La variable compleja permite resolver problemas muy diferentes dentro de. áreas tan variadas como pueden ser hidráulica, aerodinámica, electricidad,

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1 17 Análss matemátco para Ingenería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 1 Los números complejos La varable compleja permte resolver problemas muy dferentes dentro de áreas tan varadas como pueden ser hdráulca, aerodnámca, electrcdad, electromagnetsmo... Algunos de ellos sólo requeren el conocmento de los números complejos, como sucede en el caso del cálculo de los autovalores asocados a sstemas de ecuacones dferencales lneales. Otros en cambo requeren la utlzacón de la teoría de funcones analítcas complejas, como los problemas de contorno que aparecen, por ejemplo, en el estudo del flujo de fludos, 1 la conduccón del calor, la elastcdad o el potencal electrostátco. Muchos problemas geométrcos pueden resolverse utlzando las transformacones complejas. Mentras que para los prmeros bastaría con los contendos que se revsan en este capítulo, sobre los números complejos y las propedades de sus operacones que quzá ya conozca el alumnado de secundara, sn embargo para resolver los problemas de los sguentes tpos se requere un conocmento profundo sobre las funcones complejas que se estudarán en los sguentes capítulos. Dentro de las Matemátcas propamente dchas, es nteresante estudar la varable compleja por estar estrechamente relaconada con dstntas áreas, de manera que su estudo pueda hacer accesble parte del álgebra, de la 1 Ver en Lamb, H.: Hydrodynamcs, aplcacones de la teoría de funcones analítcas a la hdrodnámca.

2 18 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA trgonometría, o proporcone herramentas para el cálculo ntegral y la teoría de ecuacones dferencales ordnaras y en dervadas parcales. Comenza este capítulo con una revsón del conjunto de los números complejos, su estructura algebraca de cuerpo conmutatvo, la conjugacón, los conceptos de módulo y argumento, su nterpretacón geométrca en el plano y las operacones elementales en forma bnómca y en forma polar, pues para poder entender adecuadamente las funcones de varable compleja es necesaro comprender el conjunto sobre el que están defndas: los números complejos. Se suponen conocdas las propedades de los números reales. Al dotar el campo de los complejos de una dstanca se tene un espaco métrco. La estructura de orden de los números reales se perde con los números complejos, por lo que el concepto de nfnto es ahora dstnto. Es precso amplar el conjunto de los complejos añadendo un nuevo ente, el nfnto, y explcar su sgnfcado EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Los antguos algebrstas operaron con expresones en las que aparecía 1. Lebnz, en el sglo XVII, todavía decía que 1 era una espece de anfbo entre el ser y la nada. En Euler le do al monstruo 1 el nombre de (por magnaro). En la actualdad esta notacón se usa cas unversalmente, excepto en ngenería eléctrca, donde se utlza j en lugar de, ya que esta letra se usa para ndcar la ntensdad de la corrente.

3 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 19 Cuando se desarrolló la teoría de los números complejos, la electrcdad era una matera de nterés sólo de laboratoro. Pero antes del fnal del sglo XIX los descubrmentos sobre electrcdad y electromagnetsmo transformaron el mundo, y en este proceso los números complejos fueron una herramenta que smplfcó el cálculo con las correntes alternas. Esto prueba que conocmentos que son matemátca pura para una generacón se converten en aplcados para la sguente Números complejos en forma bnómca Defncón 1.1.1: Un número complejo se defne como una expresón de la forma z = x + y donde x e y son números reales. Este tpo de expresón, z = x + y, se denomna forma bnómca. Se llama parte real de z = x + y al número real x, que se denota Re(z), y parte magnara de z = x + y, al número real y, que se denota Im(z), por lo que se tene entonces que: z = Re(z) + Im(z). El conjunto de los números complejos es, por tanto, C = {z = x + y; x, y R}. Esta construccón permte consderar a los números reales como un subconjunto de los números complejos, sendo real aquel número complejo de parte magnara nula. Así, los números complejos de la forma z = x + 0 son números reales y se denomnan números magnaros a los de la forma z = 0 +

4 0 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA y, es decr, con su parte real nula. Dos números complejos z 1 = x + y y z = u + v son guales s y sólo s tenen guales sus partes reales y sus partes magnaras: x = u, y = v Operacones en forma bnómca Las operacones de suma y producto defndas en los números reales se pueden extender a los números complejos. Para la suma y el producto de dos números complejos escrtos en la forma bnómca: x + y, u + v se tenen en cuenta las propedades usuales del Álgebra con lo que se defnen: Defncón 1.1.: Suma: (x + y) + (u + v) = (x + u) + (y + v) Defncón 1.1.: Producto: (x + y) (u + v) = (x u y v) + (x v + y u) Se comprueba que el cuadrado del número complejo es un número real negatvo, 1, pues: (0 + ) (0 + ) = 1 + (0) = 1. S los números complejos son reales, con su parte magnara nula, estas operacones se reducen a las usuales entre los números reales ya que: (x + 0) + (u + 0) = (x + u) + (0) (x + 0) (u + 0) = (x u) + (0) Esto permte consderar al cuerpo de los números reales R como un subconjunto de los números complejos, C. Defncón 1.1.4:

5 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 1 El conjugado del número complejo z = x + y, se defne como: z = x y Propedades algebracas El conjunto de los números complejos con las operacones de suma y producto tene estructura de cuerpo conmutatvo. Esto es, verfca las sguentes propedades: 1. Propedad asocatva de la suma: (z 1 + z ) + z = z 1 + (z + z ) para todo z 1, z, z C.. Propedad conmutatva de la suma: z1 + z = z 1 + z para todo z 1, z C.. Exstenca de elemento cero: Exste un elemento, 0 = 0 + 0, tal que para todo z C, verfca: z + (0 + 0 ) = (0 + 0 ) + z = z. 4. Exstenca de elemento opuesto: Para todo z C, exste z C, defndo como z = x + ( y), tal que z + ( z) = Propedad asocatva del producto: (z 1 z ) z = z 1 (z z ) para todo z 1, z, z C. 6. Propedad conmutatva del producto: z1 z = z 1 z para todo z 1, z C. 7. Exstenca de elemento undad: Exste un elemento, 1 = 1 + 0, tal que para todo z C, verfca: z (1 + 0 ) = (1 + 0 ) z = z. 8. Exstenca de elemento nverso: Para todo número complejo no nulo, z C/{0}, exste z -1 1 x y = =, tal que z z -1 = 1. z x + y

6 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 9. Propedad dstrbutva: z 1 (z + z ) = z 1 z + z 1 z para todo z 1, z, z C. Todas estas propedades son sencllas de verfcar, lo que se deja como ejercco. (Ejercco 1.1). Se observa que, en efecto, el nverso de z no está defndo para el elemento nulo, pues entonces se estaría dvdendo por cero, ya que entonces x + y = 0. El cuerpo de los complejos es algebracamente cerrado. Esto sgnfca que cualquer polnomo de grado n, mayor o gual a uno, con coefcentes reales o complejos tene al menos una raíz compleja. Este resultado, (que se demostrará en el capítulo 4) se conoce como Teorema Fundamental del Álgebra y fue probado por Gauss (1 799). Como consecuenca se tene que cada polnomo de grado n tene exactamente n raíces en el campo complejo, no necesaramente dstntas. Se recuerda que los números reales tenen estructura de cuerpo conmutatvo y ordenado. Al ser un subconjunto de los números complejos, son un subcuerpo de ellos. Pero como contrapartda se perde una mportante propedad, el orden. El cuerpo de los números complejos no es un cuerpo ordenado. Ejemplos resueltos Ejemplo 1.1.1: Calcular ( ) (1 + ) Para calcular ( ) (1 + ) se procede con las reglas usuales del Álgebra

7 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos tenendo en cuenta que = 1: ( ) (1 + ) = + 4 = = 4 +. Ejemplo 1.1.: El conjugado del número complejo z = + 5, es z = 5 Ejemplo 1.1.: Para dvdr números complejos se multplca, numerador y denomnador por el conjugado del denomnador, y así se consgue que el denomnador sea un número real: ( 1 ) = = = ( 1+ ) (1 ) 1+ 1 Ejemplo 1.1.4: Para elevar a potencas la undad magnara, se tene en cuenta que = 1, y por tanto, =, 4 = 1: 6 = 1, - = 1 = 1 = =. ( 1) Ejemplo 1.1.5: Calcular (1 + ) 4. Utlzando el bnomo de Newton se obtene: (1 + ) 4 4 = = = Ejerccos 1.1. Demostrar que las operacones de suma y producto de números complejos dotan a C de una estructura de cuerpo conmutatvo. 1.. Comprobar que: a) (1 ) 4 = 4.

8 4 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA b) + = 4 c) (1 + ) 5 = Realzar las sguentes operacones con números complejos: a) 68 (1 ) ( ) ( ) b) ( + ) (1 ). c) d) ( ) ( + ) 1.4. Comprobar s: a) Im(z) = Re(z). b) Re(z) = -Im(z). c) Im( z ) = d) Re(( ) ( + ) ( + )) = Comprobar s: a) Im z = x y y b) (Im z) = y. c) Im z z = xy x + y 1.6. Calcular: a) Im z z

9 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 5 b) Re(z 4 ) c) (Re(z)) REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA. DIAGRAMA DE ARGAND El desarrollo moderno de los números complejos empezó con el descubrmento de su nterpretacón geométrca que fue ndstntamente expuesta por John Walls (1 685) y ya de forma completamente satsfactora por Caspar Wessel (1 799). El trabajo de Wessel no recbó nnguna atencón, y la nterpretacón geométrca de los números complejos fue redescuberta por Jean Robert Argand (1 806) y de nuevo por Carl Fredrch Gauss (1 81). El conjunto de los números complejos con las operacones de suma y el producto por un número real tene estructura de espaco vectoral de dmensón dos, y es, por tanto, somorfo a R. Una base de este espaco está formada por el conjunto {1, }. (Ejercco 1.7). z = x + y x Fgura 1.1: Representacón de los números complejos Al gual que los números reales representan los puntos de una recta, los

10 6 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA números complejos pueden ser puestos en correspondenca bunívoca con los puntos de un plano. Los números reales se representan en el eje de abscsas o eje real, y a los múltplos de = 1 se les representa como puntos del eje magnaro, perpendcular al eje real en el orgen. A esta representacón geométrca se la conoce como el Dagrama de Argand. El eje y = 0 se denomna eje real y el x = 0, eje magnaro. Como la condcón necesara y sufcente para que x + y concda con u + v es que x = u, y = v, el conjunto de los números complejos se dentfca con R, y los números complejos se pueden representar como puntos del plano complejo. El número complejo z = x + y se corresponde con la abscsa y la ordenada del punto del plano asocado al par (x, y). En unas ocasones se refere el número complejo z como el punto z y en otras como el vector z. La suma de números complejos corresponde gráfcamente con la suma de vectores. Sn embargo, el producto de números complejos no es n el producto escalar de vectores n el producto vectoral. El conjugado de z, z, es smétrco a z respecto del eje de abscsas. Ejemplos resueltos Ejemplo 1..1: Representar en el plano de Argand los números complejos: a = +, b = y c =. Los números complejos a = +, b = y c = se representan:

11 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 7 b= a = + c= Fgura 1.: Ejemplo Representacón de a, b y c. Ejemplo 1..: Representar en el plano de Argand los números complejos: +, 1 +,, 5 + y 4. Fgura 1.: Ejemplo Representacón de números complejos Ejemplo 1..: Representar el número complejo conjugado de a = +.

12 8 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA El conjugado de a = +,, se representa: + Fgura 1.4: Ejemplo Representacón del conjugado. Fgura 1..4: Representacón del conjugado. y se observa que es el smétrco respecto del eje de abscsas. La conjugacón es un automorfsmo del campo complejo relaconado con la smetría. Ejemplo 1..4: Representar la suma de dos números complejos. La suma se representa gual que la suma vectoral: Fgura 1..4: Representacón de la suma de números complejos. Fgura 1.5: Representacón de la suma de números complejos. Ejemplo 1..5: Representar el producto del número complejo + por la undad magnara:. El producto de + por es gual a 1 +, y al representarlo se observa

13 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 9 que multplcar por la undad magnara es grar 90º. Fgura 1..6: Representacón del producto de un número complejo por la undad magnara Fgura 1.6: Representacón del producto de un número complejo por la undad magnara Ejerccos 1.7. Demostrar que C, con las operacones de suma y el producto de un número real, tene estructura de espaco vectoral bdmensonal Representar gráfcamente los sguentes números complejos: a) a = b) b = c) c = 5 d) d = 1 + e) e = Representar gráfcamente el conjugado de los números complejos: a) a = b) b =

14 0 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA c) c = 5 d) d = 1 + e) e = Representar gráfcamente la suma de los sguentes números complejos: a) a + b b) a + c c) b + d d) d + e Representar gráfcamente el producto de los sguentes números complejos: a) a b) b c) c d) d e) e. 1.. FORMA POLAR Módulo Defncón 1..1:

15 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 1 El módulo de un número complejo se defne como z x + y =, y representa la dstanca de z al orgen, es decr, la longtud del vector lbre (x, y) de R. Por tanto el módulo nunca puede ser un número real negatvo. El módulo de un número real concde con su valor absoluto. Aunque no tene sentdo decr s z 1 < z, salvo que sean números reales, sí tene sentdo la desgualdad orgen que z. z 1 < z y sgnfca que z 1 está más próxmo al Otra forma de expresar el módulo de un número complejo es medante la expresón z = z z donde z es el conjugado de z, sendo el producto de un número complejo por su conjugado gual a (x + y) (x y) = x + y un número real y postvo Argumento El argumento de un número complejo z, s z 0, representa el ángulo, en radanes, que forma el vector de poscón con el semeje de abscsas postvas. Es por tanto cualquer número real θ tal que cos θ = z x, sen θ = z y. Se tene entonces que cada número complejo no nulo tene nfndad de argumentos, postvos y negatvos, que se dferencan entre sí en múltplos enteros de π. defndo. S z es gual a cero, su módulo es cero, pero su argumento no está S se quere evtar la multplcdad de los argumentos se puede

16 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA selecconar para θ un ntervalo semaberto de longtud π, lo que se llama elegr una rama del argumento; por ejemplo, s se exge que θ ( π, π], (o para otros autores a [0, π)), se obtene el argumento prncpal de z, que se denota por Arg(z). S z es un número real negatvo su argumento prncpal vale π. En ocasones es preferble utlzar argumentos multvaluados: arg(z) = {Arg(z) + kπ; k Z} donde Z representa el conjunto de los números enteros. S se defne Arg(z) como arctg(y/x) se tene una nueva ambgüedad, ya que exsten dos ángulos en cada ntervalo de longtud π de los cuales sólo uno es váldo. Por todo ello, las afrmacones con argumentos deben ser hechas con una certa precaucón, pues por ejemplo la expresón: arg(z w) = arg(z) + arg(w) es certa s se nterpretan los argumentos como multvaluados. S z es dstnto de cero, z verfca que z = z, y Arg( z ) = Arg(z) Propedades del módulo, del conjugado y del argumento de un número complejo son: Algunas propedades del conjugado y del módulo de un número complejo 1. z, w C, z + w = z + w, z w = z w, z w = z w.. z C, z = z, Arg( z ) = Arg(z), arg( z ) = arg(z).. z R z = z.

17 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 4. z, w C, z z = z, z = z, z w = z w, z z =. w w 5. z = 0 z = z C, Re(z) = z + z z z, Im (z) =. 7. z C, Re(z) z, Im(z) z, z Re(z) + Im(z) 8. z, w C, z w z + w z + w Las propedades de la conjugacón prueban que ésta es un automorfsmo dempotente en C. Se observa que las desgualdades 7 y 8 son sempre entre números reales, no entre complejos, por lo que sí tene sentdo escrbr una desgualdad. La segunda parte de la propedad 8 se conoce con el nombre de desgualdad trangular. Las propedades del módulo prueban que éste es una norma en el espaco vectoral C. 1.1). La comprobacón de estas propedades se deja como ejercco. (Ejercco Forma polar Defncón 1..: S ρ es gual al módulo del número complejo no nulo z y θ es un argumento de z, entonces (ρ, θ) son las coordenadas polares del punto z. La conversón de coordenadas polares en cartesanas y vceversa se hace medante las expresones: x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, por lo que z = x + y = ρ (cos θ + sen θ). Esta últma expresón es válda ncluso s z = 0, pues entonces ρ = 0, por

18 4 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA lo que se verfca para todo θ. Ejemplos resueltos Ejemplo 1..1: Calcular el módulo de los sguentes números complejos: + y 4 +. Al calcular + = 1 y 4 + = 17 se sabe que el prmero dsta menos del orgen que el segundo. Ejemplo 1..: Calcular el argumento de los sguentes números complejos: 5, 7, y. π π El argumento prncpal de 5 es gual a, el de 7 es, el de vale 0 y el es π. Ejemplo 1..: Escrbr en forma bnómca el número complejo de módulo y argumento π. El número complejo de módulo y argumento prncpal π es 1+, ya que: x = cos π = 1 e y = sen π =. Ejemplo 1..4: Calcular el módulo y el argumento de: 1. El número complejo 1 tene de módulo ρ = ( 1 ) + ( 1) =. π 5π Uno de sus argumentos es π + =, y su argumento prncpal es 4 4 π, por tanto arg( 1 ) = 4 4 π + kπ.

19 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 5 Ejemplo 1..5: Comprobar s se verfca que Arg(z w) = Arg(z) + Arg(w). Se verfca que arg(z w) = arg(z) + arg(w) consderando estos argumentos como conjuntos, y en general no se verfca que Arg(z w) = Arg(z) + Arg(w), pues por ejemplo Arg(( ) π π ) = Arg( 1) = π, mentras Arg( ) + Arg( ) = = π. Ejerccos 1.1. Demostrar las propedades del apartado Dscutr el sgnfcado de las sguentes expresones, ponendo dstntos ejemplos: a) arg(z w) = arg(z) + arg(w), b) arg( z ) = arg(z 1 ) = arg(z), c) arg(z/w) = arg(z) arg(w) Calcular el modulo y el argumento prncpal de los sguentes números complejos: a) b) c) 1 d) Expresar en forma polar los sguentes números complejos: a)

20 6 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA b) c) d) FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO Defncón : Se denomna Fórmula de Euler a la expresón: e θ = exp( θ) = cos θ + sen θ, donde θ se mde en radanes. Defncón 1.4.: La fórmula de Euler permte expresar un número complejo no nulo en lo que se conoce como la forma exponencal: z = z e θ = ρ e θ. Al estudar la funcón exponencal se justfcará esta expresón. Para cada valor prevamente fjado de ρ los puntos de la ecuacón z = ρ e θ están sobre la crcunferenca de rado ρ y centro el orgen. Dos números complejos, z1 = ρ e θ y z = r e α, no nulos, son guales s, y sólo s, ρ = r y θ = α + kπ, donde k es cualquer número entero.

21 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos Operacones entre números complejos en forma exponencal Para multplcar números complejos expresados en una de estas formas, basta multplcar sus módulos y sumar sus argumentos: (ρ e θ ) (r e α ) = (ρ r) e (θ+α). La relacón entre números complejos y transformacones geométrcas, donde multplcar por corresponde a grar 90º, y multplcar por a + b es grar el argumento de dcho número y aplcar una homoteca de razón su módulo, es muy útl en la Mecánca y en otras partes de la Físca. argumentos: Para dvdr números complejos, basta dvdr sus módulos y restar sus ρ e r e θ α ρ = e r ( θ α ) El nverso de un número complejo dstnto de cero, z = ρ e θ, tene como módulo, el nverso del módulo, y como argumento, el opuesto del argumento: 1 z = 1 1 θ = e z ρ Para elevar un número complejo a una potenca, se eleva el módulo a dcha potenca, y se multplca el argumento por el exponente. Así: (r e θ ) n = (r n ) e nθ, cualquera que sea el número entero n, lo que permte calcular raíces n-ésmas. Para calcular la raíz n-ésma de un número complejo, w = n z, se tene

22 8 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA α en cuenta que s n n θ w = r e = z = ρ e el módulo r debe ser gual a r = n ρ, pero al tener un número complejo muchos argumentos, ahora el argumento no es únco, sno que se tenen n argumentos dstntos, e guales a θ + kπ θ kπ α = = +, donde k toma los valores desde 0 hasta n 1 antes de n n n que dchos valores comencen a repetrse. Por tanto la funcón raíz n-ésma es una funcón multvalorada, con n valores que se pueden representar gráfcamente en los vértces de un n-ágono regular de centro el orgen y rado, el módulo r = n ρ, pues todas las raíces están stuadas en la crcunferenca de rado π cada radanes. n r = n ρ unformemente espacadas Todas estas expresones pueden deducrse tenendo en cuenta que en la fórmula de Euler, e θ = cos θ + sen θ, se encerra toda la trgonometría elemental. A modo de ejemplo se demuestra la fórmula del producto de números complejos en forma exponencal: z 1 z = (ρ e θ ) (r e α ) = (ρ r) e (θ+α). Demostracón: z 1 z = (ρ e θ ) (r e α ) = ρ (cos θ + sen θ) r (cos α + sen α) = = (ρ r) [cos θ cos α sen θ sen α] + [cos θ sen α + sen θ cos α] = = (ρ r) (cos (θ+α) + sen (θ+α)) = (ρ r) e (θ+ α). De gual modo se obtene la fórmula del seno de una suma o del coseno

23 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 9 de una suma consderando en la demostracón anteror números complejos de módulo uno. Se comprueba que el conjugado de un número complejo tene el msmo módulo y el argumento opuesto: θ ρ e = ρe -θ Fórmula de Movre Al aplcar la fórmula obtenda de una potenca al número complejo de θ nθ módulo uno, ( ) n e = e, se obtene que (cos θ + sen θ) n = cos(nθ) + sen(nθ), cualquera que sea el número entero n. Esta expresón, que permte conocer sen(nx) o cos(nx) en funcón de cosx y sen x desarrollando la potenca medante el bnomo de Newton y separando partes real e magnara, se conoce como fórmula de Movre. Ejemplos resueltos Ejemplo 1.4.1: Representar gráfcamente el producto de los números complejos: π e 6 π, e 4.

24 40 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Fgura 1.7: Representacón del producto de números complejos Ejemplo 1.4.: Calcular: 1+. Para dvdr 1+ se pueden escrbr los números complejos en forma exponencal y dvdr los módulos y restar los argumentos: 1+ π π π e ( π ) 1 = = e = 1e = + π e Por tanto 1+ escrto en forma exponencal es π e, de módulo 1, y π argumento prncpal. Decr que su módulo es 1 es decr que está sobre la crcunferenca de centro el orgen y rado 1. Ejemplo 1.4.: Calcular Para calcular una potenca, en general es mucho más sencllo utlzar la

25 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 41 forma exponencal en vez de aplcar la fórmula del bnomo de Newton. Por ejemplo, s se quere calcular , es mucho más práctco calcular. e e e = = = π π π Ejemplo 1.4.4: Calcular la raíz cúbca de 1. Para calcular una raíz n-ésma se debe recordar que se tenen n raíces dstntas: = = = = + = = = + + e e e e e e ) ( ) ( π π π π π π π π Ejemplo 1.4.5: Resolver z Esto permte resolver ecuacones. Así, las solucones de la ecuacón cúbca z = 1. 1 ± = 1 son tres, la raíz real 1, y las raíces complejas conjugadas:. Ejemplo 1.4.6: Representar gráfcamente las raíces cúbcas y cuartas de la undad.

26 4 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 1.8: Raíces de la undad Ejerccos Comprobar los resultados sguentes: a) (1 + ) 16 = 8 = 56. b) 7 π e 6 5π = 6 e 9π e Realzar las sguentes operacones con números complejos, expresándolos prevamente en forma exponencal: a) b) Resolver las ecuacones, obtenendo las raíces reales y complejas:

27 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 4 a) x = 1 b) x c) x 4 = = Calcular las raíces n-ésmas de la undad, para n =, y 4. Representarlas gráfcamente, y comprobar que están sobre la crcunferenca de rado 1, y en los vértces de un polígono regular TOPOLOGÍA DEL PLANO COMPLEJO Al dentfcar C con el plano real R medante la byeccón que asoca el par (x, y) con el número complejo x + y tene sentdo hablar del plano complejo, y se puede dotar a C de una estructura de espaco métrco defnendo una dstanca d(z, w) = z w, que es la dstanca euclídea, con lo que (C, d) es un espaco métrco. Cómo el módulo es una norma, C tene estructura de espaco vectoral normado. dstanca. Se deja como ejercco comprobar que con esta defncón d es una Tener una métrca permte utlzar el concepto de entorno. Para ello se ntroducen los sguentes conceptos: Dsco aberto o bola aberta de centro z 0 y rado r es el conjunto de puntos z nterores a la crcunferenca de centro z 0 y rado r: Br(z 0 ) = {z C; z z 0 < r}. Dsco cerrado o bola cerrada de centro z0 y rado r es gual al círculo de

28 44 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA centro z 0 y rado r: B r ( z 0 ) = {z C; z z 0 r}. La frontera del dsco es gual a la crcunferenca de centro z 0 y rado r: Fr(Br(z 0 )) = {z C; z z 0 = r}. Entorno del punto z0 y rado ε es gual a la bola aberta de centro z 0 y rado ε: Entε(z 0 ) = {z C; z z 0 < ε} = B ε (z 0 ). Entorno punteado, o dsco pnchado, de centro z0 y rado r es el conjunto de puntos z nterores a la crcunferenca de centro z 0 y rado r salvo el propo punto z 0 : Br (z 0 ) = {z C; 0 < z z 0 < r}. Se puede defnr ahora una topología en C y hablar de proxmdad. Los conceptos topológcos que se necestarán son análogos a los ya estudados en funcones de varas varables, de los que se utlzarán de manera especal los conceptos de aberto, cerrado, conexo y domno. Se dce que z es un punto nteror de un conjunto A C, s exste algún entorno de z contendo en A. Se dce que z es un punto exteror de A C, s exste algún entorno de z que no contene puntos de A. S un punto z no es n nteror n exteror de A se dce que es un punto frontera de A; por lo tanto en todo entorno de un punto frontera exsten puntos de A y puntos que no pertenecen a A. Un conjunto es aberto s todos sus puntos son nterores. Luego:

29 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 45 X es un conjunto aberto z X, r > 0, B r (z) X. Un conjunto X es cerrado s su complementaro (conjunto de puntos de C que no pertenecen a X) es un conjunto aberto. Un conjunto cerrado contene a sus puntos frontera. Exsten conjuntos que no son n abertos n cerrados. El segmento de extremos a y b, se puede representar como: [a, b] = {z C; z = t a + (1 t) b, 0 t 1}. Un conjunto X es conexo cuando no exsten dos abertos A y B contendos en X, dsjuntos (A B= ) y dstntos del vacío tales que X = A B. Un conjunto X es conexo por camnos s todo par de puntos de X se pueden unr por un camno contendo en X. X es un domno s es un conjunto aberto y conexo. Una bola aberta, B r (z), es un ejemplo de conjunto aberto y conexo, y por lo tanto es un domno. Tambén es un domno la corona crcular defnda por: {z C; r < z z 0 < R} ya que es un conjunto aberto y conexo. Una bola cerrada, B r ( z 0 ), es un ejemplo de conjunto cerrado. El dsco pnchado, B r (z 0 ), defndo como {z C; 0 < z z 0 r}, formado por los puntos de la bola cerrada excepto el centro, no es n aberto n cerrado. Fgura 1.9: Bola aberta. Bola cerrada. Corona crcular.

30 46 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Un conjunto X está acotado s está contendo en alguna bola de rado R: X {z C; z z 0 < R}. En caso contraro se dce que A es no acotado. Así, por ejemplo, la corona crcular es un conjunto acotado mentras que el semplano Im(z) > 0 es un conjunto no acotado. Toda sucesón de números complejos, (z n ), se puede consderar formada por dos sucesones de números reales, (Re(z n )) y (Im(z n )), y se verfca que: (z n ) z s y sólo s (Re(z n )) Re(z) y (Im(z n )) Im(z). Como consecuenca se obtene que el espaco (C, d) es un espaco métrco completo, es decr, toda sucesón de Cauchy es convergente. Ejemplos resueltos y rado. Ejemplo 1.5.1: Escrbr en forma conjuntsta el círculo cerrado de centro 1 El círculo cerrado de centro 1 y rado se puede representar como {z C; z 1 }, está formado por el conjunto de puntos z = x + y tales que (x 1) + y 4, y es un conjunto conexo, cerrado y acotado. Ejemplo 1.5.: Escrbr en forma conjuntsta el círculo cerrado de centro y rado, y el círculo cerrado de centro y rado 4. El círculo cerrado de centro y rado se puede representar como {z C; z + }. Y el círculo cerrado de centro y rado 4 se puede representar como {z C; z 8}.

31 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Los números complejos 47 Ejerccos 1.0. Probar que la dstanca euclídea d(z, w) = z w verfca las propedades de dstanca Indcar qué regón del plano complejo representan los sguentes conjuntos de puntos: a) {z C; z + 4 5} b) {z C; z 1 < } c) Re(z) d) Im(z) < e) {z C; 1 < z + 1 < } f) {z C; π π < arg( z ) < } 4 4 g) Re(z) = h) Im(z + ) > 1 ) {z C; z < y z = z + } 1.. En los conjuntos del ejercco anteror, ndcar cuáles son abertos, cerrados, conexos, acotados y cuáles son domnos.

32 48 Capítulo 1: Varable Compleja M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 1.6. LA ESFERA DE RIEMANN. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Resulta necesaro amplar el plano complejo añadendo el punto del nfnto,. En la recta real, que estaba ordenada, se añadían dos puntos del nfnto,, menor que cualquer número real, y +, mayor que cualquera de ellos. Esto ahora no va a ser posble al perderse el orden. S se pensa en el plano complejo como un espaco vectoral podría pensarse que se puede acercar al nfnto por cualquer dreccón, pero esta no va a ser la solucón adoptada. Remann, en el sglo XIX, tuvo la genal dea de pensar en el plano como la proyeccón estereográfca de una esfera. Consderó una esfera de centro el orgen y rado uno cortada dametralmente por el plano complejo, y medante la proyeccón estereográfca obtuvo una correspondenca bunívoca entre los puntos de la esfera, menos el polo norte, y los puntos del plano. Defncón 1.6.1: Se denomna esfera de Remann a una esfera S, contenda en R, de centro el orgen y rado uno. Entonces la esfera de Remann, S, es gual a {(x1, x, x ): x 1 + x + x =1}. Se llama polo norte, N, al punto (0, 0, 1) de la esfera. Se puede suponer que el subespaco de R formado por los puntos cuya tercera coordenada es nula es somorfo al plano complejo C: {(x, y, 0); x, y R} C