UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

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1 UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que la ecuació es de coeficietes costates. Ua ecuació diferecial lieal homogéea de orde tiee la forma: d y a a a a y= d d d Es decir, ua ecuació diferecial lieal es homogéea si la fució g ( ) es cero. E caso cotario, se dice que es o homogéea o ihomogéea. De las ecuacioes difereciales de orde superior, la más importate es la ecuació de segudo orde: a a a y= g d d. Problema de valor iicial De la misma forma como se plateó el problema de valor iicial para ua ecuació diferecial de primer orde, se puede platear el problema de valor iicial para ua ecuació de orde superior: d y Resolver: a a a a y= g d d d Sujeta a: y( ) = y, y y = y = y dode y, y, y so costates arbitrarias. Al resolver el problema de valor iicial, se busca ua solució particular e algú itervalo I que cotega al puto y que cumpla e dicho puto co los valores especificados de y y sus derivadas. Para la ecuació de segudo orde, el problema de valor iicial se simplifica a: Resolver: a a a y= g d d Sujeta a: y( ) = y, y = y No cofudir co el las ecuacioes difereciales de primer orde de coeficietes homogéeos que se viero e la Uidad. REVISIÓN Págia -

2 UNIDAD Relacioado al problema de valor iicial, eiste tambié el problema de valores e la frotera: Resolver: a a a y= g d d Sujeta a: y( ) = y, y( ) = y.3 Teorema de eistecia y uicidad Al igual que e el caso de las ecuacioes difereciales de primer orde, este teorema establece las codicioes ecesarias para que u problema de valor iicial tega solució (eistecia) y que esa solució sea la úica que eiste (uicidad). Sea a, a a, a y g ( ) cotiuas e u itervalo I y sea a para todo e este itervalo. Si = es cualquier puto de este itervalo, etoces eiste ua solució y( ) del problema de valor iicial e el itervalo, y esa solució es úica..4 Depedecia e idepedecia lieal (wroskiao) es liealmete depediete e u itervalo I si eiste costates c, c c, o todas cero, tales que la combiació lieal de las fucioes cf cf cf sea igual a cero para todo e el itervalo. Si u cojuto de fucioes o es liealmete depediete, se dice que el liealmete idepediete. Defiició: Se dice que u cojuto de fucioes f, f f Ejemplo: f = se y f = se cos so liealmete depedietes e el itervalo < <, ya que por la idetidad trigoométrica se Acos B= [ ] se A B se A B se puede demostrar que se cos se=. E este caso, c = y c =. Ejemplo: 5, y so liealmete idepedietes porque la úica maera de que la combiació lieal c ( 5 c c3 ) sea cero es que las costates c, c y c 3 sea cero. El siguiete teorema permite determiar si u cojuto dado de fucioes es o o liealmete depediete: Supógase que se tiee u cojuto de fucioes f, f derivadas. Si el determiate f f f f f f ( ) ( ) ( ) f f f f que tiee al meos es diferete de cero e al meos e u puto del itervalo I etoces la fucioes dadas f, f f so liealmete idepedietes e el itervalo. REVISIÓN Págia -

3 Este determiate se desiga como W( f f f ) UNIDAD, y se deomia wroskiao de las fucioes, e hoor de Josef Maria Hoëe Wroski ( ) acido e Poloia, educado e Alemaia y que pasó la mayor parte de su vida e Fracia y cuya úica cotribució sigificativa a las matemáticas fue el determiate que lleva su ombre. Ejemplo: W( se,se cos ) = liealmete depedietes., W e, e = liealmete idepedietes. Ejemplo:.5 Pricipio de Superposició y Solució Geeral El pricipio de superposició se eucia a partir de los siguietes tres postulados: Ua ecuació diferecial lieal homogéea de orde superior siempre tiee la solució trivial y =. Si y costate de ella, y cy Sea y ( ), y ( ) yk es ua solució de ua ecuació diferecial lieal homogéea, etoces cualquier múltiplo = tambié es ua solució. diferetes solucioes de la ecuació diferecial lieal homogéea de orde e u itervalo I. Etoces, la combiació lieal de esas solucioes y = cy cy c y c so costates arbitrarias, k k dode las costates c, c k es tambié ua solució de la ecuació diferecial. Se llama cojuto fudametal de solucioes e u itervalo I a cualquier cojuto y, y y de solucioes liealmete idepedietes de ua ecuació diferecial lieal homogéea de orde. A la y = cy cy cy se le llama combiació lieal del cojuto fudametal de solucioes solució geeral (tambié llamada solució completa) de la ecuació diferecial..6 Solució de ecuacioes difereciales lieales homogéeas de segudo orde De las defiicioes plateadas e la secció., se tiee que la forma geeral de la ecuació diferecial lieal homogéea de segudo orde es: = a a a y d d.6. Elaboració de ua seguda solució a partir de ua solució coocida Sea y ua solució o trivial de la ecuació diferecial homogéea de segudo orde. Etoces, puede geerarse ua seguda solució co la fórmula: y = y e y a d a d Ejemplo: 3 4 =, y y y y = y = l REVISIÓN Págia -3

4 UNIDAD.6. Solució de ecuacioes lieales homogéeas de segudo orde co coeficietes costates Se desea ecotrar la solució a la ecuació diferecial lieal homogéea de segudo orde co coeficietes costates: = a d b d cy dode a, b y c so costates y a. Para defiir u puto de partida para el aálisis de esta ecuació, cosidérese primero la ecuació diferecial lieal homogéea de primer orde co coeficietes costates: dy A By d = Esta ecuació tiee solució geeral y Ce B A m B =, es decir y = Ce dode m = A es costate. Por m comparació, esto sugiere itetar ua solució de prueba y = e para la ecuació de segudo orde. Sustituyedo esta solució de prueba e la ecuació de segudo orde: d m d m m a ( e ) b ( e ) c( e ) = d d m m m a m e b me c e = m am bm c e = m Ya que, e geeral, e, etoces se llega a la coclusió que: am bm c = Este poliomio se cooce como ecuació característica. Aú cuado se debería obteer siempre sustituyedo la solució de prueba e la ecuació diferecial, se puede observar que la potecia de m e cada térmio de la ecuació característica correspode co el orde de la derivada de cada térmio de la ecuació diferecial, se suele deducir la ecuació característica directamete de la ecuació diferecial. Las raíces de este poliomio so los valores de m que satisface la ecuació característica, geeralmete idetificados como m y m. Las raíces se obtiee por factorizació (cuado es posible) o aplicado la fórmula geeral para la ecuació cuadrática. La solució geeral de la ecuació diferecial depederá etoces del tipo de estas raíces, de acuerdo co los casos siguietes: CASO : Raíces reales diferetes. Si las raíces so dos úmeros reales diferetes, la solució geeral está epresada e térmios de fucioes epoeciales de la siguiete forma: y = Ce Ce m m CASO : Raíces reales repetidas. Si las dos raíces so iguales, es decir, m = m = m, etoces la solució geeral tiee la siguiete forma: y = Ce C e m REVISIÓN Págia -4 m

5 UNIDAD CASO 3: Raíces complejas cojugadas. Si las dos raíces so de la forma m = αβ i y m = α β i (a veces epresado como iθ m=α±β i), etoces puede aplicarse la fórmula de Euler e = cosθ ise θ para escribir la solució e la forma: α cos y = C e se β C e β α CASO ESPECIAL : Raíces imagiarias puras. Si las raíces so de la forma m = ki y m = ki (o bie m = ± ki ) la solució o tiee parte epoecial y sólo está formada por fucioes trigoométricas: cos y = C se k C k CASO ESPECIAL : Raíces reales iguales pero de sigo opuesto. Si las raíces so de la forma m = k y m = k (o lo que es equivalete, m =± k ) la solució puede epresarse e térmios de fucioes trigoométricas hiperbólicas e vez de epoeciales: cosh y = C seh k C k 3 Ejemplo: y y 6y= y= Ce Ce 3 3 Ejemplo: y 6y 9y= y= Ce Ce Ejemplo: y 4y 3y= sujeta a y = y y = 4 y = e ( cos3 se3).7 Ecuacioes difereciales lieales homogéeas de orde superior Cosidérese la ecuació diferecial lieal homogéea de orde superior co coeficietes costates: d y d y = a a a a a y d d d d dode a. Esta ecuació se resuelve de modo aálogo a la ecuacioes de segudo orde: a partir de la ecuació diferecial, se deduce la ecuació característica, que se factoriza para ecotrar las raíces m, m m. La solució geeral está dada por la combiació lieal de todas las solucioes, de acuerdo a los siguietes casos, que so ua etesió de los casos para ecuacioes de segudo orde. E cualquier situació, la solució geeral de la ecuació de orde deberá estar formada por la combiació lieal de solucioes liealmete idepedietes y coteer costates arbitrarias. CASO : Raíces reales diferetes. Si la ecuació característica tiee k raíces reales diferetes o repetidas, la solució geeral debe coteer la combiació lieal de cada ua de las fucioes epoeciales correspodietes a esas raíces: e e e e m m m 3 m k,,,, REVISIÓN Págia -5

6 UNIDAD CASO : Raíces reales repetidas. Cuado m j es ua raíz real de multiplicidad k (es decir, k raíces so iguales a solució debe coteer la combiació lieal de las siguietes k solucioes: m j ), la m j m j m j k m j e, e, e e Es decir, se agrega solucioes co potecias de hasta teer k solucioes. CASO 3: Raíces complejas cojugadas repetidas. Cuado mj = α βi es ua raíz compleja de multiplicidad k, etoces su cojugada α βi tambié es ua raíz de multiplicidad k. E este caso, la solució geeral de la ecuació diferecial correspodiete debe coteer ua combiació lieal de las siguietes k solucioes: β β β β α α α k e cos, e cos, e cos,, α e cos β β β β α α α k e se, e se, e se,, α e se De la misma maera, se ve que se está agregado solucioes co potecias cada vez mayores de hasta obteer el úmero ecesario de solucioes. La etapa más difícil e el proceso de resolver ua ecuació diferecial de orde superior homogéea co coeficietes costates es ecotrar las raíces de la ecuació característica. Hay dos herramietas algebraicas que puede ayudar e este paso: la regla de los sigos de Descartes y la divisió sitética. Regla de los sigos de Descartes Sea la fució poliomial f ( m) = am a m am a, se desea ecotrar valores de m que satisface f ( m ) =, es decir, se busca las raíces del poliomio.. Se cueta las variacioes de sigo de los térmios de f m, que costituirá el úmero de raíces positivas o ese úmero dismiuido e u úmero par.. El úmero de raíces egativas será el úmero de variacioes de sigo de los térmios de f ( m) o ese úmero dismiuido e u úmero par. 3. P será el cojuto de los divisores eactos del coeficiete del térmio idepediete ( a ). 4. Q será el cojuto de los divisores eactos del coeficiete del térmio de mayor grado ( a ). 5. R será el cojuto de todas las posibles combiacioes de divisioes de los valores de P etre los valores de Q, tato positivas como egativas, si repeticioes, y forma el cojuto de las posibles raíces reales. 6. Estas posibles raíces se prueba mediate divisió sitética y se va reduciedo así el grado del poliomio. 7. Si, después de esayar todas las posibles raíces reales o se ha ecotrado u úmero de raíces igual al grado del poliomio, las raíces restates so raíces complejas (que aparece e úmero par pues siempre so pares cojugados). REVISIÓN Págia -6

7 UNIDAD Divisió sitética Éste es u procedimieto rápido para dividir u poliomio f ( m) = am a m am a etre u factor de la forma ( m a).. Si a = se debe elimiar u factor comú m que represeta ua raíz m =.. Se escribe los coeficietes de las potecias de m e orde descedete de acuerdo a la potecia de m. Si algú térmio falta e el poliomio, su coeficiete es cero. Escribir a cotiuació de los coeficietes ua casilla, y colocar ua líea u regló abajo de los coeficietes. Ejemplo: 5 8= 3 m m m E la casilla se aota el valor a de la raíz a probar, que correspode al divisor ( m a) Se copia el primer coeficiete por debajo de la líea Se multiplica ese úmero debajo de la líea por el úmero de la casilla, y el resultado se aota e la siguiete columa arriba de la líea Se suma esa columa y el resultado se aota debajo de la líea Se repite desde el paso 5 hasta completar todas las columas REVISIÓN Págia -7

8 UNIDAD 8. Si el último úmero es cero, etoces el úmero de la casilla sí es ua raíz del poliomio y los úmeros del último regló correspode a los coeficietes de u poliomio de grado meor. Si el último úmero o es cero, etoces el úmero de la casilla o es ua raíz, los úmeros del último regló o tiee sigificado particular y el proceso debe repetirse probado otra raíz. 9. Co los úmeros del último regló puede repetirse todo el proceso para ecotrar todas las raíces del poliomio. Como puede haber raíces múltiples, es coveiete probar ua determiada raíz hasta que se ecuetre que ya o es raíz del poliomio Etoces, la factorizació de 5 8= es ( m )( m )( m 4) =, o bie 3 m m m m =, m = y m 3 = 4.8 Ecuacioes difereciales lieales o homogéeas La forma geeral de ua ecuació diferecial lieal de orde superior o homogéea de coeficietes costates es: d y d y a a a a ay= g d d d d a. La solució de esta ecuació está formada por dos partes, ua solució complemetaria y y = y y dode y C es la solució de la dode ua solució particular (tambié llamada itegral particular) C P ecuació diferecial homogéea asociada: d y d y = a a a a a y d d d d La solució particular o debe teer costates arbitrarias, y puede obteerse por el método de coeficietes idetermiados o por el método de variació de parámetros..8. Método de coeficietes idetermiados Usado la otació derivadas de la siguiete forma: D y para la -ésima derivada, se puede escribir ua combiació lieal de y y sus ad y a D y ady ay ( ) ad a D ad a y Dode ad a D ad a se llama operador diferecial lieal de orde. Como es u poliomio e D, a meudo se abrevia P D y tiee las siguietes propiedades: REVISIÓN Págia -8

9 UNIDAD. P( D ) puede ser factorizado e operadores difereciales de orde meor, tratádolo como si fuera u poliomio ordiario.. Los factores de P( D ) puede comutarse. U operador diferecial aulador es aquél poliomio P D que puede reducir ua cierta fució a cero. La siguiete tabla muestra los operadores auladores más comues y las fucioes que puede aular: Operador diferecial D ( D α) ( D β ) D αd α β aula a cada ua de las fucioes,, e α e α, e α, e α cosβ seβ α e cosβ α e seβ α e α e cos se β, β, cos se cosβ, e seβ, e α α β, cosβ β, seβ cosβ, e seβ, e α α cosβ seβ Aplicació del método de coeficietes idetermiados:. Resolver la ecuació diferecial homogéea asociada para ecotrar la solució complemetaria y. C. Buscar operadores difereciales que aule a las fucioes que costituye g ( ), observado que cuado u operador dado pueda aular a más de u térmio de g ( ) o es ecesario repetirlo. 3. De cada operador diferecial se geera ua ecuació característica y se determia sus raíces. 4. Co las raíces obteidas e el paso aterior, escribir la forma de la solució particular y P, empleado A, B, C, etcétera, como costates arbitrarias. Si algua de las raíces para la solució particular ya había aparecido tambié e la solució complemetaria, dichas raíces se tomará e cueta para la multiplicidad. 5. Ya que la solució particular o debe teer costates arbitrarias, hay que determiar los valores de las costates A, B, C, etcétera. Para esto, se sustituye la solució particular e la ecuació diferecial y se geera ua ecuació algebraica co los coeficietes de cada clase de térmios semejates. El úmero de ecuacioes obteidas debe ser el mismo que el úmero de costates buscadas. 6. Se resuelve el sistema de ecuacioes del paso aterior y los valores determiados para las costates A, B, C, etcétera, se sustituye e la solució particular. 7. La solució geeral de la ecuació diferecial o homogéea será la suma de la solució complemetaria y la solució particular. Ejemplo: 3 = Se resuelve y 3y = para ecotrar yc = C Ce. Luego, D aula a 3 y 3y 8e 4se se busca operadores auladores para la parte o homogéea: ( D 3) aula a 3 se yp = Ae Bse Ccos P se y = C Ce 3 e 5se 5cos. de la ecuació diferecial es e, y = e cos. Por lo tato, la solució REVISIÓN Págia -9

10 UNIDAD.8. Método de variació de parámetros La solució geeral de la ecuació diferecial de segudo orde lieal o homogéea de coeficietes costates: a b cy= g d d es y = yc yp dode y C se obtiee a partir de la ecuació diferecial homogéea asociada: a b cy= d d y = uy uy dode y P y y y so las solucioes obteidas e y f u = d y u W dode f = g/ a y W es el wroskiao de y y y. = y C. u y u se obtiee como: yf d W y 4y 4y = e Ejemplo: y = Ce C e e e 3 6 Este método se geeraliza a ecuacioes o homogéeas de orde co coeficietes costates: d y a a a ay= g d d d y = y y, dode C y = uy uy uy, dode La solució geeral está dada por C P homogéea asociada y P W u u = d = W d W W es el wroskiao de las solucioes y, y W y es la solució de la ecuació diferecial u = W d W y de la solució complemetaria y W i es u determiate co los mismos elemetos que el W ecepto la i -ésima columa que se sustituye por,,,., f ( ), co f = g/ a. Ejemplo: y y y y e 3 = y = Ce Ce C e C 3 3 e 3 y= Ce C e C e 8 REVISIÓN Págia -

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