4 E.M. Curso: NOMBRE: 4º. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Guía N. Unidad de Aprendizaje: Estadísticas

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1 Curso: Colego SSCC Concepcón - Depto. de Matemátcas Undad de Aprendzaje: Estadístcas Capacdades/Destreza/Habldad: Raconamento Matemátco/ Comprensón, Aplcacón/ Valores/ Acttudes: Respeto, Soldardad, Responsabldad / Escuchar con atencón, Trabajo en equpo, Cumplmento 4 E.M. Guía 3 Aprendzajes Esperados: - A partr de datos de una poblacón dentcan muestras y tpos de varables - Calculan estadístcos de una poblacón a partr de los datos dados de ésta, en tablas o datos en sere. -Analzan grácos, calculando meddas de tendenca central (meda, moda y medana) Recursos TICs: Presentacón de la undad a través de POWERPOIT Evaluacón de proceso: Correccón de tareas, nterrogacones, trabajo en clases Tempo: 10 bloques Proesor Responsable: Mguel Fernández R Contendos: Estadístcas 1 OMBRE: 4º 1

2 RESUME GEERAL DE ESTADÍSTICA Es una rama de la matemátca que comprende Métodos y Técncas que se emplean en la recoleccón, ordenamento, resumen, análss, nterpretacón y representacón de conjuntos de datos. La estadístca se dvde en: Estadístca descrptva o deductva: se ocupa de la recoleccón organzacón y presentacón de los datos. Estadístca nductva o nerencal: se ocupa de nterpretar los datos recogdos y obtener conclusones a partr de ellos. Poblacón: Es un conjunto cuyos elementos poseen alguna característca común que se quere estudar. Las poblacones pueden ser ntas o nntas. Muestra: Es un subconjunto de la poblacón, que debe ser representatva de ella y aleatora. Varables Cualtatvas: Son aquellas varables que no se pueden medr numércamente, están relaconadas con característcas. Los valores que toma este tpo de varables representan categorías o cualdades. Las varables cualtatvas pueden ser meddas en escala: Cualtatvas omnal: son aquellas en las cuales las observacones del atrbuto de la varable son clascadas en categorías, y no exste ordenacón. Por ejemplo: estado cvl: casado, dvorcado, vudo, soltero, etc. Cualtatvas Ordnal: son aquellas en las cuales exste una relacón de orden ntutvo, por ejemplo: nvel educaconal (básco, medo, superor), stuacón económca (baja, meda, alta), etc. Varables Cuanttatvas: Son aquellas varables en que cada observacón es resultado de una medcón o un conteo y por lo tanto tene un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, número de personas en una sala, etc. Las varables cuanttatvas pueden ser: Dscretas: Son resultado de un conteo, por lo tanto, toman sólo valores enteros, por ejemplo: número de hjos, número de departamentos en un edco, etc. Contnuas: Son resultado de una medcón, por lo tanto, son susceptbles de tomar cualquer valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etc. 2

3 EJERCICIOS 1. Cuál(es) de los sguentes métodos srve(n) para recoplar normacón? I) Entrevstas. II) Encuestas. III) Censos. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III 2. Cuál de las sguentes armacones representa el uso de una varable cuanttatva dscreta? A) La estatura de los jugadores de un equpo de útbol. B) La carrera más preerda por los estudantes del Preunverstaro. C) La cantdad de habtantes de Isla egra. D) El color de pelo de los nños de un jardín nantl. E) El I.P.C. del mes de marzo del presente año. 3. De las sguentes armacones, es verdadero que A) Una muestra no debe ser representatva de la poblacón. B) El color de pelo es una varable cuanttatva. C) La estadístca no proporcona normacón para analzar. D) El número de computadores en una bbloteca es una varable contnua. E) La dstanca entre el preunverstaro y las casas de los estudantes es una varable contnua. 4. Cuál(es) de las sguentes armacones es (son) verdadera(s)? I) El puntaje obtendo en un ensayo de PSU es una varable cuanttatva. II) El número de pruebas que rndó Juan en el año escolar es una varable dscreta. III) La carrera más demandada por los estudantes es una varable cualtatva. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) I, II y III E) nguna de ellas 5. S en un hosptal se estuda el peso de los recén nacdos, entonces cuál(es) de las armacones sguentes es (son) verdadera(s)? I) La varable es cualtatva y dscreta. II) La varable es cuanttatva. III) La varable es contnua. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III 3

4 6. Cuál(es) de las sguente(s) varables es de tpo cualtatva y se puede medr con escala nomnal? I) Sexo. II) aconaldad. III) Cargo que ocupa en una empresa. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III 7. En un establecmento educaconal a los alumnos del 4º medo se les entrego su norme de personaldad, sendo una de las varables: cumple con sus tareas y oblgacones escolares. La escala de aprecacón utlzada es sempre, generalmente, ocasonalmente y nunca. A qué tpo de varable corresponde esta medcón? A) Cualtatva medda en escala nomnal B) Cuanttatva dscreta C) Cualtatva medda en escala ordnal D) Cuanttatva contnua E) Cuanttatva medda en escala ordnal PRESETACIÓ DE DATOS E TABLAS DE DISTRIBUCIÓ DE FRECUECIAS Dato (o ntervalo) (X): Inormacón (Varable) que se está estudando en la estadístca. Marca de clase (c): Se dene como el promedo de los extremos de un ntervalo. Frecuenca (): úmero de veces que se repte un dato (tambén se le denomna recuenca absoluta). Frecuenca Acumulada (ac): Es la que se obtene sumando ordenadamente las recuencas absolutas, hasta la que ocupa la últma poscón. Frecuenca Relatva (r): Es el cuocente entre la recuenca absoluta de uno de los valores de la varable y el total de datos. Frecuenca Relatva Porcentual (r%): Corresponde a la recuenca relatva expresada en porcentaje. Es decr r% = r 100 Frecuenca Relatva Acumulada (rac): Es la que se obtene sumando ordenadamente la recuenca relatva hasta la que ocupa la últma poscón. 4

5 EJEMPLOS 1. En la tabla adjunta, se observa la cantdad de títulos proesonales obtendos por los alumnos de Geología de la Unversdad UCLA. Cuál(es) de las sguentes armacones es (son) verdadera(s)? I) La cantdad de alumnos ttulados en el año 1980 es superor que los ttulados en el año II) Hasta el año 1985 se ttularon 60 estudantes. III) En los años 1985 y 1990 se ttularon la msma cantdad de alumnos. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III Año Hombres Mujeres En la sguente tabla, se han clascado los automóvles según su color; la recuenca relatva porcentual del color rojo es A) 10% B) 20% C) 30% D) 40% E) 50% Color Frec Verde 5 Grs 8 Rojo 2 Blanco 5 3. En el centro comercal Santo Dablo, se venden daramente 150 pares de zapatos, de los cuales el 20% se cancela con cheque, el 30% con tarjeta de crédto y el resto en eectvo, Cuál(es) de las sguentes armacones es (son) verdadera(s)? I) La recuenca absoluta de la compra en eectvo, corresponde a 75 pares de zapatos. II) La suma de las recuencas de los zapatos cancelados con cheques y eectvo, corresponde a 105 pares de zapatos. III) La recuenca absoluta de pago en cheques corresponde a 55 pares de zapatos. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 5

6 4. El límte neror de un ntervalo es 10 y su marca de clase es 12,5. Entonces, su límte superor es A) 25 B) 22,5 C) 20 D) 15 E) 14,5 5. Se lanza 40 veces un dado y el número 2 sale 8 veces, entonces la recuenca relatva del 2 es A) 1/6 B) 0,2 C) 0,25 D) 0,05 E) 0,5 6. Las notas obtendas por un curso en un examen de matemátca ueron, { }. Al completar la dstrbucón de recuencas de los datos de la tabla adjunta, cuál(es) de las sguentes armacones es (son) verdadera(s)? I) A + B = 22 II) F + E D = 25 III) C es múltplo de 8. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III X Frec Abs. Frec Acum. Frec Rel. % Frec Rel %ac 1 2 A 3 B% 4 D C% 5 6 E 7 F% MEDIDAS DE TEDECIA CETRAL Las meddas de tendenca central, son parámetros que ndcan valores cuyo objetvo es resumr la normacón para un conjunto de datos, es decr, son representantes de una muestra. 1. Meda Artmétca ( x ) Es el cuocente entre la suma de todos los datos y el número de datos. S se tenen n datos; x1, x2, x3,, xn, su meda artmétca es x1 x2... xn x n 6

7 Meda Artmétca para datos organzados en una tabla de recuencas S los datos son; x1, x2, x3,, xn, y las recuencas respectvas son 1, 2, 3, n, entonces la meda artmétca es. x1 1 x xn n x n Meda Artmétca para datos agrupados en ntervalo S las marcas de clase son; c1, c2, c3, cn, y las recuencas de los ntervalos respectvos son 1, 2, 3, n entonces la meda artmétca es c1 1 c cn n x n EJEMPLOS 1. Una mprenta tene tres mecanógraas, las cuales escrben 32, 53, y 68 palabras por mnuto. S cada una de ellas escrbe un msmo texto, entonces la velocdad meda en palabras por mnuto es A) 48 B) 49 C) 50 D) 51 E) Cuál es el promedo de los números prmos menores que 15? A) 7 B) 41/ 6 C) 50/ 7 D) 40/ 6 E) 51/ 8 3. En una empresa de lámparas el sueldo promedo de los obreros es 286 euros. S se sabe que los sueldos promedos de los hombres son de 300 euros y el de las mujeres es de 265 euros. Entonces, el porcentaje de hombres y mujeres, respectvamente es A) 40% 60% B) 45% 55% C) 50% 50% D) 60% 40% E) 70% 30% 4. Consderando los prmeros 10 números compuestos. Cuál(es) de las sguentes armacones es (son) verdadera(s)? I) La meda artmétca es 11,2 II) El promedo de los números múltplos de 4 es 10 III) En el conjunto de números no hay dvsores de 8 A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III 7

8 5. Un alumno obtene 800 puntos de EM y 850 puntos de rankng que corresponden a un 20% en cada caso y en las pruebas de: Lenguaje 730 puntos, Matemátca 760 puntos y Cencas 820 puntos; con una ponderacón respectva de 10%, 30% y 20%. Cuál es su puntaje de postulacón? A) 792 B) 795 C) 785 D) 782 E) Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor recuenca, es decr, el que más se repte. S no hay un dato que tenga mayor recuenca que otro se dce que la dstrbucón de recuenca es amodal Moda para datos organzados en una tabla de recuencas. L D 1 Mo L C D1 D2 límte neror de la clase modal. C = ampltud de los ntervalos. D1 derenca entre la recuenca absoluta de la clase modal y la recuenca absoluta de la clase anteror. D2 derenca entre la recuenca absoluta de la clase modal y la recuenca absoluta de la clase sguente. 3. Medana (Me): Es el dato que ocupa la poscón central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en orma crecente o decrecente. S la muestra tene un número par de datos, la medana es la meda artmétca de los dos térmnos centrales Medana para datos organzados en una tabla de recuencas. L F 1 Me L 2 C límte neror de la clase medana C = ampltud del ntervalo = número total de datos Frecuenca absoluta acumulada de la clase anteror a la medana F 1 Frecuenca absoluta de la clase en que se ubca la medana 8

9 Ejerccos 1. En el sguente conjunto de datos: Cuál(es) de las sguentes armacones es (son) verdadera(s)? A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III. I) La moda y medana son guales. II) S se agrega un 2, el conjunto de datos es bmodal. III) S se agregan un 6 y 8, la medana es Al encuestar 50 departamentos de un edco en cuanto al número de personas que los habtan, se obtuvo los resultados que se ndcan en la tabla adjunta. Entonces, cuál opcón es verdadera? Personas A) la moda es 50. B) la moda es 4. C) la moda es 15. D) la dstrbucón de recuencas es bmodal. E) todas las armacones anterores son alsas 3. La tabla adjunta muestra la cantdad de personas de una empresa que están aladas a las dstntas AFP. Cuál(es) de las sguentes armacones es (son) verdadera(s)? I) La moda es 20. II) S se camban 5 alados desde HABITAT a PROVIDA la moda es PROVIDA. III) La medana es estar alado a MODELO. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) nguna de ellas por Dpto ó más 7 Frec. AFP Frec Cuprum 12 Provda 15 Modelo 8 Hábtat 20 captal La tabla adjunta muestra la dstrbucón de la cantdad de respuestas erróneas obtendas por los 30 alumnos en la rendcón de una prueba de Cencas. Entonces, cuál es la medana de la muestra? A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 10 º Resp. rec erróneas

10 5. Un dado ha sdo lanzado 30 veces, obtenéndose los resultados que se muestran en la sguente tabla de recuencas adjunta. Cuál(es) de las sguentes armacones es (son) verdadera(s)? I) La medana es 3,5. II) La moda es el número 5. III) La derenca postva entre la moda y medana es 2,5. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III º FREC Sea una dstrbucón estadístca que vene dada por la sguente tabla: Calcular: La moda, medana y meda. x Calcular la meda, la medana y la moda de la sguente sere de números: { 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.} 10

11 8. Completa la tabla de recuenca sguente y Halla la meda, medana y moda de la sguente sere de números: Intervalo de clase Marca de clase F % Mc [ [ 3 3 7,5% % ,5% ,5% ,5% ] % 11

12 MEDIDAS DE POSICIÓ (CUATILES) Los Cuantles dvden a una muestra ordenada en orma crecente, en la orma más gualtara posble. Los prncpales Cuantles son: cuartles, quntles, decles, y percentles. CUARTILES (Q): Los cuartles corresponden a los 3 valores que dvden a la muestra en cuatro partes guales. Q1, Q2 y Q3 determnan los valores correspondentes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectvamente. Recorrdo ntercuartílco: es la derenca postva entre el Q3 y Q1. Quntles (K): Los quntles corresponden a los 4 valores que dvden a la muestra en cnco partes guales. El percentl de orden n se denota por Kn. DECILES (D): Los decles de una dstrbucón de datos numércos corresponden a los 9 valores que dvden a éstos en 10 partes guales. OBSERVACIÓ El dato que ocupa el Decl n sgnca que supera el n% de las observacones. PERCETILES (P): Los percentles corresponden a los 99 valores que dvden a la muestra en cen partes guales. El percentl de orden n se denota por Pn. OBSERVACIÓ: El dato que ocupa el Percentl n sgnca que supera el n% de los datos. El percentl 50 equvale a la medana. S los datos están en clases y no en ntervalos, el cuartl 1 toma el valor que guala 1 o supera a Q1 para los otros cuartles es análogo. 4 EJEMPLOS 1. Se consderan los cuadrados de los números naturales del 1 al 11 (ambos ncludos). Entonces, los valores de los cuartles Q1, Q2 y Q3 son respectvamente A) 5, 6 y 7 B) 3, 6 y 9 C) 9, 36 y 64 D) 9, 36 y 121 E) 9, 36 y 81 12

13 2. Los sguentes datos corresponden a la cantdad de hjos de 14 amlas encuestadas: { }. Cuál(es) de las sguentes proposcones es (son) verdadera(s)? I) La medana y la moda tenen el msmo valor. II) El percentl 40 es 5. III) El tercer cuartl es 3. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III 3. De 200 postulantes a una carrera unverstara, Mguel que tene 612 puntos quedó en el percentl 78 mentras que Arturo con 720 puntos está en el percentl 92. Entonces, la opcón verdadera es A) Hay 78 postulantes con puntajes menores que el de Mguel. B) Hay 8 postulantes que tene puntajes gual o superores al de Arturo. C) Hay 14 postulantes con puntajes entre los de Mguel y Arturo. D) Arturo supera al 92% de los postulantes que rnderon la prueba. E) Arturo y Mguel están entre los 20 mejores puntajes. 4. Sean los sguentes datos correspondentes a la edad de 10 personas en una empresa: , entonces cuál es el dato que corresponde al prmer cuartl? A) 18 B) 19 C) 20 D) 25 E) La tabla adjunta muestra el tempo aproxmado en horas dedcadas al estudo de un grupo de estudantes de un colego. A partr de qué percentl se encuentran los estudantes que le dedcan 4 horas de estudo? A) Menos del 60 B) Entre 65 y 70 C) Entre 70 y 75 D) Entre 76 y 78 E) Más de 80 Horas de estudos úmeros de Estudantes 13

14 Ahora Para datos agrupados en ntervalos tenemos: Cuartles 1 F 1 Q 4 1 L C 2 F 1 Q 4 2 L C 3 F 1 Q 4 3 L C L límte neror de la clase del cuartl correspondente. C = ampltud del ntervalo = número total de datos F recuenca absoluta acumulada de la clase anteror del cuartl correspondente. 1 recuenca absoluta de la clase en que se ubca el cuartl Observacón: el Q2 es lo msmo que la medana QUITILES: Se llaman quntles a cuatro valores que dvden a la sere en cnco partes guales K, K, K y K. ( quntl prmero,... ) S los datos no están en clases y no en ntervalos, el quntl 3 toma el valor que guala o supera a K3 para los otros quntles es 5 análogo. Para datos agrupados en ntervalos tenemos: Ejerccos 1 F 1 K 5 1 L C 2 F 1 K 5 2 L C 3 F 1 K 5 3 L C 4 F 1 K 5 4 L C DECILES: ueve valores guales que dvden la dstrbucón en 10 partes guales. D, D,... y D ( decl prmero,...) S los datos están en clases y no en ntervalos, el decíl toma el valor que guala o supera a D7 para los otros decles es análogo. 10 Para datos agrupados en ntervalos tenemos: 8 F 1 D 10 8 L C 14

15 PERCETILES: oventa y nueve valores que dvden la sere en 100 partes guales. P1, P2,... y P99 ( percentl prmero,... ) S los datos están en clases y no en ntervalos, el 19 percentl 19 toma el valor que guala o supera a P19 para los otros percentl es 100 análogo. Para datos agrupados en ntervalos tenemos: P F L 100 EJERCICIOS 1 C 1. La tabla ndca el número de calzado de 400 alumnos de una escuela rural Calcular Medana Cuartl 3 Quntl 2 Decl 7 Percentl 21 Percentl 67 º de calzado º de alum Se ha aplcado un test a los 900 empleados de una ábrca, obtenéndose la sguente tabla: Calcular a. Medana b. Cuartl 1 c. Quntl 4 d. Decl 3 e. Percentl 35. Percentl 71 Intervalos [38, 44[ 71 [44, 50[ 82 [50, 56[ 154 [56, 62[ 251 [62, 68[ 189 [68, 74[ 90 [74, 80[ 63 15

16 GRÁFICO DE CAJA Y BIGOTES El dagrama de caja es una representacón gráca basada en cuartles, que ayuda a lustrar una muestra de datos. Para elaborar este gráco, sólo se necestan cnco datos: el valor mínmo, el prmer cuartl, la medana, el tercer cuartl y el valor máxmo de la muestra. TIPOS DE MUESTRA Muestra Smétrca: Los valores ntercuartílco están gualmente dspersos. Muestra Postvamente Asmétrca: Los valores más grandes se encuentran más dspersos que los más pequeños. Muestra egatvamente Asmétrca: Los valores más pequeños se encuentran más dspersos que los más grandes. 16

17 EJEMPLOS 1. Los datos que corresponden a la masa en klogramos de 12 alumnos de 3º medo de un colego, han sdo regstrados en el gráco de caja y bgotes de la gura. Entonces, cuál(es) de las sguentes aseveracones es (son) verdadera(s)? I) El prmer cuartl es 50. II) El recorrdo ntercuartílco es 5. III) La muestra es negatvamente asmétrca. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III MEDIDAS DE DISPERSIÓ La dspersón se relacona con la mayor o menor concentracón de datos, en torno a un valor central, generalmente el promedo o la meda. Exsten varas meddas de dspersón. RAGO de un conjunto de números, es la derenca entre el mayor y el menor de ellos. Una desvacón grande ndca que los puntos están lejos de la meda, y una desvacón pequeña ndca que los datos están agrupados cerca de la meda. DESVIACIÓ MEDIA: La desvacón meda de un conjunto de números x 1, x 2,..., x n es denotada por MD y se dene como: MD x x 1 MD 1 S los datos provenen de tablas de recuencas x x 17

18 donde: x es la meda artmétca de los números x x = es el valor absoluto de la desvacón de x respecto de x DESVIACIO ESTADAR: La desvacón estándar de un conjunto de números S y se dene: x,x 2,..., x n se denota por 2 2 ( x x) ( x x)... ( x x) 1 2 n n 2 S 1 ( x x) 2 S los datos provenen de tablas de recuencas S k 1 ( x x) 2 donde: x Marca de clase de cada ntervalo Frecuenca absoluta de cada clase o ntervalo = número total de observacones VARIAZA de un conjunto de datos se dene como el cuadrado de la desvacón estándar 2 Var S V 1 ( x x) 2 S los datos provenen de tablas de recuencas V k 1 ( x x) 2 Propedades de la varanza 1. σ 2 0 La varanza es un valor postvo, como ya se ha comentado anterormente, la gualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean guales. 2. S a todos los datos se les suma una constante, la varanza sgue sendo la msma. 3. S todos los datos se multplcan por una constante, la varanza queda multplcada por el cuadrado de la constante. 18

19 EJEMPLOS 1. A dos empresas dstntas se les aplcó el msmo test de prevencón de resgos en guales condcones y a la msma cantdad de empleados, obtenéndose las desvacones estándar que se muestran en la tabla adjunta. Cuál(es) de las sguentes armacones es (son) verdadera(s)? I) La empresa A es la más homogénea. II) La empresa B es la más homogénea. III) La empresa A presenta mayor dspersón en los resultados. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) nguna de ellas 2. S el promedo de dos números es 5 y su desvacón estándar es 1, entonces, cuáles son los números? A) 3 y 7 B) 4 y 6 C) 5 y 5 D) 1 y 9 E) 2 y 8 3. Cuál de las sguentes opcones es FALSA? A) Una desvacón estándar pequeña sgnca que los datos están concentrados muy cerca de la meda artmétca. B) Una desvacón estándar grande ndca poca conanza en la meda artmétca. C) La desvacón estándar puede ser cualquer número real no negatvo. D) Dos muestras con gual número de datos y con la msma meda artmétca, tenen desvacones estándar guales. E) La desvacón estándar sempre se mde en las msmas undades que los datos. 4. Dadas las seres estadístcas: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1, 7. Calcular: 4.1 La desvacón meda, la varanza y la desvacón típca. 4.2 Los cuartles 1º y 3º. 4.3 Los decles 2º y 7º. 5. Una dstrbucón estadístca vene dada por la sguente tabla: [10, 16[ [16, 22[ [22, 28[ [28, 34[ [34, 40[ Hallar: La moda, medana y meda. El rango, desvacón meda y varanza. Los cuartles 1º y 3º. Los decles 3º y 6º. 19

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