AXIOMAS DE NUMEROS REALES TEORIA DE EXPONENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES EXPONENCIALES

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1 AXIOMAS DE NUMEROS REALES TEORIA DE EXPONENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES EXPONENCIALES. AXIOMA DE LOS NÚMEROS REALES El sistem de los úmeros reles es u cojuto o vcío deotdo por R co dos opercioes iters llmds: ) Adició (+) : Ψ (,) + ) Multiplicció (.) : Ψ (,). y u relció de orde < (<, se lee meor que ); el cul stisfce los siguietes ioms. I. AXIOMAS DE LA ADICIÓN A : Ley de clusur, R + R A : Ley comuttiv, R + + A : Ley Asocitiv,, c R ( + ) + c + ( + c ) A 4 : Eisteci y uicidd del elemeto eutro ditivo Eiste u vlor úico R, deotdo por 0 (0, se lee cero) tl que R: A : Eisteci y uicidd del elemeto iverso ditivo R, eiste u vlor úico deotdo por - tl que: R: + (-) 0 (-) + II. M : M : AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN Ley de clusur, R Ley comuttiv, R. R.. M : Ley Asocitiv:,, c R (. ). c. (. c ) M 4 : Eisteci y uicidd del elemeto eutro multiplictivo Eiste u vlor úico R, deotdo por (, se lee uo ) tl que R:.. M : Eisteci y uicidd del elemeto iverso multiplictivo R / 0; eiste u vlor úico deotdo por - tl que III. D : D : IV. AXIOMAS DE LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA ADICIÓN,, c R Distriutividd por l izquierd ( + c ) + c Distriutividd por l derech ( + ) c c + c AXIOMAS DE ORDEN O Ley de Tricotomí Ddos y R; se cumple u y solmete u de ls siguiete relcioes: < < O Ley Trsitiv,,, c R, se cumple Si; < < c < c O Ley de l Mootoí i),, c R; si < + c < + c ii) Si < 0 < c c < c iii) Si < c < 0 c < c

2 . V. AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE IGUALDAD DE LOS NÚMEROS REALES,, c R, se cumple ) Dicotomí: ) Refleividd: ) Simetrí: 4) Trsitividd: Si : c c ) Uicidd de l dició Si: +c +c 6) Uicidd de l multiplicció Si:.c.c VI. AXIOMAS DEL SUPREMO Todo cojuto A de úmeros reles (A 0: o vcío) cotdo superiormete, tiee u meor cot superior, llmdo supremo de A. RECTA REAL (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA) L rect rel es u rect geométric de ifiitos putos dode cd uo de los putos estlece u correspodeci iuívoc co los úmeros reles, esto os permite visulizr u relció de orde < (meor que) etre dos o más ctiddes, como ilustr l gráfic djut. - 8 #s egtivos #s positivos Itervlo ierto A 0 Itervlo cerrdo B L relció < l grficrl e l rect rel os idic que l ctidd se ecuetr l izquierd de l ctidd. Co respecto l rect geométric deemos teer e cuet lo siguiete:. 0 (cero), es el orige de l rect rel, o tiee sigo.. Los úmeros egtivos so meores que cero.. El cero es meor que culquier úmero positivo. 4. El cojuto A deotdo por A / < < c d + 8 Se deomi itervlo ierto sore el eje rel y tiee dos represetcioes mtemátics X < ; > ó ] ; [ Se lee: perteece l itervlo ierto com. El cojuto B, deotdo por B / c d Dode los etremos c y d está icluidos, se llm itervlo cerrdo sore el eje rel y se lee: perteece l itervlo cerrdo c com d, se deot como: [ ; d ] 6. El vlor soluto de u úmero rel deotdo por stisfce l siguiete regl de correspodeci. ; si 0 ; si < 0 7. L distci etre dos putos y sore el eje rel es: -. TEOREMAS IMPORTANTES EN RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. Ecució de primer grdo e u vrile,, R; co 0. Si + 0, etoces se cumple que:. Ecució de segudo grdo e u vrile,, c, R; co 0 / + + c 0 se cumple que: o tmié: ± ± 4c l símolo 4 c, se llm discrimite de l ecució de segudo grdo.

3 .4. Ecucioes simultáes lieles co dos icógits,, c,,, c R co;, dode: + y c...( α) + y c...( β) se cumple que: y c c c c OPERACIONES BÁSICAS EN EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES c c c 4., R / Adició.- Es l operció mtemátic, que por medio del sigo (+) dos o más ctiddes llmds sumdos se reduce e u sol, deomid sum. L sum de dos úmeros reles está sujet ls siguietes regls. Regl.- L sum de dos úmeros reles co el mismo sigo está determid por l sum de sus vlores solutos y el resultdo o sum totl está fectdo por el sigo de los sumdos. Ejemplo: ) 4-7 c) ) +6 d) Regl.- L sum de dos úmeros reles de sigos diferetes está determid por l difereci de sus c vlores solutos (El myor meos el meor) y el resultdo o sum totl se ecuetr fectdo por el sigo del sumdo que teg myor vlor soluto. Ejemplo: ) d) + 8 ) e) c) - 9 f) NOTA.- E l dició de vris ctiddes reles co diferetes sigos, se grup ls ctiddes positivs y egtivs etre sí y luego se procede l reducció de cuerdo ls regls dds. Ejemplo: ) ( )++) ) (--9-)+(+4) SUSTRACCIÓN.- Es l operció mtemátic que por medio del sigo meos (-) oteemos l difereci de dos úmeros (miuedo meos sustredo) Ejemplo: ) Restr de : miuedo : sustredo : difereci : ( ) 7 ) Restr 8 de 8: miuedo : 8 sustredo : 8 difereci: 8 (8) 6 MULTIPLICACIÓN.- Es u dició revid, cuy operció mtemátic por medio del sigo por (.) ó () os permite oteer el producto de ls ctiddes llmds multiplicdo y multiplicdor. Est operció está

4 sujet dos regls respecto los sigos. 8 ) 9 7 d) 9 Regl.- L multiplicció de dos ctiddes o uls del mismo sigo es u ctidd positiv Ejm. ) ( - ) ( - 4 ) ) ( ) ( ) 6 c) ( - 8 ) ( - ) 6 Regl.- l multiplicció de dos ctiddes o uls de sigos diferetes es u ctidd egtiv Ejemplo: ) ( - ) (4 ) - ) ( ) (- ) -6 Respecto l ley de sigos, vemos que: i) Multiplicció de sigos igules es positivo: (+) (+)+ (-)(-) + ii) Multiplicció de sigos diferetes es egtivo: (-) (+) - (+)(-) - DIVISIÓN.- Es l operció mtemátic que cosiste e determir cuts veces u úmero está coteido e otro por medio del sigo operciol etre ( ), l resultdo oteido se le llm cociete. El úmero que se divide se llm dividedo y el que divide se llm divisor. Est operció está sujet dos regls respecto los sigos.. Respecto ley de los sigos, e l divisió de dos ctiddes reles o uls, se oserv que: i) Divisió de sigos igules, es + positivo: ii) Divisió de sigos diferetes, es + egtivo: + OBSERVACIONES FUNDAMENTALES EN LAS OPERACIONES CON FRACCIONES ) Adició de frccioes homogées c d e ± c ± d ± e ± ± ± ) Adició de frccioes heterogées c e df ± cf ed ± ± ± d f df ) Multiplicció de frccioes.- Se multiplic los umerdores y deomidores etre sí: c e g ceg d f h dfh Regl.- L divisió de dos ctiddes o uls del mismo sigo es u ctidd positiv (myor que cero) Ejemplo: 6 8 ) 8 c) ) 4 d) 8 Regl.- L divisió de dos ctiddes o uls de sigo diferete es u ctidd egtiv (meor que cero). Ejemplo: ) 4 c) 4) Divisió de frccioes.- Se ivierte l segud frcció y se multiplic los umerdores y deomidores etre sí: c d d c d c ) Frcció de frcció.- Se otiee u frcció equivlete cuyo umerdor es el producto de los etremos y el deomidor es el producto de los medios. c d d c c d (medios) (etremos)

5 6) Posició reltiv de u sigo e u frcció POTENCIACIÓN.- Es l multiplicció repetid de u ctidd e u úmero fiito de veces; el resultdo fil se le llm poteci. Está sujet ls siguietes regls respecto ls ctiddes egtivs. Regl.- Tod ctidd egtiv fectd por u epoete pr (jo u prétesis) es positivo c) 6 4 (4) 6 d) 8 () 8 Respecto los úmeros reles podemos hcer l siguiete clsificció: R (#s reles) R + (Reles positivos) 0 (cero rel) Rcioles ( Q + ) Eteros ( Z + ) Frcciorios ( F + ) Irrcioles ( I + ) Ejemplo: ) (-) 4 (-)(-)(-)(-) 6 ) (-7) (-7)(-7) 49 c) (-8) (-8)(-8) 64 d) (-) 6 79 Regl.- Tod Ctidd egtiv fectd por u epoete impr jo u prétesis o si prétesis siempre es egtivo. Ejemplo: ) (-6) (-6)(-6)(-6) -6 ) 6 - (6)(6)(6) -6 c) (-4) (-4)(-4)(-4) -64 d) 4 - (4)(4)(4) -64 E resume, respecto los sigos e potecició deemos cosiderr ) (-) PAR + ) (-) IMPAR R + (Reles egtivos) Rcioles ( Q - ) Eteros ( Z - ) Frcciorios ( F - ) Irrcioles ( I - ) PRINCIPALES CONJUNTOS NUMÉRICOS A.- El cojuto de los Números turles, deotdo por N, dode: N,,,... B.- El cojuto de los Números eteros, deotdo por Z, dode: Z..., -, -, -, 0,,,,... C.- El cojuto de los Números rcioles, deotdo por Q, dode: Q / q p, p y q so eteros RADICACIÓN.- Es l operció ivers l potecició que os permite ecotrr u úmero llmdo ríz, tl que elevdo l ídice del rdicl reproduce el rdicdo o ctidd surdicl. r r Ejemplo: ) 8 ( ) 8 (q 0) D.- El cojuto de los Números irrcioles, deotdo por I, dode: I / tiee represetció deciml ifiit o periódic E.- El cojuto de los Números Reles, deotdos por R, dode: R / es rciol ó irrciol ) 6 4 ( 4) 6

6 F.- El cojuto de los Números Complejos, deotdo por C, dode: C / + i ; R i es l uidd imgiri dode: i ; tl que: i - G.- El cojuto de los Números eteros positivos deotdos por Z +, dode: Z +,,,... III. DIVISIÓN DE BASES IGUALES m m 0 m R IV. DIVISIÓN DE BASES DIFERENTES CON IGUAL EXPONENTE m m m 0 m R H.- El cojuto de los Números Eteros positivos icluido el cero, deotdo por Z 0 + 0,,,, 4,,... Asimismo mplido se tedrí los siguietes cojutos: Q +, R +, Q -, R -, R 0 +, R 0 -, Q 0 -, etc..7 TEORIA DE EXPONENTES Es u cojuto de fórmuls que relcio los epoetes de ls epresioes lgerics de u solo térmio, cudo etre ests epresioes lgerics se reliz opercioes de multiplicció, divisió, potecició y rdicció e u úmero limitdo de veces. Sus priciples leyes sore el cmpo de los úmeros reles so: I. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES II. m. m+ m. m (.) m ; m, R MULTIPLICACIÓN DE BASES DIFERENTES CON IGUAL EXPONENTE ; m R V. POTENCIA DE POTENCIA VI. m m. ( ) ; m, R NOTA: m m. ó m EXPONENTE NEGATIVO m m ; NOTA: - m m ( m ) 0 0 VII. EXPONENTE CERO ( 0) 0 NOTA es idetermido VIII. RAIZ DE UNA POTENCIA m m ; m, R/ 0 m p m p q i) c c ii) IX. MULTIPLICACIÓN RADICALES HOMOGENEOS ; R/ 0 q DE

7 X. DIVISIÓN DE RADICALES HOMOGENEOS Teiedo e cuet l fórmul XI. R/ 0 POTENCIACIÓN DE UN RADICAL m p mp ( ) ; m,, p, R/ 0 ( ( ( m ) p ) q r ) s oteemos: S (+ ) (+ ) (+ ) (+ ) ( ( m+ p ) q+r)s S -8-4 S 7 (Rpt.) 8 4 XII. RADICAL DE RADICAL m p mp ; m,, p, R XIII. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES.8 EJERC.. Como, m mk K ( ) ; m,, k, R/mk 0 E E Simplificr: ( ) ( ( ) 4 ( m ) m 4. 8 De ls fórmuls (I) y (II): E 4-8-(-8) ; co lo cul E 4 (Rpt). EJERC. : EJERCICIOS Efectur: S ) 8 ( ) ( ) 6 EJERC..- Dr el vlor simplificdo de E rdicles Escriiedo u rdicl más, se tedrí E rdicles E E 6 E Elevdo el cuo, los dos miemros de l iguldd: E 6 E E 6 E Simplificdo E 6 E E 6 E 8 (Rpt) EJERC. 4.- Simplificr l epresió K Trsformdo u solo rdicl y u solo epoete: K ( ) ( + ) 4 ( )( + ) epresdo coveietemete K ( ) ( + ) ( ) ( + ) siedo el epoete igul l ídice del rdicl K (Rpt)

8 .9 ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO EN LOS REALES 0. Que vlor de stisfce l ecució: L ecució liel de primer grdo e u vrile es quell que dopt l form cóic:, R: + 0 / 0 y cuy solució es: DISCUSIÓN: Respecto l solució de l ecució, se dee teer e cuet lo siguiete: Siedo el m.c.m. (4,, 6), se otiee: ( - ) 4 ( ) ( -7 ) Simplificdo: de dode: (Rpt) º L ecució es comptile determid, (fiits solucioes) Si: 0 R º L ecució es comptile idetermid, (ifiits solucioes) Si: 0 0 º L ecució es icomptile, icosistete (ecució surd) Si: 0 R / 0.0 EJERCICIOS Resolver: 4 Aplicdo ls siguietes idetiddes. c d d c. ( + ) ( c+d ) c+d+c+d oteemos: ( + ) ( 4 ) ( - ) ( + ) Simplificdo: Como el coeficiete de # es cero l ecució es: Ecució Icomptile (Rpt) 0. Resolver l ecució literl E ls frccioes, siedo el mcm (,,, ) ; se tedrí ( ) ( ) ( ) ( ) operdo y reduciedo: + + oteemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( + )( ) ( ) Cceldo: (-) ( + ) ( + ) + (-)+ (Rpt)

9 04. Qué vlor de stisfce l ecució: Dee teerse e cuet que los térmios que so igules e los dos miemros de l ecució se puede ccelr directmete; es decir: co ; co ; co ; -4 co 4 y co ; queddo: o lo que es lo mismo: Por proporcioes X Simplificdo: Resolver: (Rpt) Hciedo el cmio de vrile: + m l ecució se trsform e: m + m + m m m volviedo l vrile origil + elevdo l cudrdo; se otiee (-) de dode: (Rpt) 06. Clculr e l ecució: Trsformdo el epoete egtivo e positivo y desrrolldo el cudrdo del iomio oteemos: hciedo el cmio de vrile tedrímos: de dode: ó: X (Rpt) So tods quells ecucioes que se crcteriz por que l icógit se ecuetr e el epoete. Ejemplo: ) ) c) d) + 9 ECUACIONES EXPONENCIALES Los criterios de solució respecto l solució de ecucioes epoeciles so: º A ses igules, los epoetes dee ser igules, es decir m m ; 0 º E tod ecució epoecil si ls estructurs lgerics e mos miemros so igules, etoces el vlor de l icógits se otiee por comprció.

10 Ejemplo: + + ) Si: ) E este tipo de ecucioes epoeciles, el prolem cosiste e hcer trsformcioes e uo de sus miemros (ó e mos) de form que se hlle u equivleci estructurl; el vlor de l icógit se otiee por comprció.. EJERCICIOS Epresdo e l se tedrí Iguldo los epoetes: ; se Clculr, sí: Epresdo e se ; tedrímos ( ) - ( ) iguldo los epoetes (Rpt) 0. Hllr el vlor de e l ecució Trsformdo los rdicles e epoetes frcciorios, se otiee: iguldo los epoetes: + (+)(-) (-)(-) operdo: (Rpt). (Rpt) 0. Que vlor de resuelve l ecució: Epresdo e se ( ) Iguldo los epoetes Colocdo e se X +4.( ) ( ) X Iguldo los epoetes; oteemos: (Rpt) Resolver:

11 MONOMIOS, POLINOMIOS, GRADOS NOTACION DE POLINOMIOS SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE ER GRADO.. INTRODUCCIÓN.- L uidd fudmetl de l estructur lgeric es el térmio lgerico TÉRMINO ALGEBRAICO.- Es el cojuto de letrs y úmeros ligdos por ls opercioes mtemátics de multiplicció, divisió, potecició y rdicció e u úmero limitdo de veces. Ejemplos: ) y d) 4 y z / ) y e) 6 y z 6 c) - y MONOMIOS POLINOMIOS - GRADOS f) - ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO Glolmete está costituido por u prte uméric y u prte literl, como se muestr cotiució: ) - 6 ) y prte literl prte uméric sigos epoetes ) - 6 ) y ses Es muy importte presetr los térmios lgericos jo u otció de form que os permit diferecir ls costtes de ls vriles. Ejemplo: Pr el térmio lgerico de otció T (, y) se oserv que: (Notció) T (, y) - 9 y / z Deemos teer e cuet: (epoetes) ) T (,y).- Es l otció que os idic que ls úics vriles so ls letrs e y. ) Sigo.- Idic si el térmio es myor o meor que cero. c) Coeficiete.- Es l ctidd que fect l prte literl; e el cso de que el coeficiete se u úmero etero y positivo, os idic el úmero de veces que se repite l prte literl como sumdo. Ejemplo: coeficietes (ses) (coeficiete) (Prámetro) E cd u de ests prtes se especific: )

12 (6 veces) ) y z y z + y z + y z ( veces) veces ( se multiplic veces)... ( se multiplic veces) veces Por l propiedd de simetrí: COEFICIENTE NATURAL Co respecto l siguiete secueci: ( se sum vez) + ( se sum veces) + + ( se sum veces) veces De l propiedd de simetrí ( se sum veces) z + veces Ejemplos ) veces ) y + y y y veces c) veces d) ( + y ) + ( + y ) ( + y ) 7 ( + y ) 7 veces... Z + veces Ejemplos: ) veces ) veces c) (-y ) ( y )... ( y ) (-y ) 9 9 veces d) z z z,,,,,,,,,,,z z - ( ) veces. MONOMIO.- Es l epresió lgeric rciol eter que cost de u solo térmio, e el cul los epoetes de sus vriles so ctiddes eters o egtivs. Ejm: ) M (, y) - 7 y ) R (, y) 6 9 y z 6 GRADOS DE UN MONOMIO.- d) Epoete.- Es el úmero que se escrie e l prte superior derech de u se ; si el epoete es u úmero etero y positivo os idic el úmero de veces que se está multiplicdo l se Ejemplos: ) veces ) ( ) 4 4 veces EXP0NENTE NATURAL Co refereci l siguiete secueci: ( se multiplic vez) ( se multiplic veces) veces ) Grdo soluto (G.A.).- Está determido por l sum de los epoetes de sus vriles. Ejemplo: Respecto los moomios ) M(,y) y 6 G.A ) R(,y) y 6 z G.A ) Grdo Reltivo (G.R.).- Co respecto u de sus vriles, es el epoete que tiee dich vrile, es decir: Respecto l moomio: M (, y) - 6 y 4 z 8 Vemos que: G.R. () 6 G.R. (y) 4 G.R. (z) 8

13 EJERCICIOS Ejercicio.- Ddo el moomio M (, y) ((( y ) y) y ) Hllr su grdo soluto Solució Simplificdo, oteemos: M (, y) (( + ) + ) y M (, y) 46 y, de dode G.A Rpt. Solució Ddo que: M() X m m ; se tedrí : 4 X 8 X Reduciedo u sol se: + M() X 4 8 Como M(), es u ctidd costte se cumple que: + 0 ; mcm Ejercicio.- Hllr el vlor de e el moomio M () 6 Siedo que es de primer grdo. Solució Reduciedo u sol se y u solo epoete: M () M () 6 Siedo M () de primer grdo, se cumple que: + ; mcm 6 6 Resolviedo ( ) + (-) (-) 6() Oteemos: 9 Rpt. Ejercicio.- Ddo el moomio: M () 4 Pr que el vlor de ; M() es costte. Co lo cul: 6( ) + ( ) - ( ) De dode: 0, Rpt. Ejercicio 4.- E el moomio: M(,y) (+) y 4(-) Se cumple que: G.A. 8 y G.R (Y) 0 Determie : ( + ) Solució Ddo que: G.A. 8 G.R.(y) 0 y G.R.() 6 Lo cul su vez implic que: +... () -... () Resolviedo por determites: Rpt

14 .4 POLINOMIO Es l epresió lgeric que cost de dos o más térmios, e el cul los epoetes de sus vriles so úmeros eteros o egtivos. So ejemplos de poliomios: ) P() (iomio) ) Q() + y + y (triomio) c) P(,y) + y + y (triomio) GRADOS DE UN POLINOMIO Si los térmios del poliomio P (, y, z) m + + y + z m + Tiee el mismo grdo. Hllr m Solució Pr este cso, se cumple que: m + m + co lo cul: de : m + m + de : m + m + 6 m 4 m 4 6 Rpt. ) Grdo soluto (G.A.).- Está determido por el myor grdo soluto que tiee uo de sus térmios. Ejemplo: Ddo el poliomio: P (,y) 6 y 4-7 y y 6 0º º º vemos que: G.A. ) Grdo Reltivo (G.R.).- Co respecto u de sus vriles es el myor epoete que tiee dich vrile e el poliomio ddo. Ejemplo: Ddo el poliomio: P(,y) 6 y 9 y 7 4 y 8 Vemos que: G.R.() 9 G.R.(y) 8. Poliomio Ordedo: U poliomio está ordedo co respecto u letr llmd ordetriz, si sus epoetes umet (scedetes); ó dismiuye (descedetes). CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS Ejemplo: ) P() (scedete) ) P() (descedete) Poliomio Completo: U poliomio es completo co respecto u letr llmd ordetriz si sus potecis umet o dismiuye desde el myor epoete hst el epoete cero e form cosecutiv 0.- Ddo el poliomio P (, y) 4 y y - Hllr si su grdo soluto es 9 Solució EJERCICIOS Sumdo los epoetes de cd térmio, oteemos: P (, y) 4 y y - ( 7) (-8) Por cosiguiete: Rpt. ) P() (D) ) P() (A) c) P (,y) y + y (D) y (A) Descedete respecto Ascedete respeto y Propieddes. El úmero de térmios es igul l grdo soluto más uo # t G. A +. Si el poliomio es completo y ordedo l difereci de los grdos

15 reltivos de dos térmios cosecutivos es igul l uidd. EJERCICIOS Poliomio Homogéeo: Este poliomio se crcteriz por que todos sus térmios tiee el mismo grdo soluto. Ejm: Pr el Poliomio: P(,y) y + y 9 9º 9º 9º G.A. 9º Poliomio Etero : E este poliomio sus epoetes so eteros y positivos ) P() ) P() Poliomios Idéticos: Estos poliomios se crcteriz por que los coeficietes de sus térmios semejtes e mos miemros so igules, e efecto: Si: + + c d + e + f 0.- Si: A ( ) + B ( ) Clculr : E Solució A B + B Ddo que l idetidd se cumple pr culquier vlor de, sigmos u vlor de pr que u de ls icógits A o B se ccele, es decir: A ( ) + B ( ) 0 0 º) 0, de dode: A ( ) + B ( ) () - º) 0 A ( ) + B ( ) () - -A -6 Reemplzdo e E E E 0 B - A ( ) Rpt. Se cumple que: d e c f Poliomios Idéticmete Nulos: Estos poliomios se crcteriz por que sus coeficietes vle cero: Ejemplo: ddo P() + + c 0 Se cumple que: 0 0 c Si el poliomio: P () ( ) + ( + ) + 9 Es ulo, hllr ( + ) Solució Si el poliomio es ulo, cd coeficiete vle cero, es decir: P () ( +9) + ( + ) º) º) Rpt. 0.- Ddo el poliomio homogéeo P(, y) +- y y y Determie: Solució E ( + ) Por ser homogéeo, se cumple:

16 ( I ) ( II ) ( III ) De (I) y (II), se otiee: + 8 De (II) y (III) + Resolviedo el sistem: () +... ().6 NOTACIÓN DE POLINOMIOS L otció de poliomios os permite diferecir ls costtes de ls vriles; e efecto, pr los poliomios. A) P () + c L úic vrile es y ls costtes literles llmds tmié prámetros so, y c Por cosiguiete el vlor de E es: E [ + () () ] E Rpt Tres térmios cosecutivos de u poliomio ordedo y completo e form descedete está represetdos por: P() Clculr el vlor de Solució E este cso se cumple que l difereci de dos epoetes cosecutivos es igul l uidd, es decir: ( )... (α) - ( )... (ß) Simplificdo: (α) -. (ß) Resolviedo pr Rpt. B) P (, y) 4 y Ls vriles so ls letrs e y y ls costtes so, y 6. Este tipo de otció se hce etesile culquier tipo de epresió lgeric. Ejm: + ) P () c + d ) P () + + c c) P (,y) + y y 0.- Siedo que: P() 9 Clculr : P (P ()) Solució Reemplzdo, por P() P (P()) P() 9 P() Como P(), es coocido P(P()) y 9 Efectudo ls opercioes idicds: P (P()) P (P()) EJERCICIOS P (P()) X Rpt. 0.- Si; F +

17 Clculr: E F(4) Solució Pr clculr F(4), hcemos: 4 Co l cul: F (4) (6) (6) + (6) F (4) 8 Rpt. 0.- Si; f() y : g() Hllr; h() f(g ()) - g (f ()) Solució Operdo por prtes, tedrímos: º) f (g ()) g() f (g ()) (-) f (g ()) º) g (f()) f() De dode: g (f()) ( - ) g (f()) - h () + + h () + Rpt..7 Teiedo e cuet l codició: Al comprr: i) ii) Por cosiguiete: P () + 6 y : P (+) 6(+) Rpt. Determite de orde.- Es el desrrollo de u mtriz cudrd que preset dos fils y dos colums y cuy represetció mtemátic y desrrollo es: D s : Digol Secudri A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO. D p : Digol pricipl 04.- Si; P (P(P())) 6 Clculr: P ( + ) Solució Como e l codició el segudo miemro es u epresió de primer grdo, etoces P() tmié es de primer grdo, es decir: P () + Operdo por prtes, tedrímos: ) P (P()) P() + P (P()) ( + ) + P (P()) + + ) P(P(P())) +( z + +) + P(P(P())) Ejemplo: El desrrollo de: 4 D p D s (-) (-)(4) , es : Determite de orde de tres.- Es el desrrollo de u mtriz cudrd de fils y colums; su represetció mtemátic es: c c c Y su desrrollo por meores complemetrios; es: c c - + c c c

18 .8 ó tmié ( c c )- ( c c )+ + c ( - ) Ejemplo: Clculr: 4 Desrrolldo ( + 6) + (-4 + 0) + ( + ) Ddo el sistem liel: + y c... (α) + y c... (ß) Su resolució por l regl de Krmer teiedo e cuet que:( 0) es: c y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS s y s c c c c c c c Dode: Determite de y Determite de y s Determite del sistem Ejemplo.- Clculr e el sistem: y... (α) 4 - y...(ß) De cuerdo l teorí: ; 4 Rpt. Ejemplo.- Clculr y e el sistem: -7 + y (α) 4 - y 6... (ß) Solució Pr el cálculo de y teemos: 7 4 y y - Rpt. DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN. Si:, y R y s 0 el sistem es comptile determido, y hy u solució úic.. Si: 0; y 0 y s 0, el sistem es comptile idetermido y tiee ifiits solucioes.. Si 0; y 0 y s 0, el sistem es icomptile, o tiee solució. Ejemplo: Ddo el sistem + ky k... (α) 4 y -7.. (ß) pr que vlor de K ; es icomptile Solució Clculdo, vemos que: k k 7 4 k 4 0 k + 7 K 7 K 8 K K 8 Pr que o eist solució dee cumplirse que: 8 - k 8 0 k Rpt. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS Ddo el sistem liel: + y + c z d... (α) + y + c z d... (ß) + y + c z d... (γ) Su resolució por l regl de KRAMER, (dode s 0) es:

19 d d d c c c c c c d c d c y d c c c c s d d z d c c c Ejemplo : Clculr el vlor de y e el sistem: y + z 6... () 7 + y 4 z 6... () - + 4y + z... () Solució Por determites, se tedrí: 6 y y (8) 6() + (47) () + () + (4) y s z s y Rpt. DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN:. Si:, y, z R y s 0, el sistem es comptile determido.. Si 0 ; y 0; z 0 y s 0, el sistem es comptile idetermido y tiee ifiits solucioes.. Si 0; y 0, y s 0, el sistem es icomptile, o tiee solució: Ejemplo: Ddo el sistem: -k y + (k + ) z... () + y - z 0... () y + z 0... () Pr que vlor de k ; el sistem es comptile idetermido? Solució Clculdo vemos que: k k k + De dode: (0) + (0) + (k + ) ( 0) k (0) + () + (k + ) ( ) 0 0 k - 0-0k k - - k Pr que se comptile idetermido: X 0 0 ) 0 k 0 0 K - ) k K - k - Rpt.

20 PRODUCTOS NOTABLES- IDENTIDADES. PRODUCTOS NOTABLES Los productos otles so fórmuls que permite efectur multipliccioes idicds, si plicr los criterios geerles de l multiplicció lgeric, y dee stisfcer ls siguietes propieddes: PROP. El grdo del producto es igul l sum de los grdos de los fctores, e efecto: Ejemplo. : Hllr el grdo de P() Si: P()( 4 + ) ( 6 ) ( 4) Oservemos que el grdo e cd prétesis es: P() ( 4 + ) ( 6 ) ( 4) Gº 4 Gº 6 Gº Gº [P ()] Ejemplo : Hllr el grdo de R() Si: R() ( + ) ( 4 ) 6 Pr este cso, el grdo correspodiete e cd prétesis es: R() ( + ) ( 4 ) Gº [R ()] PROP. Gº producto Σ Gº fctores El térmio idepediete del producto es igul l producto de los térmios idepedietesde los fctores, es decir: Ejemplo T.I. : producto Hllr el π térmio (T.I. fctores ) idepediete de P() e: P() ( + ) ( 4 6) ( 7 ) Solució El térmio idepediete e cd prétesis es: P() ( + ) ( 4 6) ( 7 ) T.I T.I -6 T.I - T.I. [ P()] () (-6) (-) 6 Ejemplo : Hllr el térmio idepediete de P() e: P() ( ) ( 4 ). E este cso, el térmio idepediete e cd prétesis es: P() ( ) ( 4 ) T.I (-) T.I. (-) T.I. [ P()] (-) (-) (-) (-8) 8 Deemos teer e cuet ls siguietes potecicioes, respecto los rdicles moómicos. ) ( ) 4 ) ( ) ) ( ) 4 () 8 4) ( ) 9 () 8 ) ( ) 4 6) ( ). 8( ) 6 7) ( ) 8) ( ). OBSERVACIONES 7 ( ) 8 Pr u etedimieto coherete respecto los productos otles y ls idetiddes, los oservremos por grupos:. GRUPO: I I. Cudrdo del Biomio

21 ( + ) + + ( - ) - + II. Cuo del Biomio * ( + ) * ( - ) Ests misms fórmuls se puede epresr jo ls forms: * ( + ) + + ( + ) * ( - ) - - ( - ) S ( + ) ( ) - S 4- S Rpt. 0. Clculr: R ( ) Epresdo coveietemete, se tedrí: R [( - ) ] ( - ) III. Difereci de cudrdos (sum por difereci) * ( + ) ( ) IV. Sum y Difereci de cuos * ( + ) ( + ) + * ( - ) ( + + ) -. EJERCICIOS 0. Efectur R (+) (-) ( + ) ( ) + 8 Solució Teiedo e cuet que: ( +) ( ) Etoces: * ( + ) ( ) * ( - ) + ) 4 4 * ( 4 4 ) ( ) 8 8 Por cosiguiete: R R 8 0. Simplificr:. S +. Operdo por prtes: [( -) ] ( +) (- ) Co lo cul, se tedrí: R (7 ) ( -) R R Si: - 6 Clculr + - Rpt. Solució Elevdo l codició l cuo, se otiee: ( + - ) ( 6 ) ( + - ) 6 6 Ddo que: Rpt. Solució Ddo que:. > 0 > 0

22 .4 V. Multiplicció de iomios co u térmio e comú. *) ( + ) ( + ) + ( +) + **) ( + ) ( + ) ( + c) + ( + + c) + ( + c + c) + c VI. Cudrdo del triomio ( + + c) + + c c + c VII. Cuo del triomio Form : ( + + c) + + c + + ( + ) ( + c) ( + c) Form : ( + + c) + + c c + + c + + c + c + 6 c. GRUPO: II EJERCICIOS 0. Simplificr S ( + + c) + ( + c) + + ( + c) + (- + + c) Solució Desrrolldo cd térmio, se tedrí: S + + c + + c + c + + c + - c - c + + c - + c - c + + c - - c + c S c Fctorizdo 4 : S 4( + +c ) Rpt Hciedo el cmio de vriles: + - y se tedrí e S. S ( + c) ( c) (c + y) (c-y) Desrrolldo cd térmio S + c + c + c - + c c + c -c - c y cy - y -c + c y cy + y S 6 c - 6c y S 6 c [ y ] Volviedo ls vriles origiles: S 6c [ ( + ) ( ) ] S 6c [ ] S 6c [4] S 4 c Rpt. 0. Siedo que: F (-)( + 6)(-)( + ) + 96 Hllr : G F + 6, Oservemos que: F (-)( + 6)(-)( + ) + 96 Se trsform e: F ( + - 0) ( + - ) + 96 Hciedo : + F ( 0) ( ) + 96 F Como l ctidd surdicl es u cudrdo perfecto. F ( 6) F 6 ó : F Simplificr: S ( + + c) - ( + - c) - (-+ c) - (- + + c) Reemplzdo e G: G , G + + 4

23 Siedo l ctidd su-rdicl, u cudrdo perfecto G ( + ) G + ó lo que es lo mismo + G Rpt..6 IDENTIDADES So epresioes lgerics que os permite efectur opercioes por simple ispecció, etre ls de myor importci, teemos: VIII. GRUPO: III Idetiddes de Legedre º) (+) + ( ) ( + ) º) (+) - ( ) 4 IX. Idetiddes de Lgrge º) ( + y) + (y ) ( + ) ( + y ) º) ( + y + cz) + (y ) + + (z c) + (z - cy) ( + + c ) ( + y +z ) X. Idetiddes de Guss: º) ( + + c) ( + + c --c-c) + + c c º) ( + + c) [(-) + (-c) + + (-c) ] + + c c.7 A) Si : + + c 0; se verific que:.) + + c - ( + c + c).) + c + c (+ c + c).) + + c c 4.) + + c + + c + + c.) + + c c + + c 7 B) Si: + + c + c + c C) Si : y y + y 0.- Siedo que; Solució IGUALDADES CONDICIONALES EJERCICIOS Clculr: Se E : XI. Idetiddes de Argd º) ( + y +y ) ( y + y ) 4 + y + y 4 º) ( + + ) ( + ) Elevdo el cudrdo, se otiee: E E Nuevmete elevdo el cudrdo oteemos: 9 (E ) 9 + +

24 Reemplzdo el vlor de l codició: E 7 +, y c so los coeficietes respectivos de sus térmios. De dode: E E Rpt..0 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 0.- Si: Clculr: R + y 4 + y + y y y Solució Operdo e l codició: + y 4 y + y Por proporcioes: ( + y) 4y Desrrolldo y simplificdo, vemos que: + y + y 4 y y + y 0 ( y) 0 y Reemplzdo por y e R; se otiee: y + y y R - y y R 0 Rpt. I. Por fctorizció.- Si el discrimite de l ecució: ( 4 c) es u cudrdo perfecto, es decir: {0,, 4, 9, 6,,...} Pr su solució plicmos sp simple Ejemplo: Resolver Solució Pr est ecució: 0, y c -6; el discrimite es: () 4 (0) (-6) 6 como, 6 es u cudrdo perfecto l ecució se puede fctorizr Co lo cul: ( + ) ( ) ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE Recordemos que: Si: So quells ecucioes que puede reducirse l form: e uestro cso : + + c 0 ( 0) dode: Térmio cudrático Térmio Liel c Térmio idepediete II. Por fórmul.- Se plic l fórmul cudo l fctorizció o es imedit Deducció: Se l ecució: + + c 0

25 dividiedo etre c ; + Coeficiete de diciodo : los dos miemros de l iguldd: c ddo que los tres primeros térmios form u triomio cudrdo perfecto, se tedrí: + 4 c. NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO E l ecució de segudo grdo: + + c 0 ( 0); se cumple que: etryedo ríz cudrd + ± - ± - 4 c - 4 c Ls dos solucioes o ríces so: c - 4 c De otro ldo, siedo: 4 c Ejemplo: Resolver : 0 Solució ; -: c - E este cso: (-) 4() (-) Co lo cul: Ls ríces de l ecució de segudo grdo, depede de l ctidd surdicl. 4 c ( Discrimite) De cuerdo esto: º.- Si: 4 c > 0; ls dos ríces so reles y diferetes. º.- Si: 4 c 0; ls dos ríces so reles e igules. º.- Si: 4 c < 0; ls dos ríces so úmeros complejos y cojugdos. Ejemplo: Hllr los vlores de k e l ecució: (k + ) ( k ) Siedo que sus ríces so igules Solució Desde que ls ríces so igules etoces: 4c 0, es decir: [-( k )] 4 (k + ) (9) 0 desrrolldo, oteemos l ecució: k 66 k 7 0 k 9 9k k - 7k 66k

26 de dode: k ( k + 9) (k-) 0 k 9 reemplzdo, () e (): Asimismo: - 4. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Siedo l ecució del Segudo grdo: + + c 0 ; 0 Sus ríces so: 4c ; de dode se cumple: º) Sum de ls ríces: º) Producto de ls ríces: + c º) Difereci de ls ríces: + ; (, > ) + 4c Ejemplo: Qué relció gurd los coeficietes de l ecució: + + c 0; 0 Si u de sus ríces es el triple de l otr?. Reemplzdo e (), tedrímos:. 4 c 6 c 4 I. Coociedo : y, ríces de l ecució de segudo grdo, se cumple que: ( ) ( ) 0 FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CONOCIENDO SUS RAÍCES llevdo l form cóic, se tedrí l fórmul: ( + ) + 0 II. Coociedo l sum de ls ríces : S + y el producto de ells misms P., l fórmul utilizr es: S + P 0 Ejemplo: Formr u ecució de segudo grdo de coeficietes reles, si u de sus ríces es: + 6. Solució De cuerdo los dtos, se tiee: () c... ()... () Solució Como ls ríces irrcioles se preset por pres cojugdos, etoces: co lo cul: i) ii) + (+ 6 ) (- 6 ) 4-6-

27 Reemplzdo e l fórmul, oteemos l ecució: 4 0 (Rpt.) Ejemplo: Formr u ecució de segudo grdo de coeficietes reles, si u de sus ríces es: + i; i tl que: i - Solució Y que ls ríces so ls misms, se cumple que: de dode oteemos, el sistem: (α)... (ß) resolviedo (α) y (ß), oteemos:.4 i es l uidd imgiri. Solució Siedo: + i i Y que ls ríces complejs se preset por pres cojugdos se tiee que: i) + + i + i 6 ii) (+i) ( i) 9 4i reemplzdo e l fórmul, se otiee: Rpt. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO QUE TIENEN LAS MISMAS RAÍCES Ls ecucioes:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO QUE TIENEN UNA RAÍZ COMÚN Ls ecucioes: + + c 0.. () d + e + f 0... () tiee u ríz comú; se elimi y se otiee l ríz comú; es decir: d + d + cd 0 (α) d + e + f 0 (ß) restdo (α) (ß); se otiee: (d e) + (cd f) c 0; ( 0). () d + e + f 0; (d 0). () Tiee ls misms ríces, si: c d e f Ejm: Clculr y e ls ecucioes: ( - ) ( - 4) + 0;. () ( +) (-4) + 6 0;. () Siedo que tiee ls misms ríces: f - c d d - e 0. E l ecució de segudo grdo: + + c 0 ; 0 Ls ríces so uméricmete igules y de sigo cotrrio. Si : 0 0. E l ecució de segudo grdo: + + c 0; 0 Ls ríces, so recíprocs. Si : OBSERVACIONES c

28 DIVISION ALGEBRAICA TEOREMA DEL RESTO 4. DIVISIÓN ALGEBRAICA 4. PROPIEDADES GENERALES DE LA DIVISIÓN ALGEBRAICA Es l operció ivers l multiplicció que tiee por ojeto hllr u epresió lgeric llmdo cociete; oteid de otrs dos epresioes lgerics llmds dividedo y divisor, de tl form que el vlor umérico del cociete se igul l cociete de los vlores uméricos del dividedo y divisor, pr culquier sistem de vlores triuidos sus letrs. ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN Dividedo... : D Divisor... : d Cociete... : Q Resto o residuo... : R A) Cociete ecto (R 0).- El resto de l divisió es u poliomio idéticmete ulo. D d Q ó D Q d Qº Dº - dº. E tod divisió lgeric el grdo del residuo máimo es u uidd meos que el grdo del divisor. Rº m dº -. E tod divisió lgeric el térmio idepediete del dividedo es igul l producto de los térmios idepedietes del divisor por el cociete más el termio idepediete del residuo. T.I D T.I d T.I Q + T.I R 4. Cudo se divide poliomios homogéeos, el cociete y residuo, tmié so homogéeos, pero el grdo soluto del residuo es igul l grdo soluto del dividedo. G.A. (R) G.A. (D) B) Cociete iecto (R 0).- El resto de l divisió es u poliomio o ulo. D d Q + R ó D R Q + d d. E tod divisió lgeric el grdo del cociete es igul l grdo del dividedo meos el grdo del divisor. 4. I.- Pr el cso de dos moomios i) Se divide los sigos de cuerdo l regl de los sigos ii) iii) CASOS DE LA DIVISIÓN Se divide los coeficietes Se divide ls letrs plicdo ls leyes de epoetes

29 Co sigo cmido (#t) m ) m ) m m m II.- Pr el cso de dos poliomios Podemos utilizr culquier de los siguietes métodos: ) Método geerl o orml ) Método de los coeficietes idetermidos. c) Método de Horer d) Regl de Ruffii Oservció.- E l divisió de dos poliomios estos dee ser completos y ordedos e form descedete, co respecto u letr llmd ordetriz; si fltse lgu vrile, y se e el dividedo o e el divisor, se completrá co ceros. 4.4 Este método es plicle pr poliomios completos y ordedos e form descedete, co respecto u de sus letrs, llmd ordetriz. Así teemos: ESQUEMA DE HORNER El º co propio sigo DIVISIÓN POR HORNER d i v i s o R D I V I D E N D O COCIENTE #t dº RESTO Ejemplo.- Efectur por Horer: Solució Oservemos que: Qº Dº - dº 4 Rº m dº - Como los poliomios so completos y ordedos; de cuerdo l esquem de Horer se dispoe los térmios de l siguiete form: A cotiució plicmos los siguietes psos:. Se divide el primer térmio del dividedo etre el primer térmio del divisor, oteiedo el primer térmio del cociete.. El primer térmio del cociete multiplic los térmios co sigo cmido del divisor y el producto se escrie e l segud fil dejo de los térmios de dividedo corriedo u lugr l derech.. Se reduce l siguiete colum y el resultdo se divide etre el primer térmio del divisor oteiedo el segudo térmio del cociete el cul multiplic los térmios cmidos del divisor. El producto resultte se escrie e l tercer fil, dejo de los térmios del dividedo corriedo u lugr l derech. 4. Se cotiu este procedimieto hst oteer u térmio dejo del último térmio del dividedo.. Los coeficietes del resto o residuo, se otiee directmete de cd u de ls colums que le perteece. Respecto l ejemplo ddo, tedrímos: T.I. T.I.

30 de dode: Q () + (cociete) R () + 7 (Resto) Ejemplo: Efectur por Horer Solució De cuerdo ls propieddes oservmos (respecto l letr ) Qº Dº - dº 4 Rº m dº - Además: G.A. (Dº) G.A. (Rº) 4 Por Horer, se tedrí: -8 0 Regl Nº.- Si e u divisió os d como dto el resto, etoces el resto oteido por Horer y el resto que es dto so poliomios idéticos. Regl Nº.- E tod divisió ect los coeficietes del dividedo y del divisor se puede escriir e setido cotrrio y l efectur l divisió est sigue siedo ect. Ejemplo.- Clculr y e l divisió ect: 4 + Por Horer tedrímos: Por cosiguiete: 4. Q (, ) + R (, ) 9 4 CÁLCULO DE COEFICIENTES EN EL DIVIDENDO O EN EL DIVISOR Aquí vemos que: i) Rpt. ii) Rpt. Ejemplo.- Clculr y e l divisió: Siedo que su resto es 4 Aplicdo el método de Horer: E l solució de estos prolems deemos teer e cuet ls siguietes regls: Regl Nº.- Dos poliomios so divisiles, o uo de ellos es múltiplo de otro, o os dice que l divisió etre ellos es ect; cudo el resto o residuo de l divisió es u poliomio ulo De ls colums del resto

31 Vemos que: i) Rpt. ii) - Rpt. Divisor 0 ± 0 µ P () Ejemplo.- Clculr y e l divisió ect (Horer iverso) COCIENTE RESTO 4 Escriiedo los coeficietes e setido cotrrio, se tedrí el siguiete esquem de Horer: De dode: i) Rpt. El primer elemeto del dividedo se j y correspode l primer elemeto del cociete, se procede como e l divisió por Horer y el resultdo de reducir l últim colum es el resto de l divisió. Ejemplo # : Efectur: Solució Del esquem de Ruffii, tedrímos: Co lo cul: T.I. +0 ii) Rpt. 4.6 DIVISIÓN POR RUFFINI Rpt. Q() (cociete) R() 0 (Resto) Este método es plicle pr divisores, iomios o trsformles iomios; es u cso prticulr de l divisió por Horer. Se preset dos csos: I.- Primer cso : P() ± Dividedo : P() Divisor : ± Ejm. # : Hllr k e l divisió: k + + k + Siedo que es ect. Solució Como l divisió es ect, el resto es u poliomio ulo, es decir: Esquem de Ruffii:

32 Ejemplo : Determir k e l divisió: X k + +k X k-6 4k (k+8) +(-k-) 0 Oservemos que: K + 4 k k -6 Rpt k + siedo que el resto es: k Solució Aplicdo Ruffii, tedrímos: II.- Segudo cso : P() ± X k Dividedo : P () Divisor : ± Esquem de Ruffii X -/ k - De l codició: k + 4 k k 6 Rpt. ± 0 µ E este cso : Q () COCIENTE R () Resto Ejemplo # : Efectur: P() C O C I E N T E Por Ruffii, se tedrí: + 6 X Resto Efectur: Hciedo l trsformció: 4 y 4 y - y + y - 7 Tedrímos: y + Por Ruffii: Y + 0 Oteemos: CASOS ESPECIALES Y y y y T.I. +7 X -/ Q () + R () 0 Q (y) y y + y 94 R (y) 7 Como : y 4 ; e fució de Q () R () 7

33 4.8 TEOREMA DEL RESTO el poliomio dividedo y el vlor oteido es el resto de l divisió Este teorem es importte por que os permite ecotrr el resto de l divisió, si efecturl. Eucido.- El resto de dividir u poliomio rciol P() etre u divisor iomio de l form ( ± ) o culquier otro divisor trsformle iomio; se otiee l clculr el vlor umérico de P ( µ ) DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA: E cocordci co los elemetos de l divisió, teemos: Dividedo : P() Divisor : ± Cociete : Q () Resto : R () (icógit) De l idetidd fudmetl: D d Q + R Se tiee: P () ( ± ) Q () + R () Evludo P() pr X µ Se otiee: P ( µ ) [ ( µ ) ± ] Q ( µ ) + R() P ( µ ) [ µ ± ] Q ( µ ) + R () Como vemos µ ± 0; co lo cul: Ejemplo # : Hllr el resto de l divisió: Solució Aplicdo ls regls tedrímos: º.- Divisor º.- Cálculo de - º.- Reemplzdo e el dividedo; -, oteemos: Resto (-) 9 (-) + (-) 4 7(-) + 6 teiedo e cuet que : (-) Pr + (-) Impr - Resto Resto 9 Rpt. Ejemplo #.- Determie el vlor de k e l divisió ect. - ( k - ) k + Solució Como l divisió es ect, el resto, es igul cero y de cuerdo ls regls del teorem del resto tedrímos: º.- Divisor º.- Cálculo de - º.- Resto 0 (-) (k ) (-) (-) + 6k 0-6 k k 0-6 k 6 Resto R () P ( µ ) 4.9 L.q.q.d. CASOS QUE SE PRESENTAN P ( ) Primer Cso: ± Regls pr determir el Resto: º.- Divisor igul cero : ± 0 º.- Hllmos el vlor de : µ k Rpt. Segudo cso: P() ± ; ( ) Regls pr determir el resto: º.- Divisor 0 ± 0 º.- Cálculo de µ º.- Reemplzmos el vlor de e el poliomio dividedo y el vlor oteido es el resto de l divisió: º.- Reemplzmos el vlor de e

34 Ejemplo # : Hllr el resto de l divisió: Epresdo el dividedo e fució de se tedrí: ( ) + ( ) ( ) + + Aplicdo ls regls: º º.- Por cosiguiete: R() (-) + (-) (-) + - R () R () + 8 Ejemplo # : Si el resto de l divisió: es: 6. Hllr ( + ) Rpt. Solució Epresdo el dividedo e fució de, se tedrí: ( ) + ( ) + ( ) + Del teorem del resto: º º.- R() (-) + (-) + (-) R () (- + ) Como: R() - 6 Se cumple que: (- + ) 6 Comprdo los coeficietes: i) - + ii) Rpt. Solució Siedo el divisor u triomio hy que trsformrlo iomio, medite l idetidd ( + + ) ( ) Co l cul, se tedrí : ( + ) ( ) ( + + ) ( ) Epresdo el dividedo e fució de : 8 7 ( ) ( ) ( ) + ( ) + Recordemos que: si l dividedo y l divisor se multiplic por u mism ctidd, el cociete o se lter pero el resto qued fectdo por l ctidd que se está multiplicdo; e cosecueci: Por el Teorem del resto: º.- 0 º.- Co lo cul: ( - ) R() () 8 () 7 () + + () + ( - ) R () R () Por l regl de Ruffii: Oteemos: Ejemplo # : Hllr el resto de l divisió: Resto: R() - + Rpt

35 COCIENTES NOTABLES FACTORIZACION COCIENTES NOTABLES So cocietes cuy form geerl es: ± ± ; z + El desrrollo de estos cocietes se puede efectur directmete si plicr los criterios geerles de l divisió lgeric Todo cociete otle dee stisfcer los siguietes pricipios: º El resto de l divisió dee ser igul cero. º Ls ses dee ser igules º Los epoetes dee ser igules. Not.- C o N o Cociete Notle CASOS QUE SE PRESENTAN Primer cso: - - : Puede ser pr o impr; siempre será C o o y que su resto es cero. El desrrollo oteido por l regl de Ruffii es: - - Ejemplo: Segudo cso: : E este cso dee ser impr ecesrimete; pr que el resto se cero y el cociete se otle. El desrrollo oteido por l regl de Ruffii es: + + Ejemplo: , -...-, Tercer cso: - + : Pr este cso dee ser u úmero pr ecesrimete, lo cul os d u resto cero y por cosiguiete el cociete es otle. El desrrollo oteido por l regl de Ruffii es: - + Ejemplo: Curto cso: - +,... +, : Y se pr o impr, el resto o será cero, por cosiguiete este tipo de cociete uc será cociete otle. PROPIEDADES GENERALES DE LOS COCIENTES NOTABLES Respecto l C o N o cuy form geerl es: ± ±

36 Se stisfce ls siguietes propieddes: º El resto de l divisió dee ser igul cero. º El úmero de térmios que tiee e su desrrollo es igul l epoete del dividedo del cociete otle. º El desrrollo de u C o N o es u poliomio homogéeo cuyo grdo es igul l epoete del dividedo del C o N o meos uo. 4º E el desrrollo de u C o N o los epoetes de l primer y segud se vrí cosecutivmete e form descedete y scedete desde el myor epoete, hst el epoete cero. º Respecto los sigos de los i) ii) iii) térmios del desrrollo de u C o N o, deemos cosiderr lo siguiete: +, +, (: Pr ó Impr) +, -, +,...-, + (: Impr) +, -, +,,+, - (: pr) E l epsió del C o N o : ± ± FORMULA PARA CALCULAR EL TÉRMINO DE LUGAR K EN EL DESARROLLO DE UN C O N O - ± ±. ± - Deemos teer e cuet que: k : Primer se del C o N o : Segud se del C o N o : Número de térmios de C o N o : Lugr que ocup el térmio que queremos determir Además: i) T K, es (+) k, es impr ii) T K, es (-) k, es pr, pero solo pr C o N o de l form : + ó + + iii) T K siempre es positivo pr u C o N o - de l form Ejemplo#: Ddo el C o N o : hllr el T Ddo que 7 es u úmero impr: T K + () - k () k Dode : k 7 Remplzdo: T 7 () -7 () 7- T # : Ddo el C o N o : hllr el G.A: del T Rpt. 4 4 T T T T K T Vemos que el térmio de lugr k dopt l form mtemátic: T K ± () k () k ; k Como el C o N o es de l form todos los térmios so positivos, por cosiguiete: T K + () k () k,

37 Dode: 4 k Remplzdo: T + () 4 () T G.A: + 4 Rpt. d) Form : + (o es C o N o ).- U térmio culquier del desrrollo del C o N o m ± p ± q está formuldo por: T K ± () m k p () (k-) q ; k p m DIVISIÓN DE LA FORMA Este tipo de divisió será trsformle cociete otle, cudo stisfg ls siguietes codicioes.- El resto de l divisió dee ser igul cero..- Ls ses dee ser igules.- Los epoetes del dividedo co respecto l divisor dee ser proporcioles y perteecer l cmpo de los úmeros eteros positivos, es decir: m ; z + p q 4.- Respecto los csos que se preset e los C o N o, dee teerse e cuet lo siguiete: ) Form : m # pr o impr p q ) Form : + + m # impr p q c) Form : m p - + m # pr p q ± ± q Ejemplo # : Clculr e el cociete: y y Siedo que es otle. Por ser cociete otle, se cumple que: Por proporcioes: (7 4) ( ) ( ) (8 ) Ejemplo # : Fctorizdo: 0 ( 7) 0 7 ó Rpt. Clculr (m+) e el cociete otles: m - y 70 y Si su desrrollo tiee 4 térmios: Por ser cociete otle, se cumple que:

38 m 70 4 i) ii) m m 4.- Si es u úmero pr eiste dos térmios cetrles y ocup los lugres. t c t t c t + m + 47 Rpt. 4.- Si k es el lugr que ocup el Ejemplo : Ddo el C o N o : hllr el grdo soluto del T. Como es u úmero pr, plicmos l fórmul: Dode: T K - () - k () k : Primer se : Segud se : Número de térmios 4 k : lugr que ocup el térmio Reemplzdo: T -( ) ( 4 ) T G.A. Rpt. térmio del desrrollo de u C o N o y k su térmio equidistte (térmio cotdo prtir del etremo fil); se cumple. ) k + k + ) T K ± () k () k - c) T K t + - k ± () k () - k d) T K y T K so de igul sigos e los C o N o de l form : + y + e) T K y T K tiee sigos diferetes pr C o N o de l form: RECONSTRUCCIÓN DE UN COCIENTE NOTABLE A PARTIR DE LOS TÉRMINOS DE SU DESARROLLO + OBSERVACIONES IMPORTANTES Ddo el C o N o : Podemos otr que: ± ±.- represet el úmero de térmios.- Si es u úmero impr eiste u térmio cetrl l cul deotremos por t c y ocup el lugr. t c t + Pr recostruir u cociete otle prtir de los térmios de su desrrollo, deemos teer e cuet ls siguietes regls: º Ley de sigos ) +, +, +,... + ) +, -, +...-,+ c) +, -, +,...+, - º Ley de vriles.- E el dividedo y e el divisor se escrie como ses del C o N o ls ses de los térmios etremos del desrrollo

39 º Vrició de epoetes.- Nos determi los epoetes que dee colocrse e ls ses del divisor; l vrició descedete es pr l primer se y l vrició scedete es pr l segud se. 4º formció del Cociete Notle.- Oteidos los epoetes del divisor, estos se sum co los epoetes de los térmios etremos del desrrollo del cociete otle y oteemos los epoetes del dividedo, formádose el cociete otle. Ejemplo: Ddo el desrrollo y y formr el C o N o Solució De cuerdo ls regls, teemos: º.- Ley de Sigos : º.- Ley de vriles: - y - y º.- Vrició de epoetes: 4º.- Formció del C o N o : EJERCICIOS - y - y y 40 8 y Ejercicio Nº.- Ddo el cociete otle ( ) + - (y 4 ) y determie el úmero de térmios que tiee su desrrollo. Solució Por ser u cociete otle los epoetes dee ser proporcioles, es decir: #t ( + ) 4 ( + 6) + - operdo, se tiee: (6 + 4) ( ) ( + 4) ( + ) Simplificdo: remplzdo: #t [ () + ] + # t Ejercicio Nº.- Al efectur el desrrollo del C o N o : Hllr el úmero de térmios frcciorios. U térmio geérico del desrrollo de este C o N o es: T K () - k () k Remplzdo: T K ( ) k ( - ) k T K 4 k k + - k T K 47 k ; K Los térmios será frcciorios; Cudo: 47 k < 0 - k < -47 k > 47 k > 9,4 Ddo que: k ; etoces: K 0,,,, 4, el úmero de térmio frcciorios es 6. k

40 L fctorizció es u proceso cotrrio l multiplicció, el cul o está sujet regls específics; su operció depede de l práctic dquirid. E eseci es l trsformció de u poliomio e u producto idicdo de fctores primos, detro de u determido cmpo umérico. U poliomio está defiido sore u cmpo umérico, cudo los coeficietes de dichos poliomios perteece l cojuto umérico socido dicho cmpo. Hy tres cmpos de importci: Rciol : Q ; Rel : R; Complejo : C Ejemplo: i) P () 7 +, está defiido e Q, R y C ii) Q () + -, está defiido e R y C, pero o e Q. iii) FACTORIZACIÓN R () i + i ; est defiició solo e C... (i ) Fctor ó Divisor.- Es u poliomio de grdo distito de cero que divide ectmete otro. Fctor Primo.- Es u poliomio sore u cmpo umérico el cul o se puede trsformr e el producto de dos poliomios sore el mismo cmpo umérico. Ejemplo #.- P () No es primo e Q, i e R; i e C, y que se puede epresr como P () ( + ) ( ). Ejemplo #.- Z() 7 Es primo e Q, pero o e R i e C, ddo que Z () ( + 7 ) ( - 7 ) Ejemplo #.- R() + 6 Es primo e Q y e R pero o es primo e C, y que R() ( + 4i) ( 4 i) Número de fctores primos.- Es l ctidd de fctores o repetidos que tiee el poliomio, depediedo sore que cmpo umérico se fctorice. Ejemplo ) P() 4 6 ( + 6) ( 6) P () tiee fctores primos e Q ) P() 4 6 ( + 6) ( + 6 ) ( - 6 ) P () tiee fctores primos e R c) P() 4 6 ( + i 6 ) (( - i 6 ) (+ 6 ) ( - 6 ) P () tiee 4 fctores primos e C I. Método del Fctor Comú.- El fctor comú está coteido e todos los térmios de l epresió lgeric fctorizr, co el meor epoete; puede ser moómico o poliómico. Ejemplo # : Fctorizr: f 4 y + 4 z + 4 El fctor comú es: 4 ; de dode f 4 (y + z + ) Rpt. Ejemplo # : Fctorizr: f ( + ) + ( + ) y + ( + ) z El fctor comú e este cso es: ( + ); de dode f ( + ) ( + y + z) II. Rpt. Fctorizció por grupció de térmios Cosiste e grupr coveietemete de form que se teg fctor comues poliómicos. FACTORIZACIÓN EN Q Ejemplo # : Fctorizr f ( + y) + (y ) Desrrolldo por productos otles. f + y + y + y

41 - y + Simplificdo: f + y + y + grupdo el primero co el tercero y el segudo co el curto, se tiee: f ( + y ) + ( y + ) f ( + y ) + ( + y ) 4 9y 4 sum Dif X y De dode: f ( 4 + 9y 4 ) ( + y ) ( y ) f ( + ) ( + y ) Rpt. III. Método de ls Idetiddes A. DIFERENCIA DE CUADRADOS Pr fctorizr se etre l ríz cudrd de los cudrdos perfectos y se form u producto de l sum de ls ríces, multiplicds por l difereci de ls misms. E geerl. f m ( m + ) ( m ) m B. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.- Su form geerl es: f m ± m + m m m m f ( m ± ) m C. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.- E este cso recordmos los productos otles. m + ( m + ) ( m m + ) m ( m ) ( m + m + ) Ejemplo # : Fctorizr f 8 8 y 8 Solució Etryedo otiee: sum (Igules) f 8 8 y 8 los térmios, se Ejemplo #.- Fctorizr f ( + ) 7 + c ( + ) 4 c 4 ( + ) c 7 Hciedo: ( + ) ; se tedrí: f 7 + c 4 c 4 c 7 fctorizdo de e f 4 ( + c ) c 4 ( + c ) siedo el fctor comú : + c f ( + c ) ( 4 c 4 ) fctorizdo l sum de cuos y l difereci de cudrdos, oteemos filmete: f ( + c) ( c + c ) ( + c ) ( + c) ( c) Ejemplo #.- Fctorizr: f ( + ) + ( + ) c + ( + ) c Solució Fctorizdo : ( + ); se tiee f ( + ) [ + c ( + ) + c ] f ( + ) [ + c + c + c ] fctorizdo e el corchete f ( + ) [ ( + c) + c ( + c)] siedo: ( + c) el fctor comú, se tedrí como fctores: f ( + ) ( + c) ( + c) Rpt. MÉTODO DE LAS ASPAS Asp Simple.- Se plic e epresioes triomis de l form. f m + m y + c y Se descompoe e fctores los etremos y l sum de los productos e sp dee ser igul l térmio cetrl.

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