CASO DE ESTUDIO N 6. Resistencia de una prótesis Femoral. Análisis de Seguridad con Teorías de Falla en materiales Dúctil o Frágil

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1 CAPITULO TENSIONES Y DEFORMACIONES. REVISIÓN DE PRINCIPIOS FÍSICOS CASO DE ESTUDIO N 6 Resistencia de una prótesis Femoral. Análisis de Seguridad con Teorías de Falla en materiales Dúctil o Frágil

2 . Introducción En la Figura se muestra la prótesis insertada en la cadera. Este tipo de prótesis se usa para tratar situaciones muy dolorosas para aquellas personas aquejadas de artritis deformante que conducen a una pérdida de la movilidad. La operación de inserción de la prótesis involucra el recorte de partes óseas de la cabeza del fémur y el agrandamiento de la cavidad femoral, para posteriormente insertar al implante y fijarlo con cierto tipo de resinas biodegradables. Tal como puede apreciarse en la Figura el vástago se inserta en la cadera en un alojamiento esférico. La cabeza del vástago está pulida con mucha precisión. Todos los componentes se suelen fabricar para el caso particular de una persona específica, dado la gran dificultad y complejidad de efectuar una estandarización estricta. Aún así se establecen algunos modelos estándar que se mecanizan para la ocasión. Figura. Esquema de la prótesis (Hamorck []). Por lo general se emplean materiales que tengan propiedades de alta resistencia mecánica junto a una gran capacidad de resistencia al desgaste tales como las aleaciones de cromocobalto fundido, el acero inoxidable forjado o las aleaciones de titanio (entre ellas por ejemplo Ti-6A-4V). 2. Datos y Objetivos del Problema En la Figura 2 se puede apreciar las dimensiones geométricas (en centímetros) más importantes del implante, además de las secciones más riesgosas y conflictivas desde el punto de vista de resistencia estructural. El análisis de resistencia y seguridad de dispositivos de esta índole es dominio de acción de los ingenieros, quienes se deben encargar de garantizar el buen funcionamiento del dispositivo. Para efectuar el análisis se pueden emplear diversas metodologías. Una elemental

3 basada en esquemas típicos de resistencia de materiales, la otra más sofisticada y basada en herramientas computacionales como elementos finitos. Figura 2. Datos y zonas críticas (Hamorck []). Se pretenderá obtener una condición de seguridad en función de costos de cada material. Las secciones más comprometidas son las que se muestran en la Figura 2, es decir la AA, BB y CC. La sección AA es perpendicular a la línea del eje de diámetro.27 cm. La sección BB es perpendicular a la línea de conexión a 6.5. La sección CC es una sección base (una cualquiera) que se halla dentro del fémur, para esta sección no es tan necesario obtener una condición de seguridad por resistencia ya que al estar inmersa en el hueso, este último absorbe parte de la carga. Para simplificar el análisis se supondrá que las secciones resistentes son circulares. La carga se supondrá actuante en el punto medio del cilindro según se ve en la Figura 2 y con una condición adicional de seguridad que quintuplique el peso de la persona. La persona en cuestión posee un peso de 894 N (unos 9.2 kg). En consecuencia la carga de cálculo efectiva será de 4470 N. En la siguiente Tabla, se puede apreciar los valores de los esfuerzos permitidos para los tres materiales. Nótese que la fundición de Cromo-cobalto tiene un comportamiento diferente a compresión y a tracción. En la misma tabla se puede observar el costo aproximado del material y su mecanizado.

4 Material Tensión Permitida (Mpa) Costo Aprox. Fundición Cromo-Cobalto 550 (70 a compresión) 250 Acero inoxidable forjado Aleación de Titanio Ti-6A-4V Tabla. Solución con esquemas de resistencia de materiales Observando la Figura 2 para las dos secciones conflictivas se puede obtener la siguiente tabla 2, con la información sobre los coeficientes de concentración de tensiones cuyos valores se pueden obtener de las Figura 2.6 y 2.64 para la carga normal y carga flexional respectivamente o bien de las rutinas 8 y 9 que figuran en el archivo excel suministrado por la cátedra denominado Formulas-Calculo-Basico.xls, dentro de la pestaña Fact.Concentradores. El diámetro nominal menor para la sección BB se ha interpolado con un valor de 2.54 cm. Sección d D r K ax K flex A [m²] I [m 4 ] AA BB Tabla 2. medidas en metros. Las fórmulas que se emplean para calcular las tensiones normales y tangenciales vienen dadas por la siguiente expresión. max max K 4 ax A corte ax A K flex Mc I (C.) donde ax y corte son los esfuerzos normales y cortante en la sección, mientras que M es el momento flector, estos se pueden calcular fácilmente por equilibrio siguiendo la Figura 2, tal como se muestra en la tabla, en la cual si P es la carga efectiva los esfuerzos se obtienen como: P. Cos 6. 5 M P. L. Sen 6. 5 ax corte P. Sen 6. 5 siendo L=.45 cm (o sea 2.69 cm /2) para la sección AA y L=2.065 cm para la sección BB. (C.2)

5 Sección ax [N] corte [N] M [N.m] AA BB Tabla. Valores de los esfuerzos Los estados tensionales máximos se obtienen de (C) y se pueden apreciar en la Tabla 4 Sección max [Mpa] max [Mpa] AA a BB -0. a Tabla 4. Valores de las tensiones máximas Es claro que la sección AA es la más solicitada. Ahora bien en la fibra más alejada no hay tensión tangencial, entonces las tensiones relevantes son las normales y ellas serán las principales. Pero en el centro de la sección, sobre el eje neutro, habrá tensión cortante máxima y tensión normal (debida solo al esfuerzo normal compresivo) cuyo valor es Mpa. Así pues se tendrán posibles casos en la sección AA. a) Caso : Acción axial tractiva ( = 27.4 Mpa, 2 = =0) b) Caso 2: Acción axial compresiva ( = 2 =0, = Mpa) c) Caso : tensión tangencial y compresiva: ( =.07 Mpa, 2 =0, = Mpa, Esto fue obtenido con un círculo Mohr: Rutina02 de Formulas-Calculo-Basico.xls ) Entonces para el caso a) se puede emplear la siguiente expresión para calcular el coeficiente de seguridad Para el caso b) la siguiente expresión S ut siempre que 2 ns S uc siempre que 2 ns (C.) (C.4) En cambio para el caso c) se usará selectivamente la hipótesis de fricción interna: Sut Suc n siendo 0 s que se puede reducir a la teoría de máxima tensión cortante, es decir y 0 (C.5) s S y (C.6) n

6 En consecuencia para el caso c) se usará (C.5) con la fundición de Cromo-cobalto y (C.6) en las restantes dos. Caso Fundición de Acero Aleación de Cromo-cobalto Inoxidable Titanio Caso a) Caso b) Caso c) Tabla 5. Coeficientes de seguridad En la Tabla 5 se exponen los valores de los coeficientes de seguridad y se han realzado los que para un caso determinado atestiguan el mayor grado de seguridad. Puede observarse que la elección más apropiada en términos económicos y de resistencia es la aleación de titanio. 4. Bibliografía [] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, Elementos de Máquinas, McGraw Hill 2000 [2] J.E. Shigley y C.R. Mischke, Diseño en Ingeniería Mecánica, McGraw Hill [] R.L. Norton, Diseño de maquinaria, McGraw Hill 2000.