TEMA UNIDAD I: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 ANÁLISIS DESCRIPTIVO TEMA DE VARIABLES CUANTITATIVAS 4..Itroduccó 4..Propedades estadístcas de las varables cuattatvas 4.3. Descrpcó de muestras pequeñas Herrametas para el aálss gráfco Herrametas para el aálss umérco 4.4. Descrpcó de muestras grades 4.5. Dstrbucoes de frecuecas de varables cuattatvas (datos agrupados) 4.6. Propedades de las dstrbucoes de varables cuattatvas e muestras grades 4.7. Varables dscretas 4.7..Herrametas para el aálss gráfco 4.7..Herrametas para el aálss umérco (estadígrafos) Meddas de poscó Meddas de dspersó Meddas de forma: asmetría y curtoss 4.8. Varables cotuas Herrametas para el aálss gráfco Herrametas para el aálss umérco (estadígrafos) 4.. INTRODUCCIÓN Cotuado co la descrpcó estadístca de cojutos de datos empírcos, que se correspode co los valores de ua varable observada, que geeralmete e el caso de ua varable cualtatva se obtee medate la observacó y que para el caso de ua varable cuattatva surge por recueto o medcó strumetal de ua característca o propedad (datos uvarados) o de dos (datos bvarados) o más (datos multvarados) e las udades de aálss que compoe ua muestra, este capítulo y el sguete efocará el aálss umérco y gráfco de los datos de aturaleza cuattatva. Se vo la secllez de la descrpcó estadístca e el caso de las varables cualtatvas, tato a través de las herrametas gráfcas como las umércas. Cotraramete, la descrpcó estadístca de las varables cuattatvas, dado que los datos surge de aplcar los veles de medcó más altos (escala de tervalo o escala de razoes), preseta u mayor grado de dfcultad y requere u tratameto prevo del sgfcado del cocepto propedades estadístcas de los datos cuattatvos e masa o smplemete de las propedades estadístcas. Estas propedades se debe a la aturaleza aleatora que preseta los datos empírcos correspodetes a feómeos que resulta de terés estudar e el campo del futuro desempeño profesoal, y permte descrbr dferetes aspectos que preseta las dstrbucoes de frecuecas muestrales para poder compreder el comportameto empírco geeral, y a partr de esto poder desarrollar modelos teórcos eplcatvos que represeta las leyes geerales que rge la ocurreca de los hechos aturales, ecológcos, productvos, ecoómcos, etc. Lo que atecede justfca pleamete el estudo de las propedades estadístcas que preseta las muestras de datos cuattatvos cuado se los aalza e masa. Sguedo el efoque ya presetado, para esto se puede recurrr a herrametas gráfcas (vsualzacó: dagramas y gráfcos) y umércas (cuatfcacó: meddas descrptvas o estadígrafos), que se elegrá teedo e cueta el tpo de varable y el tamaño muestral. 4.. PROPIEDADES ESTADÍSTICAS DE LAS VARIABLES CUANTITATIVAS Los feómeos que resulta de terés e el campo de las cecas co perteca e las carreras de la Facultad, preseta ua característca comú: o tee u comportameto costate. Al regstrar datos relacoados resulta que sempre muestra varacó y esto lleva a su caracterzacó estadístca medate el aálss descrptvo y el aálss ferecal, que se realza respectvamete, e ua etapa cal y e ua etapa a posteror. El aálss completo permte establecer leyes, deomadas 39 Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04

2 leyes estocástcas o probablístcas, que so eplcacoes acercaa de ua clase de hechos posbles (dea poblacoal), que se duce a partr del coocmeto obtedo por medcó de ocurrecas sgulares (realdad partcular o muestra). Sgfca que las leyes que verdaderamete eplca los hechos de la vda real so esquemas objetvos sujetos los procesos estetes que so regulados por certas relacoes costates, e otras palabras, so formas geerales que se descubre y represeta la varacó de los procesos reales y sus propedades. A esta clase de ley, que rge depedetemetee de uestra volutad o uestra coceca, porque so heretes a la aturaleza y la socedad, es deomada Iey objetva. Ahora be, cuado el hombre descubre ua ley objetva, trata de epresarla e forma racoal medatee la forma de ua ley cetífca. La ley cetífca se costruye, tato mejor cuato sea el coocmeto que el cetífco posee sobre los hechos reales, pero uca llega a cocdr por completo co la ley objetva. S embargo la gra vetaja de dspoer de leyes cetífcas es que el hombre puede trasformar los efectos de ua ley cambado las codcoes de los procesos afectados. Las leyes cetífcas o determa como ocurre Ios procesos, so que epresa lo que ocurrrá e u certo proceso cuado se cumpla tales y cuales codcoes. E este setdo, las leyes cetífcas desempeña la fucó de predecr lo descoocdo, co base e lo coocdo. Es decr que las leyes cetífcas srve como strumetos de las vestgacoes posterores, y de esta maera, posblta el avace del coocmeto de las cecas al aportar eplcacoes acerca del qué, el dóde, el cuádo, el cómo y el por qué de Ios procesos estetes. A modo de resume, se puede decr que las fucoes de la ley so las propas del coocmeto cetífco: eplcar y predecr el curso de los feómeos o hechos que so de terés e el mudo real. Al desarrollar la udad de probabldad e fereca, se comprederá el fudametal papel que tee los métodos estadístcos e la formulacó de las leyes cetífcas. E este capítulo comezará a vsualzarse la dea del comportameto de datos, que varía co regulardad estadístca. Naturalmete al tratarse del estudo descrptvo de muestras, o se satsfacerá la codcó de geeraldad que tee las leyes, las eplcacoes que pueda costrurse a partr de datos partculares tedrá u alcace acotado: será eplcacoes váldas para la muestra e cuestó, que solamete servrá de base para comezar a vslumbrar algo posble para la poblacó, u coocmeto que se aprederá a formalzar a medate el eucado de hpótess. Co esta faldad, se hará ua troduccó geeral de las propedades de la dstrbucó de los datos, que puede ser eamadas e ua muestra; ellas so las sguetes: Solamete se pretede que el alumo tome ua dea geeral de los aspectos que debe ser aalzados cuado dspoe de datos de ua muestra uvarada dode la varable es de aturaleza cuattatva, y comece a juzgar frete a cada uo de los casos que será presetados, cuáles correspode descrbr y cuáles o, por el alcace que tee los datos El poscoameto La prmera propedad estadístca a aalzar co el objetvo de caracterzar el patró de varabldad geeral de las masas de datos muestrales, es el poscoameto. Se ha vsto que al defr el recorrdo de ua varable cuattatva, que se debe dejar e claro el campo de varacó umérco que tee dcha varable, y que se ha recurrdo e refereca a los cojutos de los úmeros aturales (datos de coteo) y reales (datos de medcó), asocados respectvamete a varables dscretas y varables cotuas. La propedad de poscoameto se refere a como se ubca o toma poscó los datos e masa de la varable e ua escala umérca, que por lo geeral se represeta e el eje de las abscsas de u sstema cartesao. Estadístcamete se la cuatfca co los deomados estadígrafos de poscó, que puede clasfcarse como estadígrafos de cetralzacó y estadígrafos o cetrados. E geeral los datos de las dstrbucoes empírcas suele presetar tedeca a ubcarse a lo largo del recorrdo de la varable, e u mayor o meor grado, e ua poscó más o meos cetral; ua propedad de dstrbucó geeral que se cooce como tedeca cetral, y e correspodeca se habla de las meddas de la tedeca cetral que e geeral so las meddas promedos. U promedo se toma como puto típco de los datos, es u valor alrededor del cual se agrupa los demás valores de la varable. Además se completa la descrpcó del poscoameto geeral de los datos a través de los estadígrafos o cetrados, que se refere a la mayoría de los percetles, cuartles y decles, y de ua medda que puede resultar cetralzada o o, deomada la medaa La dspersó El poscoameto La dspersó La forma UNIDAD I: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La seguda propedad estadístca a aalzar co el objetvo de caracterzar el patró de varabldad geeral de las masas de datos muestrales, es la dspersó. Cualquera sea el caso, la descrpcó estadístca de varables cuattatvas debe clur ua medda de la poscó y ua de dspersó. Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 40

3 El cocepto de dspersó e Estadístca, se refere a que los datos empírcos o varía e forma caótca, so a que fluctúa co certa regulardad co relacó a algua medda de poscó tomada como refereca (geeralmete el valor de la meda), y por ede, las meddas de dspersó cotee formacó acerca del grado e que los datos se aproma o aleja co respecto a ella, e otras palabras s los valores está prómos etre sí o s por el cotraro está o muy dspersos La forma Cuado se dspoe de muestras grades, resulta de terés aalzar otras dos propedades e relacó al colectvo de datos, que da formacó sobre el aspecto de forma de la dstrbucó, ellas so: la asmetría y la curtoss. Ambas propedades se mde umércamete a través de sedas clases de coefcetes. a) Asmetría: la codcó de smetría se refere a que los datos se dstrbuye de forma smlar a derecha e zquerda del puto cetral. Esto es como magar u eje perpedcular ubcado e el valor cetral y hacer ua comparacó de la partes laterales, ecotrado la mtad zquerda de su dstrbucó es la mage especular de su mtad derecha. Es decr que hace refereca a la característca de ua repartcó de datos equlbradametee por ecma y por debajo de la tedeca cetral. Cotraramete la codcó de asmetría o sesgo, hace refereca a que los datos tede a repartrse de modo dferete, e correspodeca a los valores ferores al promedo y los valores superores a éste. La cosecueca de la falta de smetría es que afecta la fereca co respecto al valor cetral, de modoo que u valor medo tomado como represetatvo del cojuto puede o serlo tato. Las posbldades que puede presetarse co relacó a la propedad de asmetría so: Caso de dstrbucó asmétrca postva; cuado la dstrbucó se etede marcadamete haca el lado de valores que se ecuetra por ecma del valor cetral por la esteca de udades de aálss co valores que se poscoa e la parte muy alta de la escalaa (cola derecha pesada) ), Caso de dstrbucó smétrca: cuado se dstrbuye apromadamete la msma catdad de valores e ambos lados del valor cetral Caso de dstrbucó asmétrca egatva: cuado la dstrbucó se etede marcadamete haca el lado de valores que se ecuetra por debajo del valor cetral por esteca de udades de aálss co valores que se poscoa e la parte muy baja de la escalaa (cola zquerda pesada), Así por ejemplo, s u mote frutal o es be coducdo, es de esperarse que la dstrbucó de frecuecas del redmeto por plata (kg) resulte co sesgo postvo, puesto que la mayoría de los de los frutales producrá poca fruta y uos pocos dará mucha. S por el cotraro el mote es be coducdo, se puede esperar ua dstrbucó del redmeto co sesgo egatvo, dado que la mayoría de las platas producría mucha fruta y uas pocas dará bajo redmeto. S el mote preseta ua stuacó ormal e la coduccó, lo más probable es que la dstrbucó resulte smétrca. b) Curtoss: el ombre de esta propedad se derva etmológcamete del térmo grego kurtos,que sgfca coveo, y que comezó a utlzarse e el coteto de la matemátca sgfcado curvatura. La propedad se relacoa co dos aspectos que hace a la forma de la dstrbucó: ) el grado de aputalameto que posee ua dstrbucó de frecuecas e su parte cetral, y, ) las colas, o partes etremas de la dstrbucó, e cuato a s se etede haca valores alejados del cetral o o. La cosecueca de ua alta curtoss es que afecta la fereca co respecto a las meddas de dspersó. Las posbldades que puede presetarse co relacó a la propedad de curtoss se establece tomado como refereca ua dstrbucó que gráfcametee posee ua forma campaular armóca: Caso de dstrbucó leptocúrtca; cuado la dstrbucó muestra gra alzada o u aspecto putagudo e el etoro al valor cetral y además posee colas estradas, esto es, la dstrbucó de los datos se etede marcadamete tato haca el lado de valores que se ecuetra muy por debajo del valor cetral como haca el lado de valores ubcados muy por ecma del msmo. E geeral el gráfco de la dstrbucó tee ua forma estlzada. Caso de dstrbucó mesocúrtca: cuado se dstrbuye apromadamete la msma catdad de valores e ambos lados del valor cetral Caso de dstrbucó platcúrtca: cuado la dstrbucó muestra u aspecto aplastado o de meseta e el etoro al valor cetral y además posee colas cortas, esto es, la dstrbucó de los datos se etede poco tato haca el lado de valores que se ecuetra muy por debajo del valor cetral como haca el lado de valores ubcados muy por ecma del msmo. E geeral el gráfco de la dstrbucó tomará ua forma estlzada La descrpcó estadístca de las dstrbucoes de frecuecas, a través de las propedades del colectvo de datos muestrales, permtrá el prmer acercameto haca la modelzacó del comportameto de las varables e el coteto poblacoal, el cual se aprederá a epresar utlzado leyes probablístcas o estocástcas que srve para dar susteto a las leyes cetífcas. Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 4

4 4.3. DESCRIPCIÓN MUESTRAS PEQUEÑAS (UNIVARIADAS) UNIDAD I: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A dfereca de los datos categórcos respecto a los cuales sempre se dspoe de ua muestra grade, se ha vsto que e el caso de los datos cuattatvos se puede presetar dos stuacoes: el caso de muestras pequeñas y el caso de muestras grades, y e cada caso correspoderá realzar la descrpcó que correspoda, recordado lo epuesto al co de este capítulo, para caracterzar el patró de varabldad que posee la varable e estudo. Tamaño Pequeño Propedades estadístcas a descrbr e: muestras pequeñas de datos cuattatvos Propedades Poscoameto (tedeca cetral y otra) Dspersó Herrametas para el aálss gráfco Presetacó tabulares E el caso de muestras pequeñas este tpo de descrpcó o es utlzada. La orgazacó de los datos solo puede arrojar ua dstrbucó smple Represetacó gráfca Dagrama de putos o putgrama. U dagrama elemetal que resulta muy útl para vsualzar global e dvdualmete u cojuto pequeño de datos, o razoablemete pequeño co pocos datos dferetes, es el dagrama de putos, o putgrama. Se trata de u tpo de grafcacó que es muy utlzada e el aálss eploratoro de datos. Defcó 4.. El dagrama de putos, cosste secllamete, e represetar los valores observados de la varable e estudo como putos sobre u eje horzotal. Costruccó: cada dato se represeta co u puto ecma de la correspodete localzacó e ua escala horzotal de medda. Cuado este valores repetdos, se dbuja u puto por cada ocurreca e formato vertcal. Iterpretacó: se deberá aalzar dode se produce la mayor cocetracó de datos (tedeca) y la dspersó que preseta la muestra. Esto últmo sgfca detfcar s el patró de varacó es más o meos regular o o, detfcar los valores etremos y detectar datos atípcos, que so datos que tee la partculardad de tomar valores muy alejados (umércamete dstates) del grupo geeral de datos Esto es mportate porque las meddas estadístcas dervadas de cojutos de datos que cluye valores atípcos suele arrojar formacó egañosa. De la bblografía se ha etraído datos que correspode a resduos de cloro (ppm) e u depósto de agua de lluva después de haber sdo tratada para su potablzacó:,8-0,9-,-,4-,5-,4-,7-,-,. Los datos se muestra e el gráfco 4., que correspode a u dagrama de putos. E él se puede aalzar co rapdez y facldad las prcpales característcas de los datos muestrales, esto es su poscoameto e la recta de los úmeros reales y además, se puede observar cuál es la tedeca cetral y la varabldad que preseta. 0,7 0,8 0,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Resduos de Cloro (ppm) Gráfco 4.: Dagrama de putos para resduos de cloro e tratametos de u depósto de agua Por ejemplo, se ota que la parte meda de los datos se ecuetra etre, y,4, auque más cerca de,4 ppm. També se observa que los valores mímo y mámo ha sdo, respectvamete, 0,9 y,8, por lo tato la ampltud de los valores es de 0,9 ppm (,8-0,9). A meudo se puede presetar la ecesdad de comparar dos o más cojutos pequeños de datos, como ocurre e el campo de la epermetacó dode se trabaja co muestras pequeñas. Por ejemplo, se ha realzado u epermeto para comprobar s la aplcacó de tratameto ftosataro para prever ataque de peroóspora e vd tee u efecto ftotóco, que se traduce e ua dsmucó de la epresó vegetatva. Para esto al mometo de la poda, se pesa el materal elmado e dez platas s tratar (testgo) y e dez tratadas, que se seleccoa, e ambos casos, al azar. Los resultados obtedos, e kg/plata, so: Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 4

5 Testgo 7,50-7,63-8,5-8,00-7,86-7,75-8, - 7,90 7,96 7,80 Tratada 6,85-6,40-7, - 6,35-6,5-7,04-6,96-7,5 6,59 6,0 El dagrama de putos del gráfco 4. muestra los dos cojutos de medcoes, dode los asterscos correspode a las platas tratadas y los putos a las platas testgo. Nótese que rápdamete el dagrama de putos revela que las platas tratadas ha producdo meos materal de poda, y puede esperarse que el valor medo se ecuetre más o meos cetrado, metras que e el caso de las platas testgo, este valor estaría u poco desplazado haca la zquerda. Cotuado co el aálss comparatvo, se puede ver que además los resultados ha sdo más varables e el caso de las platas tratadas. 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 Kg/pl Gráfco 4.: Dagrama de putos para produccó de materal de poda (kg/pl), e vdes tratadas ( ) y o tratadas ( ) No obstate, cabe aclarar que cuato más pequeño sea el úmero de datos, más dfícl se puede hacer la tarea de detfcar patroes de varacó específcos a través de estos dagramas. També resulta claro ver, que o so represetacoes adecuadas para cojutos umerosos de datos Dagrama de tallo-hoja El dagrama de tallo y hoja es ua buea maera de hacer ua descrpcó gráfca de cojutos de datos que o so demasado pequeños y que además está formados por al meos dos dígtos. Defcó 4. El dagrama de tallo-hoja, cosste e represetar los valores observados de la varable e dferetes regloes y e relacó a ua líea vertcal, de tal modo que: a la zquerda de la msma se coloca los prmeros dígtos o dígtos prcpales, costtuyedo el tallo y, a la derecha, e correspodeca se ubca ordeadamete de meor a mayor el últmo dígto de cada úmero, de tal modo que cada uo de ellos se cosdera como ua hoja. Para costrur u dagrama de tallo y hoja (del glés, Stem-ad-Leaf Dagram), supógase que los datos de la varable está formados por dos dígtos ( ), luego solo basta separar e cada dato el últmo dígto de la derecha (que costtuye la hoja) del bloque de los prmeros dígtos (que formará el tallo), esto es: Tallo 3 Hoja El gráfco es doblemete formatvo: o se perde los datos brutos y, además muestra el perfl como se dstrbuye e geeral los datos es decr, permte tomar ua dea acerca del patró de varabldad de la varable. A cotuacó se da alguos ejemplos lustratvos: a) Horaros de llegada de los trees que cubre el trayecto etre dos cudades Tabla de datos ordeados Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 43

6 Dagrama de tallo y hoja E el dagrama de tallo y hoja, está represetada la hora a la zquerda de la barra de separacó y los mutos a la derecha. Se desprede que la catdad de trees e las dferetes horas está reflejada por la logtud de las flas y además, es muy fácl ver que hay cocdeca e los mutos de cada hora e que pasa. b) Muestra de 5 observacoes del redmeto de u proceso químco, que geera u precptado cuyo peso es meddo, e mg. E el dagrama (a) se observa que los valores etremos ha sdo 6 y 95 mg, así como que los redmetos más comues estuvero etre 70 y 80 mg; e tato, e el dagrama (b) se puede captar mejor la formacó coteda e los datos observados porque los valores correspodetes a cada decea se dvde e dos partes, L (del gl. lower) dca el regló dode los valores del últmo dígto so meores a 5, y U (del gl. upper) dca el regló co los valores gual o superor a 5. Tallo Hoja Tallo Hoja (a) 6L 6U 7L 7U 8L 8U 9L 9U Hasta aquí hemos vsto que la decsó de recoplar datos, que sea relevates y coforme ua muestra aleatora, es sólo el comezo dspesable para empezar a desetrañar ua stuacó problema de terés. També ya coocemos que cuado las muestras so pequeñas ( 30), e la mayoría de los casos, se trabaja drectamete co los datos tal cual fuero recolectados, tato para su represetacó gráfca como para el cálculo de las meddas descrptvas. Se descrbe el patró de datos, a partr de la obtecó de ua dstrbucó smple o dstrbucó de datos o agrupados. Cotraramete, cuado las muestras grades, los datos brutos o datos s procesar o resulta de mucha utldad, hay que darles ua forma compresble que poga e evdeca el patró de comportameto que tee la varable cosderada. Para esto, se requere u tratameto prevo a su aálss, que e térmos geerales hemos llamado orgazacó de los datos, y que muchas veces cosste e someterlos a u ordeameto y clasfcacó. Luego, el patró de datos, se descrbe a partr de la obtecó de dstrbucó de datos agrupados Aálss umérco Se vo que cuado las varables so cualtatvas, la descrpcó umérca práctcamete se lmta al cocepto de frecuecas o proporcoes. S las varables so cuattatvas el espectro se amplía, de acuerdo a lo sguete: (b) Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 44

7 Meddas para descrbr muestras pequeñas Propedades Meddas Poscoameto Tedeca cetral Otras Meda artmétca, Meda geométrca, Medaa (*), Cuatles Cuartles, q Decles, d (*) q = Dspersó Absolutas Percetles, p Ampltud o recorrdo, Varaza, Desvacó típca, Relatvas Coefcete de varacó, (%) Meddas de poscoameto: Promedos Meda artmétca La meda artmétca, y desde ahora smplemete la meda, es la medda de poscó más utlzada. Perteece al grupo de estadígrafos coocdo como promedos, y es por eceleca el promedo pero como se verá o e eclusvdad, razó por la cual se acoseja o utlzar el térmo promedo como sómo de meda. Se la deota co el símbolo, y su valor se obtee matemátcamete a través de ua suma y u cocete =, dode el umerador,,..., -,, represeta la suma de las observacoes muestrales. Esta epresó costtuye la fórmula eplícta o epadda de la meda. Comúmete se utlza ua fórmula abrevada que emplea el operador suma, represetado co el símbolo grego sgma mayúscula Σ, acompañado de: a) u subídce que dvdualza los térmos que debe sumarse. A saber = epresa que se suma desde el prmer valor de la varable, esto es b) u superídce que dca el últmo sumado represetado geércamete por, esto es Así por ejemplo para ua muestra de =0, la fórmula aplcada de la meda resultará = 0. Defcó 4.3 La meda artmétca muestral (), de u cojuto de datos es gual a la suma, desde la -ésma observacó de la varable estadístca hasta la -ésma, dvda por el tamaño muestral = = La meda como medda de poscó, tee ua mportate terpretacó físca: s cada observacó se pesa como ua udad de masa colocada sobre el flo de ua fa cuchlla (que represeta el recorrdo de la varable), y que se coloca u puto de apoyo eactamete e el valor de la meda, resultará que el sstema de masas queda perfectamete equlbrado, de ahí la cosderacó de la meda como u puto de equlbro (el peso de las masas a la zquerda de la meda guala al peso de las poscoadas a su derecha). El cocepto se lustra e el gráfco 4.3. º º º º º º º º kg/plata = 6.77 kg/plata Gráfco 4.3: La meda muestral como puto de qulbro de u sstema de pesos. Al terpretar la formacó gráfca, deberá prestarse atecó a lo sguete: º) la meda es u valor calculado de la varable º) la meda tee la msma udad de medda que los datos orgales. Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 45

8 3º) la meda se ha epresado co u decmal más del que teía los datos orgales A cotuacó se presetará formalmete la meda poblacoal, µ. Aálogamete a lo vsto para la meda muestral, la fórmula de la meda poblacoal dca que es el promedo artmétco de todas las N observacoes de ua poblacó. Defcó 4.4: Se lee La meda artmétca poblacoal (µ), de u cojuto de N datos es gual a la suma, desde la -ésma observacó de la varable X, hasta la N-ésma, dvda por el tamaño poblacoal N µ = N = N Propedades de la meda Propedad. La suma de los desvíos de los valores de la varable, co respecto a la meda, para el cojuto de obsercacoes es gual a cero. = ( ) = 0 Sgfca que la suma de desvíos egatvos ( < ) es gual a la suma de los desvíos postvos ( > ). Esto eplca de otra forma, por qué la meda se terpreta físcamete como u puto de equlbro. Propedad. La suma del cuadrado de los desvíos de la varable, co respecto a la meda, para el cojuto de observacoes es u valor mímo. = ( ) = mímo Propedad 3. La meda de la suma de varas varables, o meda geeral, es gual a la suma de las medas de cada varable ( + y + z) = + y + z Propedad 4. S cada ua de las observacoes muestrales es multplcada por ua costate c, la meda de los datos trasformados (c.), es gual a la costate multplcada por la meda de los datos orgales Propedad 5. La meda cojuta, c c c + c c c. =, de dos seres smples está dada por: + c = s la catdad de datos es gual ( = ) + = s los cojutos tee dferete tamaño ( ) + Nótese que se trata de ua meda poderada. E el prmer caso, o se observa la poderacó e la fórmula porque al ser détcos los tamaños muestrales ( = ) ambas medas tee détco peso (poderacó utara). E el segudo las medas se debe multplcar por los correspodetes tamaños muestrales (poderacoes), dado que el valor de la meda se ha calculado co dferete catdad de formacó. El caso ateror es sólo ua stuacó partcular del caso geeral para k seres, dode la meda de medas o meda geeral, g = g, para seres de gual tamaño está dad por: La meda es u valor de varable y por tato debe epresarse umércamete, acompañada co las msmas udades que tee la varable. El valor de la meda o es u valor de varable observado. k k Medaa Otra medda de poscó bastate utlzada es la medaa, deotada co. Este estadígrafo posee u ombre que hace refereca a ua poscó meda bajo ordeameto, relacoada co gual catdad de datos a su zquerda ( < ) y a su derecha ( > ). Para la defcó formal de la medaa, y por ede para su cálculo, hay que cosderar s la sere de datos es par o mpar: E las stuacoes práctcas resultará mposble (o poco práctco o poco ecoómco) eamar las N udades que compoe ua poblacó, por lo tato el valor verdadero de la meda e la práctca uca será coocdo. Al desarrollar la udad de probabldad, se estudará modelos para represetar poblacoes ftas e ftas y se troducrá el cocepto de varable aleatora y el de esperaza matemátca, como el cocepto relacoado co la meda poblacoal. E la udad de fereca estadístca se dará métodos para poder ferr o estmar la meda poblacoal, a partr del coocmeto de la. Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 46

9 a) La medaa de ua sere smple que tee u úmero mpar de observacoes, e u arreglo ordeado por magtud, toma el valor de la observacó que ocupa la poscó cetral. b) La medaa de ua sere smple que tee u úmero par de observacoes, e u arreglo ordeado por magtud, toma el valor que correspode a la meda de las dos observacoes cetrales E cosecueca, se requere dos defcoes formales de la medaa, segú la muestra tega u tamaño mpar, defcó 4.3, o be par, defcó 4.4. Defcó 4.5: Cuado el tamaño de la muestra es mpar, = Defcó 4.4: Cuado el tamaño de la muestra es par = + A cotuacó se lustrará estos coceptos: Muestra co mpar : Sea la sere de datos ordeados (=5) dode las observacoes ocupa el orde º º 3º 4º 5º El puto de poscoameto de la medaa es (+) /, o sea [(5+) / ] = 3, es decr que la medaa e esta sere toma el valor de varable que tee la udad de aálss que se ubca e e cetro de la sere ordeada, por tato 3º lugar: d = 590, co la udad de medda correspodete. Muestra co par : la medaa toma el valor umérco que correspode a la observacó que ocupa la poscó (+)/, e ua sere ordeada por magtud. la medaa, toma el valor de la semsuma de los valores que correspode a las dos observacoes cetrales, e ua sere ordeada por magtud Sea la sere de datos ordeados (=6) dode las observacoes ocupa el orde º º 3º 4º 5º 6º El puto de poscoameto de la medaa está etre ( / ) y ( / ) +, por reemplazo (6/) y (6/) +, o sea etre 3 y 4, luego, la medaa para esta sere toma el valor de la semsuma (7+3) /, es decr 0, co la udad de medda correspodete. Ua mportate aclaracó acerca de la medaa No cofudr úmero de orde co valor de la medaa. El sguete esquema pretede clarfcar el cocepto: ) Ordeameto de las udades de aálss por magtud ) Asgacó del úmero de orde a las udades º º 3º 4º 5º 6º 7º 3) Idetfcacó de la udad/des que ocupa/ e la sere la/s udad/es cetral/les, segú sea mpar o 4) Obteer la medaa (valor que tomó la varable e la udad cetral, (+)/, o valor correspodete a la semsuma de los datos que tomó la varable e las dos / + ( / ) + udades cetrales, ) mpar (+)/ = d d = 4 La medaa es u valor de varable observado e el caso de mpar Cabe aclarar també que e el cálculo de la medaa, s la muestra tee observacoes repetdas, se las debe clur tal cual e la sere ordeada reptedo el valor las veces que sea ecesaro. Por ejemplo, sea el cojuto de datos arreglados el sguete: 9,8 0,5,6,6,7 3, 5,0. Como =7, resulta que la medaa ocupa el 4º lugar, y etoces es gual a,6. La medaa preseta la sguete vetajas: º) para el cálculo de su valor tervee las observacoes y, Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 47

10 º) a dfereca de lo que acotece co la meda, o es afectada por la magtud que pueda teer los valores etremos de la sere Para aclarar, supógase que las observacoes muestrales ha sdo, 3, 4,, 7, 6 y 8, e tato la meda resulta ser gual a 4,4 e tato que la medaa resulta ser gual a 4. Ambas meddas da ua dea razoable de la tedeca cetral de los datos. Ahora supógase que la peúltma observacó de la sere fue 450. Recalculado se tee que la meda vale 353,6 y que la medaa sgue valedo 4. E este últmo caso, ua sere co u valor muy etremo, la meda o dce mucho co respecto a la tedeca cetral de la mayoría de los datos, metras que la medaa resulta más adecuada para represetarlos. Del msmo modo que ocurró co la meda, meda muestral y meda poblacoal, además de la medaa muestral se puede defr : Defcó 4.6 La medaa poblacoal, como el valor de varable que deja a la mtad de los valores poblacoales por debajo y a la otra mtad por ecma Meda geométrca E ocasoes se trabaja co catdades que camba e u certo período, y se ecesta coocer ua tasa promedo de cambo, como por ejemplo, la tasa de crecmeto promedo de u órgao vegetatvo o del crecmeto poblacoal e ua cudad o de la flacó moetara. E tales caso se utlza como medda de la tedeca cetral la meda geométrca, deotada como, ua medda que tee como coveete la dfcultad que preseta para eteder su sgfcado. Defcó 4.7: = g = que se lee La meda geométrca, de u cojuto de datos muestrales es gual a la raíz - ésma del producto de las, desde la -ésma observacó de la varable estadístca, hasta la - ésma Por ejemplo, sea el crecmeto de ua cueta de ahorros que e cco años ha tedo las sguetes tasas:,07-,08-,0-, y,8. Luego, el valor de la meda geométrca está dada por ejemplo,093 y respreseta el factor de crecmeto promedo que ha tedo el depósto hecho e la cueta de ahorro. =5 =5,07,08,0,,8=,093 Medate la trasformacó logarítmca, la fórmula queda epresada como log g = log Meddas de dspersó El poscoameto o la tedeca cetral es ua propedad que o proporcoa formacó sufcete para descrbr datos de maera adecuada. Por ejemplo, sea dos muestras e que se ha determado la preseca de u certo compoete e ppm: Muestra : Muestra : E ambos casos la meda es gual a 48 ppm. S embargo, s se recurre al dagrama de putos del Gráfco 4.4, se observa que los patroes de varabldad o dspersó so dferetes, la muestra posee más varabldad que la de la muestra Gráfco 4.4: Datos de composcó, e ppm, de dos muestras Referecas: *, datos de la Muestra y, º, datos de la Muestra Ampltud La medda más smple de varabldad es la ampltud de la muestra, també coocda como rago o recorrdo de la muestra. La ampltud muestral, es ua medda de la etesó o recorrdo de la muestra e la recta de los reales. Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 48

11 Defcó 4.8: ampltud = má - mí que se lee La ampltud, de u cojuto de datos muestrales es gual a la dfereca etre el mámo y mímo valor que toma la varable observada. E el par de muestras dode se mdero las ppm de u certo compoete, la ampltud de la prmera es gual a 65 ppm 30 ppm = 35 ppm, metras que el de la seguda es 05 ppm 90 ppm = 5 ppm. Segú estos resultados se declara la muestra meos varable, co las precaucoes que mplca basarse e ua medda absoluta dervada de sólo dos valores. Por ejemplo sea ahora los esquemas de las tres sguetes muestras. Muestra º º º º º º º º º º º Muestra * * * * * * * * * Muestra S be los tres cojutos so bastate dferetes e su varabldad, posee la msma ampltud. El prmero tee u patró de dspersó bastate regular a lo largo de toda la escala, el segudo tee ua alta cocetracó de los datos e la parte cetral pero muestra dos putos etremos y, el tercero muestra ua cocetracó de valores bajos y uo atípcamete alto. S embargo, como la ampltud gora toda la formacò que este e la muestra etre las dos observacoes más etremas, tee u uso lmtado. Por ejemplo se lo usa mucho e el cotrol estadístco de caldad, dode por lo geeral se trabaja co muestras pequeñas (< 0). Pero, para la mayoría de las stuacoes se prefere medr la varabldad co meddas dode tervega todas las observacoes, que so las que se descrbrá segudamete Varaza y desvacó típca Las meddas más mportates de la varabldad so la varaza y la desvacó típca. Estas meddas toma e cosderacò la forma e que se dstrbuye todos los valores de la varable co respecto a la meda. La varaza muestral, deotada por s, es u cocepto estadístco muy mportate, cuya terpretacó ofrece grades dfcultades. E prcpo, hay que pesar e uevos valores de la varable, los desvíos co respecto a la meda, ( ). Como se tee desvíos muestrales, habrá que pesar e u promedo de desvíos, esto es ( ), pero, s se recuerda la prmera propedad de la meda, el resultado de esta epresó sempre será gual a cero. El problema se puede resolver elevado al cuadrado los desvíos, ( ), y colocado e el umerador la suma de cuadrados de los desvíos de los valores de la varable co respecto a la meda muestral, esto es: ( ). S embargo, esta epresó sólo srve para troducr ua terpretacó tutva al verdadero cocepto de la varaza muestral y, auque errátca srve al efecto de eteder que la varaza muestral se aproma a la dea de u promedo de los cuadrados de los desvíos de los valores de la varable respecto a la meda. Para llegar a la varaza muestral hay que defr prevamete otro cocepto que es el de grados de lbertad. Los grados de lbertad dca porcoes de formacó depedete. S la muestra tee observacoes, se puede calcular desvíos co respecto a la meda. Nuevamete, recordado la propedad de la suma de estos desvíos, acerca de que su suma es gual a cero, s se tee ua sere de desvíos, sólo - de ellos podrá tomar valores co lbertad, pero el restate desvío está oblgado a tomar u valor tal que se cumpla tal propedad. Por ejemplo, sea los valores de la varable,,3,4, y 5, por tato la meda es gual a 3. La correspodete sere de desvíos es -, -, 0, + y?. El últmo desvío, coocedo la ctada propedad, se puede escrbr s ecesdad de calcularlo como +, porque (-) + (- ) + (0) + () + () = 0. Es decr, que s la muestra tee u tamaño de, se hablará de que sus grados de lbertad, para calcular la varaza muestral, so gual a -. = ( ) +( ) + +( ) Procedmeto drecto para el cálculo: se basa e los valores de los desvíos ( ), y las fórmulas que se obtee so fórmulas de defcó, pero su uso o es práctco, por lo que posterormete se presetará el procedmeto abrevado para el cálculo. La varaza muestral es gual a la suma de cuadrados de desvíos respecto a la meda muestral dvdda por los grados de lbertad de dode, resulta la defcó formal de la varaza muestral. Defcó 4.9: ( - ) = s = - que se lee La varaza muestral, s, de u cojuto de datos es gual a la suma de cuadrados de desvíos (de los valores de la varable estadístca co respecto a su meda ) dvdda por los grados de lbertad dados por -. Por su parte, la desvacò típca muestral, també deomada desvacó estádar muestral, represetada co s, se derva drectamete de la varaza. 49 Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04

12 Defcó 4.0: UNIDAD I: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ( - ) = s= s = - que se lee La desvacó típca muestral, s, es gual a la raíz cuadrada (postva) de la varaza. De las fórmulas, tato para la varaza como para la desvacó típca muestral, se desprede que ambas meddas al ser aplcadas arroja u valor umérco acompañado por la udad e que se mdó la varable e estudo, y que además, para el caso de la varaza, esta udad queda elevada al cuadrado, por ejemplo cm, g, kg, etc. Ésta es ua de las patculardades por las que se hace más dfícl la terpretacó de esta mportate medda, cotraramete la desvacó típca tee la deseable propedad de medr la varabldad co la msma udad de medda de los datos recolectados y e cosecueca, co la msma udad de medda que tee la meda, etoces se la puede terpretar como ua dstaca e el eje de abscsas o eje. Algo más que se debe otar, a partr de las fórmulas, es que la varaza la desvacó típca puede ser egatvas y tomaría el valor cero cuado todas las observacoes fuera eactamete guales, es decr e ua fraca auseca de varabldad. A cotuacó se hará ua lustracó, para facltar la compresó de los cálculos utlzado la fórmula defcoal de la varaza. La tabla 4. muestra los datos de ua muestra de =6, correspodete a medcoes de ressteca a la tesó de aleacoes de alumo-lto. Tabla 4.: Cálculos para la varaza y la desvacó típca muestral,por el procedmeto drecto. Nº medcó ( ) =888 ( ) =0 ( ) =750 de modo que la varaza muestral y la desvacó típca resulta guales a s = ( - ) = = 50 gramos 6 - = ; e tato que, s = s = 50 = 38,8 gramos Falmete se hará la terpretacó gráfca del cocepto de varabldad. El Gráfco 4.5 lustra los desvíos ( ) sobre la ressteca a la tesó y e ella se observa que se trata de valores de dstacas desde al cetro de la dstrbucó. Etre más grade sea la varabldad e los datos mayor será la magtud absoluta de estas dstacas. Más claramete, cuato más separados o dspersos esté los datos, mayor será el valor que tome la ampltud muestral, la varaza y la desvacó típca, metras que cuato más cocetrados resulte, meores será los valores de estas meddas. Al elevar al cuadrado las desvacoes ( ), se magfca los pequeños y grades valores, de este modo este ua estrecha relacó co el valor que muestra la varaza: s es pequeña, este ua pequeña varabldad de los datos, pero s es grade, etoces també lo es la varabldad de los datos muestrales. E forma aáloga la desvacó típca, relacoada drectamete co la varaza, cuato mayor resulte, mayor será la varabldad de los datos. Luego, s y s, mde algo así como la dspersó promedo e toro a la meda; es decr, alrededor de la meda las observacoes co valores mayores a los de la meda y co valores meores a ésta. X X X X 6 X 5 X 3 = 48 Gráfco 4.5: Maera e que las desvacoes ( - ) mde la varabldad a través de la varaza Procedmeto abrevado para el cálculo: se basa e los valores de la varable ( ). La meda muy pocas veces resulta u valor etero, su redodeo arrastra errores al calcular los desvíos, por otra parte el procedmeto drecto es poco práctco, e cosecueca las fórmulas dadas para s y s servrá para defr los respectvos coceptos, pero e stuacoes práctcas se recurrrá al procedmeto abrevado de cálculo. Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 50

13 Las fórmulas abrevadas so equvaletes a las fórmulas de defcó. Los deomadores so eactamete guales y se modfca sólo los umeradores, que se obtee desarrollado la suma de cuadrados de desvíos del sguete modo: ( ) =( + ) = + S se reemplaza por su gual, y se cotúa operado algebracamete, se llega a la fórmula buscada para el cálculo de la suma de cuadrados por el procedmeto abrevado. Defcó 4.: ( ) = ( ) ( ) = - = s = - que se lee La varaza muestral, s, de u cojuto de datos es gual a u cocete, que tee: a) por umerador a la suma total de cuadrados de los valores de la varable estadístca meos el cuadrado de la suma de los valores observados, dvdda por el tamaño muestral, y b) como deomador a los grados de lbertad. Por su parte, la desvacó típca muestral, como ya se vo, se obtee a partr de. Para lustrar los cálculos se usará los datos muestrales ya presetados e la tabla 4., obteedo su suma o total, y la que correspode a sus cuadrados segú se puede ver e la tabla 4. Tabla 4.:. Cálculos para la varaza y la desvacó típca muestral,por el procedmeto abrevado Nº de medcó = 888 ( ) = = Reemplazado, resulta: = (888) 6 6 = =50 (), = = 50=38,8 Se observa que estos resultados cocuerda eactamete co los obtedos por el procedmeto drecto. Fórmulas para el cálculo de la varaza Co frecueca los alumos suele cometer errores al aplcar las fórmulas de la varaza, por reemplazos umércos correctos. Notar lo sguete: Procedmeto drecto s = = ( - ) - Se utlza los valores observados de la varable para calcular los desvíos ( ) que aparece e la fórmula. Procedmeto abrevado ( ) = - = s = - Se utlza los valores observados de la varable ( ). Además: a) el térmo = de los valores observados. b) el térmo = de los valores observados se lee suma de los cuadrados se lee cuadrado de la suma Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 5

14 Propedades de la varaza Como e el caso de la meda, se eucará las propedades de la varaza, que deberá ser tedas e cosderacó e varas oportudades a lo largo del curso. Propedad. La varaza de ua costate c es gual a cero, esto es s c = 0 Propedad. La varaza del producto (o cocete) de ua costate por ua varable es gual al producto (o cocete) del cuadrado de la costate por la varaza de la varable Propedad 3. La varaza de la suma de ua costate y ua varable es gual a la varaza de la varable orgal var (c + ) = s Propedad 4. La varaza de la suma de dos varables X e Y, cada ua basada e datos epresados e la msma udad de medda, es gual a la suma de las varazas de cada grupo más dos veces la varacó cojuta de las varables X e Y, o covaraza var ( + y) = s + s y + cov (,y) La varaza, al gual que la meda, debe epresarse umércamete, acompañada co las udades e que se ha meddo la varable Varaza y desvacó típca poblacoal Aálogo a la varaza de la muestra s, este ua medda de varabldad e la poblacó, coocda como varaza poblacoal. Utlzaremos para su detfcacó la letra grega σ (sgma cuadrada). Cuado la poblacó es fta y está formada por N valores, la varaza poblacoal puede defrse como: Defcó 4.: σ = N = ( - µ ) que se lee La varaza poblacoal, σ, de u cojuto de N datos poblacoales es gual a la suma de los cuadrados de los desvos (de los valores de la varable X co respecto a su meda µ ), desde el -ésmo valor de la varable X, hasta el N-ésmo, dvdda por el tamaño poblacoal N. La raíz cuadrada postva de, esto esσ, deota la desvacó estádar poblacoal. σ σ = N σ que se lee La varaza poblacoal, σ, de u cojuto Aterormete se djo que la meda muestral puede emplearse para hacer ferecas sobre la meda poblacoal. De maera smlar, la varaza muestral puede utlzarse para hacer ferecas sobre la varaza poblacoal. Nótese que el deomador para la varaza muestral es el tamaño de la muestra meos ( ), metras que para la varaza poblacoal es el tamaño de la poblacó N. S se utlza como deomador e la varaza muestral, etoces se obtedrá ua medda de varabldad que es, e promedo, más pequeña que la verdadera varaza poblacoal σ, se tedría ua estmacó sesgada de σ. S fuese posble coocer el verdadero valor de la meda poblacoal µ, etoces la varaza muestral podría calcularse como el promedo de los cuadrados de las desvacoes alrededor de µ de las observacoes de la muestra. E la práctca el valor de µ cas uca se cooce, de modo que e lugar de lo ateror debe emplearse la suma de los cuadrados de las desvacoes alrededor del promedo de la muestra,. S embargo, las observacoes tede a estar más cerca del promedo de la muestra,, que de la meda poblacoal, µ. Por cosguete, para compesar esto se utlza - como deomador, e lugar de. Otra maera de pesar lo ateror es cosderar la varaza muestral s como basada e grados de lbertad. El térmo grados de lbertad provee del hecho de que la suma de las 5 Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04

15 desvacoes ( ),( ),,( ), sempre es cero, de modo que la especfcacó de cualesquera de estas catdades determa de maera automátca la restate. Por lo tato, sólo de las desvacoes, ( ), está determadas de maera arbtrara. : =, = O sea, se puede decr que la varaza muestral es gual a la suma de cuadrados (de desvíos) dvdda los grados de lbertad Coefcete de varacó A dfereca de las aterores meddas de dspersó, el coefcete de varacó es ua medda de dspersó, relatva y admesoal, que e térmos porcetuales dca, la dspersó de ua sere de datos respecto al valor medo. Defcó 4.3: El coefcete de varacó, represetado co el símbolo CV, mde la dspersó relatva de los datos respecto a la meda. Se lo puede calcular de la sguete maera: s CV = dode s es la desvacó típca o estádar de u cojuto de datos muestrales, y raya es su meda. Además se lo suele epresar e forma porcetual s % CV = 00 Como medda relatva, el coefcete de varacó es útl: a) sobre todo cuado se compara la varabldad de dos o más cojutos de datos epresados e dferetes udades de medcó. b) cuado se compara dos o más cojutos de datos que se mde e las msmas udades, pero que dfere mucho. El coefcete de varacó poblacoal es gual a: σ %CV pob = 00 µ Desde el puto de vsta práctco, para terpretar el coefcete de varacó e térmos geerales se puede utlzar el sguete crtero: Valores del CV Esayos e laboratoro Iterpretacó Pruebas de campo 0 < %CV < 0% 0 < %CV < 5% > 5% Bajo Aceptable Alto 0 < %CV < 0% 5 < %CV < 5% > 5% Se deduce que sempre debe esperarse valores de coefcetes de varacó meores asocados a los esayos dode se ejerce mayor cotrol (laboratoro) DESCRIPCIÓN PARA MUESTRAS GRANDES Cuado se dspoe de ua muestra pequeña de datos cuattatvos se ha vsto que el aálss gráfco y umérco se aplca sobre ua dstrbucó smple de frecuecas. Partcularmete e este capítulo se presetará el aálss gráfco y umérco relacoado co dstrbucoes de frecuecas de datos agrupados, referdos a los dos tpos de varables cuattatvas: dscreta y cotua. Dado que al tratarse de varables que e muestras de tamaño grade puede tomar umerosos valores de la varable, la etapa cal del aálss descrptvo estará destada a obteer tales dstrbucoes de frecuecas, y la sguete etapa a aplcar las herrametas gráfcas y umércas que e este caso preseta muchas posbldades DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS DE VARIABLES CUANTITATIVAS E muestras grades, el objetvo de la orgazacó, esecalmete es resumr la catdad de datos. El crtero a aplcar es: a) agrupar los datos e clases cualtatvas o umércas y, b) cotar la catdad de datos que resulta clasfcado e cada grupo; esos coteos recbe el ombre de frecuecas. La sere completa de clases puestas e correspodeca co los coteos o frecuecas, se deoma dstrbucó de frecuecas. Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 53

16 El térmo frecuecas es de carácter geeral, segú el objetvo, será el tpo de frecuecas que utlcemos: frecuecas absolutas, frecuecas relatvas, frecuecas acumuladas o frecuecas epresadas e porcetaje. Las dstrbucoes de frecuecas de varables cualtatvas y cuattatvas puede ser presetadas e forma aalítca a través de ua tabla de dstrbucó de frecuecas, o be e forma gráfca a través de represetacoes gráfcas. E este últmo caso los gráfcos so dferecados. Cuado la varable es cualtatva se utlzará: dagramas de sectores y dagramas de barras. A las varables cuattatvas se les aplcará: a) dagramas de frecuecas o dagramas de líeas (varables dscretas) o b) gráfcos varos: hstograma, polígoo de frecuecas o polígoos de frecuecas acumuladas (varables cotuas). Co las dstrbucoes de frecuecas, puede decrse, que se cumple la prmer etapa del proceso de dar setdo a los datos. Ua dstrbucó de frecuecas poe e evdeca a dversos aspectos sumamete mportates, referdos a las propedades de los datos e masa, que permte compreder el comportameto de las varables, las cuales e el capítulo sguete será cuatfcadas medate las correspodetes meddas descrptvas o estadígrafos. Resulta coveete recordar la estructura que posee las tablas utlzadas para stetzar la clasfcacó de ua muestra de tamaño, e el caso de teer los datos de ua varable cualtatva y de ua cuattatva (dscreta y cotua), a través del Cuadro 4.. Cuadro 4.. Sítess comparatva de la estructura de los datos agrupados segú tpo de varable Caso: Dstrbucó de ua varable cualtatva (clases categórcas) Clase ( ).. Coteo ( ).. Caso: Dstrbucó de ua varable cuattatva (clases umércas) Valor observado de la varable, ( ).. Tpo I Coteo ( ).. Itervalos de Clases ; ) ; ).. ; ) Tpo II Coteo ( ) E todos los casos el coteo hace refereca al úmero de observacoes o medcoes clasfcadas e la clase -ésma de ua varable. E el caso de varables cuattatvas dscretas esa clase es de tpo putual (valor putual) metras que e varables cotuas se trata de u tervalo de valores. Co la clardad de este sgfcado, se pasará a formalzar alguos coceptos frecuetstas. Defcó 4.5. La sere de clases (cualtatvas o cuattatvas) asocadas a sus correspodetes frecuecas, se llama dstrbucó de frecuecas, e dca como la frecueca total o catdad total de datos se reparte etre los k agrupametos realzados. Segú el tpo de frecueca cosderada se tedrá ua dstrbucó de frecuecas (absolutas), ua dstrbucó de frecuecas relatvas o ua dstrbucó de frecuecas acumuladas. Cualquera de ellas, se puede presetar tato e forma tabular como gráfcamete... Defcó 4.6 E datos agrupados, la frecueca absoluta de ua clase (cualtatva o cuattatva), o smplemete frecueca, smbolzada co, está dada por el úmero de udades de aálss clasfcado e la clase -ésma. La sere de frecuecas absolutas, para las k clases, se dca como,,, k tato e el caso de datos categórcos como cuattatvos Es fácl otar que las frecuecas absolutas cumple co la sguete propedad: = k, por tato =, es decr, la suma total de las frecuecas absolutas es gual al tamaño muestral. Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cecas Agraras UNCUYO / Cclo 04 54

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