Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

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1 Formlizción de los Números Reles M. en I. Gerrdo Avilés Ross Agosto de 016

2 Tem Formlizción de los Números Reles Objetivo: El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus subconjuntos, pr demostrr lguns proposiciones por medio del método de Inducción Mtemátic y pr resolver inecuciones. Contenido.1 El conjunto de los números nturles Concepto intuitivo de número nturl Definición del conjunto de los números nturles medinte los postuldos de Peno Definición y propieddes: dición, multiplicción y orden en los números nturles. Demostrción por Inducción Mtemátic. El conjunto de los números enteros Definición prtir de los números nturles Definición y propieddes: iguldd, dición, multiplicción y orden en los enteros. Representción de los números enteros en l rect numéric.3 El conjunto de los números rcionles Definición prtir de los números enteros Definición y propieddes: iguldd, dición, multiplicción y orden en los rcionles Expresión deciml de un número rcionl Algoritmo de l división entre enteros Densidd de los números rcionles y representción de éstos en l rect numéric.4 El conjunto de los números reles Existenci de números irrcionles (lgebricos y trscendentes) Definición del conjunto de los números reles Representción de los números reles en l rect numéric Propieddes: dición, multiplicción y orden en los reles. Completitud de los reles Definición y propieddes del vlor bsoluto Resolución de desigulddes e inecuciones FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G )

3 .1 El conjunto de los números nturles.1.1 Definición: Postuldos de Peno El conjunto N de los números nturles es tl que: i) 1 N ii) Pr cd n N existe un único n* N, llmdo el siguiente de n iii) Pr cd n N se tiene que n* 1 iv) Si m, n N y m* = n*, entonces m = n v) Todo subconjunto S de N que teng ls propieddes:. 1 S b. Pr tod k S implic que k* S es el mismo conjunto N Definición y propieddes Adición en N.1. Definición Sen m, n N entonces: i) n + 1 = n* ii) n + m* = (n + m)* L dición, sí definid, stisfce ls siguientes propieddes:.1.3 Teorem Pr todo m, n, p N: i) m + n N Cerrdur ii) m + (n + p) = (m + n) + p Asocitiv iii) m + n = n + m Conmuttiv iv) Si m + p = n + p, entonces m = n Cnceltiv Multiplicción en N.1.4 Definición Sen m, n N entonces: i) n 1 = n ii) n m* = (n m) + n El conjunto de los números nturles L multiplicción, sí definid, stisfce ls propieddes que se resumen continución:.1.5 Teorem Pr todo m, n, p N: i) m n N Cerrdur ii) m (n p) = (m n) p Asocitiv iii) m n = n m Conmuttiv iv) Si m p = n p, entonces m = n Cnceltiv Tomds simultánemente, ls operciones de dición y multiplicción stisfcen l siguiente ley distributiv: FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 3

4 El conjunto de los números nturles.1.6 Teorem Pr todo m, n, p N: m (n + p) = (m n) + (m p) Orden en N.1.7 Definición Ddos dos números nturles n y m, decimos que n es menor que m, lo que representmos medinte n < m, si: x N tl que n + x = m Los números nturles stisfcen l siguiente propiedd, llmd ley de l tricotomí..1.8 Teorem Si m y n son dos números nturles culesquier, entonces se verific un y sólo un de ls siguientes proposiciones: i) n < m ii) n = m iii) m < n.1.9 Teorem Pr todo m, n, p N: i) m < n m + p < n + p ii) m < n mp < np iii) m < n y n < p m < p.1.10 Definición Ddos dos números nturles m y n, decimos que m es myor que n, lo que representmos medinte m > n, si n < m El proceso de un demostrción por inducción mtemátic consiste en los siguientes psos: i) Escribir clrmente l proposición P( n ) cuy vlidez quiere demostrrse, especificndo l vrible de inducción y el conjunto de vlores que puede signrse dich vrible, l vrible contenid en el préntesis de P ( ), denot l vrible de inducción. ii) Si P( n ) es un proposición enuncid pr todos los números nturles, se debe verificr el cumplimiento de l proposición pr el menor vlor de n (esto equivle verificr que el 1 pertenece S, según el quinto postuldo de Peno). iii) Demostrr que si P( k ) es verdder, entonces P( k 1) es verdder (esto equivle demostrr que si k S entonces k 1S de cuerdo con el quinto postuldo de Peno) Cundo ii) y iii) se cumplen, se concluye que ( ) P n es verdder pr todo n en el conjunto de los números nturles. FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 4

5 Ejemplo. Demostrr por el método de inducción mtemátic n n n ; n N i) Escribiendo clrmente l proposición tenemos: ii) Verificmos si n n 1 Pn n ; n N P 1 es verddero 1 11 P1 : Por lo tnto P 1 es verdder El conjunto de los números nturles iii) Suponemos que P( k ) es verdder (hipótesis de inducción) y se tiene que demostrr l vlidez de P( k 1) (tesis del problem) P k Vrible de Inducción k k k...(1) Hipótesis ( k 1) k Pk k ( k 1) () Tesis Al nlizr l expresión () nos dmos cuent de que: Sustituyendo (1) en (): Desrrollndo el ldo izquierdo tenemos: 1 ( 1) ( 1) k k k k k k k k ( k 1) k k 3k ( k 1) k ( k 1) k ( k 1) k ( k 1) k k ( k 1) Término enésimo PROPOSICIÓN P(k) 1 ( 1) k k k k ( k 1)... Q. E. D Conjunto de vlidez FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 5

6 . El conjunto de los números enteros El conjunto de los números enteros Definición prtir de los números nturles. L diferenci de números nturles..1 Definición Se l ecución n + x = m; con m, n N A su solución; es decir, l número x que sumndo n nos d como resultdo m, lo llmremos l diferenci m n. De cuerdo lo nterior, los números que se obtienen medinte l diferenci de dos números nturles les llmremos números enteros y l conjunto que form lo representremos con Z. Esto es:.. Definición Z = {x x = m n; m, n N} Es clro que el subconjunto Z + de Z, definido por: Z + ={x x = m n; m, n N; m > n} Se le conoce como conjunto de los enteros positivos y es precismente el conjunto de los números nturles, por lo que N Z. Definición y propieddes Iguldd en Z..3 Definición Sen = m n, b = p q dos números enteros, con m, n, p, q N. Entonces: Adición en Z = b sí m + q = n + p Como N Z, l dición en Z debe producir los mismos resultdos que l dición en N cundo los enteros que se sumn son positivos, lo que conduce l siguiente definición:..4 Definición Se = m n, b = p q dos números enteros, con m, n, p, q N. El número + b se define como: + b = (m + p) (n + q) Cbe mencionr que l dición en Z stisfce tods ls propieddes estblecids pr l dición en N, sin embrgo, l dición en Z cuent con otrs propieddes dicionles:..4 Teorem Pr todo, b, c Z: i) + b Z cerrdur ii) + (b + c) = ( + b) + c socitividd iii) + b = b + conmuttividd iv) Sí + c = b + c, entonces = b cncelción v) + 0 = elemento idéntico vi) Z tl que + ( ) = 0 elemento inverso A prtir de l dición y de l propiedd vi) del teorem.. se puede definir l sustrcción: FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 6

7 ..5 Definición Sen, b Z, el número b se define como: b = + ( b) Multiplicción en Z El conjunto de los números enteros Similr como se hizo pr l dición, l multiplicción en Z puede definirse como sigue:..6 Definición Sen = m n, b = p q dos números enteros, con m, n, p, q N. El número como b ( m p n q) ( n p m q) L multiplicción, sí definid, stisfce ls propieddes enuncids continución...7 Teorem Pr todo, b, c N i) b Z cerrdur b c b c socitividd ii) iii) b b conmuttividd iv) Sí c b c y c 0, entonces = b cncelción v) 1 elemento idéntico b se define Tomds simultánemente, l dición y l multiplicción stisfcen l siguiente propiedd distributiv..8 Teorem Pr todo, b, c Z b c b c L introducción del cero y los negtivos tre como consecuenci l prición de lguns propieddes dicionles pr l multiplicción en Z:..9 Teorem Pr todo, b Z vi) 0 0 vii) ( ) ( b) ( b) primer regl de los signos viii) ( ) ( b) b segund regl de los signos Orden en Z Pr los números enteros podemos tmbién definir l relción menor que, como un generlizción de l que hemos definido pr los nturles..10 Definición Se, b Z: i) < b si n N tl que + n = b ii) > b si b < FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 7

8 El conjunto de los números enteros Los números enteros tmbién stisfcen l ley de l tricotomí enuncid pr los números nturles y l relción menor que tiene en Z ls siguientes propieddes...11 Teorem Pr todo, b, c Z i) < b + c < b + c ii) < b y c > 0 c < bc < b y c < 0 c > bc iii) < b y b < c < c Representción de los números enteros en l rect numéric. Como hor l rect se extiende en mbos sentidos no tiene un punto inicil, como sucede pr los números nturles, por lo que se consider como punto de referenci el punto que represent l cero. Los números que se encuentrn representdos l derech de dicho punto se dice que son positivos y los que están l izquierd negtivos...1 Definición Se Z es positivo si > 0 es negtivo si < 0 En prticulr el cero no es positivo ni negtivo. FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 8

9 El conjunto de los números rcionles.3 El conjunto de los números rcionles El cociente de números enteros.3.1 Definición Se l ecución: bx = ; con, b Z A su solución, le llmremos el cociente de entre b y lo representremos con b. A los números que se obtienen como el cociente de dos números enteros, b con b 0 les llmremos números rcionles y l conjunto que formn lo representremos con Q. Esto es:.3. Definición Q = {x x =,, b Z, b 0} b Es clro que el subconjunto de Q definido por {x x =,, b Z, b = 1} es precismente el b conjunto de los números enteros, por lo que Z Q Definición y propieddes L iguldd en Q L form más común de trbjr con los números rcionles es en form de quebrdos. En generl, si x = b es un número rcionl con, b Z y b > 0, y el último fctor común de y b es el número uno, decimos que b es l mínim expresión del rcionl x. De cuerdo con lo nterior, result nturl considerr que dos números rcionles b y c d son igules cundo:.3.3 Definición Sen b, c d dos números rcionles con, b, c, d Z y b, d 0, entonces b = c d si d = bc l cul estblece l iguldd de números rcionles en términos de l iguldd de números enteros. FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 9

10 El conjunto de los números rcionles L dición en Q.3.4 Definición Sen b, c d dos números rcionles, donde, b, c, d Z y b, d 0. El número b + c d se define como b + c d = d bc bd L dición en Q, sí definid, tiene ls propieddes que se enuncin continución:.3.5 Teorem Pr todo x, y, z Q: i) x + y Q cerrdur ii) x + (y + z) = (x + y) + z socitividd iii) x + y = y + x conmuttividd iv) si x + z = y + z, entonces x = y cncelción v) x + 0 = x elemento idéntico vi) x Q tl que x + ( x) = 0 elementos inversos L sustrcción en Q puede definirse hor prtir de l dición y de vi) de l siguiente mner.3.6 Definición Sen b, c d Q, el número b c d se define como b c d = b + c d Como consecuenci de i), l sustrcción es cerrd en Q; esto es x, y Q: x y Q L multiplicción en Q.3.7 Definición Sen b, c d dos números rcionles, donde, b, c, d Z y b, d 0. El número b c d se define como b c d = c bd L multiplicción en Q, sí definid, stisfce ls propieddes que se estblecen en el siguiente teorem: FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 10

11 .3.8 Teorem Pr todo x, y, z Q: i) xy Q cerrdur ii) x(yz) = (xy)z socitividd iii) xy = yx conmuttividd iv) si xz = yz y z 0, entonces x = y cncelción v) x 1 = x elemento idéntico vi) si x 0 x 1 Q tl que x x 1 = 1 elemento inverso El conjunto de los números rcionles Al número x 1 se le denomin el inverso de x pr l multiplicción. Cbe enftizr quí que todo número rcionl, con excepción del cero, tiene un inverso multiplictivo en Q. L división en Q puede definirse hor prtir de l multiplicción y de vi) de l siguiente mner.3.9 Definición Sen b, c d dos números rcionles y c d 0 El número b c d se define como b c d = b d c Como consecuenci de i), l división en Q stisfce l siguiente propiedd x, y Q, y 0: x y Q Por otr prte, puede demostrrse que los teorems..8 y..9 tmbién son válidos pr los números rcionles; esto es.3.10 Teorem Pr todo x, y, z Q x(y + z) = xy + xz.3.11 Teorem Pr todo x, y Q i) x 0 = 0 ii) ( x)(y) = (xy) iii) ( x)( y) = xy FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 11

12 El conjunto de los números rcionles Orden en Q.3.1 Definición Sen b, c d Q, donde b, d Z+ : i) ii) c si d < bc b d c b d si c d b Como consecuenci de est definición y de l ley de tricotomí en Z, l relción menor que en Q stisfce tmbién dich ley, sí como ls siguientes propieddes Teorem Pr todo x, y, z Q: i) x < y x + z < y + z ii) x < y y z > 0 xz < yz x < y y z > 0 xz > yz iii) x < y y y < z x < z Similr l mner como se definió en Z, diremos que un número x Q es positivo si x > 0 y es negtivo si x < 0. Expresión deciml de un número rcionl Todo número rcionl tiene un expresión deciml, por ejemplo , , Se dice que un expresión deciml es periódic cundo un dígito, o un grupo de dígitos, se repiten indefinidmente prtir de un cierto lugr l derech del punto deciml. En generl, respecto l expresión deciml de un número rcionl podemos estblecer el siguiente enuncido Teorem Todo número rcionl tiene un expresión deciml periódic Teorem Tod expresión deciml periódic represent un número rcionl. Consideremos l expresión deciml Buscmos dos números enteros, b tles que b Como tenemos dos dígitos ntes de presentrse el período por primer vez, multiplicmos por 10 pr obtener: FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 1

13 b (i) El conjunto de los números rcionles En vist de que el período const de dos dígitos, multiplicmos l expresión (i) por 10 pr obtener: b (ii) (10 )(10 ) Puesto que l prte deciml de ests dos últims expresiones en l mism, restmos (i) de (ii) pr obtener un número entero; esto es: b b b b por lo que b Algoritmo de l división en los enteros.3.16 Teorem (Algoritmo de l división pr números enteros) Ddos dos números enteros y b, con b > 0, existen dos enteros únicos q y r, con 0 y < b, tles que = bq + r Los números, b, q y r Z reciben el nombre de dividendo, divisor, cociente y residuo respectivmente. L relción = bq + r, que está plnted en términos de números enteros exclusivmente, puede ser enuncid en Q como: r q b b expresión que nos recuerd l form como llevmos cbo el proceso de dividir en ritmétic; esto es, obteniendo el cociente y un residuo. Consideremos un número rcionl positivo, con, b > 0: b 1. Por el lgoritmo de l división pr enteros, existen q0, r0 Z tles que = bq0 + r0, donde 0 r0 < b r0 entonces q 0 b b. Ahor, como r0 Z, tenemos que 10r0 Z y existen q1, r1 Z tles que 10r0 = bq1 + r1, donde 0 r1 < b FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 13

14 El conjunto de los números rcionles por lo que r0 q1 r1 b b q1 r1 entonces q 0 b b 3. Ahor, como r1 Z, tenemos que 10r1 Z y existen q, r Z tles que 10r1 = bq + r, donde 0 r < b 1 por lo que r q r 10 b b q1 q r entonces q 0 b b 4. Ahor, como r Z, tenemos que 10r Z y existen q3, r3 Z tles que 10r = bq3 + r3, donde 0 r3 < b r q3 r 3 por lo que b b q1 q q 3 r3 entonces q b b En consecuenci, l expresión deciml de b será q q q q b El proceso puede continurse indefinidmente; sin embrgo, como los residuos r0, r1, r, r3, son números enteros tles que 0 r1 < b, lo más, podrán existir b residuos diferentes. Cundo lguno de los residuos obtenidos se present por segund vez, se inici el segundo ciclo del período, el cul se repite indefinidmente. Si es negtivo, entonces escribimos, donde b b b expresión deciml periódic. Densidd de los números rcionles b es positivo y por tnto tiene un Los números rcionles poseen un propiedd conocid como densidd, según l cul entre dos números rcionles diferentes siempre hy otro número rcionl, como lo estblece el siguiente teorem Teorem Pr todo x, y Q, con x < y, z Q tl que: x < z < y Cbe hcer notr que los números nturles y los números enteros no poseen l propiedd de densidd. FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 14

15 .4 El conjunto de los números reles Existenci de los números irrcionles (lgebricos y trscendentes) El conjunto de los números reles Los números rcionles tienen representción en l rect numéric, y en virtud de l densidd de Q podrí pensrse que estos son suficientes pr llenr l rect; es decir, que todos los puntos de l rect correspondn lgún número rcionl, lo cul es flso. Desde l ntigüedd los geómetrs griegos se dieron cuent de que no todos los puntos de l rect corresponden números rcionles. Existen muchos números que tienen representción en l rect numéric y no son rcionles. A este tipo de números se les conoce como números irrcionles, los cules no tienen expresión deciml periódic, crcterístic que los distingue de los números rcionles. Los números irrcionles pueden ser de dos tipos; los que son solución de lgun ecución lgebric con coeficientes enteros (como ) los que se les llm irrcionles lgebricos; y los que no son solución de un ecución de tl tipo, los que se les llm irrcionles trscendentes. Como ejemplo de estos últimos tenemos los números π y e de relevnte importnci en ls mtemátics. Definición del conjunto de los números reles Al conjunto que contiene tnto los números rcionles como los números irrcionles se le conoce como el conjunto de los números reles y se le represent con R. Al conjunto de los números irrcionles se le represent comúnmente con Q, por lo que podemos escribir y se cumple demás que: R = Q Q = Q Q N Z Q R Propieddes: dición, multiplicción y orden en los reles.4.3 Teorem Pr todo x, y, z R: i) x + y R xy R cerrdur ii) x + (y + z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z socitividd iii) x + y = y + x xy = yx conmuttividd iv) x + 0 = x x 1 = x elemento idéntico v) x R tl que x + ( x) = 0 x 1 R tl que x x 1 = 1, si x 0 elementos inversos vi) x(y + z) = xy + xz distributividd FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 15

16 .4.4 Teorem Pr todo x, y R: i) x 0 = 0 ii) ( x)(y) = (xy) iii) ( x)( y) = xy El conjunto de los números reles A prtir del teorem.4.3 pueden tmbién definirse ls operciones de sustrcción y división en R como sigue:.4.5 Definición Pr todo x, y R: i) El número x y se define como: x y = x + ( y) ii) Si y 0 el número x y se define como x y = xy 1 Orden en R.4.6 Teorem Si x, y R entonces se verific un y sólo un de ls siguientes proposiciones: i) x < y ii) x = y iii) y < x.4.7 Teorem Pr todo x, y, z R: i) x < y x + z < y + z ii) x < y y z > 0 xz < yz x < y y z < 0 xz > yz iii) x < y y y < z x < z Tmbién se definen en R l relción myor que y los términos positivo y negtivo, de l mism mner que se definen en Q, es decir: i) x > y si y < x ii) x es positivo si x > 0 iii) x es negtivo si x < 0 Completitud de los reles Los teorems.4.3 l.4.7 nos muestrn que los sistems de los números reles tienen ls misms propieddes lgebrics y de orden que en el sistem de los números rcionles; sin embrgo, sbemos que el sistem de los números reles es más mplio y más versátil, puesto que en R podemos resolver ecuciones pr ls cules no existe solución en Q..4.8 Definición Se S un subconjunto de R. Un elemento t R es un cot superior de S si: x t, x S Entonces, si t es un cot superior de S, culquier otro número rel myor que t será tmbién un cot superior de S. Si un conjunto tiene cot superior se dice que está cotdo superiormente. FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 16

17 .4.9 Definición El conjunto de los números reles Se S un subconjunto de R. Un elemento m R se llm elemento máximo de S si: i) x m, x S; y ii) m S lo que denotmos medinte mx S = m Es decir, un elemento es máximo de un conjunto S si es un cot superior de S y demás pertenece S. A diferenci de ls cots superiores, el elemento máximo de un conjunto, si existe, es único. El elemento máximo de un conjunto es l menor de sus cots superiores. Es posible, sin embrgo, hllr conjuntos cotdos superiormente pr los cules no existe elemento máximo. Pr tles conjuntos se tiene un concepto que sustituye l de máximo en el sentido de l menor de ls cots superiores. Tl concepto es el de supremo, que se define continución Definición Se S un subconjunto de R. Un elemento p R se llm supremo de S si: iii) iv) x p, x S; y q R y x q; x S p q lo que denominmos medinte sup S = p Es decir; un elemento p es supremo de un conjunto S si p es un cot superior de S y ningún número menor que p es cot superior de S. El supremo de un conjunto, si existe, es único. Cbe resltr quí que l únic diferenci entre los conceptos de elemento máximo y supremo de un conjunto S, estrib es que el máximo debe ser un elemento del conjunto S, mientrs que el supremo puede ser un elemento de S o no serlo Teorem (Completitud de R) Todo subconjunto no vcío de R que está cotdo superiormente tiene un supremo que pertenece R. Este teorem no grntiz l existenci de un mínim cot superior pr culquier conjunto de números reles cotdo superiormente, y estblece demás que l mínim cot es un número rel, es decir, que pertenece R. Definición y propieddes del vlor bsoluto.4.1 Definición Se x un número rel. El vlor bsoluto de x, que representremos con x, se define como: x, sí x 0 x x, sí x 0 En generl, el vlor bsoluto de x R será un número rel no negtivo, es decir, positivo o cero. Ls principles propieddes del vlor bsoluto se enumern en el siguiente teorem: FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 17

18 El conjunto de los números reles.4.13 Teorem Pr todo x, y R i) x 0. Además x = 0 x = 0 ii) xy = x y iii) x y x y A prtir de l definición.4.1 y de l representción de los números reles como puntos de l rect, se observ que mientrs más grnde es x, más lejos del origen se encuentr el punto que represent x. debido esto, l número x se conoce como l distnci de x l centro. De cuerdo con lo nterior, si α es un número rel positivo, se tendrá que un punto x está situdo entre α y α cundo (y solmente cundo) x < α. Est ide puede generlizrse por medio del siguiente teorem Teorem Se α R con α 0; x R se tiene que: x α α x α Este teorem tiene l siguiente interpretción geométric: {x x R, x α} 0 Con yud del vlor bsoluto, l distnci entre dos números reles culesquier x y y pueden definirse como el número rel no negtivo x y. Resolución de desigulddes e inecuciones L relción menor que y sus propieddes y conceptos relciondos, son de grn utilidd pr describir y mnejr intervlos de vlores pr vribles reles. En prticulr, ls propieddes enuncids en el teorem.4.7 nos permiten despejr, cundo es posible, un vrible en un relción de desiguldd. FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES (G ) 18

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