Modelos univariantes

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1 Modelos univariantes personas de la misma edad y grupo social tienen suscritas pólizas de seguros de vida con una compañía. Se estima que la probabilidad de que cada asegurado muera durante el año es Cada asegurado paga una tarifa de 120 el 1 de Enero, y si muere, sus beneficiarios reciben Calcular: a) La ganancia esperada y la varianza de la ganancia de la compañía. b) La probabilidad de que la compañía pierda dinero. c) La probabilidad de que la compañía gane más de 4 millones. 2.- Para estimar el número n (desconocido) de peces de un lago se diseña el siguiente experimento: Se hace una captura obteniéndose n 1 peces, que son marcados y devueltos al lago. Se hace una segunda captura obteniéndose n 2 peces de los cuales k resultaron estar marcados. El valor estimado de n será el número natural que haga más verosímil la ocurrencia de los datos anotados en las capturas. Probar que este valor es n = n 1 n 2 /k. 3.- Supongamos que el número de huevos puestos por un insecto sigue una distribución de Poisson de parámetro λ, y que la probabilidad de que un huevo se desarrolle es p. Si se supone la independencia entre el desarrollo de los distintos huevos, demostrar que el número de insectos descendientes de uno dado sigue una distribución de Poisson de parámetro λp. 4.- Un fabricante produce piezas siendo 0.02 la probabilidad de que una pieza producida sea defectuosa. Se hacen paquetes de 100 piezas. Calcular la probabilidad de que: a) No haya piezas defectuosas en un paquete. b) El número de piezas defectuosas en un paquete no sea mayor que tres. c) Calcular el número de piezas que debe colocar en cada paquete para que la probabilidad de que contenga al menos 100 buenas no sea menor que Una máquina produce piezas con un porcentaje de defectuosas del 1%. Las piezas son vendidas en lotes de 500 a un precio de A el lote. Antes de efectuar el pago, el comprador observa las piezas y por cada una que encuentra defectuosa descuenta a. Calcular la probabilidad de que el precio final del lote sea menor que B. 6.- En n ensayos de Bernoulli con probabilidad p de éxito sabemos que han ocurrido k éxitos. Calcular la probabilidad de éxito en el i-ésimo ensayo. 7.- Si hay un promedio de 1% de coches que contaminan por encima de lo permitido, calcular la probabilidad de que entre 200 coches elegidos al azar haya al menos 4 contaminantes. 8.- En una sucesión de m + n ensayos de Bernoulli con probabilidad p de éxito, calcular la probabilidad de que haya exactamente m + k éxitos sabiendo que: a) Los m primeros fueron éxitos. b) Han ocurrido al menos m éxitos.

2 9.- Un grupo de N personas lanza cada uno una moneda para determinar quién debe pagar las consumiciones. Si hay una persona en el grupo cuyo resultado es distinto del resultado de todas las demás personas del grupo, esta persona (al cual llamamos disparejo) es la que debe pagar. De lo contrario se sigue lanzando las monedas. Calcular a) La probabilidad de que en una jugada aparezca un disparejo. b) La esperanza del n⁰ de jugadas necesario para acabar el juego Un auditor sospecha que en un conjunto de un millón de facturas, al menos el 1% son fraudulentas. Para comprobarlo decide examinar una muestra de n 1 facturas, de manera que si es cierto que la proporción de fraudulentas es del 1%, la probabilidad de encontrar al menos una fraudulenta sea del 99%. a) Calcular n 1. b) Calcular también n 2 (respectivamente n 3 ) de modo que al tomar n 2 (respectivamente n 3 ) facturas y suponiendo siempre una proporción de al menos el 1% de fraudulentas, la probabilidad de encontrar al menos 3 (resp.10) fraudulentas sea del 75%. (Razonar las aproximaciones efectuadas) El flujo de tráfico atravesando una calle determinada se describe diciendo que la probabilidad de que un coche pase en un segundo dado es una constante p y no hay interacción entre dos coches pasando en segundos diferentes. Tratando los segundos como unidades indivisibles, se aplica el modelo de Bernoulli. Supongamos que un peatón puede cruzar la calle sólo si ningún coche pasa en los tres segundos siguientes. Encontrar la probabilidad de que el peatón tenga que esperar exactamente k=0, 1, 2, 3,4 segundos (la expresión general no es inmediata) En el juego de la lotería primitiva se dispone de un bombo con 49 bolas numeradas del 1 al 49, de este bombo se realizan al azar y sin reemplazamiento 6 extracciones que formarán la combinación ganadora, y una extracción más que se denomina número complementario. Los participantes en el juego rellenan apuestas de 6 números, resultando premiados aquellas que contengan: - 3 números de la combinación ganadora. - 4 números de la combinación ganadora. - 5 números de la combinación ganadora. - 5 números de la combinación ganadora más el número complementario. - 6 números de la combinación ganadora. a) Obtener una expresión para las probabilidades de que una apuesta tenga los siguientes aciertos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 sin el complementario, 5 más el complementario y 6. b) Un asiduo jugador se queja de su mala suerte argumentando que ha realizado una apuesta durante los últimos 215 sorteos, habiendo obtenido algún premio en menos de 11 ocasiones, es razonable su lamento? NOTA: La probabilidad de obtener algún premio es c) Obtener el mínimo número de sorteos necesarios para que un jugador que hace una apuesta en cada uno, tenga una probabilidad de al menos 0.5 de obtener premio en más de 25 ocasiones. Razonar las aproximaciones que se utilicen.

3 13.- Un fabricante de automóviles encarga la producción de ciertas barras metálicas empleadas en el sistema de suspensión a una empresa metalúrgica, con la indicación de que sólo son utilizables barras cuya longitud esté comprendida entre cm. y cm., siendo consideradas las demás como defectuosas. La empresa metalúrgica sirve el pedido con la especificación de que la longitud de las barras sigue la ley N (100cm, 0.01cm²) que el fabricante de automóviles considera satisfactoria. No obstante, antes de aceptar la mercancía, el fabricante de automóviles la somete a una inspección consistente en elegir al azar una muestra de tamaño n de modo que si se observan 5 o más barras defectuosas se rechaza la mercancía. a) Suponiendo que las especificaciones del fabricante de las barras son ciertas, calcular n para que la probabilidad de que la mercancía sea rechazada sea de b) Suponiendo que las especificaciones verdaderas fuesen que la longitud sigue la ley N (100cm, 0.03cm²), calcular la probabilidad de que la mercancía sea rechazada Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribución de Poisson de parámetros λ y µ respectivamente. Hallar: a) La ley de probabilidad de X + Y. b) La ley de probabilidad de X condicionada a X + Y Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribución geométrica común. Hallar la distribución de X condicionada por X + Y Un tipo particular de transistor se usa en una aplicación durante 50 horas. Se dispone de dos marcas de transistores, una de ellas tiene una distribución de duración N (40,36) y la otra N (48,9). Qué transistor es preferible? 17.- Se admite que las retribuciones percibidas en una empresa se distribuyen normalmente. Se conoce, por las relaciones de seguros sociales, que el 1% son superiores a y el 10% inferiores a Se pregunta qué proporción de las retribuciones son superiores a Dos correctores leen independientemente las pruebas de un libro, y encuentran respectivamente k 1 y k 2 errores, resultando un número k 12 de errores detectados por ambos lectores. Aplicando la Ley de los Grandes Números, tratar de hacer una estimación del número n de errores.

4 19.- Observar el esquema siguiente: Calle3 Calle2 Avenida Calle1 Calle4 El número de coches que circulan por las calles 1 y 2 durante un intervalo de tiempo I son variables aleatorias independientes N l y N 2 distribuidas según leyes de Poisson de medias λ l y λ 2 respectivamente. La probabilidad de que un coche procedente de 1 continúe por 3 es p 1 y por 4 es 1- p 1. La probabilidad de que un coche procedente de 2 continúe por 3 es p 2 y por 4 es 1- p 2. Sean N 3 y N 4 e Y el número de coches que circulan respectivamente por las calles 3, 4 y la avenida. a) Si durante el intervalo I ha circulado por la avenida un sólo coche, cuál es la probabilidad de que proceda de la calle 1? b) Si supiéramos, después, que el coche anterior continúa su recorrido por 3, cuál sería entonces la probabilidad de que proceda de la calle 1? c) Supongamos ahora que λ 1 = λ 2 = ½ y que por la calle 4 han pasado 0 coches. Encontrar la ley de N 1. d) Supongamos que además de λ 1 = λ 2 = ½, se tiene p 1 = p 2 = p. Son independientes las variables aleatorias N 3 y N 4? 20.- Determinar el número de veces que se debe lanzar una moneda de tal modo que se tenga una probabilidad superior a 0.90 para que la relación entre el número de veces que sale cara y el número de tiradas, esté comprendida entre 0.40 y Supongamos que en un proceso de fabricación de rodamientos se aceptan las bolas de acero con diámetro comprendido entre dos valores fijos D 1 =100.1 y D 2 = Estudiado anteriormente el diámetro de las bolas, se dedujo que seguía una ley Normal de media y desviación típica 0.2. a) Calcular la probabilidad de que en un lote de 100 bolas rechacemos 4 por grandes y 4 por pequeñas. b) Calcular la probabilidad de que un lote de tamaño 1000 contenga al menos 750 piezas aceptables Dos máquinas A y B producen arandelas. El ritmo de producción de A es el doble que el de B. Las arandelas producidas por cada máquina se van empaquetando en lotes que son colocados en un almacén a medida que se van produciendo. De las arandelas producidas por A, el 10% son defectuosas por grandes y el 5% por pequeñas. Para B, el 5% son defectuosas por grandes y el 10% por pequeñas. a) Se extrae al azar un lote del almacén y se comprueba la validez de 20 arandelas del lote, resultando 3 defectuosas por grandes y ninguna por pequeña. Hallar la probabilidad de que se trate de un lote producido por la máquina A. b) Hallar la probabilidad de que de 10 arandelas elegidas al azar, 9 sean buenas y una defectuosa por grande.

5 23.- Se dispone de 100 números reales. Estos números se convierten en enteros por redondeo y a continuación se suman. Calcular la probabilidad aproximada de que el error cometido en esta suma sea mayor que 5 unidades Los artículos que salen de cierto proceso de producción en cadena presentan una tasa de defectuosos que se considera satisfactoria si es del 2% o menor. Para controlar la calidad de la producción se procede a analizar artículos de forma consecutiva hasta que aparecen 3 defectuosos, de modo que se decide revisar el proceso si el número de artículos analizados es 100 o menos, considerando como satisfactorio el proceso en caso contrario. a) Obtener la probabilidad de que haya que revisar innecesariamente el proceso. b) Supongamos que una tasa de defectuosos del 3% ya sería muy perjudicial para la empresa. Obtener la probabilidad de que la prueba detecte dicha anomalía El tiempo necesario para atender a un cliente en la caja registradora de un supermercado sigue una distribución exponencial de media 3 minutos y se supone independencia entre los tiempos de atención a clientes diferentes. a) Obtener la probabilidad de que el tiempo total empleado en atender a los cinco primeros clientes sea superior a 24 minutos. b) Si a lo largo de una jornada de 8 horas el número de clientes atendidos es de 100, obtener la probabilidad de que la caja esté desocupada más de una hora En una sala de juegos hay 8 máquinas despachadoras de refrescos, 5 de tipo A y 3 de tipo B. La máquina de tipo A está ajustada para servir la cantidad de refresco con distribución N (200m.l.,225m.l.²) y la de tipo B según una distribución N(190m.l.,100m.l.²). La forma de escoger una máquina es aleatoria. a) Si en un día se llenan 1000 vasos, 700 en máquinas de tipo A y 300 en máquinas de tipo B, cuál es la probabilidad de que la cantidad despachada sea superior a 197.5l.? b) Un jugador elige al azar una de las máquinas de la sala para llenar 4 vasos, obteniendo un vaso con una cantidad inferior a 180m.l., dos con cantidades entre 180m.l. y 210m.l. y el último con una cantidad superior a 210m.l. Cuál es la probabilidad de que la máquina elegida sea de tipo A? La vida en horas de ciertas resistencias eléctricas sigue una ley de Weibull de parámetros: localización = 0, escala = 0.02, forma = a) Supongamos que una resistencia lleva en funcionamiento A>0 horas sin fallo. Cómo es el funcionamiento de la resistencia con relación a cuando era nueva? Justificar la respuesta explicando el significado de la ley de Weibull como modelo de duración de vida. b) Un circuito eléctrico consta de 3 resistencias de las anteriores acopladas en serie. Obtener la ley de la duración de vida del circuito. c) Cada resistencia tiene un coste de fabricación y comercialización de A y se vende a B con una garantía que consiste en un único recambio gratuito en caso de que se produzca el fallo antes de 100 h de funcionamiento. Obtener la ganancia esperada por unidad vendida y su varianza. d) Un cliente adquiere 10 resistencias. Obtener la probabilidad de que esta operación origine al comerciante un beneficio estrictamente positivo.(tomar A = 10 y B = 12).

6 28.- Un semáforo instalado en un cruce señala alternativamente verde y rojo durante intervalos de medio minuto y un minuto respectivamente. a) Si un vehículo llega al cruce en un instante elegido al azar, determinar la ley de probabilidad (f. de distribución) del tiempo de espera en el cruce, así como su media y su varianza. b) Si se supone independencia entre las llegadas de un usuario en diferentes ocasiones, obtener la probabilidad de que en 100 pasos por el cruce haya esperado en total más de 30 minutos. 29. Una máquina fotocopiadora funciona ininterrumpidamente las 24 horas del día. El contrato con la empresa de mantenimiento establece que cada vez que se produzca una avería la empresa debe repararla y efectuar una limpieza de máquina. En el caso de que transcurran más de 720 horas (1 mes) sin ninguna avería también se deberá limpiar la máquina. Se sabe que el tiempo que tarda la máquina en tener una avería sigue una ley exponencial de media 2400 horas, siendo los tiempos entre averías independientes. a) Calcular la probabilidad de que en el primer año (365 días) sólo se pare la máquina para realizar limpiezas ordinarias (no por avería) b) Calcular la probabilidad de que en el primer mes (30 días) haya que realizar un número de limpiezas mayor o igual que n (n= 1,2,...) c) Calcular la probabilidad de que en el primer mes sólo se realice una limpieza. d) Obtener la ley de probabilidad de la variable tiempo hasta la primera limpieza. NOTA: Los tiempos tardados en realizar las limpiezas y las reparaciones se consideran despreciables. 30. El número de flores que produce un frutal tiene una distribución de Poisson de parámetro λ. Cada flor tiene una probabilidad 2/3 de ser fecundada y dar fruto, independientemente del resto de las flores del árbol. Cada fruto tiene una probabilidad 1/4 de ser picado por los pájaros antes de la cosecha. Resolver las siguientes cuestiones: a) Determinar la distribución del número de frutos que se cosechan del árbol. b) Para un árbol del que se han cosechado r frutos, determinar la probabilidad de que haya tenido n flores, así como el número medio de flores que tuvo. 31. En un kiosco de periódicos se supone que hay una probabilidad 1/3 de que cada persona que pase compre un periódico. Sea X la v.a. que cuenta el número de personas que pasan hasta que se vende el periódico número 100 (incluida esta persona). Contestar a las siguientes preguntas: a) Dar la ley de probabilidad de la variable X b) Calcular de forma aproximada la probabilidad de que X esté entre 280 y Una central telefónica puede atender un máximo de 5 llamadas por minuto. El promedio de llamadas por minuto es de 200. Calcular: a) La probabilidad de que en un determinado minuto la central reciba más llamadas de las que puede atender. b) El número medio de minutos por hora en que la centralita podrá atender todas las llamadas recibidas. c) La probabilidad de que no se produzca saturación en ningún minuto a lo largo de una hora. NOTA: El número de llamadas en intervalo de tiempo sigue una ley de Poisson.

7 33. Un emisor E 0 emite señales "punto" y "raya" en proporciones 3/7 y 4/7 respectivamente. Debido a la presencia de ruidos, cierto receptor E 1 tiene probabilidad 1/16 de que un punto emitido por E 0 sea recibido como raya, mientras que la probabilidad de que una raya sea recibida como un punto es 1/12. El receptor E 1 emite a su vez las señales recibidas que son recibidas por otro receptor E 2. El ruido en esta transmisión es idéntico al de la primera. a) Probar que la probabilidad de que E 0 haya emitido un punto sabiendo que E 2 ha recibido un punto es de 0,811 y que la probabilidad de que E 0 haya emitido una raya sabiendo que E 2 ha recibido una raya es de 0,90. b) Un mensaje recibido por E 2 se considera aceptable cuando ocurre a la vez: i) Al menos el 85% de los puntos recibidos por E 2 eran originariamente puntos. ii) Igual condición para las rayas. Se recibe un mensaje en E 2 emitido por E 0. Se lee el mensaje y se cuentan 140 puntos y 190 rayas. Aproximar la probabilidad de que el mensaje sea aceptable. 34. En un proceso de fabricación se fabrican ejes y cojinetes de forma independiente que posteriormente son acoplados. En el acoplamiento, la variable de interés es la holgura o juego que se define como la diferencia entre el diámetro interior del cojinete y el diámetro del eje. Para que un acoplamiento se considere admisible, la holgura tiene que estar entre dos cantidades positivas: h min = 0,005cms. y h max = 0,065cms. Calcular: a) La probabilidad de que se produzca un acoplamiento inadmisible. b) La probabilidad de que sea imposible realizar el acoplamiento. En cada uno de los siguientes supuestos i )El diámetro de los cojinetes sigue una ley U (3 ± 0,010) en cms. El diámetro de los ejes sigue una ley U (2,965±0,040) en cms. ii) El diámetro de los cojinetes sigue una ley N (3, 0,0032) en cms. El diámetro de los ejes sigue una ley N (2,965, 0,0152) en cms. 35. Se desea medir una longitud L contando el número de pasos. Se supone que los pasos son v.a. independientes que siguen una ley U (0,9; 1,1) en metros. A efectos de realizar la medición se considera que cada paso es un metro. Medida la longitud L con este procedimiento se contaron 100 pasos. a) Calcular de forma aproximada la probabilidad de que el error cometido sea superior a 0,5 metros. b) Utilizando el mismo procedimiento para medir el área de una superficie rectangular se contaron 10 pasos de largo y 8 pasos de ancho. Obtener una acotación de la probabilidad de que el error cometido en la estimación de dicha área sea superior a 4 m². 36. La longitud de ciertas barras de acero sigue una ley N(1m, 10 ⁶m²). Para que una barra sea aprovechable sin reciclaje tiene que tener una longitud comprendida entre 0,998 m. y 1,0015m. a) Se eligen al azar 10 barras. Calcular la probabilidad de que haya 7 aceptables, 2 grandes y 1 pequeña. b) Se eligen 100 barras. Calcular aproximadamente la probabilidad de que haya 5 o más defectuosas por pequeñas.

8 37. Un comerciante vende garbanzos a granel, para lo cual utiliza una báscula de aguja con marcas de 100 en 100 gramos. El comerciante asigna a cada paquete la marca superior del intervalo donde está comprendida la aguja de la báscula. Si un día realiza 400 pesadas, calcular la probabilidad de que "sise" más de 25 kilogramos. 38. Indicar cómo se puede calcular en el juego de la lotería primitiva la probabilidad de que la combinación ganadora presente al menos dos casillas adyacentes horizontalmente, verticalmente o en diagonal. Explicar el procedimiento empleado y sus fundamentos. 39. En cada una de las 400 páginas de las pruebas de imprenta de un libro, el número de erratas sigue una ley geométrica de parámetro p. Un corrector lee las pruebas de tal modo que detecta y corrige cada errata con probabilidad p. a) Probar que la distribución del número de erratas después de la corrección sigue una ley geométrica de parámetro p/(1-qp ) b) Si p = 9/20 y p = 8/9, calcular la probabilidad de que después de la revisión el número total de erratas sea mayor que En un libro de 400 páginas, el número de erratas de cada página sigue una distribución geométrica de parámetro 1/2. Determinar la probabilidad de que el número total de erratas del libro esté comprendido entre 375 y 410.