TEMA II: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES. FUNCIONES ESPECIALES

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1 TEMA II: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES. FUNCIONES ESPECIALES Comenzaremos presentando un pequeño repaso sobre series de potencias. Dada la serie de potencias a n (x x 0 ) n, (0.1) m diremos que ésta converge en un punto x si lim a n (x x 0 ) n existe. Es evidente que la serie m (0.1) es convergente para x = x 0. La serie (0.1) se dice absolutamente convergente en un punto x, si la serie a n (x x 0 ) n converge. Si la serie converge absolutamente en x también converge, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Para el estudio de la convergencia absoluta de series de potencias se usará cualquiera de los criterios de series, siendo los más utilizados el criterio del cociente y el de la raíz. Ejemplo: ( 1) n+1 n(x 2) n. Si la serie (0.1) converge en x = x 1, entonces converge absolutamente para x x 0 < x 1 x 0 ; si diverge en x = x 1, entonces diverge para x x 0 > x 1 x 0. Existe un número ρ, llamado radio de convergencia, tal que la serie (0.1) converge para x x 0 < ρ y diverge para x x 0 > ρ. Si la serie converge sólo para x = x 0 decimos que ρ = 0 y si converge para todo x decimos que ρ es infinito. Ejemplo: (x + 1) n n2 n. Si a n (x x 0 ) n converge a f(x) para x x 0 < ρ, (ρ > 0), entonces es cierto lo siguiente: a n = f (n) (x 0 ). n! 1

2 f(x) es continua y derivable para todos los órdenes en x x 0 < ρ. Además f (x) = a 1 + 2a 2 (x x 0 ) na n (x x 0 ) n = na n (x x 0 ) n 1, f (x) = n(n 1)a n (x x 0 ) n 2, f (k) (x) = n=2 n=k n(n 1)...(n k + 1)a n (x x 0 ) n k ( k N), siendo todas estas series convergentes para x x 0 < ρ. Si a n (x x 0 ) n y b n (x x 0 ) n convergen a f(x) y g(x) respectivamente para x x 0 < ρ, (ρ > 0), entonces lo siguiente es cierto para x x 0 < ρ. (a n ± b n )(x x 0 ) n = f(x) ± g(x). [ a n (x x 0 ) n ] [ b n (x x 0 ) n ] = c n (x x 0 ) n = f(x) g(x) con c n = a 0 b n + a 1 b n a n b 0. Si a n (x x 0 ) n = b n (x x 0 ) n para todo x, entonces a n = b n, (n = 0, 1, 2,...). En particular, si a n (x x 0 ) n = 0, entonces a n = 0, (n = 0, 1, 2,...). Ejemplos: (x 3) n ; ρ = 1; intervalo de convergencia: 2 < x < 4. Función suma: f(x) = 1 4 x. 2 n x n ; ρ = 1 2 ; intervalo de convergencia: 1 2 < x < 1 1 ; función suma: f(x) = 2 1 2x. 1 Soluciones en serie en el entorno de un punto regular Consideremos la ecuación P (x)y + Q(x)y + R(x)y = 0 (1.2) siendo P (x), Q(x), y R(x) polinomios. Definición 1.1 Diremos que x 0 es un punto ordinario o regular de la ecuación (1.2) si P (x 0 ) 0. 2

3 Una primera consecuencia de esta definición es que las funciones Q(x) P (x) y R(x) son continuas en P (x) cierto intervalo centrado en x 0, lo que permite aplicar el teorema de existencia y unicidad y garantizar la existencia de una solución única de la ecuación (1.2) que satisfaga las condiciones iniciales y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0 para una elección arbitraria de y 0 e y 0. Buscaremos soluciones de la ecuación (1.2) que tengan la forma y(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n +... = a n (x x 0 ) n. (1.3) Trabajaremos en principio a nivel formal para calcular los a n de forma que la función y(x) dada en (1.3) verifique la ecuación (1.2). Esto es, supondremos que la serie de potencias existe y que por tanto es derivable hasta el orden que sea necesario en un cierto intervalo x x 0 < ρ, ρ > 0. Desde el momento que demostremos la existencia de ρ y lo hallemos, habremos dado sentido al procedimiento seguido. Ejemplos: 1. y + y = 0; x 0 = 0. Solución: y(x) = C 1 cos x + C 2 sen x; ρ =. 2. y xy = 0; x 0 = 0; (Ecuación de Airy). Tomamos las soluciones y 1 (x) = 1 + k=1 1 km=1 (3m)(3m 1) x3k ; y 2 (x) = x + soluciones respectivas de los problemas de valores iniciales k=1 1 km=1 (3m)(3m + 11) x3k+1, { y xy = 0 y(0) = 1, y (0) = 0 { y xy = 0 y(0) = 0, y (0) = 1, Dado que y 1 (0) y 2 (0) W (y 1, y 2 )(0) = y 1 (0) y 2 (0) = = 1 0, y 1 e y 2 son linealmente independientes en un entorno de x = 0 y por tanto la solución general de la ecuación de Airy es y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) C 1, C 2 R. El radio de convergencia de las series que definen a y 1 e y 2 es infinito. 3

4 3. (x 2 + 1)y + xy y = 0; x 0 = 0. Solución: y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), siendo y 1 (x) = x e y 2 (x) = x2 n (2n 3) + ( 1) 2 n x 2n ; ρ = 1. n! n=2 Nota: En general, en los ejercicios trabajaremos con x 0 = 0. Cuando deseemos resolver las ecuaciones en un entorno de un punto x 0 0, bastará con efectuar el cambio t = x x 0, resolver en t = 0 y luego deshacer el cambio. 1.1 Ecuación de Legendre. Polinomios de Legendre La ecuación de Legendre es de la forma: (1 x 2 )y 2xy + λ(λ + 1)y = 0 (λ R). El punto x = 0 es ordinario: y(x) = a n x n ; y (x) = Sustituyendo en la ecuación llegamos a: na n x n 1 ; y (x) = n(n 1)a n x n 2. n=2 n(n 1)a n x n 2 n(n 1)a n x n 2na n x n + λ(λ + 1)a n x n = 0. n=2 n=2 Igualando los coeficientes de las potencias del mismo orden: x 0 : 2a 2 + λ(λ + 1)a 0 = 0 x 1 : 3 2a 3 2a 1 + λ(λ + 1)a 1 = 0 x 2 : 4 3a 4 2 1a 2 2 2a 2 + λ(λ + 1)a 2 = 0 x 3 : 5 4a 5 3 2a 3 2 3a 3 + λ(λ + 1)a 3 = 0... x k : (k + 2)(k + 1)a k+2 k(k 1)a k 2ka k + λ(λ + 1)a k = 0, de donde obtenemos los coeficientes a k : λ(λ + 1) a 2 = 2 2 λ(λ + 1) a 3 = λ(λ + 1) a 4 = a 5 =... a k+2 = a λ(λ + 1) 5 4 (λ + 2)(λ 1) a 1 = 3 2 (λ + 3)(λ 2) a 2 = a 3 = k(k 1) + 2k λ(λ + 1) (k + 2)(k + 1) 4 3 (λ + 4)(λ 3) 5 4 a 1 (λ + 3)(λ 2)λ(λ + 1) a 2 = a 3 = (λ + k + 1)(λ k) a k = (k + 2)(k + 1) a 0 (λ + 4)(λ 3)(λ + 2)(λ 1) a k. a 1 4

5 De esta última expresión se deduce que los coeficientes de subíndice par van a depender de a 0 y los de subíndice impar de a 1, quedando m (λ + 2m 1)(λ + 2m 3)...(λ + 1)λ(λ 2)(λ 4)...(λ 2m + 2) a 2m = ( 1) (2m)! m (λ + 2m)(λ + 2m 2)...(λ + 2)(λ 1)(λ 3)...(λ 2m + 1) a 2m+1 = ( 1) (2m + 1)! y la solución general de la ecuación de Legendre viene expresada por y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), donde y 1 (x) = 1 λ(λ + 1) x 2 + 2! (λ + 3)(λ + 1)λ(λ 2) x ! m (λ + 2m 1)(λ + 2m 3)...(λ + 1)λ(λ 2)(λ 4)...(λ 2m + 2)... + ( 1) x 2m +... (2m)! y 2 (x) = x (λ + 2)(λ 1) x 3 + 3! (λ + 4)(λ + 2)(λ 1)(λ 3) x ! m (λ + 2m)(λ + 2m 2)...(λ + 2)(λ 1)(λ 3)...(λ 2m + 1)... + ( 1) x 2m (2m + 1)! son soluciones linealmente independientes en un entorno de x = 0. Polinomios de Legendre Para determinados valores de λ las series anteriores se truncan, dado que a partir de un término se hacen todos ceros, originándose soluciones polinómicas. 1. Si λ = 2m (m N) (a) λ = 0 p 0 (x) = 1 (b) λ = 2 p 2 (x) = 1 3x 2 (c) λ = 4 p 4 (x) = 1 10x x4. 2. Si λ = 2m + 1 (m N) a 1, a 0 (a) λ = 1 (b) λ = 3 p 1 (x) = x p 3 (x) = x 5 3 x3 (c) λ = 5 p 5 (x) = x 14 3 x x5. En realidad los polinomios de Legendre son múltiplos escalares de los p n (x) y como tales son también soluciones de la ecuación de Legendre. La siguiente igualdad (conocida como fórmula de Rodrígues) genera, para los distintos valores de n N, estos polinomios: P n (x) = 1 d n [ 2 n n! dx n (x 2 1) n] 5

6 P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 3 2 x2 1 2, P 3 (x) = 5 2 x3 3 2 x, P 4(x) = 35 8 x x Propiedades de los polinomios de Legendre Para todo n N: P n (1) = 1. P n ( x) = ( 1) n P n (x). 1 x k P n (x)dx = 0 para todo k = 0, 1, 2,..., n 1. La demostración de esta propiedad se basa en 1 tres cuestiones: sustituir P n (x) por su expresión en la fórmula de Rodrígues, integrar por partes k veces y tener en cuenta que en las sucesivas derivadas de (x 2 1) n comparece el factor x 2 1, que se anula en x = 1 y x = 1, en todos los sumandos. 1 x n P n (x)dx = 2n+1 (n!) 2. En este caso la demostración sería una continuación de la del 1 (2n + 1)! apartado anterior, es decir, siguiendo el mismo proceso y teniendo en cuenta que k = n, obtendremos la integral n (1 x 2 ) n dx. 0 Efectuando el cambio x = sen t y aplicando reiteradamente el método de integración por partes, obtendremos el resultado deseado. 1 [P n (x)] 2 2 dx = 1 2n + 1. En esta propiedad si desarrollamos uno de los P n(x), tenemos en cuenta la linealidad del operador integral respecto a la suma y las propiedades anteriores, es fácil concluir que el único término significativo en esta integral es el de orden n en P n (x). Con esto nuestra integral se reduce a 1 1 cuya resolución da fin a la demostración. 1 2 n n! (2n)! x n P n (x)dx, n! 1 P m (x)p n (x)dx = 0 1 (n m). Esta propiedad se conoce como la propiedad de ortogonalidad. P n (x) tiene n ceros reales en el intervalo ( 1, 1). 6

7 (n+1)p n+1 (x) = (2n+1)xP n (x) np n 1 (x). Esta fórmula recurrente que relaciona polinomios de distinto grado tiene mucha utilidad para el cálculo de los polinomios de Legendre. Por ejemplo: (4 + 1)P 4+1 (x) = ( )xP 4 (x) 4P 3 (x) P 5 (x) = 9 5 xp 4(x) 4 5 P 3(x), de donde se obtiene que P 5 (x) = 63 8 x x x. 1.2 Ecuación de Hermite. Polinomios de Hermite La ecuación de Hermite toma la forma: y 2xy + λy = 0 (λ R). Nuevamente x = 0 es un punto ordinario, por lo que la búsqueda de soluciones en un entorno de este punto nos lleva a y(x) = a n x n ; y (x) = na n x n 1 ; y (x) = n(n 1)a n x n 2. Llevando estos resultados a la ecuación: e igualando coeficientes obtenemos n=2 n(n 1)a n x n 2 2na n x n + λa n x n = 0, n=2 x 0 : 2 1a 2 + λa 0 = 0 a 2 = λ 2 1 a 0 x 1 (λ 2) : 3 2a 3 2 1a 1 + λa 1 = 0 a 3 = a 1 x 2 (λ 4) : 4 3a 4 2 2a 2 + λa 2 = 0 a 4 = 4 3 a 2 x 3 (λ 6) : 5 4a 5 2 3a 3 + λa 3 = 0 a 5 = 5 4 a 3... x k (λ 2k) : (k + 2)(k + 1)a k+2 2ka k + λa k = 0 a k+2 = (k + 2)(k + 1) a k. De esta última expresión se deduce que los coeficientes de subíndice par van a depender de a 0 y los de subíndice impar de a 1, quedando m λ(λ 4)(λ 8)...(λ 4(m 1)) a 2m = ( 1) (2m)! m (λ 2)(λ 6)(λ 10)...(λ 2(2m 1)) a 2m+1 = ( 1) (2m + 1)! a 0 a 1, 7

8 y la solución general de la ecuación de Hermite viene expresada por y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), donde y 1 (x) = 1 λ 2! x2 + λ(λ 4) x 4 4! λ(λ 4)(λ 8) x ! m λ(λ 4)(λ 8)...(λ 4m + 4)... + ( 1) x 2m +... (2m)! y 2 (x) = x (λ 2) x 3 + 3! (λ 2)(λ 6) x 5 5! (λ 2)(λ 6)(λ 10) x ! m (λ 2)(λ 6)(λ 10)...(λ 4m + 2)... + ( 1) x 2m (2m + 1)! son soluciones linealmente independientes en un entorno de x = 0. Polinomios de Hermite Si tomamos λ = 2n, n = 0, 1, 2, 3, n = 0 : h 0 (x) = 1; (λ = 0) 2. n = 1 : h 1 (x) = x; (λ = 2) 3. n = 2 : h 2 (x) = 1 2x 2 ; (λ = 4) 4. n = 3 : h 3 (x) = x 2 3 x3 ; (λ = 6) 5. n = 4 : h 4 (x) = 1 4x x4 ; (λ = 8). En realidad los polinomios de Hermite vienen dados por la fórmula general Propiedades H n (x)( 1) n e x2 dn [ dx n e x2] H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 2, H 3 (x) = 8x 3 12x, H 4 (x) = 16x 4 48x , H 5 (x) = 32x 5 160x x. e x2 H n (x)h m (x)dx = 0 H n+1 (x) = 2xH n (x) 2nH n 1 (x). e x2 [H n (x)] 2 dx = 2 n n! π. (n m). 8

9 2 Soluciones en series de potencias en puntos singulares Resolvamos la ecuación x 2 y 3xy + 4y = 0, en un entorno de x = 0, por el método aprendido, es decir, busquemos soluciones de la forma y(x) = a n x n en un entorno de x = 0. y (x) = na n x n 1 ; y (x) = n(n 1)a n x n 2. Igualando coeficientes: n=2 x 0 : 4a 0 = 0 a 0 = 0 x 1 : 3 1a 1 + 4a 1 = 0 a 1 = 0 x 2 : 2 1a 2 3 2a 2 + 4a 2 = 0 0 = 0... x k : k(k 1)a k 3ka k + 4a k = 0 (k 2) 2 a k = 0 k = 2 o bien a k = 0. Por lo tanto, a k = 0 para todo k 2, de donde la única solución que se obtiene es y 1 (x) = a 2 x 2. Es evidente que en este caso el método no nos permite hallar la solución general, pues no podemos encontrar otra solución linealmente independiente con y 1 (x). Dos cuestiones que hemos de resolver son: a qué es debido el fracaso en la aplicación del método y cómo haremos para calcular la solución que nos falta. La respuesta a la primera cuestión es que x = 0 no es un punto ordinario de la ecuación planteada, ya que P (x) = x 2 y P (0) = 0. En cuanto a la segunda cuestión, ocurre que y 2 (x) = x 2 ln x es solución para x > 0 de la ecuación y es linealmente independiente con y 1 (x): y 2 (x) = 2x ln x + x, y 2 (x) = ln x x 2 y 2 (x) 3xy 2 (x) + 4y 2(x) = 0, x W (y 1, y 2 ) = 2 x 2 ln x 2x 2x ln x + x = x3 0(x 0). En realidad no podemos dar soluciones como funciones continuas o derivables en x = 0, lo único que logramos es dar comportamientos de las soluciones al aproximarse a x = 0. En este caso las dos soluciones son acotadas al acercarnos al origen: lim y 1 (x) = lim y 2 (x) = 0. x 0 x 0 El ejemplo anterior nos induce a buscar otro método de resolución cuando buscamos soluciones desarrolladas alrededor de puntos no regulares. Definición 2.1 Dada la ecuación P (x)y (x)+q(x)y (x)+r(x)y(x) = 0, diremos que x 0 es un punto singular de esta ecuación si P (x 0 ) = 0. En caso de que (x x 0 ) Q(x) P (x) y (x x 0) 2 R(x) sean analíticas P (x) 9

10 en x 0, es decir que admitan desarrollo en serie de potencias de x x 0, diremos que x 0 es un punto singular regular. En caso contrario x 0 se dirá singular irregular. Ejemplos: 1. (1 x 2 )y 2xy + λ(λ + 1)y = 0 (λ R). Los puntos x = 1 y x = 1 son puntos singulares regulares. 2. (x 2 4) 2 y + (x 2)y + y = 0. El punto x = 2 es un punto singular regular, x = 2 es un punto singular irregular. Pasaremos a continuación a estudiar soluciones alrededor de x = x 0, punto singular regular. 2.1 La ecuación de Euler Uno de los ejemplos más sencillos de ecuación diferencial que posee un punto singular regular es la ecuación de Euler x 2 y (x) + axy (x) + by(x) = 0 (a, b R). (2.4) Nota: En realidad la ecuación puede ser escrita como (x x o ) 2 y (x) + a(x x 0 )y (x) + by(x) = 0, pero haciendo el cambio X = x x 0, obtenemos la ecuación (2.4). Si buscamos soluciones de la forma y(x) = x r (x > 0), y (x) = rx r 1, y (x) = r(r 1)x r 2 : r(r 1)x r + arx r + bx r = 0 [r(r 1) + ar + b]x r = 0. Luego hemos de exigir que p(r) = r(r 1) + ar + b = 0 (ecuación indicial). si p(r) tiene dos raíces reales distintas r 1 r 2, entonces y 1 (x) = x r 1 e y 2 (x) = x r 2 son soluciones linealmente independientes. Si p(r) tiene una raíz doble r = r 1, las soluciones que se obtiene son de la forma y 1 (x) = x r 1 y 2 (x) = x r 1 ln x. e si p(r) tiene raíces complejas r 1 = α + iβ y r 2 = α iβ, entonces y 1 (x) = x α cos(β ln x) e y 2 (x) = x α sen(β ln x) son soluciones linealmente independientes. En caso de ser x < 0 buscamos soluciones de la forma y(x) = ( x) r. Resumiendo, se puede enunciar la siguiente proposición: 10

11 Proposición 1 La ecuación de Euler de segundo orden x 2 y + axy + by = 0, donde a y b son constantes reales, admite la siguiente familia de soluciones fundamentales en cualquier intervalo que no contenga a x = 0; 1. r 1 r 2 con r 1, r 2 R: y 1 (x) = x r 1 ; y 2 (x) = x r r 1 = r 2 : y 1 (x) = x r 1 ; y 2 (x) = x r 1 ln x. 3. r 1 = α + iβ y r 2 = α iβ: y 1 (x) = x α cos(β ln x ); y 2 (x) = x α sen(β ln x ). Demostración: En realidad, la justificación es muy sencilla si se tiene en cuenta que aplicando el cambio de variable x = e t en la ecuación de Euler obtenemos la ecuación de coeficientes constantes y +(a 1)y +by = 0. Lo visto se generaliza a la ecuación de Euler de orden n La ecuación indicial es: x n y (n) (x) + a 1 x n 1 y (n 1) (x) a n 1 xy (x) + a n y(x) = 0. p(r) = r(r 1)...(r n + 1) + a 1 r(r 1)...(r n + 2) a n 1 r + a n = 0. Por tanto, un sistema fundamental de soluciones viene dado por x r 1, x r 1 ln x, x r 1 ln 2 x,... x r 1 ln m 1 1 x x r 2, x r 2 ln x, x r 2 ln 2 x,... x r 2 ln m2 1 x x r s, x r s ln x, x r s ln 2 x,... x r s ln ms 1 x donde r 1, r 2,..., r s son las raíces, con órdenes de multiplicidad m 1, m 2,..., m s respectivamente, de la ecuación indicial. Ejercicios: x 2 y + 3xy 8y = 0. Solución: y(x) = C 1 x 4 + C 2 x 2. x 2 y + 3xy + 2y = 0. Solución: y(x) = x 1 [C 1 cos(ln x ) + C 2 sen(ln x )]. x 2 y 5xy + 9y = 0. Solución: y(x) = x 3 [C 1 + C 2 ln x ]. x 3 y + 2x 2 y xy + y = 0 (x > 0). Solución: y(x) = C 1 x + C 2 x ln x + C 3 x 1. 11

12 2.2 Caso general de ecuación con puntos singulares regulares Dada la ecuación y (x) + P (x)y (x) + Q(x)y(x) = 0, (2.5) que posee un punto singular regular en x = x 0, tratamos de buscar soluciones de la forma y(x) = a n (x x 0 ) n+r = (x x 0 ) r a n (x x 0 ) n (r R). Si x = x 0 es un punto singular regular, tenemos asegurada la existencia de al menos una solución con tal expresión que convergerá al menos en x 0 < x < x 0 + R. Por comodidad supondremos que el punto singular regular está en x 0 = 0 (en caso contrario haremos X = x x 0 ). Esto quiere decir que xp (x) y x 2 Q(x) son analíticas en x = 0 xp (x) = p n x n P (x) = p n x n 1 x 2 Q(x) = q n x n Q(x) = q n x n 2. Hemos de averiguar la condición que debe verificar r para que y(x) = a n x n+r sea solución de la ecuación (2.5). y (x) = (n + r)a n x n+r 1 ; y (x) = (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Sustituyendo en la ecuación: 0 = y + P (x)y + Q(x)y = (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2 + ( ) ( ) ( + p n x n 1 ) ( (n + r)a n x n+r 1 ) + q n x n 2 a n x n+r = = [r(r 1)a 0 + p 0 ra 0 + q 0 a 0 ]x r 2 + [(r + 1)ra 1 + p 0 (r + 1)a 1 + p 1 ra 0 + q 0 a 1 + q 1 a 0 ]x r Del primer sumando obtenemos la relación [r(r 1)a 0 + p 0 ra 0 + q 0 a 0 ] = 0. Si tomamos a 0 0, se tendrá r(r 1) + p 0 r + q 0 = 0. Definición 2.2 Si x 0 es un punto singular regular de la ecuación y + P (x)y + Q(x)y = 0, entonces se define la ecuación indicial de este punto por r(r 1) + p 0 r + q 0 = 0, donde p 0 y q 0 son los primeros términos del desarrollo en serie de (x x 0 )P (x) y (x x 0 ) 2 Q(x) respectivamente, y se pueden calcular como p 0 = lim x x 0 (x x 0 )P (x) q 0 = lim x x 0 (x x 0 ) 2 Q(x). Las raíces de la ecuación indicial se llaman raíces indiciales o exponentes de la singularidad x 0. 12

13 Después de obtener estas raíces indiciales procedemos, para calcular los coeficientes a n, de igual forma que con los puntos ordinarios. No obstante podemos encontrarnos problemas cuando las raíces sean iguales o cuando su diferencia sea un número entero. Esto nos lleva a enunciar el siguiente teorema conocido como teorema de Fröbenius. Teorema 2.1 Sea x 0 un punto singular regular de la ecuación y + P (x)y + Q(x)y = 0 y sean r 1 y r 2 las raíces de la ecuación indicial asociada, con r 1 r Si r 1 r 2 no es un número entero, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la forma y 1 (x) = a n (x x 0 ) n+r 1 (a 0 0) y 2 (x) = b n (x x 0 ) n+r 2 (b 0 0). 2. Si r 1 = r 2, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la forma y 1 (x) = a n (x x 0 ) n+r 1 (a 0 0) y 2 (x) = y 1 (x) ln x x 0 + b n (x x 0 ) n+r Si r 1 r 2 es un número entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la forma y 1 (x) = a n (x x 0 ) n+r 1 (a 0 0) y 2 (x) = Cy 1 (x) ln x x 0 + b n (x x 0 ) n+r 2 (b 0 0), donde C es constante, y puede valer cero. Ejemplos: (x + 2)x 2 y xy + (1 + x)y = 0. x = 0 es un punto singular regular. r 1 = 1 y r 2 = 1 2 son las raíces indiciales con r 1 r 2 = 1 2. y 1 (x) = y 2 (x) = Solución general: y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x). a n x n+1 = x 1 3 x x x x (a 0 = 1) b n x n+ 1 2 = x x x x (b0 = 1). 13

14 x 2 y xy + (1 x)y = 0. x = 0 es un punto singular regular. r 1 = 1 raíz doble de la ecuación indicial. y 1 (x) = a n x n+1 = y 2 (x) = y 1 (x) ln x + 1 (n!) 2 xn+1 (a 0 = 1) Solución general: y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x). b n x n+1 = y 1 (x) ln x x2 1 8 x x4... (b 1 = 1 2 ). xy + 4y xy = 0. x = 0 punto singular regular. r 1 = 0 y r 2 = 3 raíces indiciales, con r 1 r 2 = 3 N. y 1 (x) = a n x n+0 = 1 + y 2 (x) = Cy 1 (x) ln x + Solución general: y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x). 1 2 n n![5 7 (2n + 3)] x2n (a 0 = 1) b n x n 3 = x x x x (b 0 = 1, b 3 = 0, C = 0). 2.3 La ecuación de Laguerre. Polinomios de Laguerre La ecuación de Laguerre es: xy (x) + (1 x)y (x) + λy(x) = 0 (λ R). x = 0 es un punto singular regular, cuya ecuación indicial es r(r 1) + p 0 r + q 0 = 0, donde p 0 = lim x 1 x = 1 ; q 0 = lim x 2 λ x 0 x x 0 x = 0. r(r 1) + r = 0 r 2 = 0 r 1 = r 2 = 0 y 1 (x) = a n x n, y 2 (x) = y 1 (x) ln x + b n x n. Calculemos y 1 (x) = a n x n ; y 1(x) = na n x n 1, y 1(x) = n(n 1)a n x n 2. Sustituyendo en la n=2 ecuación: n(n 1)a n x n 1 + na n x n 1 na n x n + λa n x n = 0. n=2 14

15 Al igualar coeficientes obtenemos: x 0 : a 1 + λa 0 = 0 a 1 = λa 0 x 1 λ(λ 1) : 2.1a 2 + 2a 2 a 1 + λa 1 = 0 a 2 = a 0 4 x 2 λ(λ 1)(λ 2) : 3.2a 3 + 3a 3 2a 2 + λa 2 = 0 a 3 = a x k k λ(λ 1)...(λ k) : (k + 1)ka k+1 + (k + 1)a k+1 ka k + λa k = 0 a k+1 = ( 1) [(k + 1)!] 2 a 0. Si tomamos a 0 = 1: y 1 (x) = 1 + n λ(λ 1)...(λ n + 1) ( 1) (n!) 2 x n. No calcularemos y 2 (x), pero hacemos notar que existen soluciones polinómicas para la ecuación de Laguerre. Si tomamos λ = n, n = 0, 1, 2, 3, n = 0 l 0 (x) = 1 2. n = 1 l 1 (x) = 1 x 3. n = 2 l 2 (x) = 1 2x x2 4. n = 3 l 3 (x) = 1 3x x2 1 6 x3. la fórmula Llamamos polinomios de Laguerre a unos múltiplos escalares de los l n (x), que vienen dados por Propiedades: L n (x) = e x dn dx n ( x n e x), L 0 (x) = 1, L 1 (x) = 1 x, L 2 (x) = x 2 4x + 2. e x L m (x)l n (x)dx = 0 0 e x [L n (x)] 2 dx = n!. 0 (n m). L n+1 (x) = (2n + 1 x)l n (x) n 2 L n 1 (x). 15

16 2.4 Ecuación de Bessel. Funciones de Bessel La ecuación de Bessel de orden ν viene dada por x 2 y (x) + xy (x) + (x 2 ν 2 )y(x) = 0 (ν 0). x = 0 es un punto singular regular cuya ecuación indicial será p 0 = lim x 0 x x x 2 = 1 Hallemos la solución asociada a r 1 = ν: q 0 = lim x 0 x 2 x2 ν 2 x 2 = ν 2 r(r 1) + p 0 r + q 0 = 0 r 2 ν 2 = 0 r 1 = ν, r 2 = ν. y 1 (x) = a n x n+ν, y 1(x) = (n + ν)a n x n+ν 1, y 1(x) = (n + ν)(n + ν 1)a n x n+ν 2. Sustituimos: (n + ν)(n + ν 1)a n x n+ν + (n + ν)a n x n+ν + a n x n+ν+2 ν 2 a n x n+ν = 0, y al igualar coeficientes llegamos a: x ν : ν(ν 1)a 0 + νa 0 ν 2 a 0 = 0 0 = 0 x ν+1 : (1 + ν)νa 1 + (1 + ν)a 1 ν 2 a 1 = 0 a 1 = 0 x ν+2 : (ν + 2)(ν + 1)a 2 + (ν + 2)a 2 + a 0 ν 2 1 a 2 = 0 a 2 = 2(2 + 2ν) a 0 x ν+3 : (ν + 3)(ν + 2)a 3 + (ν + 3)a 3 + a 1 ν 2 1 a 3 = 0 a 3 = 3(3 + 2ν) a 1 = 0... x ν+k : (ν + k)(ν + k 1)a k + (ν + k)a k + a k 2 ν 2 1 a k = 0 a k = k(k + 2ν) a k 2. Haciendo uso de esta última expresión concluimos que a 2n = ( 1) n a 0 2 2n n!(1+ν)(2+ν)...(n+ν), a 2n+1 = 0. Nota: para todo x R se define la función gamma como t x 1 e t dt (x > 0) 0 Γ(x) = lim n n!n x 1 x(x + 1)...(x + n 1) (x 0). 16

17 Una propiedad básica de esta función es que Γ(x+1) = xγ(x). En particular, si x = n, Γ(n) = (n 1)!. Por otro lado ocurre que Γ( n) ± para n = 0, 1, 2, 3,... Si en la expresión de los coeficientes a 2n tomamos a 0 = a 2n = y la solución buscada queda como 1 2 ν Γ(1 + ν), obtenemos ( 1) n 2 2n+ν n!(1 + ν)(2 + ν)...(n + ν)γ(1 + ν) = ( 1) n 2 2n+ν n!γ(n + ν + 1), y 1 (x) = J ν (x) = ( 1) n ( ) x 2n+ν. n!γ(n + ν + 1) 2 La función J ν (x) se denomina función de Bessel de primera especie y orden ν. Para r 2 = ν obtenemos, con un proceso análogo, la función ( 1) n ( ) x 2n ν y 2 (x) = J ν (x) =, n!γ(n ν + 1) 2 donde en caso de que ν N, asumimos que el sumatorio empezaría en n = ν. 1 Γ(n ν + 1) = 0 para n = 0, 1, 2, 3,..., ν 1, por lo que Ahora hay que estudiar el comportamiento de estas funciones según el valor de ν (aplicar el teorema de Fröbenius y alguna otra consideración). 1. ν > 0, r 1 r 2 = 2ν (R N). J ν (x) y J ν (x) son funciones linealmente independientes. La solución general de la ecuación de Bessel será y(x) = C 1 J ν (x) + C 2 J ν (x) (C 1, C 2 R). 2. ν > 0, ν (R N), r 1 r 2 = 2ν N. La aplicación del teorema de Fröbenius nos llevaría a la búsqueda de una segunda solución del tipo y 2 (x) = CJ ν (x) ln x + b n x n ν, pero ocurre que en este caso J ν (x) sigue siendo linealmente independiente con J ν (x). La solución general de la ecuación de Bessel será y(x) = C 1 J ν (x) + C 2 J ν (x) (C 1, C 2 R). Por tanto si ν (R N), J ν (x) y J ν (x) constituyen un sistema fundamental de soluciones para la ecuación de Bessel. En caso de que ν = n N ( 1) k ( ) x 2k n J n (x) =, k!γ(k n + 1) 2 k=n 17

18 y haciendo el cambio m = k n en el sumatorio, tenemos J n (x) = m=0 ( 1) m+n ( ) x 2m+n = ( 1) n ( 1) m ( ) x 2m+n = ( 1) n J n (x), (m + n)!γ(m + 1) 2 m!γ(m + n + 1) 2 m=0 con lo que J n (x) y J n (x) son linealmente dependientes. En este caso habrá de buscarse una segunda solución linealmente independiente con J n (x) o con J n (x). Para todo ν (R N) se puede definir una nueva solución como Y ν (x) = cos(νπ)j ν(x) J ν (x). sen(νπ) La función Y ν (x) se conoce como función de Bessel de segunda especie y orden ν o función de Neumannn, y es linealmente independiente con J ν (x). Esta definición de la función Y ν (x) falla en el caso de que ν = n N, ya que sen(nπ) = 0. Sin embargo, como cos(nπ)j n (x) J n (x) = 0 para todo n N, ocurre que lim Y ν (x) = 0, y usando la ν n 0 regla de L Hopital se puede comprobar que dicho límite existe, por lo que definimos Y n (x) = lim ν n Y ν (x) (ν (R N)) (n N). Los resultados expuestos nos permiten resumir la obtención de la solución general de la ecuación de Bessel tal y como sigue: J ν (x) = Y ν (x) = ( 1) n ( ) x 2n+ν n!γ(n + ν + 1) 2 cos(νπ)j ν (x) J ν (x) sen(νπ) cos(µπ)j µ (x) J µ (x) lim µ n sen(µπ) (ν (R N)) (ν = n N, µ (R N)). La solución general será y(x) = C 1 J ν (x) + C 2 Y ν (x). Propiedades: J ν (0) = 0 (ν > 0) J ν+1 (x) = 2ν x J ν(x) J ν 1 (x) J ν+1 (x) = J ν 1 (x) 2J ν(x) d dx [xν J ν (x)] = x ν J ν 1 (x) 18

19 d dx [x ν J ν (x)] = x ν J ν+1 (x) 2 J 1 (x) = sen x. 2 xπ 2.5 La ecuación Hipergeométrica de Gauss. Función hipergeométrica Puntos singulares en el infinito En ocasiones puede interesarnos estudiar las soluciones de la ecuación a 0 (x)y (x) + a 1 (x)y (x) + a 2 (x)y(x) = 0 (2.6) para valores grandes de x. Una técnica habitual para ello consiste en hacer el cambio de variable x = 1 t y estudiar las soluciones y(t) en t = 0. Haciendo cálculos y (x) = t 2 y (t), y (x) = t 4 y (t) + 2t 3 y (t) y llevado esto a la ecuación (2.6), obtenemos t 4 a 0 ( 1 t )y (t) + [2t 3 a 0 ( 1 t ) t2 a 1 ( 1 t )]y (t) + a 2 ( 1 )y(t) = 0, (2.7) t t 4 A 0 (t)y (t) + [2t 3 A 0 (t) t 2 A 1 (t)]y (t) + A 2 (t)y(t) = 0. (2.8) Si y = f(x) es solución de (2.6), y = f( 1 ) es solución de (2.8). Diremos que el infinito es un punto t singular regular de (2.6) si el origen es un punto singular regular de (2.8). La ecuación hipergeométrica La ecuación hipergeométrica es: siendo α, β y γ constantes reales. (x x 2 )y (x) + [γ (α + β + 1)x]y (x) αβy(x) = 0, (2.9) Esta ecuación posee tres puntos singulares x = 0, x = 1 y x =. Es fácil comprobar que x = 0 y x = 1 son puntos singulares regulares. Nosotros comprobaremos que x = también es regular. Haciendo el cambio x = 1, la ecuación (2.9) se transforma en t t 2 (t 1)y (t) + [α + β 1 + (2 γ)t]ty (t) αβy(t) = 0, en la que se puede comprobar que t = 0 es un punto singular regular, lo que implica que x = es un punto singular regular de la ecuación (2.9). Estudiemos las soluciones de la ecuación (2.9). 19

20 x = 0, γ (α + β + 1)x p 0 = lim x x 0 x x 2 = γ q 0 = lim x 2 αβ x 0 x x 2 = 0 la ecuación indicial será r 2 r + γr = 0 cuyas raíces son r 1 = 0 y r 2 = 1 γ. Para r 1 = 0 obtenemos la solución y 1 (x) = donde (λ) k = λ(λ + 1)...(λ + k 1) = (α) n (β) n n!(γ) n x n = 2 F 1 (α, β; γ; x) Γ(λ + k) Γ(λ) y γ 0, 1, 2, 3,... La función 2 F 1 se denomina función hipergeométrica de Gauss. Si r 1 r 2 = γ 1 no es un número entero, lo que es equivalente a que γ no sea entero, entonces la segunda solución tendría la forma y 2 (x) = x 1 γ y = x 1 γ Y. Obteniéndose la ecuación b n x n, pero es más comodo realizar el cambio (x x 2 )Y + [2 γ (α + β 2γ + 3)x]Y (α γ + 1)(β γ + 1)Y = 0 siendo la solución Y (x) = 2 F 1 (a, b; c; x), donde c = 2 γ a + b + 1 = α + β 2γ + 3 ab = (α γ + 1)(β γ + 1) Por tanto, La solución general será: c = 2 γ a = α γ + 1 b = β γ + 1. y 2 (x) = x 1 γ 2F 1 (α γ + 1, β γ + 1; 2 γ; x). y(x) = C 1 2 F 1 (α, β; γ; x) + C 2 x 1 γ 2F 1 (α γ + 1, β γ + 1; 2 γ; x) ( x < 1). x = 1, realizamos el cambio x = 1 t y estudiamos en t = 0 (1 t)ty (t) + [α + β γ + 1 (α + β + 1)t]y (t) αβy(t) = 0 y 1 (t) = 2 F 1 (a, b; c; t), y 2 (t) = t 1 c 2F 1 (a c + 1, b c + 1; 2 c; t). donde Por tanto, finalmente: c = α + β γ + 1 a + b + 1 = α + β + 1 ab = αβ c = α + β γ + 1 a = α b = β. y 1 (x) = 2 F 1 (α, β; α+β γ+1; 1 x), y 2 (x) = (1 x) γ α β 2F 1 (γ β, γ α; γ α β+1; 1 x). 20