UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DOCTORADO EN CIENCIAS APLICADAS

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1 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DOCTORADO EN CIENCIAS APLICADAS Modelo smplfcado para el comportamento dnámco de pórtcos con vgas plana-columna de concreto armado consderando el deslzamento entre el refuerzo y el concreto en las untas Tess presentada en cumplmento parcal de los requstos para la obtencón del título de Doctor en Cencas Aplcadas Canddato: Ingº Rcardo A. Pcón R Tutor: Prof. Julo Flórez López Mérda, Venezuela Dcembre de 23

2 AGRADECIMIENTOS A Dos por darme salud y estímulo en aprender. A ms padres y hermanos por el apoyo, la compresón y la pacenca que han tendo conmgo. A los profesor Julo Flórez López y Carlos Quntero por la orentacón constante que me brndaron y haberme anmado llegar al fnal de este trabao Al profesor Edward Thomson por su ayuda prestada en los ensayos expermentales. A los técncos del Laboratoro de Materales y Ensayos de la Unversdad de Los Andes, Hel Saúl, Onede, Rafael, Tulo, por su colaboracón en la construccón y preparacón de los especmenes para el ensayo expermental. En general, a todos muchas gracas. 2

3 CONTENIDO Pag. INTRODUCCION... CAPITULO I. Modelos hsterétcos no lneal de pórtcos de concreto armado. Antecedentes Análss Estructural de Pórtcos de Concreto Armado. Programa DRAIN-2D Análss Estructural de Pórtcos de Concreto Armado. Programa IDARC Modelo smplfcado de daño bao de cargas monotóncas.. CAPITULO II. Modelo de daño concentrado con estrangulamento en unones vgas planas-columnas 1.- Modelo de daño concentrado bao accones hsterétcas sn consderar el estrangulamento Fuerzas nternas generalzadas. 3.- Fuerzas externas Ecuacón cnemátca, equlbro y ley de comportamento bao accones hsterétcas sn consderar el estrangulamento 5.- Ecuacones de Equlbro Ley de estado. 7.- Leyes de evolucón de las varables nternas Ley de evolucón de las varables de daños Ley de evolucón de las deformacones plástcas Modelo hsterétco con estrangulamento Teoría de plastcdad por frccón.. 3

4 8.2.- Funcón de deslzamento de las rótulas nelástcas con daño bao accones hsterétcas Comportamento de una rótula nelástca por deslzamento o por fluenca bao accones hsterétcas.. CAPITULO III. Determnacón de los nuevos parámetros usados en el modelo de daño concentrado con estrangulamento Determnacón del parámetro mo, Momento Deslzante Esfuerzo de adherenca en la superfce de contacto entre el acero de refuerzo y el concreto Esfuerzos de adherenca en las barras de refuerzo según Nlsen Longtud de anclae l Longtud de anclae en unta nteror Longtud de anclae en unta exteror. 3.- Cálculo del parámetro λ, bao accones hsterétcas. CAPITULO IV. mplementacón numérca del modelo hsterétco de daño con deslzamento en un programa comercal de análss no lneal Resolucón numérca de pórtco con el modelo hsterétco de daño con deslzamento Problema Global Problema Local Cálculo de las Fuerzas Internas en cada membro de la estructura Cálculo de las deformacones generalzadas Determnacón de los parámetros del modelo Cálculo de los esfuerzos generalzados y de las varables nternas Cálculo del Jacobano Local en Coordenadas Globales 4

5 Determnacón del Jacobano Inercal en Coordenadas Globales Implementacón del modelo en abaqus Solucón del Problema Global Solucón del Problema Local Cálculo de las deformacones totales Cálculo de las propedades de los membros Cálculo de los esfuerzos y de las varables nternas Reduccón de paso Cálculo de las Fuerzas Internas y de las Fuerzas Resduales Calculo del Jacobano Local e Inercal en Coordenadas Globales... CAPITULO V. Valdacón del modelo de daño con deslzamento en unones vga plana-columna. Smulacones numércas y aplcacón del modelo. 1.- Caso de la unta nterna vga plana-columna bao accones hsterétcas Smulacón del ensayo expermental realzado por Quntero y Wgth Smulacones de los ensayos expermentales realzados por Hatamoto, Bessho y Matsuzak Smulacón del ensayo expermental realzado por Durran y Wgth Caso de la unta externa vga plana-columna bao accones hsterétcas. 3.- Aplcacón del modelo de daño concentrado con deslzamento Análss dnámco del pórtco con vgas planas Análss dnámco del pórtco con vgas normales... CAPITULO VI. El deslzamento del refuerzo a flexón en elementos de concreto armado en volado, medante ensayos expermentales.. 5

6 1.- Smulacón del ensayo expermental realzado por Bertero-Popov-Shao 2.- Smulacón del ensayo expermental de Fang, Wang y Hong Ensayos expermentales realzados en Laboratoro de Materales y Ensayos de la Unversdad de Los Andes (LMEULA) Comparacón de los ensayos expermentales realzados en LMEULA CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.. BIBLIOGRAFIA. ANEXOS... 6

7 INDICE DE FIGURAS Fgura 1.1. Modelos numércos: a) Elasto-Plástco Perfecto, b) Blneal, c) Clough, d) Q-Hyst. Pag. Fgura 1.2. Modelo Hsterétco de Takeda. Fgura 1.3. Curvas de comportamento real e dealzada del modelo DRAIN- 2D para los materales de a) acero y b) concreto... Fgura 1.4. Curva de comportamento Momento-Curvatura para el caso monotónco en el modelo de DRAIN -2D. Fgura 1.5. Curva de comportamento hsterétco de Takeda-modfcada (Momento-Curvatura). Adoptado por el DRAIN-2D Fgura 1.6. a) Smulacón del estrangulamento. b) Modelo vga-columna adoptado por el modelo de DRAIN-2D. Fgura 1.7. Resorte nelástco a flexón.. Fgura 1.8. Curva patrón de comportamento trlneal... Fgura 1.9. Curvas de comportamento del a) concreto y b) acero. Fgura 1.1. Parámetros del modelo y sus nfluencas en la curva de comportamento hsterétco Fgura Modelo de Dspacón Concentrada de un membro.. Fgura Esfuerzos Generalzados Fgura Deformacones Generalzadas Fgura 1.14 Ensayo Expermental del Modelo Smplfcado de Daño bao cargas reversbles... Fgura 2.1. Modelo de daño concentrado... Fgura 2.2. a) Pórtco Plano b) Desplazamentos Generalzados c) Deformacones Generalzadas d) Esfuerzos Generalzados... 7

8 Fgura 2.3. Modelo de dspacón concentrada Fgura 2.4. Interpretacón de las varables de daños en cada rótula Fgura 2.5 Fuerzas nternas de un membro Fgura 2.6 Fuerzas Externas.. Fgura 2.7. Smulacones con dferentes valores de z constantes durante el análss Fgura 2.8 Varabldad de z en funcón del daño.. Fgura 2.9. Comportamento de una rótula plástca con y sn daño bao accones postvas... Fgura 2.1. a) Superfce de contacto entre dos cuerpos b) Domno Elástco de la zona ant-deslzante... Fgura a) Junta vga plana-columna. b) Smulacón de la unta con rótulas deslzantes.. Fgura Patrón de gretas nternas en una unta de vga plana-columna. Fgura Dstrbucón de esfuerzo y deformacón en la seccón transversal de una vga plana con deslzamento del refuerzo en la unta Fgura Comportamento hsterétco con daño constante de una rótula deslzante Fgura Comportamento hsterétco de una rótula nelástca con deslzamento o fluenca y daño constante. Fgura 3.1. a) Junta nteror vga plana-columna. b) Modelo de análss. c) Dstrbucón de esfuerzos y deformacón en la seccón transversal de la vga. Fgura 3.2. (a) Dstrbucón de esfuerzos. (b) Dagrama de deformacones de la seccón Fgura 3.3 Representacón del Dagrama de Hognestad para el esfuerzo del concreto.. Fgura 3.4 Dagrama de fuerzas nternas en la seccón transversal para un elemento de concreto armado. 8

9 Fgura 3.5. Equlbro de una barra por esfuerzos de adherenca... Fgura 3.6. a) Ensayo a tensón sn gretas y gretas cóncas b) Espécmen agretado. Fgura 3.7 Mecansmo de resstenca de adherenca. (Bertero, Popov y Shao)... Fgura 3.8 Relacón esfuerzo de adherenca deslzamento de los ensayos de Morta y Kaku Fgura 3.9. Relacón Esfuerzo de adherenca deslzamento hsterétca en el ensayo de Morta y Kaku... Fgura 3.1. Mecansmo de falla local de una barra de refuerzo con estrías.. Fgura Mecansmos de fallas y desplazamentos del concreto en a) una barra anclada y b) dos barras ancladas en concreto... Fgura Incremento del esfuerzo promedo de adherenca en falla a) por flexón y b) de esquna... Fgura Junta nteror vga plana-columna sueta a carga lateral Fgura 3.14 Fuerzas en una unta nterna sometda a carga lateral.. Fgura 3.15 Momento máxmo de adherenca y fuerzas nternas en unta nteror vga plana-columna... Fgura Fuerzas actuantes en la barra anclada con gancho de 9 o.. Fgura Barras con gancho en untas exterores confnadas a) esfuerzos generados por la fuerza a tensón b) resstenca del gancho contra la rotacón permanente en el extremo Fgura Longtud de anclae adoptada en el modelo de daño concentrado con deslzamento en untas vga plana-columna.. Fgura Influenca del parámetro γ en la rótula bao accones postvas. Fgura 4.1. Ilustracón del Método de Newton... Fgura 4.2 Fluograma General. Fgura 4.3 Fluograma UEL... 9

10 Fgura 4.4 SUPERDEG.. Fgura 4.5. Deformacones Totales. Fgura 4.6. Cálculo de Propedades Fgura 4.7 Subrutna DEG.. Fgura 4.8 Resdual. Fgura 4.9. Subrutna CAMBIO DE PASO Fgura 4.1 Fuerzas Resduales.. Fgura 4.11 Calculo del Jacobano en coordenadas globales. Fgura 5.1. Ensayo expermental y la hstora de desplazamentos aplcada, realzado por Quntero y Wgth.. Fgura 5.2. a) Smulacón del ensayo expermental realzado por Quntero et. al. b) Mapa de daño de la estructura smulada... Fgura 5.3. a) Curvas hsterétcas Carga-Derva a) resultados expermentales y b) smulacón numérca con los parámetros calculados. Fgura 5.4. Curva hsterétca Carga-Derva de la smulacón numérca con el parámetro mo manpulado.. Fgura 5.5. Junta nteror vga plana-columna ensayada por Hatamoto et. al Fgura 5.6. Smulacones del comportamento hsterétco de untas nterores vgas planas-columnas de los ensayos expermentales WB-1 y WB-2 de Hatamoto et. al... Fgura 5.7. Smulacones del comportamento hsterétco de untas nterores vgas planas-columnas de los ensayos expermentales WB-3 y WB-4 de Hatamoto et. al... Fgura 5.8. Mapas de daños de los ensayos expermentales... Fgura 5.9. Ensayo expermental de una unta nteror vga-columna realzado por Durran y Wgth... Fgura 5.1. Comportamento hsterétco de una unta nteror vga-columna sn carga axal en la columna. a) Ensayo expermental. b) Smulacón del comportamento 1

11 Fgura Mapa de daño smulado con el modelo de daño concentrado Fgura Ensayo expermental de una unta exteror sueta a desplazamentos hsterétcos en el nodo superor. Detalles de las seccones transversales de los membros. Tomado de La Fabe y Wgth... Fgura Comportamento hsterétco de la unta exteror del a) ensayo expermental y la b) smulacón. Fgura Mapa de daño fnal de una unta exteror vga plana-columna... Fgura a) Geometría del pórtco y b) detalles de los membros que conforman el pórtco.. Fgura Regstro sísmco El Centro, Fgura Dstrbucón del daño. Fgura Curvas de comportamento hsterétco e hstora de daños a) de la vga mas dañada y b) de la columna mas dañada.. Fgura Hstora de las deformacones permanentes de a) la vga mas dañada y b) de la columna mas dañada. Fgura 5.2. Hsora de la a) derva total del pórtco y b) la máxma derva entre pso Fgura Detalles de las seccones transversales de las vgas normales... Fgura Mapa de daño fnal del pórtco con vgas normales después del análss dnámco Fgura Curva de comportamento hsterétco en el pórtco de vgas normales a) de la vga mas dañada y b) de la columna mas dañada.. Fgura Hsora de la a) derva total del pórtco y b) la máxma derva entre pso Fgura 6.1. Geometría de las estructuras, detalles de las seccones transversales e hstora de desplazamentos en los especmenes a) R5 y b) R6 ensayados por Betero et. al... Fgura 6.2. Curvas de comportamento hsterétco de los ensayos expermentales R5 y R6. Fgura 6.3. Esquema general de todos los ensayos realzados por Fang et. al... 11

12 Fgura 6.4. Geometría de la estructura y detalles de la seccón transversal del elemento de vga del ensayo lb2-4 realzado por Fang et. al. Fgura 6.5. Comportamento hsterétco del ensayo expermental realzado por Fang et. al. Fgura 6.6. Geometría de la estructura y detalles de la seccón transversal del elemento de vga del ensayo lb2-6 realzado por Fang et. al. Fgura 6.7. Comportamento hsterétco del a) ensayo expermental lb2-6 Fgura 6.8. Geometría de las probetas y detalles de la seccón transversal de los ensayos expermentales realzados en la ULA. Fgura 6.9. Detalles del armado de la columna y de la vga rígda. Fgura 6.1. Secuenca del ensayo expermental de la probeta CC Fgura Curva de comportamento del espécmen CC Fgura Secuenca del ensayo expermental de la Probeta CL Fgura Comportamento hsterétco del espécmen CL. Fgura Detalles de la seccón transversal de la probeta CCT. Fgura Proceso constructvo de la probeta CCT Fgura Proceso del ensayo de la probeta CCT... Fgura Comportamento hsterétco del elemento en volado (columna) con tuercas en las barras logtudnales (CCT) Fgura Comparacón del comportamento hsterétco entre los ensayos CC y CL.. Fgura Comparacón del comportamento hsterétco de los ensayos CC y CCT Fgura 6.2. Modelos de dspacón a) concentrada por efectos a flexón, b) dstrbuda por efectos de corte y c) concentrada por efecto de corte 12

13 INDICE DE TABLAS Pag. Tabla 3.1. Máxmo esfuerzo promedo de adherenca según el mecansmo de falla en seccones de concreto armado... Tabla 5.1. Propedades de los materales usados para la probeta Tabla 5.2 Propedades de los elementos que conforman la probeta ensayada por Quntero y Wgth con nvel de fuerza axal nula. Tabla 5.3. Detalles del refuerzo de los especmenes.. Tabla 5.4. Propedades de un elemento vga o columna. 13

14 INTRODUCCION Las estructuras de concreto armado a veces son sometdas a fuerzas mayores que las fuerzas de dseño. Cuando esto ocurre la rgdez y los esfuerzos resstentes dsmnuyen por el agretamento del concreto, aparecen deflexones permanentes por la fluenca del acero y las curvas hsterétcas Fuerza-Desplazamento presentan en algunos casos un estrangulamento debdo al deslzamento del refuerzo longtudnal en las untas vgacolumna. En este trabao se presenta un modelo de daño smplfcado que descrbe el comportamento hsterétco de las untas vga plana-columna de concreto armado debdo al deslzamento del refuerzo. El modelo se basa en la teoría del daño concentrado, la mecánca de los medos contnuos y la mecánca de la fractura. El deslzamento entre el refuerzo y el concreto en las untas vga plana-columna orgna un ncremento de las deformacones permanentes de los elementos y es modelado con la teoría de frccón de Coulomb, la cual descrbe el comportamento del deslzamento de un cuerpo rígdo sobre una superfce rugosa. En este artículo se presenta la formulacón para la amplacón del modelo hsterétco de daño a fn de poder smular el deslzamento del refuerzo. El estrangulamento en las curvas hsterétcas Fuerza-Desplazamento es especalmente notoro en unones nterores vga plana-columna [1]. En estas unones gran parte del refuerzo longtudnal de la vga pasa por fuera del núcleo de la columna y no se encuentra tan ben confnada como el refuerzo que pasa por el núcleo. Además, el efecto de 14

15 confnamento que puede añadr la carga axal de la columna al refuerzo longtudnal de las vgas planas no está presente en el refuerzo que rodea a la columna. Este tpo de unones se consgue en sstemas aportcados con vgas planas, llamados tambén sstemas de vgas anchas o sstemas de pso en banda. Estos sstemas estructurales se caracterzan por tener vgas poco profundas, usualmente con gual profunddad que las losas, mas anchas que las columnas que las soportan. Estudos recentes [1, 2] han mostrado que los sstemas portcados con vgas anchas poseen potencal como sstemas resstentes a fuerzas laterales. En el prmer capítulo, se presentan algunos modelos analítcos que smula el comportamento estátco y dnámco de estructuras de concreto armado. En el segundo capítulo, se descrbe la formulacón usada en el modelo. Se ntroducen nuevos conceptos como el de rótula deslzante y momento deslzante. Tambén se propone una expresón matemátca que descrbe en forma smplfcada la varacón de la resstenca al deslzamento en los elementos (vgas planas) que concurren a un nodo nterno o externo de concreto armado. Se presenta la formulacón de una rótula nelástca general que permte concentrar fenómenos tan compleos de dspacón de energía (agretamento, deslzamento y fluenca) en zonas estratégcas (rótulas nelástcas) de la estructura. El modelo presentado, utlza varos parámetros y todos ellos dependen de las característcas geométrcas y mecáncas del elemento y de las propedades de los materales. En el tercer capítulo, se descrbe como se determna el nuevo parámetro ntroducdo en el modelo, para tomar en cuenta el deslzamento del refuerzo en las untas vgas planas-columnas. Este nuevo parámetro es llamado momento deslzante. Y al gual que los otros parámetros que se utlzan en el modelo [4, 5, 6], el momento deslzante depende de las propedades geométrcas y mecáncas de la seccón y de los materales utlzados. 15

16 En el cuarto capítulo, s descrbe la mplementacón del modelo en un programa de elementos fntos comercal (ABAQUS 6.3), como un elemento de usuaro. El qunto capítulo muestra la buena manera de calcular los nuevos parámetros que se usan en el modelo hsterétco de daño, al smular varos ensayos expermentales tomados de la lteratura. Se presentan smulacones de ensayos expermentales de untas nterores y exterores de vga plana-columna [1, 2, 3]. Al fnal, se realzó una aplcacón del modelo hacendo dos análss dnámcos. Un pórtco con vgas planas de doce nveles y otro con vgas normales suetos a un msmo regstro sísmco en la base. En el sexto capítulo, se hace referenca que en las curvas de comportamento hsterétco de los elementos cortos en volado tambén se hace presente el estrangulamento. En el menconado capítulo se descrbe el procedmento expermental para detectar la exstenca del deslzamento entre el refuerzo longtudnal y el concreto de los elementos cortos en volado. Por últmo se presentan las conclusones y recomendacones del modelo de daño con deslzamento para smular el comportamento hsterétco de las untas nternas y externas vga plana-columna. 16

17 CAPITULO I MODELOS DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL DE PORTICOS DE CONCRETO ARMADO. ANTECEDENTES En la búsqueda de conocer el comportamento real de los pórtcos de concreto armado ante eventos estátcos y/o dnámcos han surgdo dferentes modelos de análss estructural. Estos modelos han evoluconado desde la manera más smple a la más complea para smular el comportamento nelástco de los pórtcos de concreto armado. El prmer modelo nelástco desarrollado e mplementado, por su sencllez, fue el Modelo Elasto-Plástco Perfecto (fgura 1.1a). Este modelo tene lmtacones como el no poder representar el endurecmento del materal, la pérdda de rgdez del elemento y la máxma deformacón límte que puede sufrr el materal. Por otra parte, este modelo no provee alguna dspacón de energía hsterétca durante deformacones de ampltud pequeña. Sn embargo, el modelo es muy smple y puede ser defndo medante tres reglas, defnendo los regímenes de cambo de rgdez para la carga, descarga y cargas reversbles en dferentes estados. Este modelo no es adecuado para representar el comportamento de los elementos o estructuras de concreto armado, consderando la poca correlacón que exste entre el 17

18 comportamento hsterétco predcho por el modelo elasto-plástco perfecto y el comportamento observado de los ensayos expermentales. El modelo blneal es un modelo smlar al modelo elasto-plástco perfecto, excepto por el factor que toma en cuenta el efecto de endurecmento por deformacón del acero (fgura 1.1b). Por lo tanto, el modelo blneal se acerca mas a la realdad que el modelo elastoplástco perfecto. Sn embargo, este modelo falla al no nclur la degradacón de rgdez durante la descarga después de sobre pasar la cedenca del materal y durante las cargas reversbles. Por otro lado, el modelo Blneal es fácl de formular y puede ser descrto medante tres reglas, al gual que el modelo Elasto-Plástco Perfecto. Luego, se desarrolla un modelo de Clough (fgura 1.1c), el cual ntroduce el efecto de degradacón de rgdez durante las cargas reversbles. El modelo de Clough se basa en el modelo Blneal. Una vez que el elemento ha ceddo, la descarga está asocada con la rgdez ncal agretada (k). La rgdez se reduce cuando el elemento es cargado en sentdo opuesto. Por lo tanto, la rgdez para este rango es determnada medante la unón de una línea que conecta el punto de descarga al punto de cedenca. S el elemento ha ceddo en una nueva dreccón de carga, el punto del tramo post-cedente corresponde a la máxma deformacón expermentada. La dspacón de energía es tomada en cuenta una vez que el elemento ha pasado el punto cedente en alguna dreccón. Este modelo excluye los efectos de degradacón y es relatvamente smple, el cual se defne por cuatro reglas. Otro modelo que ntenta representar el comportamento hsterétco de elementos de concreto armado de manera mas real es el modelo Q-Hyst (fgura 1.1d). El modelo Q-Hyst se basa en el modelo blneal, consderando un aumento del endurecmento del materal cuando se superan las deformacones límtes elástcas postva y negatva. La degradacón de rgdez es tomada en cuenta en el momento de la descarga (αk) y cargas hsterétcas. El modelo de Q-Hyst toma en cuenta la dspacón de energía hsterétca durante las deformacones de pequeñas ampltudes s el elemento ha sobrepasado el punto cedente en por lo menos una dreccón. El modelo es relatvamente smple y es defndo por cuatro reglas. 18

19 a b c d Fgura 1.1. Modelos numércos: a) Elasto-Plástco Perfecto, b) Blneal, c) Clough, d) Q-Hyst. Tomada de [7]. Entre los modelo hsterétcos polgonales menconados hasta ahora, tambén se encuentra el modelo de Takeda. El modelo de Takeda es uno de los modelos mas sofstcados y fue desarrollado en base a observacones hechas de muchos ensayos expermentales. Las smulacones con este modelo satsface el comportamento estátco y dnámco de las untas de concreto armado [7]. Este modelo opera en una curva prmara trlneal representando los dferentes estados del elemento, como el estado no agretado, agretado y fluenca. El comportamento no-lneal comenza en el momento que el elemento se agreta. El efecto de pérdda de rgdez es consderada después de superar el punto de cedenca del elemento, en las ramas de descargas. Al comenzar a cargar el elemento en la otra dreccón, la rgdez dsmnuye aún mas que la ncal y que en las ramas de descargas, esto es tomando en cuenta el efecto del deteroro de la rgdez. En el modelo de Takeda, la prncpal atencón está dada en el comportamento de untas durante deformacones de ampltudes pequeñas. Es capaz de representar la energía de dspacón a partr que el elemento comenza a agretarse. El modelo de Takeda es complcado para su mplementacón. Este modelo es 19

20 defndo medante 16 reglas, pero es uno de los modelos polgonales mas completos e ntenta representar de manera mas real el comportamento de las untas de concreto armado. Fgura 1.2. Modelo Hsterétco de Takeda. Tomado de [7] Algunos de los modelos matemátcos antes menconados han sdo mplementados en varos programas de análss estructural, como el modelo de Takeda y el modelo de Clough. Estos modelos fueron lgeramente modfcados para su mplementacón. El modelo de Takeda modfcado fue mplementado en el programa de análss estructural llamado DRAIN-2D. Y el modelo de Clough con algunas modfcacones fue tomado como base para desarrollar el programa de análss estructural llamado IDARC. A contnuacón se menconarán los aspectos mas mportantes de cada uno de ellos. 1.- Análss Estructural de Pórtcos de Concreto Armado. Programa DRAIN-2D [8]. En el programa DRAIN-2D [8], fue mplementado un modelo analítco de comportamento hsterétco de concreto armado. El modelo aplca un procedmento de análss raconal que permte ver el estado de segurdad de las construccones exstentes antes o después de un movmento sísmco. El modelo matemátco utlzado para desarrollar el programa debe ser capaz de reproducr adecuadamente el comportamento hsterétco de los elementos de concreto armado. 2

21 Para construr el modelo analítco, las leyes de comportamento para el acero y el concreto son dealzadas medante una curva blneal (fgura 1.3a) y otra aproxmacón trlneal (fgura 1.3b) del comportamento esfuerzo-deformacón, respectvamente. La relacón Momento-Curvatura bao cargas monotóncas (fgura 1.4) está basada en suponer que las seccones planas permanecen planas después del agretamento del concreto y que las curvas de comportamento de los materales son como se ndcan en la fgura 1.3. Los puntos de quebre de esta curva puede ser calculada usando la teoría de concreto reforzado convenconal. a) b) Fgura 1.3. Curvas de comportamento real e dealzada del modelo DRAIN-2D para los materales de a) acero y b) concreto. Fgura 1.4. Curva de comportamento Momento-Curvatura para el caso monotónco en el modelo de DRAIN -2D. Tomada de [8]. 21

22 El comportamento hsterétco de los elementos de concreto armado debe ser capaz de representar el comportamento nelástco, la dsmnucón de la rgdez de un elemento de concreto armado debdo al agretamento del concreto y a la pérdda de adherenca en la nterface acero-concreto. El modelo usado para descrbr la relacón Momento-Curvatura hsterétco es el modelo de Takeda-modfcado (fgura 1.5). Este modelo tene báscamente cnco rangos dferentes, dentfcado por números en círculos y super-índces y -, que ndcan el sentdo de la carga. Los rangos pueden ser descrtos como sguen: Un rango elástco ncal (EI) 1. Donde la carga y descarga se comporta de forma elástca (lneal) s el momento cedente no es exceddo. Rango nelástco (EI) 2. S el momento excede el momento cedente y aún sgue aumentando, la rgdez es mucho menor que la rgdez ncal. Rango Inelástco (EI) 3. S el momento dsmnuye después de haber exceddo el momento cedente, la rgdez es menor que la rgdez ncal pero mayor que la rgdez (EI) 2. Rango nelástco durante el cerre de gretas (EI) 4. Cuando la recarga es de sentdo opuesto a la recarga anteror comenza el cerre de las gretas, por lo tanto la rgdez del elemento es muy bao. Rango nelástco después del cerre de gretas (EI) 5. Al momento de que todas las gretas del concreto se cerran, la rgdez del elemento se recupera por el buen comportamento del concreto a compresón. Fgura 1.5. Curva de comportamento de Takeda-modfcada (Momento-Curvatura). Adoptado por el DRAIN-2D para el comportamento hsterétco. Tomada de [8]. 22

23 El modelo adoptado es capaz de representar el estrangulamento ( pnchng ) en los lazos hsterétcos de comportamento. El estrangulamento en las curvas hsterétcas es smulado medante el uso de un parámetro ( α p ). El parámetro α p dsmnuye los momentos y las curvaturas efectvas durante la recarga del elemento y cerre de gretas, ver ecuacón 1.2 y fgura 1.6a. Este nuevo parámetro ntroducdo en este modelo depende de la relacón entre la luz de corte a y la profunddad efectva del elemento (vga-columna) d. Esta relacón obedece a la sguente funcón empírca: α p α α p a.4 d p 1.6 s s s a d 1.5 < a d < 1.5 a d 4. < 4. (1.1) M p α Mn φ α φn (1.2) p p p El modelo adoptado para el elemento vga-columna, es un elemento subdvddo en tres regones [9], fgura 1.6b. Una prmera regón nelástca de longtud x en el nodo, la cual tene una rgdez promedo (EI). La segunda regón nelástca de longtud x en el nodo, el cual tene una rgdez promedo (EI). Y la tercera regón central de longtud (L-x -x ), la cual tene un comportamento elástco con una rgdez gual a la ncal (EI) e. S las rgdeces en cada regón del elemento son conocdas, los coefcentes de la matrz de rgdez pueden ser calculadas. Los coefcentes de esta matrz dependen de la longtud plástca en cada extremo,, las cuales serán proporconales a la cantdad que el momento efectvo halla exceddo el momento cedente. Ver fgura 1.6b. 23

24 a) b) Fgura 1.6. a) Smulacón del estrangulamento. b) Modelo vga-columna adoptado por el modelo de DRAIN-2D. Tomada de [9]. Dcho modelo mplementado en el programa DRAIN-2D, es capaz de tomar en cuenta la nfluenca de la fuerza axal en el comportamento a flexón de los elementos vga-columna. Tambén puede representar la degradacón de los esfuerzos durante las cargas cíclcas, smulando la fatga del materal bao este tpo de cargas. 2.- Análss Estructural de Pórtcos de Concreto Armado. Programa IDARC [1]. El modelo mplementado en el programa IDARC logra combnar la plastcdad concentrada en los extremos del membro y una flexbldad dstrbuda en el centro del elemento. El comportamento nelástco del elemento es controlado por un modelo hsterétco que utlza una envolvente trlneal asmétrca y permte modelar la degradacón de rgdez, deteroro de esfuerzo y el estrangulamento. Los parámetros estructurales requerdos para el análss sísmco nelástco son calculados en el núcleo, usando la teoría de concreto armado y ecuacones empírcas que surgen de dversos estudos expermentales. El esquema mplementado en el programa IDARC usa un modelo aproxmado, dscretzando la estructura membro por membro, con una combnacón de plastcdad concentrada en los extremos del elemento y un esquema de flexbldad dstrbuda para 24

25 explcar la ncorporacón de las deformacones plástcas. Las prncpales característcas se menconan a contnuacón: Aproxmacón de la flexbldad del elemento para construr la matrz de flexbldad, la cual permte la varacón de los puntos de contra-flexón (Ver fgura 1.7). En los puntos de contra-flexón se ubcan resortes nelástcos por flexón que se comportan en contra del movmento del elemento, representando la fuerza necesara que soporta el elemento para sufrr la deformacón aplcada. Fgura 1.7. Resorte nelástco a flexón. Tomado de [1]. El modelo hsterétco general es capaz de representar los tres patrones de comportamento en elementos de concreto armado: degradacón de rgdez, deteroro de los esfuerzos y estrangulamento o pnchng en las curvas hsterétcas. Uso de la curva envolvente trlneal asmétrca que dstngue el agretamento y la cedenca. Determnacón en el núcleo de los parámetros de la curva envolvente trlneal basado en muchos ensayos expermentales. El modelo hsterétco desarrollado e mplementado en el programa IDARC para análss nelástcos usa tres parámetros en conunto, con el cual la curva patrón trlneal (fgura 1.8) es modfcada cuando ocurren cargas hsterétcas e ncursonan en el rango nelástco. 25

26 Fgura 1.8. Curva patrón de comportamento trlneal. Tomada de [1] Las curvas de comportamento del concreto y el acero, adoptadas por el modelo, se presentan en la fgura 1.9a y 1.9b, respectvamente. a) b) Fgura 1.9. Curvas de comportamento del a) concreto y b) acero. Tomada de [1]. Los prncpales efectos smulados con el modelo trlneal y la combnacón de los tres parámetros ( α, β y γ ) se lustran en la fgura 1.1. Los valores de estos tres parámetros determnan las propedades de la degradacón de la rgdez, deteroro del esfuerzo y el estrangulamento, respectvamente. 26

27 Fgura 1.1. Parámetros del modelo y sus nfluencas en la curva de comportamento hsterétco. Tomada de [1]. La degradacón de rgdez, medante el parámetro α, es ntroducdo al modelo por la seleccón de un punto común sobre la prolongacón de la línea de rgdez ncal, al cual se supone que apuntan todas la líneas de descarga hasta llegar al ee X, ver fgura 1.1a. El estrangulamento en las curvas de comportamento hsterétco, meddo por el parámetro γ, es tomado en cuenta al escoger un punto sobre la línea de descarga preva cuyo nvel de carga sea γp y, como se puede aprecar en la fgura 1.1b. La línea de recarga apunta al punto menconado hasta llegar al punto de cerre de gretas (esta es una regla del modelo), luego la línea camba de dreccón y apunta haca la deformacón máxma o mínma que ha sufrdo el elemento. Este efecto conduce a un estrangulamento en las curvas de comportamento hsterétco e ndrectamente reduce la cantdad de dspacón de energía. 27

28 Por últmo, el parámetro β especfca la tasa de degradacón de esfuerzo, como se observa en la fgura 1.1c. Este msmo parámetro es usado para defnr el índce de daño en el modelo por elemento. La combnacón de estos parámetros hace que el modelo pueda representar de forma adecuada el comportamento hsterétco de estructuras de concreto armado. Pero los valores que se les deben asgnar a los parámetros α, β y γ, para la buena smulacón de las estructuras de concreto armado, deben ser calbrados con ensayos expermentales. Es por esto que el modelo es poco práctco. 3.- Modelo smplfcado de daño bao de cargas monotóncas. En la Unversdad de Los Andes, el Dr. Julo Flórez López [11] desde 1993, comenzó proponendo un modelo smplfcado de daño para pórtcos de concreto armado, con un enfoque dferente a todos los modelos anterores. Basándose en los conceptos de la teoría del daño concentrado, la mecánca de los medos contnuos y de la fractura adaptados a estructuras aportcadas de concreto armado. Este modelo combna la defncón de la varable de daño de los medos contnuos con el concepto de rótulas plástcas, permtendo descrbr el comportamento de las estructuras. Incorporando efectos ben conocdos, los cuales nfluyen en el deteroro de una estructura. Este modelo permte representar los efectos de plastcdad y degradacón del materal, debdo a la fluenca del acero y al agretamento del concreto, respectvamente. Para smular el problema se utlza el modelo de dspacón concentrada, el cual representa cada membro como el ensamblae de una vga-columna elástca y dos rótulas nelástcas ubcadas en los extremos de la vga-columna. Suponendo que la dspacón de energía, daños y plastcdad, se concentran en las rótulas y, mentras que la vga-columna mantene un comportamento elástco (ver fgura 1.11). 28

29 Rótulas Inelástcas Vga-Columna Elástca Fgura 1.11 Modelo de Dspacón Concentrada de un membro Para consderar la fluenca del acero y el agretamento del concreto se ncluyen dos grupos de varables nternas: un grupo de varables de daños { D } { d, } d que representan el nvel de agretamento en las rótulas y bao accones postvas, y otro grupo de p p deformacones plástcas o permanentes { φ } { φ,φ } p en las rótulas y. El modelo ha sdo desarrollado para membros de concreto armado, sometdo a cargas monotóncas, hacendo uso de los conceptos de la teoría de los medos contnuos [11]. Los valores que pueden tomar las varables de daños se encuentran en un ntervalo cerrado entre cero y uno 1. S el valor de la varable de daño es cero, el concreto se encuentra ntacto, y s es uno el concreto se encuentra totalmente agretado. Una estructura de concreto armado es smulada usando varos modelos de dspacón concentrada como vgas o columnas. Pudendo reproducr los nveles de agretamento y las deformacones permanentes en cada rótula de cada elemento que conforma la estructura. El problema es dvddo en un problema global y otro problema local. El problema global solucona numércamente el sstema de ecuacones de equlbro de los nodos para obtener los desplazamentos nodales de la estructura, mentras que el problema local determna numércamente las fuerzas nternas, las varables nternas y la contrbucón de los membros al desplazamento de los nodos de la estructura. Consderando un membro de un pórtco plano en el caso de pequeñas deformacones, las t deformacones y esfuerzos generalzados del membro se denotan por: {} φ { φ φ, δ} t { M} { M, M, N}, respectvamente., y 29

30 Fgura Esfuerzos Generalzados. Fgura Deformacones Generalzadas. La matrz columna {M} t { M, M, N }, donde M y M son los momentos flectores en los extremos y del membro respectvamente, y N es la fuerza axal (ver fgura 1.12). t La matrz columna {} φ { φ φ, δ},, donde φ y φ corresponden a las rotacones en los extremos y respecto a la cuerda del membro respectvamente, y δ al alargamento de la cuerda del membro, pudendo así representar la deformacón generalzada del membro (ver fgura 1.13). La energía de deformacón complementara W del elemento elasto-plástco degradable bao cargas monotóncas se defne [11]: 1 t 1 t W { M} [ C( D) ]{ M} { M} [ Fo]{ M} (1.3) 2 2 donde el prmer térmno es la energía de deformacón complementara en las rótulas y el segundo, es la energía de deformacón complementara de la vga-columna elástca. De la mecánca de la degradacón y de la fractura se puede defnr la tasa de dspacón de energía o la fuerza conductora de la greta [12], medante la expresón: W W G d G (1.4) d G W d { } 3

31 La ley de comportamento de este elemento elasto-plástco degradable se encuentra conformado por la ley de estado y las leyes de evolucón de las varables nternas. La ley de estado relacona la hstora de las deformacones generalzadas con la hstora de los esfuerzos generalzados y es funcón de las varables nternas [12]. Esta ley, bao cargas monotóncas, puede obtenerse a partr de la energía de deformacón complementara [12]. e W p { } { φ φ } C( D) [ ] [ Fo] ]{ M} φ (1.5) M p { φ } F( D) [ ]{ M} φ (1.6) donde la matrz de flexbldad de un elemento elásto-plástco degradable bao accones monotóncas se puede expresar de la sguente manera [12]: F 11 F12 1 d F22 F F21 (1.7) 1 d F33 [ ( D) ] [ C( D) ] [ Fo ] donde los térmnos con super-índces cero son los coefcentes de flexbldad elástcos tal como son presentados en los lbros de textos de análss estructural. Las leyes de evolucón de las varables nternas pueden expresarse en funcón de dos funcones límtes para cada una de las rótulas nelástcas. Una de las funcones es la funcón de fluenca plástca, que será llamada f para la rótula y f para la rótula. La segunda funcón límte es la funcón de daño, que será llamada g para la rótula y g para la rótula. 31

32 32 La funcones de fluenca plástca para cada rótula se pueden expresar de forma general [12], como se ndca a contnuacón: ( ) ( ) y p p M c d 1 m f N,,d M, f f φ φ (1.8) ( ) ( ) y p p M c d 1 m f N,,d M, f f φ φ donde y y M, M, c, c son parámetros del modelo de daño concentrado. Las expresones mostradas en (1.8) se nterpretan como: la funcón de fluenca plástca depende del momento aplcado en la rótula, su deformacón plástca y su valor de daño. La fuerza axal puede aparecer en la expresón de esta funcón como parámetro. La ley de evolucón de las deformacones permanentes o plástcas puede expresarse de la sguente manera: φ < < φ φ < < φ f f s f f s f f s f f s p p p p & & & & & & & & (1.9) La ley de evolucón del daño se obtene por analogía con la anteror, la funcón límte de la varable de daño se expresa de la sguente manera: ( ) ( ) ( ) φ p d 1 d ln 1 q Gcr G g N,,d, G g g (1.1) ( ) ( ) ( ) φ p d 1 d ln 1 q Gcr G g N,,d, G g g donde q, q, Gcr, Gcr son par.ametros del modelo de daño. La ley de evolucón del daño [12] en cada rótula se puede expresar de la sguente manera:

33 d& d& s s g g < g& g& < d& d& s s g g < g& g& < (1.11) Los parámetros c, c, M y, M y, Gcr, Gcr, q, q, son constantes que no tenen nterpretacón físca, pero pueden ser calculados medante la resolucón de un sstema de ecuacones no lneales, y son funcón de las propedades del membro como los dagramas de nteraccón Momento de Agretamento-Carga axal, Momento Plástco-Carga axal, Momento Ultmo-Carga axal y Deformacón Plástca Ultma-Carga axal. Estas propedades pueden ser determnadas por medo de la teoría clásca del concreto armado [4]. Es por esto que el efecto de la varacón de la carga axal en el comportamento a flexón es tomado en cuenta en el modelo de daño concentrado al determnar cada uno de los parámetros utlzados en el modelo. En el caso de cargas monotóncas el sstema de ecuacones para determnar los parámetros antes menconados debe cumplr con las sguentes condcones de bordes: S M M cr d y g (a) S M Mp φ p, g y f (b) S M Mu dm y g (c) (1.12) S M Mu φ p p φ u, g y f (d) donde, M cr : es el Momento de Agretamento del membro. Mp : es el Momento de Fluenca del membro. Mu : es el Momento Ultmo del membro. φ p u : es la deformacón plástca últma del membro. De esta manera se determnan cada uno de los parámetros utlzados en el Modelo Smplfcado de Daño, en funcón de los dagramas de nteraccón carga axal Momento de 33

34 Agretamento, Plástco, Ultmo y de la Deformacón Plástca Ultma, los cuales son obtendos de la teoría clásca de concreto armado [4]. En la fgura 1.14(c) se representa el buen comportamento del Modelo Smplfcado de Daño con cargas monotóncas. Al compararlo con un ensayo expermental de una vga smplemente apoyada como se observa en la fgura 1.14(a) sometda a una hstora de desplazamentos reversbles como se muestra en la fgura 1.14(b). P desp (a) (P) (b) (P) (P) tme (c) ( c ) Fgura 1.14 Ensayo Expermental del Modelo Smplfcado de Daño bao cargas reversbles. 34

35 CAPITULO II MODELO DE DAÑO CONCENTRADO CON ESTRANGULAMIENTO EN UNIONES VIGAS PLANAS- COLUMNAS La respuesta nelástca de las estructuras de concreto armado bao cargas cíclcas y/o sísmcas es caracterzada medante la degradacón de rgdez y deformacones permanentes de los elementos que conforman las estructuras. Este tpo de comportamento hsterétco es un fenómeno muy compleo que es nfluencada por dferentes parámetros estructurales y propedades de los materales. En la seccón precedente se menconaron varos modelos de análss estructurales que permten modelar el comportamento no lneal y representar fenómenos como la degradacón de rgdez, degradacón de resstenca y el estrangulamento en las curvas hsterétcas Carga-Desplazamento. Todos estos modelos, antes menconados, utlzan parámetros que deben ser evaluados y calbrados medante ensayos expermentales, y así, poder obtener el comportamento hsterétco mas real. El estrangulamento en las curvas de comportamento Fuerza-Desplazamento en untas vga plana-columna es debdo prncpalmente por el deslzamento o la pérdda de adherenca entre el acero de refuerzo y el concreto de las vgas planas en la unta. Este fenómeno es modelado medante los prncpos de la Teoría del Daño Concentrado. Esta teoría está basada en los métodos de la Mecánca de la Fractura, la Mecánca del Daño 35

36 Contnuo y el Concepto de Rótula Plástca. La Teoría del Daño Concentrado es un modelo general que ha permtdo smular el comportamento de estructuras de concreto armado bao cargas monotóncas [11, 6], cargas cíclcas [13, 5], Fatga de bao cclae [14, 6]. Esta teoría modela cada elemento que conforma la estructura de concreto armado como el ensamblae de una vga-columna elástca y dos rótulas nelástcas en los extremos (Fgura 2.1). Hasta ahora, el modelo general desarrollado ha permtdo modelar el comportamento de las estructuras de concreto armado sometda a dferentes tpos de cargas medante la ntroduccón de dos varables de daño y una varable de deformacón plástca por rótula. Caracterzando el agretamento del concreto por medo de las dos varables de daño y la fluenca del acero de refuerzo por medo de rotacones plástcas o permanentes del elemento. Todas estas varables permten la degradacón de rgdez y resstenca de los membros del pórtco. Rótula Inelástcas Vga-Columna Elástca Fgura 2.1. Modelo de daño concentrado. Hasta ahora nngún modelo basado en la teoría del daño concentrado consdera el efecto de estrangulamento en los lazos hsterétcos de las unones vgas plana-columna. El modelo aquí presentado amplía los conceptos de la teoría del daño concentrado para nclur el efecto de estrangulamento en las curvas hsterétcas debdo al deslzamento entre el acero de refuerzo y el concreto en las unones nternas y externas de vgas planas-columnas. El modelo amplado es capaz de representar la degradacón de rgdez y resstenca por el agretamento del concreto, deformacones nelástcas por la fluenca del refuerzo y la pérdda de adherenca entre el refuerzo y el concreto en las untas vgas planas-columnas. Este últmo efecto genera en los lazos de comportamento hsterétcos, Carga- 36

37 Desplazamento o Momento-Rotacón, un estrangulamento bastante pronuncado en este tpo de untas. En las untas vgas planas-columnas gran parte del acero de refuerzo de la vga pasa por fuera del núcleo de la columna, orgnando una condcón de adherenca menos fuerte que en las conexones con vgas normales. 1.- Modelo de daño concentrado bao accones hsterétcas sn consderar el estrangulamento. Para realzar el análss de estructuras de concreto armado, utlzando el modelo de daño concentrado como un elemento fnto, es precso dvdr el problema en dos, uno llamado problema local y otro problema global. Es necesaro defnr todas las varables y las ecuacones para los dos problemas que ntervenen en la solucón. Entre las varables tenemos los desplazamentos, deformacones y esfuerzos generalzados, las fuerzas externas e nternas y las varables nternas (deformacones plástcas y daños). Las ecuacones usadas para la solucón de los problemas son las ecuacones cnemátcas, de equlbro y la ley de comportamento. Consderemos una estructura aportcada plana compuesta por m membros estructurales undos entre sí por n untas llamadas nodos, como se ndca en la fgura 2.2a. El comportamento del pórtco se caracterzará utlzando el marco general y la notacón descrta en trabaos anterores [6, 15, 12, 16, 17], en donde se emplea la mecánca de los medos contnuos adaptada a la teoría de pórtcos. El movmento del pórtco se representa medante las varables de desplazamento generalzado de los nodos. El desplazamento generalzado del nodo es representado por el vector { X } t { u,v,θ} y se muestra en la fgura 2.2b, t ndca que el vector es transpuesto. El desplazamento del pórtco se obtene al agrupar el desplazamento de cada nodo de la t t t estructura medante el vector { } { X,X,...,X } U. Al aslar un elemento del pórtco, por 1 2 t n 37

38 eemplo el elemento 3 de la fgura 2.2a, podemos representar el desplazamento del { } t t elemento como { q } { X },{ X } 3 t y las varables locales de cada elemento. Las varables locales son las deformacones generalzadas, esfuerzos generalzados y las varables nternas. Las deformacones generalzadas caracterzan el cambo de forma de cada elemento estructural que componen el pórtco, y es representado por el vector t {} φ { φ φ, δ } (fgura 2.2c), donde los dos prmeros térmnos representan las rotacones, totales del membro con respecto a la cuerda en los extremos y respectvamente, y el últmo térmno representa el alargamento total del membro. Los esfuerzos generalzados caracterzan las fuerzas locales que actúan en cada membro y es representada por el vector t { M} { m,m,n}, donde m y m son los momentos flectores en los extremos y del membro respectvamente y n es la fuerza axal (ver fgura 2.2d). a) m n-1 n b) m u v θ c) d) φ φ Loδ n m m Lo Fgura 2.2. a) Pórtco Plano b) Desplazamentos Generalzados c) Deformacones Generalzadas d) Esfuerzos Generalzados 38

39 El comportamento nelástco del pórtco es controlado por las varables nternas ncorporadas en el modelo. Estas varables nternas son las deformacones permanentes por la fluenca del refuerzo y los daños por el agretamento del concreto. El modelo de daño concentrado usa el modelo de dspacón concentrada y el concepto de daño unlateral de la teoría de la mecánca de la fractura. El elemento fnto se representa como el ensamblae de una vga-columna elástca y dos rótulas nelástcas ( y ) en los extremos del elemento, tal como se ndca en la fgura 2.3. En las rótulas nelástcas concentramos todos los efectos nelástcos como las deformacones permanentes por fluenca del refuerzo, la pérdda de rgdez y resstenca por el agretamento del concreto. El concepto de daño unlateral nos permte manear dos grupos de varables de daño [17], una postva { } { d, d } negatva { D } { d, d } D y otra. Estas varables de daños representan el nvel de agretamento del membro por accones postvas y negatvas, como de lustran en la fgura 2.4. Los valores que pueden tomar las varables de daños varían entre cero (materal ntacto y la conexón sería totalmente rígda) y uno (materal totalmente agretado y representaría una artculacón). Rótulas Inelástcas Vga-Columna Elástca Fgura 2.3. Modelo de dspacón concentrada. d & d & > d & > d & d & d & > d & d & > Fgura 2.4. Interpretacón de las varables de daños en cada rótula. 39

40 p t p p El vector de deformacones permanentes es representado por { } { φ, φ,} φ, y hasta ahora, representa las rotacones permanentes en las rótulas nelástcas extremas y del membro por la fluenca del refuerzo en los elementos de concreto armado. El alargamento permanente es gnorado para este tpo de materal, esto no es un requermento del modelo, s no una manera de smplfcarlo. 2.- Fuerzas nternas generalzadas. Las fuerzas nternas generalzadas que actúan sobre el membro en la confguracón deformada, se agrupan en la matrz columna {Q} t ( Q 1, Q 2, Q 3, Q 4, Q 5, Q 6 ) según muestra la fgura 2.5. Los subíndces corresponden a los desplazamentos posbles de los nodos en los extremos del membro. Fgura 2.5 Fuerzas nternas de un membro. 3.- Fuerzas externas. Las fuerzas externas se consderan aplcadas en los nodos de la estructura y se representan medante la matrz columna {P} t ( P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6,..., P 3n ), en ella se ncluyen las fuerzas actuantes aplcadas y las reaccones en los nodos con desplazamentos restrngdos o apoyos de la estructura ( ver fgura 2.6 ). El problema a resolver es la determnacón de los desplazamentos generalzados de la estructura, y esto queda completamente defndo y 4

41 resuelto con las ecuacones de compatbldad, equlbro y las leyes de comportamento, las cuales las estudaremos mas adelante. P 4 P 5 P 6 P 1 P 3 P 3n-1 P 3n P 2 Fgura 2.6 Fuerzas Externas. 4.- Ecuacón cnemátca, equlbro y ley de comportamento bao accones hsterétcas sn consderar el estrangulamento. La ecuacón cnemátca (1) relacona los desplazamentos generalzados con las deformacones generalzadas a través de la matrz de transformacón [ B ( q) ], la cual es expresada en funcón del desplazamento para grandes desplazamentos o efecto P- y es descrta en trabaos prevos [6, 11]: { d } [ B( q) ]{ dq} φ donde (1) [ B( q) ] Senθ ( q) L( q) Senθ ( q) L( q) Cosθ ( q) Cosθ ( q) L( q) Cosθ ( q) L( q) Senθ ( q) 1 Senθ ( q) L( q) Senθ ( q) L( q) Cosθ ( q) Cosθ ( q) L( q) Cosθ ( q) L( q) Senθ ( q) 1 (2) La ley de comportamento está compuesta por la Ley de estado y las Leyes de evolucón de p las varables nternas antes menconadas { }, { D }, { D } φ. 41

42 5.- Ecuacones de Equlbro Se tenen defndas dos ecuacones de equlbro, una para el membro (local) y otra para la estructura (global). La ecuacón de equlbro local relacona el vector de esfuerzos generalzados (ver fgura 2.2d) con las fuerzas nternas generalzadas del membro (ver fgura 2.5). La relacón geométrca entre estas dos varables permte escrbr la sguente expresón para cada membro b : t { } [ B( qb )] { dm } b dq (3) b donde [ ( )] t B es la matrz geométrca transpuesta. q b La segunda ecuacón de equlbro es la ecuacón global. Dcha ecuacón está basada en el teorema de las potencas vrtuales donde los esfuerzos nternos deben estar en equlbro con las fuerzas externas. Este prncpo establece que: Al consderar un pórtco con n nodos y m membros (fgura 2.1a) sueto a velocdades nfntesmales vrtuales { X & }, la potenca vrtual de las fuerzas externas P e debe ser gual a la sumatora de las potencas vrtuales de las fuerzas nercales sguente: P a e nternas P del pórtco. Obtenendo la expresón P P P (4) e a La potenca vrtual de las fuerzas externas desarrollada por las fuerzas externas { } P e de una estructura se defne como la potenca P sobre la velocdad vrtual { } X & de la estructura. Esta expresón se representa de forma matemátca como el producto entre el vector de velocdades nodales vrtuales { X & } t y el vector de las fuerzas externas aplcadas en los nodos { P } (ver fgura 2.6): 42