Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales

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María José Valenzuela Fernández
hace 7 años
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1 LECCIÓN 1 Lección 1: Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas. Hemos observado que cada una de ellas admite infinidad de soluciones hemos encontrado la recta que representa a todas las soluciones de una ecuación lineal. Hasta ahora hemos trabajado con situaciones en las cuales una sola ecuación permite epresar la condición que presenta el problema. En muchos casos nos enfrentamos a problemas en los que se plantea más de una condición, por lo que es necesario plantear más de una ecuación. Decimos que las ecuaciones que epresan las condiciones de un problema forman un sistema de ecuaciones. A continuación veremos cómo resolver, gráficamente, un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Como lo hemos hecho en otras situaciones, empezaremos con un ejemplo: 13

2 GUÍA DE MATEMÁTICAS III La suma de dos números es 1 su diferencia es. Cuáles son esos números? En este problema se nos pide que encontremos dos números que cumplan con dos condiciones: que su suma sea 1 que su diferencia (es decir la resta de estos dos números) sea. Si llamamos a uno de los números llamamos al otro, podemos epresar cada condición por medio de una ecuación: + = 1 = A epresiones como la anterior, se las denomina sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas suelen epresarse del siguiente modo: { + = 1 = Una forma de encontrar la solución de este problema es buscar pares de valores que cumplan una de las condiciones, por ejemplo que su suma sea 1, posteriormente ver cuál de ellos cumple también con la segunda. Para comenzar es bueno tener en cuenta que el valor de debe ser maor que el de, de lo contrario la diferencia no sería positiva. 1

3 LECCIÓN Al llenar la tabla anterior vemos que la pareja de valores = 9, = 3 es solución del problema a que = = ; es decir que estos números cumplen con las dos condiciones que se habían planteado. Podríamos preguntarnos si es la única pareja de valores que cumplen ambas condiciones, pero es imposible pensar en "probar" con todos los números cua suma sea 1, porque como vimos en la lección anterior, son infinitas las parejas de valores que cumplen una condición de ese estilo. A continuación veremos un método más práctico que nos permite dar solución a este tipo de problemas. Este método recibe el nombre de resolución gráfica de sistemas de ecuaciones Para resolver el sistema anterior: { + = 1 = 15

4 GUÍA DE MATEMÁTICAS III comenzaremos por encontrar la gráfica de soluciones de cada ecuación, es decir la recta que contiene a todas las soluciones de cada ecuación. Como a sabemos que cada gráfica es una recta, para encontrarla bastará con elegir dos puntos cualesquiera. En este caso, para la ecuación + = 1, podemos tomar los puntos de las parejas que anotamos en la tabla anterior. De este modo encontramos la recta que se muestra en la gráfica de la derecha. Como a dijimos, cada punto de esta recta es solución de la primera ecuación, o lo que es lo mismo, la suma de las coordenadas de cualquiera de ellos es Del mismo modo procedemos para encontrar la recta que representa a todas las soluciones de la ecuación =. Así obtenemos la recta siguiente: 1 1 Todos los puntos de esta recta son solución de la segunda ecuación, es decir que la diferencia de sus coordenadas es igual a Cada ecuación tiene infinitas soluciones, pero nosotros buscamos una pareja de números que sea solución de ambas. 1

5 LECCIÓN 1 Si trazamos en el mismo par de ejes las dos rectas podemos observar que se cruzan en un punto. El punto A pertenece a ambas rectas, por lo que sus coordenadas cumplen las dos condiciones o relaciones planteadas: por un lado la suma de sus coordenadas es igual a 1 (línea lisa), por otro la diferencia de sus coordenadas es igual a (línea punteada). Es decir, si leemos las coordenadas del punto A encontramos los valores de de, que es la solución al problema planteado A Entonces los números buscados son 9 3. Para verificar este resultado sustituimos la por 9 la por 3 en las dos ecuaciones que forman el sistema: + = 1 = = = Observe que las rectas sólo se cortan en el punto A: podemos afirmar que (9, 3) es el único par de valores que satisface simultáneamente las dos ecuaciones a que no ha otro punto que pertenezca a ambas rectas. Ejercicio 1 Resuelva gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 17

6 GUÍA DE MATEMÁTICAS III a) 3 + = 1 d) + 3 = + = 1 = 1 b) + = 1 e) + = + = = 1 c) 5 = 1 f) = 1 + = 5 1 = 5 Sistemas sin solución sistemas con infinitas soluciones En el ejercicio anterior observamos dos situaciones que merecen una consideración especial. Seguramente al resolver el inciso e, habrá llegado a la conclusión de que esas rectas no tienen punto de intersección, no se cortan por ser paralelas. Esto significa que en las rectas no ha punto alguno que pertenezca a las dos rectas por lo que el sistema no tiene solución. Cuando esto ocurre se dice que es un sistema inconsistente. En un caso así, aunque cada una de las ecuaciones del sistema tiene un número infinito de soluciones, no ha ninguna pareja de valores que sean solución de ambas ecuaciones: el sistema no tiene solución

7 LECCIÓN 1 En cambio al resolver el inciso f, nos encontramos con que las gráficas de solución coinciden, todos los puntos de una recta pertenecen también a la otra. Aquí tenemos un sistema que tiene una infinidad de soluciones: Si observamos los dos sistemas mencionados, podremos notar en ellos características que se presentan en general cuando tenemos sistemas inconsistentes o de infinitas soluciones. Un sistema tiene infinitas soluciones cuando una ecuación se obtiene multiplicando o dividiendo por un mismo número, todos los números que aparecen en la otra, respetando signos operaciones. En el sistema del inciso f, tenemos: 1ª ecuación 1 = 1 ª ecuación = = 5 Los sistemas de ecuaciones, que presentamos a continuación, tienen infinitas soluciones. Usted puede verificarlo encontrando las rectas correspondientes. + = 3 3 = 3 + = = = 1 +. =. + 5 = 5 1. =. 19

8 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si observamos ahora el sistema del inciso e, que no tiene solución, podemos notar que los coeficientes de de de una de las ecuaciones se pueden obtener multiplicando por un mismo número los coeficientes correspondientes de la otra, pero esto no ocurre con el término independiente (el que no está acompañado por letra). 1ª ecuación + = ª ecuación = = 1 Otros ejemplos de sistemas de ecuaciones que no tienen solución son los siguientes. Usted puede verificarlo encontrando las rectas correspondientes. + = 1.3 = + =.9 1 = = + = +.5 = 5 1 = 15

9 LECCIÓN 1 Ejercicio Resuelva gráficamente los siguientes sistemas. Eprese en cada caso los valores de de que satisfacen ambas ecuaciones e indique, si fuera el caso, los sistemas inconsistentes o de infinitas soluciones. a) + = 3 d) + = + = + = b) = e) 3 = = + = c) 3 = 7 f) 1 = + 3 = = 151

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