SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA"

Transcripción

1 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 03 -

2 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo. Definimos l ángulo omo l porión de plno omprendid entre dos semirrets que tienen el mismo origen. Ese punto, origen de ms semirrets, es el vértie del ángulo; ls dos semirrets son los ldos del ángulo. Cundo ls dos semirrets son perpendiulres, l ángulo se le llm reto, y undo un de ells es prolongión de l otr, el ángulo es llno. Los ángulos menores que un ángulo reto son ángulos gudos, y ángulos myores que un ángulo reto, pero menores que un ángulo llno son ángulos otusos. Dos ángulos son omplementrios si sumn un ángulo reto. Dos ángulos son suplementrios si sumn un ángulo llno. Podemos medir ángulos en: Grdos sexgesimles Rdines En el sistem sexgesiml, un ángulo reto mide 90 grdos, un grdo equivle sesent minutos y un minuto sesent segundos. En diho sistem: 360º es el ángulo determindo por un vuelt omplet 80º es l mitd del ángulo de un vuelt 90º es /4 del ángulo de un vuelt º es /360 del ángulo de un vuelt En el sistem rdil (ó irulr) se utiliz l longitud del ro omo medid del ángulo. L unidd de medid se denomin rdián. Trigonometrí

3 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Un rdián es l medid de un ángulo entrl que r un ro uy longitud es igul l longitud del rdio de l irunfereni onsiderd. El sistem rdil es muy utilizdo en físi y que es muho más prátio y direto que trjr on grdos. Ángulo de rdián L mgnitud de un ángulo medido en rdines está dd por l longitud del ro de irunfereni que sutiende, dividido por el vlor del rdio. El vlor de este ángulo es independiente del vlor del rdio; por ejemplo, l dividir un diso en n setores igules, el ángulo de d n-ésimo setor irulr es el mismo pr d setor, independiente del rdio del diso. De est form, se puede lulr fáilmente l longitud de un ro de irunfereni; solo st multiplir el rdio por el ángulo en rdines. Long. ro de irunfereni = [Ángulo en rdines] x [Rdio de l irunfereni] Y que onoemos el perímetro de un irunfereni de rdio unitrio ( r = ), entones el ángulo de un vuelt omplet, medido en rdines es. Como demás semos que este mismo ángulo, medido en grdos mide 360º, entones podemos estleer l siguiente equivleni: = 360º rdin = 57º 7 44,8 A prtir de est iguldd, determinmos que: Equivleni entre los ángulos en rdines y grdos sexgesimles Tl de equivlenis entre ángulos Grdos sexgesimles Rdines 90º = / 60º = /3 45º = /4 30º = /6 Trigonometrí 3

4 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Ejemplo: ) Clul l medid en grdos, minutos y segundos de un ángulo de rdines. Soluión Medinte un regl de tres: Rt.: rd 4º35'9' ' rd 360º rd x rd.360º x x 4º35'9'' rrd ) Enuentr ongruente on 3º tl que 0< <360º. Soluión Dividimos por 360º: 3º / 360º = 5, vuelts. Restndo ls vuelts omplets qued: 0,897 x 360º = 33º Rt.: =33º Reliones fundmentles: SENO, COSENO Y TANGENTE y oseno. El triángulo OAC es un triángulo retángulo y lo usremos pr definir ls funiones seno Trigonometrí 4

5 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio En un triángulo retángulo, sen es l rzón entre l medid del teto opuesto l ángulo y l medid de l hipotenus, os es l rzón entre l medid del teto dyente l ángulo y l de l hipotenus. En un irunfereni unitri (on rdio igul uno), l medid de l hipotenus del triángulo es igul, entones ls reliones que estleen los vlores del seno y oseno de un ángulo son: AC AC sen = = = AC OC os = OA OA = = OA OC L relión entre el ldo opuesto y el ldo dyente se llm tngente del ángulo. tn = OA AC sen = os Podemos verifir que ulquier triángulo ABC se puede dividir siempre en dos triángulos on un ángulo reto, es deir dos triángulos on un ángulo igul 90. L sum de los tres ángulos interiores de un triángulo es 80º, por onsiguiente en un triángulo on un ángulo reto y on ángulos gudos y = 80 gudo Restndo 90 en mos miemros se otiene: + De est mner, ddo el vlor de un ángulo es igul = 90 en un triángulo retángulo, el otro ángulo Llmndo,, los ldos de un triángulo, y orrespondiéndose d uno de ellos on el nomre del ángulo opuesto él, entones: sen = B os = C 90º A Trigonometrí 5

6 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Pr ulquier ángulo ( senaˆ' ) (os A ˆ' ) El Teorem de Pitágors en este triángulo retángulo puede ser expresdo omo: Entones, plindo Pitágors y operndo: ( senaˆ' ) ( senaˆ' ) ( senaˆ' ) (os A ˆ' ) (os A ˆ' ) (os A ˆ' ) Oservión importnte: ( sen Aˆ') (os Aˆ'), por lo que tnto sen omo os deerán ser números en vlor soluto menores ó igules que, es deir: sen A ˆ y os A ˆ L medid de d teto es siempre menor que l medid de l hipotenus. Seno, oseno y tngente de lgunos ángulos notles ángulo grdos ángulo rdin sen() 0 os() 3 tn() Trigonometrí 6

7 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Ejemplo: 3) Ddo el siguiente triángulo retángulo lul seno, oseno y tngente del ángulo en l siguiente figur: 3 n n Soluión Clulndo l longitud de l hipotenus medinte el Teorem de Pitágors: h = n + (3n) h = n + 9n 0n 0n h 0 n 0n sen 3n 0n n os 0n 3n tg 3 n Verifi que sen + os = y que sen = tg os Os: omo h represent l medid de l hipotenus, tommos + 0 n 4) Un plno inlindo tiene un longitud de 8m. Desde l se l ltur máxim es de m. Si se dese que l ltur máxim se de,5m. Cuántos metros hy que lrgr el plno inlindo sin mir el ángulo de inlinión? x,5m 8m m Soluión Pr este triángulo, m sen 8 m 4 Trigonometrí 7

8 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Al extender el plno,,5m sen 4,5m 8m x 0m x 0m 8m m 8m x 4 Rt.: Hy que lrgr el plno inlindo sin mir el ángulo del plno en m. Resoluión de todo tipo de triángulos Pr resolver ulquier tipo de triángulos, según los dtos que dispongs, puedes utilizr: ) Teorem del seno. ) Teorem del oseno. B A fig. C ) Teorem del seno: En todo triángulo ls longitudes de los ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos, es deir: senaˆ senbˆ sencˆ Ejemplo: 5) En el triángulo ABC (fig.) se tiene: A 45º, B 30º elementos. ˆ ˆ y =40m, otener los demás Soluión C = 80 - ( ) = 05 Trigonometrí 8

9 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio senaˆ senbˆ sencˆ, por lo tnto: senbˆ senaˆ y sencˆ senaˆ Operndo: m senbˆ 40 40m sen30º m m 0 0 senaˆ sen45º 0 m 8, 8m 40m sen05º 54, 64m sen45º Rt.: C = 05, = 8,8m y =54,64m ) Teorem del oseno: En todo triángulo el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos, menos el dole produto de ellos por el oseno del ángulo que determinn. Es deir: = + os = + os = + os B C Ejemplo: 6) Clulr el perímetro del triángulo ABC (fig) siendo: = 0m, = m y B = 60 Soluión = + os B = 00m + 44m.0m.m.os60º =,4m perímetro = ++= 0m + m +.4 m = 33,4m Rt. El perímetro es 33,4m Trigonometrí 9

10 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Ejeritión propuest ) Expres los siguientes ángulos en rdines: ) 90º ) 45 ) 30º d) 75º e) 50º f) giros g) 300º h) 0 ) Ps los siguientes ángulos l sistem sexgesiml: ) ) / ) /4 d) 3/4 e) 7/36 f) / 3) Resuelve los siguientes triángulos retángulos: i) = 7,6 m iii) = 75 m ii) = 40 57' 4" = 4,8 m = 33,40 m = 30 9' 47" iv) = 4,0 m = 7,5 m 4) En un triángulo ABC, dos de sus ldos ( y ) miden respetivmente 4 m y 5 m. Además el ángulo que formn y es de 30º. Se pide: ) L medid, en el sistem rdil, del ángulo que formn y. ) Se puede elegir l medid del terer ldo, o y está definid? ) Cuánto deerí medir pr que el triángulo resulte retángulo? d) L superfiie del triángulo en este último so. e) Un ejemplo de un situión rel que te llevrí relizr el álulo del punto d). 5) Un poste telegráfio está situdo 3 m de l orill de un nl. En l mrgen opuest se enuentr un oservdor que dirige un visul horizontl hi el poste, y luego otr oliu hi el extremo superior del mismo, que formn un ángulo de 3º 30. El oservdor se lej del nl 5 m y dirige otr visul, pero hor on un ángulo de 7º Clul l ltur del poste y el nho del nl, siendo que l ltur del oservdor es de,6 m, y que el poste y ls dos posiiones del oservdor están en un mism perpendiulr ls márgenes del nl, según muestr l figur. Trigonometrí 0

11 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio 6) Cuál es el lrgo de l somr de un edifiio de 30m undo el sol está 0 sore el horizonte? 7) En un remte se venden dos terrenos. El primero en form de retángulo de 0 m de frente por 35,5 m de fondo, se vendió en $ , y por el segundo, de form de romo uy digonl myor es el dole de l digonl menor que mide 4 m, se otuvo $ ) Por uál de los dos se otuvo el mejor promedio por m? ) Cuál es el perímetro del segundo terreno? 8) L se myor de un trpeio isóseles mide 4 m. Los ldos no prlelos miden 0 m y los ángulos de l se miden 80º. ) Enuentr l longitud de un digonl ) Enuentr el áre. 9) En l figur se muestr un rue de lles, tods ells de 6 m de nho y un áre petonl tringulr. Clul el áre de est zon petonl. 0 m = 55º 0) Los ángulos de l se de un triángulo isóseles son de /6 y l ltur es 5m. Otener l longitud de l se. ) Hll l omponente vertil y horizontl de un fuerz de 0 N que form un ángulo on l horizontl de 39. Trigonometrí

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 007 - Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo.

Más detalles

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51 Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y

Más detalles

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A)

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente

Más detalles

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente.

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente. 89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin Trigonometrí INTRODUCCIÓN En est unidd se pretende que los lumnos dquiern los onoimientos ásios en trigonometrí, que serán neesrios en ursos posteriores, sore todo pr

Más detalles

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto

Más detalles

TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS L trigonometrí es l prte de ls mtemátis que estudi ls reliones métris entre los elementos de un tringulo. A) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Más detalles

Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son:

Más detalles

SenB. SenC. c SenC = 3.-

SenB. SenC. c SenC = 3.- TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Geometrí y Trigonometrí Resoluión de triángulos oliuángulos 9. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS OLIUÁNGULOS Un triángulo es oliuángulo undo no present un ángulo reto, se denomin de dos forms: triángulo utángulo

Más detalles

Triángulos y generalidades

Triángulos y generalidades Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/1 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp. 62 63) (1) Los ldos de un triángulo miden 6 m, 7 m y 9 m. onstruir el triángulo y lulr su perímetro

Más detalles

UNIDAD Nº 1: LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA 2 DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA

UNIDAD Nº 1: LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA 2 DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA REPUBLICA DE COLOMBIA SECRETARIA DE EDUCACION DISTRITAL DE SANTA MARTA INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resoluión Nº 88 de noviemre.8/ Emnd de l Seretri De Eduión Distritl DANE Nº7-99

Más detalles

cos sa, a 10 cm. Calcula el valor de los ángulos agudos, y la c) Factorizando y expresando cos 2 1 sen 2,se obtiene: medida de los catetos.

cos sa, a 10 cm. Calcula el valor de los ángulos agudos, y la c) Factorizando y expresando cos 2 1 sen 2,se obtiene: medida de los catetos. 0 Demuestr, de form rzond, ls siguientes igulddes: lul el ángulo de elevión del Sol sore el orizonte, se ) ( sen ) ose o se siendo que un esttu proyet un somr que mide otg os tres vees su ltur. ) ( sen

Más detalles

Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011.

Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011. Reliones métris en un triángulo Resumen redo or Hernán Verdugo Fini, rofesor de Mtemáti y Físi, ril 011. El estudio de un triángulo siemre revestido interés y or ello es ue existen un serie de desriiones,

Más detalles

Resolución de triángulos de cualquier tipo

Resolución de triángulos de cualquier tipo Resoluión de triángulos de ulquier tipo Ejeriio nº 1.- Hll los ldos y los ángulos de este triángulo: Ejeriio nº.- Clul los ldos y los ángulos del siguiente triángulo: Ejeriio nº 3.- Hll los ldos y los

Más detalles

Haga clic para cambiar el estilo de título

Haga clic para cambiar el estilo de título Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles

Más detalles

344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA:

344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: LULR OJETIVO 1 L RZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un

Más detalles

4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen.

4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen. 9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio

Más detalles

Matemática Diseño Industrial Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll

Matemática Diseño Industrial Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas Deprtmento e Mtemátis PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. 1º Un señl e rreter ini que l peniente e ese trmo es el 1%, lo que quiere eir que por metros que reorre en horizontl siene 1

Más detalles

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones fundamentales

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones fundamentales B C Mtemátis I - º Billerto Rzones trigonométris de un ángulo gudo. Reliones fundmentles En todo triángulo retángulo BC ls rzones trigonométris (seno, oseno y tngente) de uno de sus ángulos gudos, en este

Más detalles

Problema 1. En cuál de los dos diseños el ángulo de inclinación de la rampa con el suelo es mayor?

Problema 1. En cuál de los dos diseños el ángulo de inclinación de la rampa con el suelo es mayor? ONTENIDOS Ls reliones trigonométris en un triángulo retángulo Seno y oseno de un ángulo Tngente de un ángulo Relión entre l tngente y l pendiente de un ret Teorems del seno y del oseno Existen vris situiones

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 103 REFLEXION Y RESUELVE Prolem 1 Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr hllr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr su somr

Más detalles

Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES

Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES 8 Teorem de Pitágors. Semejnz Esquem de l unidd Nomre y pellidos:... Curso:... Feh:... En un triángulo retángulo el áre del udrdo onstruido sore l hipotenus es igul l TEOREM DE PITÁGORS sum de... 2 2 =

Más detalles

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c)

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c) Pág. 1 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 25 m 11,6 cm 8 m 32 m 60 m 2 Midiendo los ldos, hll ls rzones trigonométrics

Más detalles

Triángulos congruentes

Triángulos congruentes Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors

Más detalles

4 Trigonometría UNIDAD

4 Trigonometría UNIDAD UNIDAD 4 Trigonometrí ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. Ángulos............................................ 77 1.1. Sistem sexgesiml................................. 77 1.2. Rdines........................................

Más detalles

Resolución de Triángulos Rectángulos

Resolución de Triángulos Rectángulos PÍTULO 5 Resoluión de Triángulos Retángulos En l ntigüedd l rquitetur (pirámides, templos pr los dioses,...) exigió un lto grdo de preisión. Pr medir lturs se sn en l longitud de l somr el ángulo de elevión

Más detalles

MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA

MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA CURSO 4 TRIGONOMETRIA Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO CARTA DIDÁCTICA Desripión: Con este

Más detalles

U.T.N. F.R.C.U. Seminario Universitario Matemática. Módulo 6. Trigonometría

U.T.N. F.R.C.U. Seminario Universitario Matemática. Módulo 6. Trigonometría U.T.N. F.R.C.U. Seminrio Universitrio Mtemáti Módulo 6 Trigonometrí L mtemáti ompr los más diversos fenómenos y desubre ls nlogís serets que los unen Joseph Fourier TRIGONOMETRÍA Pr omenzr trbjr on trigonometrí

Más detalles

Resolución de triángulos rectángulos

Resolución de triángulos rectángulos Resoluión de triángulos retángulos Ejeriio nº 1.- Uno de los tetos de un triángulo retángulo mide 4,8 m y el ángulo opuesto este teto mide 4. Hll l medid del resto de los ldos y de los ángulos del triángulo.

Más detalles

Son Co Razones Seno y Coseno Tangente y Cotangente Secante y Cosecante RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. 3. Triángulos Notables

Son Co Razones Seno y Coseno Tangente y Cotangente Secante y Cosecante RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. 3. Triángulos Notables Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri on o zones eno oseno Tngente otngente ente osente ZONE TIGONOMETI DE UN ÁNGUO GUDO opuesto en hipotenus s hipotenus opuesto dente os hipotenus e hipotenus

Más detalles

LÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS

LÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS LÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS Prlels y Perpendiulres Lámin nº 1 Prlels y Perpendiulres Lámin nº 1 Trzr un perpendiulr en el extremo de un segmento de 60 mm. de longitud. Trzr un perpendiulr

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 0 PR EMPEZR, REFLEXION Y RESUELVE Prolem Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr llr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr

Más detalles

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria) TEMS DE MTEMÁTICS (Oposiiones de Seundri) TEM 37 L SEMEJNZ EN EL PLNO. CONSECUENCIS. TEOREM DE THLES. RZONES TRIGONOMÉTRICS. 1. Introduión.. Homoteis: Definiión y propieddes. 3. L semejnz en el plno. 3.1.

Más detalles

Geometría y trigonometría: Educación Matemática Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media para Educación para Personas Jóvenes y Adultas

Geometría y trigonometría: Educación Matemática Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media para Educación para Personas Jóvenes y Adultas Guí de prendizje Nº 4 Geometrí y trigonometrí: Herrmients pr resolver prolems Eduión Mtemáti Segundo Nivel o ilo de Eduión Medi pr Eduión pr Persons Jóvenes y dults DE_6016.indd 1 25-01-13 17:44 DE_6016.indd

Más detalles

UNIDAD 7 Trigonometría

UNIDAD 7 Trigonometría UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 1 de 6 Hemos visto que, medinte l estrtegi de l ltur, podemos resolver triángulos ulesquier

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

9 Proporcionalidad geométrica

9 Proporcionalidad geométrica 82485 _ 030-0368.qxd 12//07 15:37 Págin 343 Proporionlidd geométri INTRODUIÓN El estudio de l proporionlidd geométri y l semejnz de figurs es lgo omplejo pr los lumnos de este nivel edutivo. omenzmos l

Más detalles

C? a = 5 m. Área? B? c = 4 m. b 2 = a 2 c 2. b = 3 m c = 4 m. c cos B = a. 4 cos B = B = 36 52' 12'' 5 C C = 90 B. 1 Área = b c 2. a = 5,41 cm. Área?

C? a = 5 m. Área? B? c = 4 m. b 2 = a 2 c 2. b = 3 m c = 4 m. c cos B = a. 4 cos B = B = 36 52' 12'' 5 C C = 90 B. 1 Área = b c 2. a = 5,41 cm. Área? 4 Resoluión de triángulos. Resoluión de triángulos retángulos Piens y lul lul mentlmente l inógnit que se pide en los siguientes triángulos retángulos: ) = 6 m, = 8 m; ll l ipotenus ) = 35 ; ll el otro

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Ley de senos

Profr. Efraín Soto Apolinar. Ley de senos Profr. Efrín Soto Apolinr. Ley de senos Hst hor hemos resuelto triángulos retángulos, pero tmién es omún enontrr prolems on triángulos que no son retángulos, omo utángulos u otusángulos. Pr resolver estos

Más detalles

TRIGONOMETRÍA CONTENIDO TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA CONTENIDO TRIGONOMETRÍA CONTENIDO TRIGONOMETRÍA Tem. Pág. Coneptos y definiiones. Ángulos. Grdos. Aros. Rdines 4 Polígonos y irunfereni. 5 4 Sistems oordendos. Retngulres. Polres. 6 5 Triángulos. Definiión. Clsifiión. 7 6 Círulo

Más detalles

UNIDAD 7 Trigonometría

UNIDAD 7 Trigonometría UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 1 de 6 Hemos visto que, medinte l estrtegi de l ltur, podemos resolver triángulos ulesquier

Más detalles

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse. X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos

Más detalles

BLOQUE III Geometría

BLOQUE III Geometría LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

TEOREMA DE PITÁGORAS

TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE PITÁGORAS 1.- El ldo de un udrdo mide 10 m. Cuánto mide su digonl? (Aproxim el resultdo hst ls déims)..- Ls digonles de un romo miden 15 m y 17 m, respetivmente. Cuánto miden sus ldos? (Aproxim

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

Senx a) 0 b) 1 c) 2 d) 2

Senx a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 EJERIIOS. lculr en : Sen( - 0º) = os( + 0º) ) b) c) 4 d) 6 e). Si : Tg (8 º) Tg ( + º) = Hllr: K = Sen tg 6 7 7 ) b) c) - d) - e) ) 0, b) c), d) e) 8. Si : Tg =, Sen lculr : K Tg ) c) e) ( ) b) d) ( ).

Más detalles

LEY DE SENOS Y COSENOS

LEY DE SENOS Y COSENOS FULTD DE IENIS EXTS Y NTURLES SEMILLERO DE MTEMÁTIS GRDO: 10 TLLER Nº: 1 SEMESTRE 1 LEY DE SENOS Y OSENOS RESEÑ HISTÓRI Menelo de lejndrí L trigonometrí fue desrrolld por strónomos griegos que onsidern

Más detalles

Figura 1. Teoría y prática de vectores

Figura 1. Teoría y prática de vectores UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio UDB Físi Cátedr FÍSICA I VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio Colegio Sn Ptriio A-09 - Inorpordo l Enseñnz Ofiil Fundión Edutiv Sn Ptriio MATEMÁTICA º AÑO Trjo prátio Nº 8 Sistems de dos euiones lineles on dos inógnits Un sistem de euiones es un onjunto de dos o

Más detalles

11La demostración La demostración en matemáticas (geometría)

11La demostración La demostración en matemáticas (geometría) L demostrión en mtemátis (geometrí) ág. 1 Tl vez los lumnos y lumns hyn demostrdo, en lgun osión, lgun fórmul o lgun propiedd mtemáti, o hyn ontempldo su demostrión. omo semos, pr ellos, el proeso no es

Más detalles

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS SOBRE GEOMETRÍA El triángulo

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS SOBRE GEOMETRÍA El triángulo . PROLEMS DE OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE GEOMETRÍ El triángulo ELISETH GONZÁLEZ FUENTES Máster de Mtemátis Universidd de Grnd. 014 Prolems sore triángulos Trjo Fin de Máster presentdo en el Máster Interuniversitrio

Más detalles

Módulo 6. Trigonometría TRIGONOMETRÍA

Módulo 6. Trigonometría TRIGONOMETRÍA Seminrio Universitrio Mtemáti Módulo 6 Trigonometrí L mtemáti ompr los más diversos fenómenos y desure ls nlogís serets que los unen Joseph Fourier TRIGONOMETRÍA Pr omenzr trjr on trigonometrí neesitmos

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO UNIDAD ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd resolverás ejeriios y prolems que involuren l soluión de euiones de primer grdo y de segundo grdo Ojetivo.

Más detalles

Resolución de Triángulos Rectángulos

Resolución de Triángulos Rectángulos PÍTULO 5 Resoluión de Triángulos Retángulos En l ntigüedd l rquitetur (pirámides, templos pr los dioses,...) eigió un lto grdo de preisión. Pr medir lturs se sn en l longitud de l somr el ángulo de elevión

Más detalles

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras Profr. Efrín Soto Apolinr. Teorem de Pitágors En geometrí, uno de los teorems más importntes es el teorem de Pitágors porque se pli muy freuentemente pr resolver prolems. En todo triángulo retángulo que

Más detalles

SISTEMA SEXAGESIMAL. Unidad: El grado sexagesimal (º). 1 º = ángulo completo 360. ángulo completo = º = 400 g = 2π rad

SISTEMA SEXAGESIMAL. Unidad: El grado sexagesimal (º). 1 º = ángulo completo 360. ángulo completo = º = 400 g = 2π rad TRIGNMETRÍ. ÁNGULS igen: Positivos: tido ntihoio. Negtivos: tido hoio. + MEDID DE ÁNGULS Sistem segesiml Sistem entesiml Rdines SISTEM SEXGESIML. Unidd: El gdo segesiml (º. ángulo ompleto 60º º ángulo

Más detalles

CAPÍTULO 4: RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ARCOS DE CIRCUNFERENCIA (III)

CAPÍTULO 4: RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ARCOS DE CIRCUNFERENCIA (III) PÍTULO 4: RELIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ROS DE IRUNFERENI (III) Dnte Guerrero-hnduví Piur, 2015 FULTD DE INGENIERÍ Áre Deprtmentl de Ingenierí Industril y de Sistems PÍTULO 4: RELIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ROS DE IRUNFERENI

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un

Más detalles

10.- Teoremas de Adición.

10.- Teoremas de Adición. Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.

Más detalles

se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.

se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución. Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se

Más detalles

( )( ) 0 1,1 1, 5 2 2, 3. 1 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 4 > x +6 b) - x + 1 < 2x + 4 c) x + 51 > 15x + 9

( )( ) 0 1,1 1, 5 2 2, 3. 1 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 4 > x +6 b) - x + 1 < 2x + 4 c) x + 51 > 15x + 9 1 Resuelve ls siguientes inecuciones: x + 4 > x +6 - x + 1 < x + 4 c) x + 51 > 15x + 9 x < x > -1 c) x < 4 Resuelve ls siguientes inecuciones: x + 4 > x +6 - x + 1 > x + 4 c) 5x + 10 < 1x - 4 x > x < -

Más detalles

DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE

DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE ESPECIALISTA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS U de A INTRODUCCIÓN En el desrrollo de l geometrí

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

Segundo Periodo ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA (2)

Segundo Periodo ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA (2) Segundo Periodo ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA (2) Derehos ásios de prendizje: Comprende y utiliz l ley del seno y el oseno pr resolver prolems de mtemátis y otrs disiplins que involuren triángulos no retángulos.

Más detalles

Qué tipo de triángulo es? Prof. Enrique Díaz González

Qué tipo de triángulo es? Prof. Enrique Díaz González Universidd Intererin de Puerto Rio Reinto de Pone 1 Revist 360 / N o. 6/ 011 Qué tipo de triángulo es? Prof. Enrique Díz González En lguns situiones de tipo prátio, se neesit onoer si un deterindo triángulo

Más detalles

Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d)

Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d) 1 FIGURS PLNS EJERIIS PR ENTRENRSE Polígonos 1.44 lsific los siguientes polígonos. ) b) c) d) ) Pentágono irregulr cóncvo. b) Heptágono regulr convexo. c) ctógono irregulr cóncvo. d) Hexágono irregulr

Más detalles

Integrales dobles y triples

Integrales dobles y triples Integrles dobles y triples 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible R: retángulo R = [, b [, d f : R R: mpo eslr e dos vribles. Si f es ontinu en R f x : [, d R y f y : [, b R son funiones

Más detalles

1.6 Perímetros y áreas

1.6 Perímetros y áreas 3 1.6 Perímetros y áres Perímetro: es l medid del contorno de un figur. Superficie (pln): es el conjunto de puntos del plno encerrdos por un figur geométric pln. Áre: es l medid de un superficie. Represente

Más detalles

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO TUTORIAL DE PREPARAIÓN MATEMATIA 009 RELAIONES MÉTRIAS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO I.- MARO TEORIO DEPTO. DE MATEMATIA Ls relciones métrics en un triángulo rectángulo son 5 relciones plicles sólo este tipo

Más detalles

VECTORES Magnitudes escalares y vectoriales Vectores Figura 1.1 Figura 1-1 vector. Año: 2010

VECTORES Magnitudes escalares y vectoriales Vectores Figura 1.1 Figura 1-1 vector. Año: 2010 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio --- UDB Físi Cátedr VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo de su

Más detalles

Trigonometría: ángulos / triángulos. matemática / arquitectura

Trigonometría: ángulos / triángulos. matemática / arquitectura Trigonometrí: ángulos / triángulos mtemátic / rquitectur Grn pirámide de Guiz. Egipto. 2750.C. (h=146,62m / l=230,35m) Pirámide del Museo Louvre. Pris. 1989. rq. Ieoh Ming Pei. (h=20m / l=35m) Grn pirámide

Más detalles

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161 7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60

Más detalles

11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO SLUINRI 95 11. Triángulos 1. NSTRUIÓN DE TRIÁNULS PIENS Y LUL Justific si se pueden dibujr los siguientes triángulos conociendo los dtos: ) Tres ldos cuys longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm b) Un ldo de

Más detalles

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Denominación Definición Propiedad básica. cos α = c a. tg α = tan α = b c. Propiedad fundamental

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Denominación Definición Propiedad básica. cos α = c a. tg α = tan α = b c. Propiedad fundamental Trigonometrí 1 Trigonometrí Rzones trigonométris de un ángulo gudo Denominión Definiión Propiedd ási Seno sen = 0 sen 1 Coseno Tngente os = tg = tn = Propiedd fundmentl sen + os = 1 Rzones trigonométris

Más detalles

Resolución de triángulos

Resolución de triángulos 8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del

Más detalles

Lección 3.4. Leyes del Seno y Coseno. 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 17

Lección 3.4. Leyes del Seno y Coseno. 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 17 Leión 3.4 Leyes del Seno y Coseno /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd de 7 Atividdes 3.4 Refereni Texto: Seíón 8. Ley de los Senos; Problems impres -5 págins 577 y 578 (53 y 533); Seión 8. Ley de los Cosenos;

Más detalles

Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES

Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES 8 Teorem de Pitágors. Semejnz Esquem de l unidd Nomre y pellidos:... Curso:... Feh:... En un triángulo retángulo el áre del udrdo onstruido sore l hipotenus es igul l TEOREM DE PITÁGORS sum de... 2 2 =

Más detalles

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CÓNICAS Diretriz Genertriz Un superfiie óni está generd por un ret (genertriz) que se mueve poyándose en un urv fij (diretriz) y que ps por un punto fijo

Más detalles

R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que:

R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que: Axiom de división del espcio: Todo plno del espcio determin en éste dos regiones tles que: - Cd punto del espcio pertenece un de ls dos regiones o l plno - Dos puntos de un mism región determinn un segmento

Más detalles

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES 2º PARCIAL

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES 2º PARCIAL Mtemátics pendientes de 1º (º prcil) 1 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES º PARCIAL Fech tope pr entregrlos: 17 de bril de 015 Exmen el 3 de bril de 015

Más detalles

Criterios de igualdad entre triángulos.

Criterios de igualdad entre triángulos. TRIÁNGULO Triángulo. Superfiie pln liitd por tres línes (ldos). Polígono ás pequeño. lsifiión de los triángulos. Ldos Ángulos UTÁNGULO Tiene los tres ángulos gudos. RTÁNGULO Tiene un ángulo reto y dos

Más detalles

B 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

B 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Págin del Colegio de Mtemátis de l ENP-UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos HIPÉRBOLA UNIDAD XI XI.1 DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno,

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

EJERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS. 1.- Calcula, mediante la aplicación de la definición, el valor de los siguientes logaritmos: log

EJERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS. 1.- Calcula, mediante la aplicación de la definición, el valor de los siguientes logaritmos: log EJERCICIOS DE POTECIAS Y LOGARITMOS - Clul, medinte l pliión de l definiión, el vlor de los siguientes ritmos: ) ) 79 ) 09 e) f) g) h) - Clul, medinte l pliión de l definiión, el vlor de los siguientes

Más detalles

UNIDAD I. El Punto y la Recta

UNIDAD I. El Punto y la Recta SSTEMS E REPRESENTÓN 10 UN SESÓN 3 L Ret: efiniión, trzs y posiiones notles ORE L. LERÓN S. SSTEMS E REPRESENTÓN 10 1.5 L RET Es el eleento geoétrio unidiensionl y puede deterinrse trés de un segento de

Más detalles

POLIEDROS - PRISMAS POLIEDRO. I. POLIEDRO: es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales llamados caras.

POLIEDROS - PRISMAS POLIEDRO. I. POLIEDRO: es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales llamados caras. POIROS - PRISMS POIRO I. POIRO: es el sólido limitdo por cutro o más regiones poligonles llmdos crs. RIST TR TUR RIST SI PRISM VRTI S R 1. PRISM: l prism es un poliedro cuys crs lterles son tres o más

Más detalles

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I Mtemátis I SESIÓN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I I. CONTENIDOS:. Conepto y representión geométri.. Métodos de soluión: o Igulión o Sustituión. o Reduión (sum y rest). o Determinnte.

Más detalles

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS u r s o : Mtemátic Mteril N 13 GUÍ TÓRIO PRÁTI Nº 11 UNI: GOMTRÍ POLÍGONOS URILÁTROS POLÍGONOS FINIIÓN: Un polígono es un figur pln, cerrd, limitd por trzos llmdos ldos y que se intersectn sólo en sus

Más detalles

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes Geovny Snri B. Propuest sore l enseñnz de los números rionles Geovny Snri Brenes Un mner de ordr los números rionles es trvés del onoimiento previo de rzones. En l tulidd, ls friones en primri no son vists

Más detalles

BLOQUE IV. Geometría. 11. Semejanza. Teorema de Thales y Pitágoras 12. Cuerpos en el espacio 13. Áreas y volúmenes

BLOQUE IV. Geometría. 11. Semejanza. Teorema de Thales y Pitágoras 12. Cuerpos en el espacio 13. Áreas y volúmenes LOQUE IV Geometrí 11. Semejnz. Teorem de Thles y Pitágors 1. uerpos en el espio 13. Áres y volúmenes 11 Semejnz. Teorems de Thles y Pitágors 1. Figurs semejntes P I E N S Y L U L Si l Torre del Oro mide

Más detalles

m 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular

m 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular Funión Cudráti Unidd Conepto Un negoio de deorión, Alfomri Confort, onfeion tpies udrdos que miden entre metros de ldo, on diseños elusivos pedido. Queremos ver que superfiie tiene los tpies. Teniendo

Más detalles

Semejanza. Teoremas de Thales y Pitágoras

Semejanza. Teoremas de Thales y Pitágoras 11 Semejnz. Teorems de Thles y Pitágors 1. Figurs semejntes P I E N S Y L U L Si l Torre del Oro mide proximdmente 0 m de lto, uánto mide proximdmente de lto l Girld de Sevill? Si l Torre de Oro mide 1

Más detalles

GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO

GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Definiión de triángulo Se llm triángulo un onjunto { ABC,, } de tres puntos no linedos del plno. Los puntos A, B y C reien el nomre de vérties del triángulo. Los segmentos (o en

Más detalles

LEY DE SENOS. Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas para resolver triángulos generales.

LEY DE SENOS. Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas para resolver triángulos generales. LEY DE SENOS Ya hemos visto omo resolver triángulos retángulos ahora veremos todas las ténias para resolver triángulos generales a γ α Este es un triángulo el ángulo α se esrie en el vértie de, el ángulo

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD II II.1 RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. a c. hipotenusa. hipotenusa

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD II II.1 RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. a c. hipotenusa. hipotenusa Págin del Colegio de Mtemátis de l ENP-UNAM Funiones trigonométris Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD II II. RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Un ángulo es l porión

Más detalles

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3).

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3). ÁlgebryGeometrí 1. ) Ddos tres puntos A, B y C en el plno demuestr que l circunferenci de diámetro AC ps por B siysólosielánguloâbc es recto. b) Ddos dos puntos A y B del plno y un rect r, determin, cundo

Más detalles