TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES. Matemáticas 3º de la E.S.O.

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1 TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES Matemáticas 3º de la E.S.O.

2 1. Potencias con exponente entero Potencias de exponente negativo a n = 1 a n Las potencias de exponente negativo cumplen las mismas propiedades que las potencias de exponente natural

3 1. Potencias con exponente entero Una potencia de exponente natural es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales exponente Recuerda a 0 =1 a 0 para todo a n = a... a base n-veces

4 2. Raíz de un número entero La raíz enésima de un número a es el valor b que al elevarlo a n da como resultado a. n a = b b n = a Donde n es un número natural índice n a = b raíz radicando Expresión radical

5 2. Raíz de un número Se llama radical a una raíz no operada como: 3 2, 3, 7 4 Según el índice, las raíces reciben diferentes nombres: cuadrada, cúbica, cuarta enésima

6 3. Número de raíces. Radicales equivalentes. Dos radicales son equivalentes o iguales si tienen la misma raíz. Teorema fundamental de los radicales: Si se multiplican o dividen el índice del radical y el exponente del radicando por un mismo número natural distinto de cero, se obtiene un radical equivalente si a 0 n a q = n m a q m (m 0)

7 3. Número de raíces. Radicales equivalentes. EJEMPLO 1 n a q = n m a q m = = = 2

8 3. Número de raíces. Radicales equivalentes. EJEMPLO 2 n a q = n m a q m 3 8 = 3 2 ( 8) 2? 3 8 = 6 64? 2 2 No se cumple el teorema? Se cumple, porque el ejemplo no cumplía una de sus premisas si a 0 n a = a n m n m (m 0)

9 3. Número de raíces. Radicales equivalentes EJERCICIO Ej. 17 Pág. 30 Escribe tres radicales equivalentes a:

10 3. Número de raíces. Radicales equivalentes EJERCICIO Ej. 18, Pág. 30 Comprueba si los radicales son equivalentes.

11 3. Número de raíces. Radicales equivalentes EJERCICIO Pág Ej. 33.

12 4. Propiedades de los radicales Operación Expresión Ejemplo Producto y cociente de radicales del mismo índice n n a a n b n : b n = a b n = a : b = = 10 Producto y cociente de radicales de distinto índice Se reducen a índice común y se aplica lo anterior Potencia de un radical Raíz de un radical ( n a) m = n a m n m a n m = a 5 ( 3 7) 2 = = 17

13 4. Propiedades de los radicales EJERCICIO Ej. 24 Pág. 31. Realiza estas operaciones:

14 4. Propiedades de los radicales EJERCICIO Pág. 31. Ej. 25 Introduce en el radical los números de fuera

15 4. Propiedades de los radicales EJERCICIO Ej. 26 Pág. 31. Efectúa esta suma de radicales.

16 4. Propiedades de los radicales EJERCICIO Ej. 27 Pág. 31. Calcula el área sombreada de la figura cuyas medidas están dadas en metros.

17 5. Potencias con exponente fraccionario Un radical puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario n a m = a m n Este resultado se demuestra si se admite que las propiedades de las potencias de exponente entero positivo deben conservarse para otro tipo de exponentes. n a m = a m n " ( n a m ) n m n = $ a # % ' & n " $ # m n a % ' & n m n n = a = a m

18 5. Potencias con exponente fraccionario EJERCICIO Demuestra que = Lo expresamos como potencias 8 3 = Escribimos 8 como potencia ( 2 3 ) = 2 La igualdad se cumple = = 2

19 5. Potencias con exponente fraccionario EJERCICIO Qué es mayor, ó 3 5 7? Para compararlos los pondremos bajo el mismo índice. Expresándolos como potencias = = 7 Denominador 2 del exponente Denominador del exponente 3 m.c.m de ambos exponentes = = > 49

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21 Pág. 33. Ej. 32 Escribe en forma radical estas potencias.

22 Pág. 33. Ej. 33 Expresa estas raíces en forma de potencia.

23 Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas como exponente fraccionario.

24 6. Notación científica Hay números que por ser muy grandes o muy pequeños se expresarían con muchos ceros. La notación científica permite expresarlos de forma más compacta. x = a 10 p 1 a 10 p es orden de magnitud de x

25 Notación científica Escribe en notación científica estos números

26 Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas como exponente fraccionario.

27 Ej. 35. Indica que pares de potencias son iguales.

28 Ej 37. Calcula:

29 Ej 39. Realiza las siguientes operaciones indicando los radicales como potencias fraccionarias.

30 Ej. 45.

31 Ej. 47

32 La masa de la Luna es de 7, kilogramos, y la de la Tierra, de 5, kilogramos. A cuántas Lunas equivale la masa de la Tierra?

33 Ej 71. Pág 37 Escribe estas potencias de exponente fraccionario como radicales:

34 Ej 73. Pág 37. Calcula estas raíces expresándolas primero como potencias de exponente fraccionario

35 Ej 76. Pág 37 Indica si son ciertas o falsas

36 Ej 82. Pág 37 Efectúa las siguientes operaciones:

37 Escribe en forma de potencias estas expresiones

38 T7-35. Simplifica estos radicales hasta conseguir un radical irreducible:

39 T7-36 Reduce a índice común estos radicales

40 T7-40. Calcula esta suma de radicales

41 Extrae los factores de los siguientes radicales:

42 96. Escribe en notación científica los siguientes números:

43 Escribe en notación científica: a) veinticinco millonésimas: b) Tres cien millonésimas:

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54 Introduce factores en el radical expresando los números del radicando en potencias de factores primos 12x z y 2 4 z y 2 16x z y 2 3 5x y

55 Extrae factores del radical 3 24 x 2 z 4 y x 10 z 25 y x 6 z 12 y x 6 y 17

56 1. Extrae factores del radical 3. Calcula: 5. Simplifica: x 3 a 2 a 3 x 3 a 6 c 7 x 3 7 x 2 y 3 c Opera: xy x 2 y 3 x 4 9 y : x 2 y 3 4. Introduce factores en el radical expresando los números del radicando en potencias de factores primos : , : = x z 3 y 4 4 z y 2

57 MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA Potencias y raíces.