Aplicaciones del cálculo integral vectorial a la física

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1 Aplicacioes del cálculo itegral vectorial a la física ISABEL MARRERO epartameto de Aálisis Matemático Uiversidad de La Lagua Ídice 1. Itroducció 1 2. Itegral doble Motivació: el caso discreto El caso cotiuo Masa Valor medio Cetro de masa y cetroide Mometos de iercia respecto a los ejes y mometo polar de iercia Itegral triple 5 4. Itegrales de líea y superficie 8

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3 APLICACIONES EL CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL A LA FÍSICA 1/9 1. Itroducció Ya hemos visto que las itegrales dobles, triples, de líea y de superficie puede utilizarse para calcular áreas de regioes plaas y de otras superficies, volúmees de sólidos y logitudes de curvas. Co el auxilio de estas itegrales es posible defiir y calcular otros muchos coceptos de especial iterés e física e igeiería, tales como promedios, masas, cetros de masa, mometos de iercia, etc. Si igua pretesió de exhaustividad, el presete tema recoge alguas de estas aplicacioes. e carácter emietemete práctico, su objetivo fudametal o es otro que servir como repaso de las distitas modalidades de itegració estudiadas durate el curso. 2. Itegral doble Co aterioridad hemos utilizado la itegral doble para calcular áreas de regioes plaas y volúmees de sólidos. Expoemos a cotiuació, muy brevemete, la defiició y el cálculo mediate itegrales dobles de masas, cetros de masa, cetroides y mometos de regioes plaas, así como de promedios de fucioes sobre estas regioes Motivació: el caso discreto Sea P el vector que ue el orige co u puto cualquiera P de R 3. Si masas positivas m 1,...,m está localizadas e los putos P 1,...,P, respectivamete, el cetro de gravedad del sistema se defie como el puto determiado por el vector El deomiador, C = m k, se llama masa total del sistema. m k P k. m k Si cada masa m k se traslada segú el vector A a u uevo puto Q k tal que Q k = P k +A (k N, 1 k ), etoces: m k Q k = m k m k (P k + A) = C + A. m k Por tato, el cetro de gravedad tambié experimeta la traslació A. Esto se expresa diciedo que la posició del cetro de gravedad depede de los putos y sus masas, y o de la situació del orige. El cetro de

4 2/9 I. MARRERO gravedad es u puto calculado teóricamete que represeta u ficticio «puto de equilibrio» del sistema. Si las masas está e u plao, e los putos de coordeadas (x k,y k ) (k N, 1 k ), y si el cetro de gravedad tiee coordeadas (x, y), la relació vectorial que defie C puede expresarse co dos ecuacioes escalares: x = m k x k, y = m k m k y k. m k E el umerador del cociete que defie x, m k x k se deomia mometo de la masa m k respecto al eje OY. Si ua masa m igual a la masa total del sistema estuviese situada e el cetro de gravedad, su mometo respecto al eje OY sería igual al mometo del sistema: mx = m k x k. Aálogamete, m k y k es el mometo de la masa m k respecto al eje OX. El mometo respecto al eje OX de ua masa m igual a la del sistema situada e el cetro de gravedad es igual al mometo del sistema respecto de dicho eje: my = m k y k El caso cotiuo Cuado os referimos a u sistema cuya masa total está distribuida e ua cierta regió del plao e lugar de estar situada e u úmero fiito de putos aislados, los coceptos de masa, cetro de gravedad y mometos se defie mediate itegrales e lugar de sumas. Por ejemplo, cosideremos ua lámia que tega la forma de ua regió plaa. Supogamos que la materia está distribuida por toda la lámia co ua desidad (masa/uidad de área) coocida: existe f = f (x,y) 0 defiida e, tal que f (x,y) represeta la masa por uidad de área e el puto (x,y) Masa Si la lámia está costruida co u material homogéeo, la desidad es costate; e tal caso, la masa total de la lámia se defie como el producto de la desidad por el área de la lámia. Cuado la desidad varía de u puto a otro, utilizamos la itegral doble de la desidad como defiició de la masa total: si la fució OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

5 APLICACIONES EL CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL A LA FÍSICA 3/9 desidad f es itegrable e, defiimos la masa total m() por m() = f (x,y) dx dy Valor medio El cociete masa área = m() = f (x,y) dx dy dx dy (dode es el área de ) se llama desidad media de la lámia. E geeral, para cualquier fució f defiida e itegrable e ua regió R 2, el cociete f (x,y) dx dy dx dy se llama promedio o valor medio de f sobre Cetro de masa y cetroide Por aalogía co el caso fiito, defiimos el cetro de gravedad o cetro de masa de la lámia como el puto (x,y) determiado por las fórmulas: x m() = x f (x,y) dx dy, y m() = y f (x,y) dx dy. Las itegrales del segudo miembro so los mometos de la lámia respecto a los ejes OY y OX, respectivamete. Cuado la desidad es costate, f (x,y) = c, obteemos x = x dx dy, y = y dx dy, dode es el área de. E este caso, (x,y) se deomia cetroide de Mometos de iercia respecto a los ejes y mometo polar de iercia Si L es ua recta e el plao de la lámia y δ(x,y) es la distacia de (x,y) a L, el úmero I L = δ 2 (x,y) f (x,y) dx dy

6 4/9 I. MARRERO se llama mometo de iercia de la lámia respecto a L. Si f (x,y) = 1, I L se llama mometo de segudo orde respecto a L. Los mometos de iercia respecto a los ejes OX y OY se desiga I x, I y, respectivamete, y viee dados por las expresioes: I x = y 2 f (x,y) dx dy, I y = x 2 f (x,y) dx dy. La suma de ambas itegrales es el mometo polar de iercia o mometo de iercia respecto al orige, I 0 : I 0 = (x 2 + y 2 ) f (x,y) dx dy. Ejemplo 2.1. Ua lámia delgada de desidad costate c está limitada por dos circuferecias cocétricas de radios a y b y cetro e el orige, siedo 0 < b < a. Calcular el mometo polar de iercia. RESOLUCIÓN. Se tiee que I 0 = c (x 2 + y 2 ) dx dy, dode = { (x,y) R 2 : b 2 x 2 + y 2 a 2}. E polares: 2π a I 0 = c dθ r 3 dr = 2πc r4 0 b 4 a b = πc(a4 b 4 ). 2 Como la masa de la lámia es ecotramos que m = c dx dy = πc(a 2 b 2 ), I 0 = πc(a2 + b 2 )(a 2 b 2 ) 2 = m a2 + b 2. 2 Esto resuelve el ejemplo. Ejemplo 2.2. Calcular el cetroide de la regió plaa determiada por u arco de siusoide. RESOLUCIÓN. Aalíticamete, u arco de siusoide viee dado por la ecuació y = sex (0 x π). OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

7 APLICACIONES EL CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL A LA FÍSICA 5/9 Las coordeadas del cetroide del correspodiete cojuto de ordeadas so: x dx dy y dx dy x =, y =. dx dy dx dy Ahora bie: π dx dy = sex dx = 2, 0 e, itegrado por partes: π sex π x dx dy = x dx dy = xsex dx = π Luego x = π 2 como cabía esperar, por simetría. Aálogamete, π sex y dx dy = dx y dy = 1 π se 2 x dx = 1 π (1 cos2x) dx = π E cosecuecia: y = π 8. Cocluimos que ( π (x,y) = 2, π ) 8 so las coordeadas del cetroide. 3. Itegral triple La itegral triple puede emplearse para calcular volúmees, masas, cetros de gravedad, mometos de iercia, y otros coceptos físicos asociados a sólidos. Como sabemos, si R es u sólido, su volume V viee dado por la itegral triple V = dx dy dz. R

8 6/9 I. MARRERO Si al sólido se le asiga ua desidad f (x,y,z) (masa/uidad de volume) e cada uo de sus putos (x,y,z), su masa M es M = f (x,y,z) dx dy dz, R y su cetro de gravedad o cetro de masa el puto de coordeadas (x,y,z), dode x = 1 x f (x,y,z) dx dy dz M R e y, z se calcula aálogamete. El mometo de iercia I xy respecto al plao OXY se defie por la igualdad I xy = z 2 f (x,y,z) dx dy dz, R co fórmulas parecidas para los mometos I xz e I yz respecto a los plaos OXZ y OY Z. El mometo de iercia I L respecto a ua recta L se defie como I L = δ 2 (x,y,z) f (x,y,z) dx dy dz, R dode δ(x,y,z) represeta la distacia de u puto geérico de R a la recta L. Los mometos de iercia respecto a los ejes coordeados so etoces I x = I xy + I xz, I y = I xy + I yz, I z = I xz + I yz, y el mometo polar de iercia, I 0 = I xy + I xz + I yz. Ejemplo 3.1. Se cosidera el sólido V de desidad costate µ, limitado por la superficie esférica de radio R. Calcular los mometos de iercia: (i) (ii) (iii) Respecto a su cetro. Respecto a u plao que pase por su cetro. Respecto a u diámetro. RESOLUCIÓN. Situamos el orige de coordeadas e el cetro de la esfera. OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

9 APLICACIONES EL CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL A LA FÍSICA 7/9 (i) Llamado V a la parte de V que está e el primer octate, I 0 = µ (x 2 + y 2 + z 2 ) dx dy dz = 8µ V + y 2 + z 2 ) dx dy dz. V (x2 Hacemos u cambio de variables a coordeadas esféricas: π/2 π/2 R I 0 = 8µ dθ seϕ dϕ ρ 4 dρ = πµr5. Como la masa de la esfera es M = 4πµR 3 /3, cocluimos que I 0 = 3 5 MR2. (ii) Razoes de simetría asegura que los mometos de iercia respecto a todos los plaos que pase por el cetro de la esfera so iguales. Por tato: I 0 = I xy + I yz + I xz = 3I xy, de dode I xy = 1 3 I 0 = 4 15 πµr5 = 1 5 MR2. (iii) Nótese que I 0 = 1 2 (I x + I y + I z ). Nuevamete por simetría, los mometos de iercia respecto a todos los diámetros so iguales. Si L es cualquier diámetro, etoces I x = I y = I z = I L, así que I 0 = 3 2 I L. e aquí, I L = 2 3 I 0 = 8 15 πµr5 = 2 5 MR2 resulta ser el mometo pedido.

10 8/9 I. MARRERO 4. Itegrales de líea y superficie Los etes físicos descritos co aterioridad admite ua extesió a curvas y superficies, co ua expresió formal similar cuya explicitació queda al cuidado del lector. Ejemplo 4.1. Hallar las coordeadas del cetro de masa de u arco de circuferecia de radio R y águlo cetral α, supoiedo desidad lieal costate. RESOLUCIÓN. Situamos el arco γ e cuestió e u sistema de referecia cartesiao de maera que su vértice coicida co el orige de coordeadas y su bisectriz co el semieje OX positivo. Ua parametrizació de γ es etoces x = Rcosλ, y = Rseλ, z = 0 ( α 2 λ α ). 2 Por simetría, y = z = 0. Ahora: x = γ α/2 x ds R 2 cosλ dλ α/2 = α/2 ds R dλ γ α/2 = 2R α se α 2. Así pues, ( 2R α se α ) 2,0,0 so las coordeadas que se buscaba. Ejemplo 4.2. Calcular el mometo de iercia de la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4 respecto de uo de sus diámetros. Supógase desidad superficial µ costate. RESOLUCIÓN. Nótese que por simetría basta calcular el mometo de iercia respecto de, digamos, el eje OZ. Se tiee: I z = µ (x 2 + y 2 ) ds, S dode S, la superficie e cuestió, está parametrizada mediate: x(θ,ϕ) = 2cosθ seϕ, y(θ,ϕ) = 2seθ seϕ, z(θ,ϕ) = 2cosϕ (0 θ 2π, 0 ϕ π). OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

11 APLICACIONES EL CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL A LA FÍSICA 9/9 La orma del correspodiete producto vectorial fudametal es 4seϕ. Por tato, 2π π [ cos I z = 16µ dθ se 3 3 ] π ϕ ϕ dϕ = 32µπ cosϕ = µπ. El ejemplo queda resuelto.

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