0 en el resto. P 2 X 4 c) Obtener x tal que P( X x)=0.3. Se pide: a) La variable aleatoria es discreta o x si 0 x 4

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1 .- Sea la función de probabilidad de una variable aleatoria: i 4 5 Probabilidad k P X. Se pide. A) La función de distribución. B) Primer cuartil. C) k si,. Si la función de densidad de una v. a. continua es f(). si, Se pide: a) Determinar k. b) P X. C) la media..- De una estación parte un tren cada minutos. Sabiendo que el tiempo de espera en la estación de cada viajero sigue una v. a. con función de distribución: si < F() / si < si Hallar: a) función de densidad de la v. a. tiempo de espera. b) Probabilidad de que un viajero espere al tren menos de 7 minutos. c) Mediana d) Media e) Varianza. 4.- Sea la función de probabilidad de una variable aleatoria i - 4 Probabilidad,,,5, Se pide. A) La función de distribución. B) Percentil. C) Valor esperado. 5.- El consumo de electricidad en kilowatios por persona y día en una familia se observó que era una variable aleatoria con la siguiente función de densidad: si 4 6 f() si en el resto a) Obtener la función de distribución. b) Calcular el consumo medio por persona y día. c) Calcular la probabilidad de que el consumo esté entre y 5 kw. 6.- Sea una v. a. X continua con la siguiente función de distribución: si a si.5 F() si.5 6 b si 6 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

2 a) Calcular a y b. b) Obtener un valor de tal que P( X )=.. c) Obtener la función de densidad. 7.- Sea la función de probabilidad de una variable aleatoria i 4 Probabilidad,,,,4, P X 4 P X 4 Se pide. A) La función de distribución. B) C) matemática.. D) La Esperanza 8. Si la función de densidad de una v. a. continua es: si 7 f() si 4 en el resto P X 4 c) Obtener tal que P( X )=. Se pide: a) La función de distribución. b) d) El primer cuartil e) La varianza 9.- Sea una v. a. X con la siguiente función de distribución: si Se pide: a) La variable aleatoria es discreta o si 4 continua. F() b) Obtener un valor de tal que P( X )=.75. si c) Obtener la función de densidad. si 8.- Un miembro del Consejo de Administración de una empresa ha comprobado que, si bien todos los años tiene una junta, ha habido años que tienen hasta cinco. Por la eperiencia acumulada durante años, se sabe que el nº. de juntas anuales se distribuye de la siguiente forma: Nº de juntas al año Probabilidad Se pide. A) La función de distribución. B) Moda, mediana y media. C) Probabilidad de que un año, elegido al azar, se celebren más de tres juntas.. Si la función de densidad de una v. a. continua es f() si,, k si, Se pide: a) Determinar k. b) P X. c) la media. d) el primer cuartil.. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

3 .- De la función de distribución de una cierta variable aleatoria: si F() e si Calcular la función de densidad, la mediana..- Una variable aleatoria X tiene una función de densidad de la forma ke si f() si a) Hallar el valor de k para que f() sea realmente una función de densidad. b) Hallar la función de distribución de la variable aleatoria X. P X. c) Calcular d) Calcular el valor de t tal que PXt e) Hallar el valor de la moda, mediana, media y varianza. 4.- La demanda semanal de un cierto trabajo, es una variable aleatoria continua X que si 4 f(), si tiene por función de densidad: si a) Halla la función de distribución, la mediana. b) Calcular P(, X,5), P(X,5), P(, 5 X,75) ; P(X,95). c) El valor esperado de y su varianza. 5. Sea c una constante y consideremos la función de densidad: c si f c si en el resto a) Calcule el valor de c. b) Obtenga y represente la función de distribución. c) Calcule el percentil 95 y la P( X.5). d) Calcule la media y varianza a b si, 6. Si la función de densidad de una v. a. continua es f(). si, Determinar a y b sabiendo que P X. Hallar la media, la varianza y el primer cuartil. 7.- Una persona al realizar un disparo hace blanco con probabilidad.4. a) Describir mediante una variable aleatoria el número de blancos al efectuar dos disparos. b) Si cada disparo le cuesta y por cada blanco recibe, describir la apuesta mediante una variable aleatoria. c) Calcular la distribución de probabilidad del U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

4 apartado b). d) Calcular la esperanza matemática. Es equitativa la apuesta?, Cuánto tendría que recibir por cada blanco para que lo fuera? 8. Si la función de densidad de una v. a. continua es:,5 si si f() si 5 5 en el resto a) Obtener la función de distribución. b) PX 9 de tal que P( X )=. d) Esperanza Matemática. e) Varianza. PX,5 c) Obtener un valor, 9.- Sea X una v. a. que toma los valores,,, 4,.., con probabilidades,,, 4,. respectivamente. Se pide: a) P(X es par). b) P(X 5). c) Moda. d) Tercer cuartil. e) Esperanza matemática. /,.- Sea f() 4 4,5, a) Es f() una función de densidad? qué tipo de en el resto v.a.? b) Calcular la función de distribución, suponiendo que f() es una función de densidad. c) Esperanza matemática. d) Varianza. e) P(<X<), P(.5<X 5), P(X>), P(X=4)..- Los artículos en venta en unos grandes almacenes se someten al control diario y, se estima que la probabilidad de que en un día sean vendidos artículos defectuosos es PX. Determinar la probabilidad de que en un día de los artículos vendidos: a. Dos o más sean defectuosos. b. Cinco sean defectuosos. c. Tres ó menos sean defectuosos. d. Hallar P( X 4)..- Una estructura metálica puede sufrir debido al calor una dilatación que (medida en cm) es una variable aleatoria X con función de densidad: si 5 k si <<5 f. k 8 si en el resto a) Sabiendo que f() es función de densidad determinar el valor de k. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 4

5 b) Calcular la probabilidad de que la dilatación sea inferior a cm. c) Calcular la probabilidad de que la dilatación se encuentre entre y 9 cm..- Sea X una variable aleatoria con función de distribución a) Representar gráficamente F(). b) Es una variable aleatoria continua? Por qué? c) Determinar la función de probabilidad. d) Calcular P(X = ), P(X = -.7), P( X ), P(- < X < ) si <-.4 si - <- F().8 si - < si 4.- Una variable aleatoria X tiene una función de distribución de la forma k e si F() si a) Hallar el valor de k para que f() sea realmente una función de distribución. b) Hallar la función de densidad de la variable aleatoria X. P X. c) Calcular d) Calcular el valor de t tal que PXt e) Hallar el valor de la moda, mediana, y media. 5.- Unos estudios realizados por las compañías de seguros de automóviles indican que la probabilidad de que un conductor novel tenga un accidente mortal durante el primer año de conducción es de.78. Aprovechando esta información, una de estas compañías decide realizar una campaña de suscripción de pólizas personales a todo riesgo con carácter anual y condiciones especiales, destinadas únicamente a conductores noveles. El precio de suscripción de una de estas pólizas es de 75, y en caso de producirse el fatal accidente, la compañía indemnizaría a los beneficiarios de la póliza con una prima de 4 de euros. La compañía evalúa en 48 los gastos de venta, gestión y administración de cada póliza. a) Obtenga la función de distribución del beneficio que obtendrá la compañía con la suscripción de una de estas pólizas. b) Calcule el beneficio esperado para la compañía por la suscripción de una póliza. 6.- Sea la función de distribución de una variable aleatoria si <-, si - F(),4 si,9 si 4 si 4 Se pide. A) La función de probabilidad. B) Percentil. C) Valor esperado. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 5

6 7.- La cantidad producida de un cierto artículo es una variable aleatoria X con función si k de densidad: f() si [,k] El precio Y del artículo está en función de la cantidad producida según la ecuación Y=4-X. Se pide: a) El valor de k para que f sea realmente función de densidad. b) Media y varianza de la cantidad producida. c) Media y varianza del precio del artículo. 8. Sea c una constante y consideremos la función de densidad: c si f c si en el resto a) Calcular el valor de c. b) Obtener la función de distribución. c) Calcular la P(.5 X.5). d) Calcular la varianza. 9.- Se distribuye la probabilidad por unidad de área de modo equiprobable en un círculo de radio r. Cuál es la función de distribución de la variable aleatoria X= distancia al centro de un punto tomado al azar? Calcular la media y varianza de X..- Sea una variable aleatoria X con la siguiente función de probabilidad k para =,,, PX!( )! en el resto de valores a) Calcular k para que efectivamente sea una función de probabilidad. b) Obtener la función de distribución c) Calcular la mediana d) Hallar la esperanza matemática.- Sea una variable aleatoria X con la siguiente función de distribución: si < si < 8 F si < 7 si < 8 si a) Obtener la función de probabilidad o la función de densidad según proceda. b) Calcular la mediana c) Tiene moda? d) Hallar la esperanza matemática..- Las ventas diarias de una empresa, X, sigue una función de densidad: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 6

7 si f () si 6 si 6 Se pide: a) La venta media diaria. b) El valor tal que P(X<)=,95 c) La varianza. d) La probabilidad de que las ventas en un día superen los 5.-Sea una variable aleatoria X con función de distribución: si. si F().7 si si a) Es una variable aleatoria continua? b) Determinar la distribución de probabilidad de la v.a. c) Obtener P(X=), P(X=.7), P(X ), P(-<X ), P(<X<). d) Hallar la esperanza matemática. e) Calcular la varianza. 4.- El número de coches que utilizan un túnel de lavado tiene la siguiente distribución de probabilidad: i P i a) Hallar la función de distribución. b) Obtener la moda, mediana, media y la varianza. 5.- Una variable aleatoria X tiene una función de densidad de la forma k si -<< f() en otro caso Se pide: a) El valor de k para que f() sea realmente una función de densidad. b) La función de distribución de la variable aleatoria X. c) PX, P X, PX d) El percentil 95. e) Moda, mediana, media y varianza. 6.- Disponemos de un dado cargado en el que la probabilidad de que salga un número es proporcional a dicho número. Se pide: a) distribución de probabilidad de la v. a. número de puntos obtenidos al lanzar un dado. b) Probabilidad de que al lanzarlo salga un número par. c) Media o Esperanza Matemática. 7.- Para la función de distribución a) La función de densidad. F() arctg(), determinar: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 7

8 b) Mediana y moda. b) P( X ). c) tal que P( X ).4 Variables Aleatorias 8.- Sea una variable aleatoria X con la siguiente distribución de probabilidad: k P(X k), para k=,,,, 4 k! Se pide: a) valor de α para que sea una distribución de probabilidad. b) Media. c) Moda. d) Mediana. e) P( X ), P( X ) 9.- Para la función f() k, determinar: 5 a) El valor de k para que f() sea la función de densidad de una cierta variable aleatoria. b) Mediana y moda. c) Esperanza matemática y varianza. 4.- Sea la función de probabilidad de la variable aleatoria el número de clientes que llegan a una tienda en una hora: i P(X= i ),,,, 4,5 5,5 Sumas Se pide: a) Función de distribución. b) Media. c) Moda. d) Mediana. e) P( X ), P( X ) 4.- Un almacén distribuye un producto en eclusiva en una gran ciudad y lo recibe semanalmente de fábrica. El nº de millares de artículos vendidos cada mes, X, es una variable aleatoria continua cuya función de densidad viene dada por: si < f() k( ) si Se pide: si a) k para que f() sea efectivamente función de densidad. P X.5 P X P X, P( X ) b),, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 8

9 c) Media. d) Moda. Variables Aleatorias U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 9

10 .- Sea la función de probabilidad de una variable aleatoria: i 4 5 Probabilidad k Se pide. A) La función de distribución. B) Primer cuartil. C) PX. A) Nº juntas Prob. F() k Sumas si si 5 si F() 8 si 4 9 si 4 5 si 5 B) Primer cuartil,5 C) P(<X<)=P(X=)+P(X=) = /+/ =/4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

11 k si,. Si la función de densidad de una v. a. continua es f(). si, Se pide: a) Determinar k. b) P X. C) la media. a) Sabemos que por ser f() una función de densidad, se verifica k d,9k k b) P( X ) d c) d U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

12 .- De una estación parte un tren cada minutos. Sabiendo que el tiempo de espera en la estación de cada viajero sigue una v. a. con función de distribución: si < F() / si < si Hallar: a) Función de densidad de la variable aleatoria tiempo de espera. b) Probabilidad de que un viajero espere al tren menos de 7 minutos. c) Mediana d) Media e) Varianza de la v. a. tiempo de espera. a) La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución: si < df() f() F'() / si < d si b) 7 P(X 7) f()d F(7) 7 c) Mediana / F(M)=,5 F(),5 M minutos d) Media: minutos 4 EX f()d d e) Varianza: ( ) VX ( ) f ()d ( ) d 6 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

13 4.- Sea la función de probabilidad de una variable aleatoria i - 4 Probabilidad,,,5, Se pide. A) La función de distribución. B) Percentil. C) Valor esperado. i Prob. F() i P(X= i ) -,, -,,,4,5,9,5 4,,4 Sumas,6 A) si, si F(),4 si,9 si 4 si 4 B) Percentil corresponde F(P )=,, luego entre el - y el tomamos el -,5 C) Media, 6 i i i EX PX U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

14 5.- El consumo de electricidad en kilowatios por persona y día en una familia se observó que era una variable aleatoria con la siguiente función de densidad: si 4 6 f() si 48 8 en el resto a) Obtener la función de distribución. b) Calcular el consumo medio por persona y día. c) Calcular la probabilidad de que el consumo esté entre y 5 kw. a) si si 4 F() f (t)dt si si 8 b) 4 8 f ()d d d c) P( X 5) f ()d d d 6 8 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 4

15 6.- Sea una v. a. X continua con la siguiente función de distribución: si a si.5 F() si.5 6 b si 6 a) Calcular a y b. b) Obtener un valor de tal que P( X )=.. c) Obtener la función de densidad. a) La función de distribución de una variable aleatoria continua es continua, luego F lim F() -a= a para que sea continua en, y además 6 F6 limf() 6/b= b 6 para que sea continua en 6 Los valores son a= y b=6 F() si si.5 6 si.5 6 si 6 b) P(X ),F() P(X ) P(X ),,9 F(),9 5,4 6 c) si si.5 f() F'() si si 6 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 5

16 7.- Sea la función de probabilidad de una variable aleatoria i 4 Probabilidad,,,,4, Se pide. A) La función de distribución. B) P X 4 C) PX 4 Esperanza matemática.. D) La a) i 4 Probabilidad,,,,4, F(),,,4,8 si, si, si F(),4 si,8 si 4 si 4 b) P X4 P(X) P(X),,4,5 c) P X4 P X4 P(X4),,8 d) i 4 suma Probabilidad,,,,4, i P(X= i ),,,,8,4 P i X i, 4 i U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 6

17 8. Si la función de densidad de una v. a. continua es: si 7 f() si 4 en el resto P X 4 c) Obtener un valor de tal que a) Obtener la función de distribución. b) P( X )=. d) El primer cuartil e) La varianza a) Si <, entonces F()= si <</, entonces si /<<7/, entonces si 7/<, entonces F()= F() f (t)dt tdt F() f (t)dt tdt dt si si F() P(X ) 7 si si b) P X 4 f ()d d c) P(X ), F() P(X ) P(X ),,7 F(), 7, 4 8 d) F() P(X ), 5 F(), e) Media / 7/ / 7/ 9 f () d d d / 4 8 / Varianza / 9 7/ 9 V ( )f()d d d / 4 88 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 7

18 9.- Sea una v. a. X con la siguiente función de distribución: si si 4 F() si si 8 a) La variable aleatoria es discreta o continua b) Obtener un valor de tal que P( X )=.75. c) Obtener la función de densidad. a) F() es una función continua en R, luego corresponde a una variable aleatoria continua b) P(X ),75 F() P(X ) P(X ),75,5 F(), 5 c) si si 4 6 f() F'() si si 8 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 8

19 .- Un miembro del Consejo de Administración de una empresa ha comprobado que, si bien todos los años tiene una junta, ha habido años que tienen hasta cinco. Por la eperiencia acumulada durante años, se sabe que el nº. de juntas anuales se distribuye de la siguiente forma: Nº de juntas al año 4 5 Probabilidad Se pide. A) La función de distribución. B) Moda, mediana y media. C) Probabilidad de que un año, elegido al azar, se celebren más de tres juntas. Nº juntas Prob. F() i P(X= i ) Sumas 5 si si 5 si 5 F() 8 si 4 5 si si 5 i i = 5 i 5 B) Moda = ; Mediana = ; Media: EX PX C) P(X>)=P(X=4)+P(X=5) = /5+4/5 =7/5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 9

20 . Si la función de densidad de una v. a. continua es f() si,, k si, Se pide: a) Determinar k. b) PX. c) la media. d) el primer cuartil. Solución. a) Sabemos que por ser f() una función de densidad, se verifica, kd,9k k b) P( X ), d c) d) d El primer cuartil, es el valor de que verifica F()=.5 F() t dt.5 Q.7876 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

21 .- De la función de distribución de una cierta variable aleatoria: si F() e si Calcular la función de densidad, la mediana. Función de densidad si f() F'() e si Mediana F(M) e M ln M U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

22 .- Una variable aleatoria X tiene una función de densidad de la forma ke si f() si a) Hallar el valor de k para que f() sea realmente una función de densidad. b) Hallar la función de distribución de la variable aleatoria X. P X. c) Calcular d) Calcular el valor de t tal que PXt e) Hallar el valor de la moda, mediana, media y varianza. k a) Se tiene que cumplir que f()d, luego, f ()d d ke d k= b) F() P(X ) f (t)dt, en nuestro caso, si > tenemos t F() P(X ) te dt e, resulta, e si F() si c) P( X ) f() d e d d) P X t.8745 e t t,44645 P X t F(t) e,8745 e) Moda es el máimo de la función de densidad f() e f'() 4 e Mediana M M ln F(M) e,5 Media f ()d d e d Varianza V ( ) f()d e d 4 4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

23 4.- La demanda semanal de un cierto trabajo, es una variable aleatoria continua X que si 4 tiene por función de densidad: f(), si si a) Halla la función de distribución, la mediana. b) Calcular P(, X, 5), P(X,5), P(, 5 X,75), P(X,95). c) El valor esperado de y su varianza. a) si 4 F() f (t)dt arctg si si Mediana 4 arctgm,5 M b),5 4 P(, X,5) P( X,5) f ()d arctg,59,5 4 P(X,5) P( X,5) f ()d arctg,59,75 4 P(, 5 X,75) f ()d arctg,574 7,5 4 P(X,95) f ()d arctg,64 9,95 c) E f()d ln V ( ) f()d 8ln 4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

24 5. Sea c una constante y consideremos la función de densidad: c si f c si en el resto a) Calcule el valor de c. b) Obtenga y represente la función de distribución. c) Calcule el percentil 95 y la P( X.5). d) Calcule la media y varianza. c d c d c c c A) B) Si, F tdt. Si, F F t dt. si - si - F si si C) F.95 P X.5F.5 F 8 D) d d. d d U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 4

25 a b si, 6. Si la función de densidad de una v. a. continua es f(). si, Determinar a y b sabiendo que P X. Hallar la media, la varianza y el primer cuartil. 8 a b d a b ; además por ser f() una función de densidad, se Sabemos que verifica a b d 9ab, y del sistema de dos ecuaciones lineales y dos incógnitas obtenemos los valores de a y b. 9a b 8 ab a b Media: d 87 4 Varianza: 87 d El primer cuartil, es el valor de que verifica F()=.5 F() t dt.5 Q.7876 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 5

26 7.- Una persona al realizar un disparo hace blanco con probabilidad.4. a) Describir mediante una variable aleatoria el número de blancos al efectuar dos disparos. b) Si cada disparo le cuesta y por cada blanco recibe, describir la apuesta mediante una variable aleatoria. c) Calcular la distribución de probabilidad del apartado b). d) Calcular la esperanza matemática. Es equitativa la apuesta?, Cuánto tendría que recibir por cada blanco para que lo fuera? a) P(blanco)=P(B)=,4; P(no hacer blanco)= PB -,4=,6 El espacio muestral al efectuar dos disparos es: E BB, BB, BB, BB Sea la variable aleatoria X= número de blancos X E R BB BB BB BB b) La nueva variable aleatoria será: Y=X-, es decir, la ganancia: Y E R BB BB BB BB - c) Son sucesos independientes, luego P Y P BB,4,4,6 La función de probabilidad es: PYPBBPBB,6,4,4,6,48 P Y PBB, 6, 6,6 y i Prob. -,6,48,6 Sumas U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 6

27 d) Esperanza Matemática Variables Aleatorias i Prob. i P(X= i ) -,6-7,48,6 Sumas -4 EY ypy i yi 4 i No es equitativa, puesto que da negativo. Supongamos que recibe k por cada blanco: La función de probabilidad es: z i Prob. i P(X= i ) -,6-7 k-,48,48k-96 k-,6,k- Sumas,8k- k 5 i i i E Z z P Zz,8k U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 7

28 8. Si la función de densidad de una v. a. continua es:,5 si si f() si 5 5 en el resto a) Obtener la función de distribución. b) PX 9 de tal que P( X )=. d) Esperanza Matemática. e) Varianza. a) Obtenemos la función de distribución por trozos. Si, Si, F dt Si 4, F d,5dt F,5dt,5( ) Si 4 8, F F dt, Si 8, t PX,5 c) Obtener un valor, F F 4 dt,, F F 8 dt,8 8 t Si, FF dt,8 4, Si, F si,5( ) si, si 4,8 si 4 8 F() f (t)dt 4,8 si 8, si 5 5 si b) 9 P(X 9) f ()d F(9),8,5,5 P( X,5) f ()d F(,5) F(),5,,5,8 5 5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 8

29 c) Variables Aleatorias P(X ), F() P(X ) P(X ),,7 5,8, 7 4 4, d) Esperanza Matemática 8 E[X] f ()d,5d d d e) Varianza V[X] f ()d 6,5 d 6 d d U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 9

30 9.- Sea X una v. a. que toma los valores,,, 4,., con probabilidades,,, 4,... respectivamente. Se pide: a) P(X es par). b) P(X 5). c) Moda. d) Tercer cuartil. e) Esperanza matemática. Tenemos una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P X k para k=,,, 4, k a) PX nºpar PX PX 4 PX 6... PX k k k k P X5 P X5 4 P X P X P X P X 4 k 6 b) c) Moda, podemos observar los primeros valores de la función de probabilidad TABLE, k,,, #7: k Y vemos que el máimo corresponde a k= d) Para buscar el tercer cuartil obtenemos previamente la Función de distribución F() P X k k El tercer cuartil corresponde a un valor tal que F()=,75 que en este caso coincide con el valor, pero al ser discreta queda entre y, adoptamos el valor medio,5 c) Esperanza matemática EX kpx k k k k k U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

31 Variables Aleatorias /,.- Sea f() 4 4,5, a) Es f() una función de densidad? qué tipo de en el resto v.a.? b) Calcular la función de distribución, suponiendo que f() es una función de densidad. c) Esperanza matemática. d) Varianza. e) P(<X<), P(.5<X 5), P(X>), P(X=4). si /, si f() 4 4,5 si 4 en el resto 4 si 4 5 si 5 a) Es una función de densidad de una variable aleatoria continua, puesto que cumple las dos condiciones: ) f(), R 5 ) f d d 4 d 4 b) Obtenemos la función de distribución por trozos. Si, Si, F dt Si 4, F d,5dt F,5dt,5( ) Si 4 5, F F dt,5 Si 5, F 7 F F 4 t4 dt, F() si,5( ) si,5 si 4 f (t)dt 4 8 si 4 5 si 5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

32 c) Esperanza Matemática d) Varianza e) Variables Aleatorias 5 E[X] f ()d,5 d 4 d V[X] f ()d,5 d 4d 4,5 P( X ) f ()d F() F(), P(,5 X 5) f ()d F(5) F(,5), 5,75,5 P(X ) P(X ) f()d F(),5,5 4 4 P(X 4) f ()d F(4) F(4) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

33 .- Los artículos en venta en unos grandes almacenes se someten al control diario y, se estima que la probabilidad de que en un día sean vendidos artículos defectuosos es PX. Determinar la probabilidad de que en un día de los artículos vendidos: a. Dos o más sean defectuosos. b. Cinco sean defectuosos. c. Tres ó menos sean defectuosos. d. Hallar P( X 4). Sea X el número de artículos defectuosos vendidos en un día; PX P X P X 9. a) b) PX c) PX PX PX PX PX 8 8. d) P X 4 PX PX PX PX U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística

34 .- Una estructura metálica puede sufrir debido al calor una dilatación que (medida en cm) es una variable aleatoria X con función de densidad: si 5 k si <<5 f. k 8 si en el resto a) Sabiendo que f() es función de densidad determinar el valor de k. b) Calcular la probabilidad de que la dilatación sea inferior a cm. c) Calcular la probabilidad de que la dilatación se encuentre entre y 9 cm. a) Se tiene que cumplir que: f()d 5 8 k f ()d d d kd (8 )d d k b) P(X ) f ()d d d 5 c) / 9 P( X 9) f ()d d d (8 )d d U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 4

35 .- Sea X una variable aleatoria con función de distribución a) Representar gráficamente F(). b) Es una variable aleatoria continua? Por qué? c) Determinar la función de probabilidad. d) Calcular P(X = ), P(X = -.7), P( X ), P(- < X < ) a) si <-.4 si - <- F().8 si - < si b) No es continua, ya que F() es discontinua. c) La probabilidad se obtiene en cada punto de discontinuidad y su valor es el salto finito. i P(X= i ) -,4 -,4, Suma d) P(X=)=; P(X=-.7)=; P( X ) P(X ),4; P(-<X )= U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 5

36 4.- Una variable aleatoria X tiene una función de distribución de la forma k e si F() si a) Hallar el valor de k para que f() sea realmente una función de distribución. b) Hallar la función de densidad de la variable aleatoria X. P X. c) Calcular d) Calcular el valor de t tal que PXt e) Hallar el valor de la moda, mediana, y media. a) Se tiene que cumplir que lim F(), luego, lim ke kk= b) F() P(X ) f(t)dt f() F'(), en nuestro caso, e si f() si c) P( X ) F() F( ) e d) P X t.8745 t t,44645 P X t F(t) e,8745 e) Moda es el máimo de la función de densidad f() e f'() 4 e Mediana M M ln F(M) e,5 Media f ()d d e d U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 6

37 5.- Unos estudios realizados por las compañías de seguros de automóviles indican que la probabilidad de que un conductor novel tenga un accidente mortal durante el primer año de conducción es de.78. Aprovechando esta información, una de estas compañías decide realizar una campaña de suscripción de pólizas personales a todo riesgo con carácter anual y condiciones especiales, destinadas únicamente a conductores noveles. El precio de suscripción de una de estas pólizas es de 75, y en caso de producirse el fatal accidente, la compañía indemnizaría a los beneficiarios de la póliza con una prima de 4 de euros. La compañía evalúa en 48 los gastos de venta, gestión y administración de cada póliza. c) Obtenga la función de distribución del beneficio que obtendrá la compañía con la suscripción de una de estas pólizas. d) Calcule el beneficio esperado para la compañía por la suscripción de una póliza. Sea X= beneficio obtenido por la suscripción de una póliza Si el asegurado no tiene un accidente mortal, el beneficio obtenido por la compañía será: 75-48=7 con probabilidad -,78=,997 Si el asegurado tiene un accidente, el resultado para la compañía será una perdida 7-4 =-898 La distribución de probabilidad queda: a) La función de distribución: i P(X= i ) -898,78 7,997 Sumas i P(X= i ) F() -898,78,78 7,997 Sumas si < 898 F(),78 si si 7 b) El beneficio esperado i P(X= i ) i P(X= i ) -78, ,78 7, ,6844 Sumas 68,6 68,6 i i i EX PX U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 7

38 6.- La remuneración semanal de los empleados comerciales de un concesionario de automóviles de lujo está compuesta por un sueldo fijo de y una comisión de por cada coche vendido. A estas cantidades debe descontarse un % en concepto de retención de impuestos y otros gastos. La probabilidad de que un empleado venda un número de coches X en una semana es la siguiente: i 4 5 PX i a) Cuál será la remuneración semanal neta media por empleado y su desviación típica. b) Obtenga la función de distribución de la remuneración semanal neta por empleado. c) Si la empresa tiene 7 vendedores, a cuánto debería ascender la comisión por cada coche vendido si se pretende que la empresa destine a pagos para los empleados una cantidad media semanal de. i P(X= i ) F() i P(X= i ) i P(X= i ),,,,4,,,7,6,,9,6 4,5,95, 5,5,5 Sumas,95,,,8,8,5 5,5 a) 5, 95 i i i EX PX V X P X P X 5,5,95,5475 i i i i i i Y= remuneración semanal = 9+8X E[Y] E[9 8X] 9 8E[X] 9 8,95 5 V[Y] V[9 8X] 8 v[x] 8, V[Y],9795 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 8

39 b) Variables Aleatorias i y i =9+8 i F(y) 9, 8,4 6,7 44,9 4 6, si y<9, si 9 y 8,4 si 8 y 6 F(y),7 si 6 y 44,9 si 44 y 6,95 si 6 y 8 si 8< y c) Si consideremos k la comisión para cada uno de los 7 vendedores Z= remuneración semanal = (+kx),9 E[Z] E[,9 kx ],9 ke[x],9,95k 7 k =,8 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 9

40 6.- Sea la función de distribución de una variable aleatoria si <-, si - F(),4 si,9 si 4 si 4 Se pide. A) La función de probabilidad. B) Percentil. C) Valor esperado. i F() P(X= i ) i P(X= i ) -,, -,,4,4-,=,,9,9-,4=,5,5 4 -,9=,,4 Sumas,6 B) Percentil corresponde F(P )=,, luego entre el - y el tomamos el -,5 C) Media, 6 i i i E P X U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 4

41 7.- La cantidad producida de un cierto artículo es una variable aleatoria X con función si k de densidad: f() si [,k] El precio Y del artículo está en función de la cantidad producida según la ecuación Y=4-X. Se pide: a) El valor de k para que f sea realmente función de densidad. b) Media y varianza de la cantidad producida. c) Media y varianza del precio del artículo. a) El área encerrada por la función de densidad es, por tanto f() d d k k k si f() si [,] b) X= cantidad producida Esperanza matemática: Varianza E[X] f () d d 7,5 V[X] f () d 7,5 d 5 4 c) Y= precio Esperanza matemática: Varianza E[Y] E[4 X] 4 E[X] 4 7, V[Y] V[4 X] V[X] U. D. de Matemáticas de la ETSITGC de la U.P.M. Asignatura: Cálculo y Estadística 4

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