CAPÍTULO II SISTEMAS NUMÉRICOS. Este método de representar los números se llama sistema de numeración decimal, donde 10 es la base del sistema.

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1 CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MAT CAPÍTULO II SISTEMAS NUMÉRICOS 2.1 INTRODUCCIÓN Los números usados en Aritmética están expresados por medio de múltiplos o potencias de 10; por ejemplo: 8654= 8* * * *10 0 Este método de representar los números se llama sistema de numeración decimal, donde 10 es la base del sistema. De manera análoga cualquier otro número mayor que la unidad puede tomarse como base de un sistema de numeración; así si 8 es la base, un número expresado por 4721 representa 4 * * * * 8 0 En este sistema no existe ningún dígito mayor que 7. Más aun, en un sistema de base r el número anterior, 4721 equivale a 4r 3 + 7r 2 + 2r + 1. En general si en el sistema de base r designamos los dígitos a partir de la unidad por a 0, a 1, a 2,..., a n ; entonces el número formado por ellos sería igual a a n r n + a n-1 r n-1 + a n-2 r n a 2 r² + a 1 r + a 0 donde los coeficientes a n, a n-1,..., a 0, son enteros todos menores que r y de los cuales alguno o algunos después del primero pueden ser cero. Por consiguiente, en este sistema hay r dígitos, variando sus valores desde 0 hasta r EXPRESIÓN DE UN ENTERO EN CUALQUIER SISTEMA DE NUMERACIÓN Sea N el número dado y r la base del nuevo sistema. Sean a o, a 1, a 2,..., a n los dígitos requeridos para expresar N, comenzando por el de las unidades; entonces N = a n r n + a n-1 r n a 2 r² + a 1 r + a 0 Tenemos que encontrar ahora los valores de: a 0, a 1, a 2,..., a n Dividamos N por r, entonces el residuo es a 0 y el cociente es a n r n-1 + a n-1 r n a 2 r + a 1 Si dividimos este cociente por r, el residuo es a 1. Si dividimos el siguiente cociente por r, el residuo es a 2; y así, sucesivamente hasta que se obtenga un cociente menor que r. Entonces, todos los dígitos requeridos a 0, a 1, a 2,..., a n son determinados por divisiones sucesivas por la base del sistema propuesto.

2 Ejemplo; Expresar el número 947 dado en base 10 en base 8 CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MAT = * 8 0 = 3 6 * 8 1 = 48 6 * 8 2 = * 8 3 = EXPRESIÓN DE UNA FRACCIÓN EN CUALQUIER SISTEMA DE NUMERACIÓN Sea F la fracción dada y r la base del nuevo sistema. Sean b 1, b 2, b 3,... los dígitos requeridos comenzando por la izquierda; entonces F b1 b2 b r r r Tenemos que hallar ahora los valores de b 1, b 2, b 3,... Multipliquemos ambos miembros de la igualdad por r; b2 b3 Entonces rf b r r Por consiguiente b 1 es igual a la parte entera de rf, y si designamos la parte fraccionaria por F 1, tenemos b2 b3 F r r Multipliquemos nuevamente por r; entonces, como antes, b 2 es la parte entera de rf 1, y análogamente por multiplicaciones sucesivas de r, se puede encontrar cada uno de los dígitos y la fracción expresada en el sistema propuesto. Si en las multiplicaciones sucesivas por r alguno de los productos es un entero, allí termina el proceso, y la fracción dada puede expresarse por un número finito de dígitos. Pero si ninguno de los productos es entero el proceso será indefinido y, en este caso, los dígitos se repiten, formando una fracción de base análoga a una expresión decimal periódica. Ejemplo; Expresar la fracción 0,763 dada en base 10 en base 8 0,763 * 8 = 6,104 0,104 * 8 = 0,832 ( 0,763 ) 10 = ( 0,6065 ) 8 0,208 * 8 = 6,656 0,664 * 8 = 5,248

3 CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MAT EXPRESIÓN DE UN NÚMERO DADO EN BASE N A BASE 10 Sea el número 432,25 dado en base 8, la expresión de dicho número en base 10 obedece a un proceso inverso a los explicados anteriormente que ilustramos con el ejemplo que sigue: 4 3 7, * 8-2 = 0, * 8-1 = 0, * 8 0 = 7 3 * 8 1 = * 8 2 = , Otras conversiones de otros sistemas, se podrán realizar, cambiando simplemente la base del sistema considerado inicialmente. 2.5 REPRESENTACIÓN DE DATOS Todas las computadoras utilizan combinaciones de números en el sistema de numeración binaria para representar cada caracter, donde un caracter se define como una letra, dígito, símbolo de puntuación u otro símbolo. Los caracteres en blanco son caracteres como lo son los símbolos que le indican a la computadora que pasen a la siguiente línea o página. En el sistema de numeración binario hay solo dos dígitos posibles; el 0 y el 1. Este sistema es ideal para el proceso de la computadora debido a que el "1" se utiliza para representar la presencia de un impulso o señal eléctrica y un "0" se utiliza para representar la ausencia de tal señal. Cada dígito decimal puede ser representado utilizando números binarios. Decimal Binario Es decir, 101 en binario, por ejemplo, es equivalente a 5 en decimal, ya que: 101 = 1 * * * 2 2 = = SISTEMAS OCTAL Y HEXADECIMAL Son sistemas numéricos que utilizan las computadoras y en los cuales el sistema hexadecimal se ayuda de las primeras letras del alfabeto de la A a la F para representar los dígitos faltantes. Ejemplo: Transformar 3BC dado en base 16 a base 10 3BC C * 16 0 = 12 * 16 0 = 12 B * 16 1 = 11 * 16 1 = * 16² = 768 (3BC) 16 = (956)

4 CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MAT TABLAS DE OPERACIONES ARITMÉTICAS EN BASE 2, 8 Y 16 Suma y resta sistema octal Producto y división sistema octal Binario ± */ */ ± Suma y resta sistema hexadecimal ± A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F B C D E F A C D E F A 1B D E F A 1B 1C E F A 1B 1C 1D F A 1B 1C 1D 1E Producto y división sistema hexadecimal */ A B C D E F A B C D E F A C E A 1C 1E C F B 1E A 2D C C C C 5 5 A F E D C B 6 6 C E 24 2A C E 54 5A 7 7 E 15 1C 23 2A F 46 4D 54 5B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A A 14 1E C A 64 6E C 96 B B C D E F 9A A5 C C C C C A8 B4 D D 1A E 5B F 9C A9 B6 C3 E E 1C 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1

5 CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MAT EQUIVALENCIAS HEXADECIMAL DECIMAL BINARIO Dígito Valor Valor Hexadecimal Decimal Binario A B C D E F EQUIVALENCIA OCTAL DECIMAL BINARIO Dígito Octal Valor Decimal Valor Binario 2.10 CONVERSIÓN OCTAL HEXADECIMAL BINARIO Estos tres sistemas guardan íntima relación entre sus dígitos permitiendo que la conversión entre los tres sistemas represente una tarea sumamente sencilla, como se aprecia en el siguiente ejemplo , , F 6 2, 5 4 (7542,250) 8 = ( , ) 2 = (F62,54) 16