de amigos. Las robabilidades de ir un día cualquiera a cada uno de los locales son resectivamente 0.4, 0.3 y 0.6. Hallar la robabilidad de que un día cualquiera dicho gruo a. Solamente vaya a uno de esos lugares b. Vaya únicamente a dos de los tres. Solución: a. un solo locala CA + + CA + + C 0,4 0,7 0,4+0,6 0,3 0,4+0,6 0,7 0,60,436 b. dos locales A C C A + C+A CA + C+A C 0,4 0,3 0,4+0,6 0,3 0,6+0,4 0,7 0,60,324 Auntes realizados or José Luis Lorente Página 16

17 5. PAU 2006 Castilla la Mancha: En una clase de 2º de achillerato comuesta or el 55% de chicos, ractica balonmano el 40% de los chicos y una de cada cuatro chicas. Si elegimos al azar un alumno de la clase: a. Cuál es la robabilidad de que haga balonmano? b. Cuál es la robabilidad de que ractique balonmano y sea chica? c. Si resulta que no ractica balonmano cuál es la robabilidad de que sea chica? Solución: Ochico, chica, balonmano, no balonmano O0,55 O /O0,4 /O0,6 O 0,22 O 0,33 0,45 / 0,25 / 0,75 0,1125 0,3375 a. 0,22+0,11250,3325 b. A 0,1125 A 0,3375 c. A/ 0, , PAU 2006 Castilla y León. Se lanzan dos dados A y con las caras numeradas del 1 al 6. Cuál es la robabilidad de que la suma de los dos sea múltilo de 4? E{1,1, 1,2,,1,6,,6,1, 6,2,,6,6} M 4 {1,3,3,1,2,2,5,3,3,5,2,6,6,2,4,4,6,6} 9 1 M 4 0, Auntes realizados or José Luis Lorente Página 17

18 7. PAU 2006 Castilla y León. En un instituto se organiza una excursión que consiste en una semana en la nieve. e los alumnos de achillerato van a auntarse 20 chicas y 25 chicos de un total de 43 chicas y 50 chicos. Si se elige un alumno al azar calcular las robabilidades de que: a. Sea chico y no vaya a la excursión b. Vaya a la excursión sabiendo que es chica c. Sea chica sabiendo que va a la excursión d. son los sucesos sea chica e ir de excursión indeendientes? Solución OChico chica Total EExcursión no excursión Total a. O b. E/ c. /E d. y / como / luego no son indeendientes. 8. PAU 2006 C. Valenciana: Sean A y dos sucesos tales que A 0.9, 0.4, A 0.2. Calcular, A/, A y P Solución: se uede hacer el roblema a artir de las roiedades de los conjuntos, aunque es más sencillo con un esquema de robabilidad: A0.6, A A+-A A E A ;A/ 0. 4;A 0. 4 ;P A Auntes realizados or José Luis Lorente Página 18

19 Problemas rouestos 1. PAU 2006 C. Valenciana: El volumen diario de roducción en tres fábricas de una misma emresa es de 1000 unidades en la rimera, 1500 en la segunda y 2500 en la tercera. Por ciertos desajustes, algunas unidades salen defectuosas. En concreto el 1% en las dos rimeras fábricas y el 3% en la tercera. a. qué robabilidad de unidades correctas se fabrican? b. Si se tiene una unidad defectuosa, cuál es la robabilidad de que haya sido fabricada en la tercera fábrica? 2. PAU 2006 Extremadura: En un instituto hay 250 alumnos cursando bachillerato, 110 de segundo curso. El directo regunta a todos si están de acuerdo en realizar una actividad cultural. Obteniéndose resuesta afirmativa del 30% de los alumnos del rimer curso y del 60% de los del segundo. Si se selecciona un alumno al azar de los 250 calcular la robabilidad de : a. Que sea alumno del segundo curso de lo que están de acuerdo en realizar la actividad cultural b. Que sea un alumno de los que no están de acuerdo en realizar la actividad. c. Sabiendo que el alumno es del rimer curso este a favor de realizar la actividad. 3. PAU 2006 Islas aleares: Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar, se observa su color, se descarta y se onen 2 bolas del otro color dentro de la urna. Luego se saca de la urna una segunda bola al azar. Calcular a. La robabilidad de que la segunda bola extraída sea negra b. La robabilidad de que ambas bolas extraídas sean de color diferente. 4. PAU 2006 La Rioja: En un exerimento se sabe que A0.6, 0.3 y A/0.1. eterminar A. 5. PAU 2006 Madrid: Una ersona cuida de su jardín ero es bastante distraída y se olvida de regarlo a veces. La robabilidad de que se olvide de regar es de 2/3. El jardín no está en buenas condiciones, así que si se riega tiene la misma robabilidad de rogresar que de estroearse, ero si no se riega la robabilidad de rogresar el Si el jardín se ha estroeado, cuál es la robabilidad de que la ersona olvidara regarlo? Auntes realizados or José Luis Lorente Página 19

20 6. PAU 2006 Madrid: Se considera el exerimento lanzar un dado y una moneda equilibrados. Se ide: a. escribir el esacio muestral del exerimento b. Calcular la robabilidad del suceso obtener una cara en la moneda y un número ar en el dado 7. PAU 2006 Murcia: e dos tiradores se sabe que uno de ellos hace dos dianas de cada tres disaros y el otro consigue tres dianas de cada cuatro. Si los dos disaran simultáneamente, calcular: a. La robabilidad de que ambos acierten b. La robabilidad de que uno acierte y el otro no c. La robabilidad de que los dos fallen d. La robabilidad de que alguno acierte. 8. PAU 2006 Murcia: Tenemos una urna A con 3 bolas rojas y 5 azules y otra urna con 6 rojas y 4 azules. Si sacamos de una de ellas una bola al azar, cuál es la robabilidad de que sea roja? 9. PAU 2006 Navarra: Un dado está trucado de forma que la robabilidad de obtener las distintas caras es roorcional al cuadrado del número que estas tienen. a. cuál es la robabilidad de obtener un cinco en un lanzamiento? b. Cuál es la robabilidad de que la suma de los dos dados sea 7? 10. PAU 2006 Oviedo: Un 30% de los trabajadores de una emresa trabajan a media jornada y tienen contrato temoral. En dicha emresa el 40% trabajan a media jornada. Además de los trabajadores con contrato temoral un 40% trabajan a media jornada. a. Qué robabilidad hay de que un trabajador tenga contrato temoral? b. Qué orcentaje de trabajadores tiene contrato temoral y no trabaje a media jornada c. e los trabajadores que no trabajan a media jornada, qué orcentaje tienen contrato temoral? Auntes realizados or José Luis Lorente Página 20

21 11. PAU 2006 País Vasco: En una caja hay 10 bombillas y dos están defectuosas. Con el fin de detectarlas vamos robando una tras otra. Cuál es la robabilidad de que la tarea finalice exactamente en el tercer intento? 12. PAU 2006 País Vasco: Sean dos sucesos A y indeendientes y tal que A2/3 y la robabilidad de que ocurre A ero no es de 1/3. cuál es la robabilidad de?. Y de que ocurra alguna de las dos? 13. PAU 2006 Zaragoza: Una emresa tiene dos fábricas, en la rimera son mujeres el 60% y en la segunda un 55% son hombres. Se elige al azar un trabajador de cada fábrica ara ertenecer al comité de emresa. a. Calcule la robabilidad de los siguientes sucesos: Aambos son hombres; Sólo uno es mujer; CAmbos son mujeres b. Razone si el suceso contrario del suceso C es el A, el, el A, el A o algún otro suceso y calcule su robabilidad. Auntes realizados or José Luis Lorente Página 21

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