1 Números reales. Funciones y continuidad.

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1 1 Números reales. Funciones y continuidad. En este tema nos centraremos en el estudio de la continuidad de funciones reales, es decir, funciones de variable real y valor real. Por ello es esencial en primer lugar conocer con detalle las propiedades de los números reales. Posteriormente estudiaremos los conceptos de función, límite y continuidad y analizaremos las propiedades de las funciones continuas. 1.1 NÚMEROS REALES Podríamos decir que el Análisis Matemático está basado en el concepto de número real, al cual se ha llegado después de siglos de estudio a través de distintas clases de números: naturales, enteros, racionales e irracionales. Nosotros, sin embargo, tomaremos como punto de partida la denición axiomática de los números reales a partir de las propiedades básicas que caracterizan estos números, para después deducir otras propiedades conocidas y denir las otras clases de números Números reales El conjunto de los números reales se denota por R. y está dotado de dos operaciones: La suma se representa por a + b con a, b R. El producto se representa por a b (o simplemente ab) con a, b R. Estas operaciones verican unas series de propiedades que llamamos axiomas de los números reales y que clasicaremos en tres grupos: de cuerpo, de orden y de completitud. Axiomas de cuerpo: Dados a, b, c R (1) Propiedad asociativa (suma/producto): a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c (2) Propiedad conmutativa (suma/producto): a + b = b + a a b = b a Departamento de Análisis Matemático 1 Asignatura: Análisis Matemático

2 (3) Propiedad distributiva: a (b + c) = (a b) + (a c) (4) Existencia de elementos neutros: a R 0 R tal que a + 0 = a a R 1 R tal que a 1 = a (5) Existencia de elementos opuestos o inversos a R a R tal que a + ( a) = 0 a R a 1 R tal que a a 1 = 1 A partir de ahora escribiremos a b en lugar de a + ( b) y a/b en lugar de a b 1. En R existe una relación de orden que se denota por < (se lee menor que) y que verica las siguientes propiedades. Axiomas de orden: (6) Tricotomía: a, b R o bien a < b, o bien b < a ó a = b. (7) Transitividad: Dados a, b, c R Si a < b y b < c entonces a < c. (8) Compatibilidad de < con +: Dados a, b, c R, Si a < b entonces a + c < b + c (9) Compatibilidad de < con : Dados a, b R y c > 0 Si a < b entonces a c < b c. Se puede denir entonces las relaciones: > Mayor que: a > b si b < a. Menor o igual que: a b si a < b ó a = b. Departamento de Análisis Matemático 2 Asignatura: Análisis Matemático

3 Mayor o igual que: a b si a > b ó a = b. Para poder expresar el décimo axioma, necesitaremos algunos conceptos previos. Dado un conjunto contenido en R, A R, decimos que b R es una cota superior de A si a b a A. Y si A tiene cota superior se dice que A está acotado superiormente. Análogamente decimos que b R es una cota inferior de A si a b a A, y en caso de existir una cota inferior de A se dice que A está acotado inferiormente. Un conjunto acotado inferior y superiormente se dice acotado. Decimos que a R es el supremo de A (y se denotará por sup A) si es la menor de las cotas superiores de A, es decir, si b es una cota superior de A entonces sup A b. Si sup A A, decimos que es máximo, representándolo como max A. Análogamente, decimos que a R es el ínmo de A (y se denotará por inf A) si es la mayor de las cotas inferiores de A, es decir, si b es una cota inferior de A entonces inf A b. Si inf A A, decimos que es mínimo, representándolo como min A. Axioma de completitud o del supremo: (10) Todo conjunto de números reales A R acotado superiormente y no vacío tiene supremo. Estas 10 propiedades le dan a R estructura de cuerpo conmutativo, ordenado y completo, y son los axiomas de R porque a partir de ellas podemos deducir todas las propiedades de R. Propiedades 1.1. Algunas propiedades que se deducen de los axiomas de cuerpo son las siguientes Si a + b = a + c entonces b = c. En particular 0 es único y el elemento simétrico es único. Si a b = a c y a 0 entonces b = c. En particular 1 es único y el elemento inverso es único. a 0 = 0. En particular, 1 0 y ( a) = a y (a 1 ) 1 = a. Departamento de Análisis Matemático 3 Asignatura: Análisis Matemático

4 ( 1) a = a y a ( b) = (a b). Si a b = 0 entonces o bien a = 0 o bien b = 0 (o ambas). Algunas propiedades que se deducen de los axiomas de cuerpo y orden: Si a < b y c < d entonces a + c < b + d Si 0 < a y 0 < b entonces 0 < a + b y 0 < a b La relación a < b es equivalente a b < a Si a < b y c < 0 entonces b c < a c Si a < 0 y b < 0 entonces 0 < a b 0 < 1 Si 0 < a < b entonces 0 < 1 b < 1 a Para cada a R con a 0, se tiene que a 2 = a a > 0. En particular, 1 > 0. Consecuencia del axioma de completitud Todo conjunto de números reales no vacío y acotado inferiormente tiene ínmo. Propiedades 1.2 (Caracterización de supremo e ínmo). Sea A R no vacío y sea α R. (a) α = sup A si y sólo si (b) α = inf A si y sólo si (i) α es cota superior de A. (ii) ε > 0, a A tal que α ε < a. (i) α es cota inferior de A. (ii) ε > 0, a A tal que a < α + ε. 1.2 Los conjuntos N, Z y Q. Hay varios subconjuntos de R que tienen propiedades especiales que no poseen otros. Destacamos los llamados conjuntos inductivos que nos permitirán denir los números naturales, enteros y racionales. Denición 1.3. Un conjunto S R se dice inductivo si Departamento de Análisis Matemático 4 Asignatura: Análisis Matemático

5 (1) 1 S. (2) Si x S, entonces x+1 S. Denición 1.4. Un número real se dice que es natural si pertenece a todos los conjuntos inductivos de R. Es decir, N es la intersección de todos los conjuntos inductivos de R: N = S inductivo S. Observación 1.5. El conjunto N (con la denición anterior) es inductivo. Teorema 1.6 (Principio de Inducción). Si S N es un conjunto inductivo, entonces S = N hola Teorema 1.7 (Principio de Inducción, versión práctica). Consideremos la notación P (n) para denotar que cierta propiedad P es cierta para el número natural n. Entonces para demostrar P (n) para cada n N, basta demostrar P (1). P (k) P (k + 1). Propiedades 1.8. Algunas propiedades de N (consecuencia de los axiomas de R y del Principio de Inducción): Si n N, entonces n 1. Si n N y n 1 entonces n 1 N. Si n, m N entonces n + m N y n m N. Si n, m N y n < m entonces m n N. Si n N, x R y n < x < n + 1 entonces x / N. Si n, m N y n < m entonces n + 1 m. Teorema 1.9. El conjunto N no está acotado superiormente. Teorema 1.10 (Principio de buena ordenación). Todo conjunto no vacío de números naturales tiene un primer elemento. A partir de N podemos denir los conjuntos Z y Q. Departamento de Análisis Matemático 5 Asignatura: Análisis Matemático

6 Denición Se dene el conjunto de números enteros Z como Z := N {0} {x R : x N} = {x R : x N ó x = 0 ó x o N}. Se dene el conjunto de los números racionales como Q := {x R : x = p/q, p Z, q N} = {x R : x = p/q,, q Z, q 0}. Observación Q R pues 2 R \ Q. A los números del conjunto R \ Q se les llama irracionales. Teorema 1.13 (Propiedad Arquimediana de R). Sean x, y R con x > 0. Entonces existe n N tal que y < nx. Corolario Para cada x R con x > 0, existe n N tal que 0 < 1 n < x. Teorema 1.15 (Densidad de Q y R \ Q en R). Entre dos números reales distintos siempre existe un número racional y uno irracional. Representación gráca de R: El conjunto R se representa con una recta, es decir, que en una recta jamos los puntos 0 y 1, y entonces existe una correspondencia uno a uno de R con los puntos de la recta. Figure 1: Recta real Representación decimal en R: Todo número real 0 x < 1 tiene una representación decimal de la forma: x = 0.a 1 a 2 a 3, donde cada a i (i = 1, 2, 3, ) es uno de los números 0, 1, 2,, 8, 9. Si a partir de algún a i, una cifra o un grupo de cifras consecutivas se repite, la representación decimal se llama periódica y corresponde a números racionales; mientras que las no periódicas corresponde a números irracionales. Departamento de Análisis Matemático 6 Asignatura: Análisis Matemático

7 Denición 1.16 (Parte entera). Dado x R, existe un único número p Z tal que p x < p + 1. A tal número p se le llama Parte entera de x y se denotará, indistintamente, por E(x) ó [x] Figure 2: Función Parte Entera Conceptos métricos y topológicos Denición 1.17 (Valor absoluto). El valor absoluto de un número real x se representa por x y se dene como x si x 0 x = x si x < 0. o equivalentemente como x = max{x, x}. Propiedades Propiedades del valor absoluto: Para todo x, y R x 0 y x = 0 x = 0. x x x. x = x. Dado a R +, x < a a < x < a. Departamento de Análisis Matemático 7 Asignatura: Análisis Matemático

8 x y = x y. Si y 0, x y = x y. Desigualdad Triangular: x + y x + y. Desigualdad Trieangular inversa: x y x y. Denición 1.19 (Distancia). Dados x, y R, de dene la distancia entre x e y como el número real d(x, y) = y x. Propiedades Propiedades de la distancia: Para todo x, y, z R d(x, y) 0 y d(x, y) = 0 x = y. d(x, y) = d(y, x). d(x, y) d(x, z) + d(y, z). d(x, y) = d(x + z, y + z). R por tener denida una distancia se dice que es un espacio métrico. Denición 1.21 (Intervalos). Dados x, y R denimos los intervalos acotados: Intervalo cerrado: [x, y] = {a R : x a y}. Intervalo abierto: (x, y) = {a R : x < a < y}. Intervalos semiabiertos o semicerrados: [x, y) = {a R : x a < y}. (x, y] = {a R : x < a y}. Consideramos la recta real ampliada R = R {, + } donde añadimos al conjunto de los números reales dos elementos con la propiedad < x < +, x R. Entonces denimos los intervalos no acotados o semirrectas: [x, + ) = {a R : x a} (x, + ) = {a R : x < a} (, y] = {a R : a y} (, y) = {a R : a < y}. Así tenemos: (, + ) = R, (, 0) = R y (0, + ) = R +. Departamento de Análisis Matemático 8 Asignatura: Análisis Matemático

9 Denición 1.22 (Conceptos topológicos). Dado a R y r R +, denimos la bola abierta de centro a y radio r como B(a, r) = (a r, a + r) = {x R : x a < r} = {x R : d(a, x) < r}. Y la bola cerrada de centro a y radio r es B(a, r) = [a r, a + r] = {x R : x a r} = {x R : d(a, x) r}. Dado un conjunto A R, decimos que a R es un punto interior de A si existe r R + tal que a B(a, r) A. El conjunto de todos los puntos interiores de A se llama interior de A y se denota int(a). Decimos que un conjunto A R es abierto si A = int(a). Y decimos que es cerrado si su complementario A c = R \ A es abierto. Dado un conjunto A R decimos que a R es un punto de acumulación de A si r R + se tiene que B(a, r) (A \ {a}). El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se llama derivado y se denota por A. Y el conjunto A A se llama clausura, cierre o adherencia de A y se denota por A. Un conjunto A R se dice compacto si es cerrado y acotado. Observación Estos conceptos denidos en R se pueden denir de forma análoga en espacios más generales como por ejemplo el espacio producto R 2 = R R que está formado por parejas de puntos (x, y) donde x, y R. Este espacio es el conocido como plano real y que representamos grácamente con dos ejes perpendiculares: eje OX y eje OY. Igualmente podemos considerar cualquier espacio euclídeo R n = R } {{ R que se estudiará en el segundo cuatrimestre. } n veces Propiedades Propiedades de los conceptos topológicos: El conjunto vacío y R son abiertos y cerrados a la vez (los únicos conjuntos con esta propiedad). La unión de conjuntos abiertos es abierto. Departamento de Análisis Matemático 9 Asignatura: Análisis Matemático

10 La intersección nita de conjuntos abiertos es abierto. La unión nita de conjuntos cerrados es cerrado. La intersección de conjuntos cerrados es cerrado. Los intervalos de la forma (x, y), (, y), (x, + ) y las bolas abiertas son conjuntos abiertos. Los intervalos cerrados, bolas cerradas y conjuntos con un número nito de elementos son conjuntos cerrados. Un conjunto A R es cerrado si y sólo si A = A. Un intervalo cerrado [x, y] y cualquier conjunto con un número nito de elementos es un conjunto compacto. Departamento de Análisis Matemático 10 Asignatura: Análisis Matemático