INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ELABORO: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS DICIEMBRE DE 7

2 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II. UPIBI-IPN REALIZÓ: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS.- Dtrmin las siguints composicions f ( f ( ) ) f ( ) a) si =, Para qué valors d tin tido sta composición? b) f g si f ( ) = y g ( ) = ( ( )).- Encuntr l dominio y contradominio d las funcions siguints a) f ( ) = b) f ( ) = log c) ( ) f = d) f ( ) = tan ) f ( ) = f) f ( ) = g) f ( ) = h) ( ) f = i) f ( ) = j) f ( ) = tan ( ) k) f ( ) = l) f ( ) = < < < m) f ( ) = n) f ( ) = < <.- Dadas las funcions f y g, ncuntra las funcions h i dadas por h ( ) = f ( g( ) ), i ( ) = g( f ( ) ). Esboza las gráficas d f ( ), g ( ), h ( ) i ( ). Finalmnt dtrmin l dominio y contradominio n cada caso. a) ( ) = f y g( ) = b) f ( ) = < < y g ( ) = c) f ( ) = < < y g ( ) =.- Dtrmin la paridad d las funcions siguints. Si alguna d llas no tin paridad scríbala como la suma d una función par más una impar. 7 a) ) i) m) b) tan f) j) n) c) sc g) k) o) d) ( ) h) ( ) l) p) 7 DICIEMBRE DE 7

3 .- a) Sa f ( ) =. Encuntr los límits siguints: f ( ), > y f ( ) f ( ) b) Rsulva los jrcicios,,, y d la pagina dl libro: Swokowski, E. (989). Cálculo con Gomtría Analítica. Grupo Editorial Ibroamérica. Sgunda Edición..-.- Encontrar los siguints límits a) c) m b) d) m m s s s s r r r ) f) 7.- Encuntr los límits d las funcions siguints: 8 a) θ ) θ b) θ f) θ c) g) 7 7 d) h) 8.- Encuntr todos los númros n los qu la función f s contínua. 9 a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = 7 = 9.- Drivar las funcions siguints = [ ( )] f ( ) = i) k( m) = ( m) a) y tan ) b) f ( ) = tan f) y c) y = d) () ( ) f t = t t t t = j) g ( ) = ( 8 ) y = k) y = g) ( ) s s h) () = s s s r s m m.- Us drivación implícita para ncontrar y si DICIEMBRE DE 7

4 ( y 9) = ( ) a) c) y = y ) y ( ) ( y) ( y) = tan( y) b) y = d).- Us la rgla d L Hôpital para ncontrar los límits siguints: a) ) i) cot b) f) j) c) d) g) ( ) h) y y =.- Encuntr la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la cuación n l punto P a) y =, P (, ) c) y = tan, P, b) y y =, P, ( ).-S dispara un proyctil vrticalmnt hacia arriba con una vlocidad inicial d ft / s. Su altura sobr l sulo s t (n pis) a los t sgundos stá dada ( ) s() t = t t por. Cuál s su vlocidad y cuál s su aclración a los t sgundos? Cuáls son a los s? Cuál s la altura máima? Cuándo llga al sulo?.- Un automovil viaja por un plano inclinado. El númro d pis s t rcorrido a los t sgundos stá dado por s ( t) = t. Cuál s la vlocidad n t = s? En t = s? Cuándo alcanza una vlocidad d 8 ft / s? f ( ) 7 ( ).- San = y w = f. Encuntr dw y úslo para stimar l incrmnto d w cuando varía d a.9.- La obstrucción d las artriolas s una d las causas d hiprtnsión sanguína. S ha comprobado primntalmnt qu cuando la sangr fluy por una artriola d longitud dada, la difrncia d prsión n los dos trmos d la artriola s invrsamnt proporcional a la cuarta potncia dl radio. Suponga qu l radio d una artriola disminuy n %. Us difrncials para calcular l cambio porcntual n la difrncia d prsión. () 7.- La magnitud d la furza d atracción gravitacional qu sint un curpo, sobr la suprfici d la tirra, s sab qu s invrsamnt proporcional al DICIEMBRE DE 7

5 cuadrado d la distancia dsd l cntro d la tirra a dicho curpo. Si l radio d la tirra disminuy un % a) Cuál s l cambio porcntual n la magnitud d la furza? b) Aumntó o disminuyó la magnitud d la furza? p q r funcions tals qu ( z) q( r( z) ) q p ( ) y p ( ) 8.- San, y q () =, r () = y () =, calcul p =. Suponindo qu r () =, 9.- Una niña cominza a corrr a partir d un punto A hacia l st, a m / s. Un minuto dspués, otra niña sal corrindo dsd A hacia l nort a m / s. Cuál s la rapidz d variación d la distancia ntr las niñas un minuto más tard?.- Un niño qu hac volar una comta, sostin l cordl a ft dl sulo y lo va soltando a razón d ft / s, mintras la comta s muv horizontalmnt a una altura d ft. Suponindo qu l hilo s mantin rcto, ncuntr la rapidz con la qu s muv la comta cuando s han soltado ft d hilo..- El gas contnido n un globo sférico scapa a razón d L / h (litros por hora). A razón d cuántos cntímtros por hora disminuy l radio dl globo n l momnto n qu l volúmn s d L?.- La part infrior d una scalra d longitud L = m rsbala d tal forma qu la distancia dsd sta part infrior a la pard aumnta a razón d 8cm / s. Cuál s la rapidz d variación dl ángulo qu hac la scalra con l piso cuando = m? Aumnta o disminuy st ángulo conform transcurr l timpo? = n l.- Calcul l máimo y mínimo absolutos para ( ) intrvalo [, ].- Encuntr los máimos y minimos, dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto, discuta la concavidad, ncuntr los puntos d inflión y trac la gráfica d f f ( ) ( ) = ( ) g) f ( ) a) = d) f b) ( ) = f c) = f) f f ) ( ) =, ( ) f ( ) ( ) = ( ), ( ) f =.- Trac una posibl gráfica d una función contínua y qu satisfaga las condicions indicadas a) f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) = f ( ) = ; f ( ) < si > o < ; f ( ) > si < < ; f ( ) > si < ; f ( ) < si >. DICIEMBRE DE 7

6 b) f ( ) = ; f ( ) = f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) > si < ; f ( ) < si > ; f < si < < ; f ( ) > si > o < ( ).- Un vtrinario cunta con m d tla d alambr y quir construir jaulas para prros lvantando primro una crca alrddor d una rgión rctangular, y dividindo lugo la rgión n sis rctángulos iguals mdiant cinco rjas parallas a uno d los lados. Cuáls son las dimnsions d la zona rctangular para las qu l ára total s máima? 7.- S dsa qu las páginas d un libro tngan un ára d 9 cm con márgns d. cm abajo y a los lados, y d. cm arriba. Dtrmin las dimnsions d la página qu darán la mayor ára posibl para l tto. 8.- Dos posts vrticals d.m s hallan clavados n un sulo a nivl y sus bass distan m. Calcul la longitud mínima d cabl qu s ncsita para tnr dos tramos rctos: dsd la punta d uno d los posts hasta un punto n l sulo, y d ahí hasta la punta dl otro post. 9.- Un mdicamnto s inycta n la corrint sanguína, su concntración t minutos dspués stá dada por k bt at () = ( ) C t a b dond a, b, y k son constants positivas. a) En qu momnto s alcanza la concntración máima? b) Qu s pud dcir d la concntración cuando ha transcurrido un timpo largo?.- El modlo d Jnss stá considrado como la fórmula más prcisa para prdcir la statura d niños n dad prscolar. Si h s la altura (n cm) y la dad (n años), ntoncs..99 h = para a) Calcul la altura y la rapidz (o tasa) d crciminto d un niño típico d un año d dad. b) A qué dad s mayor la rapidz d crciminto? A qué dad s mnor?.- La rapidz R con la qu un tumor crc stá rlacionada con su tamaño K por la cuación R = r, dond r y K son constants positivas. Dmustr qu l tumor crc más rápidamnt cuando = K DICIEMBRE DE 7

7 .- Calcul las intgrals siguints, intgrando dirctamnt. a d ( 8 ) ( ) d pd n ( )( ) d ( a ) d ( )( ) d ( )( ) d d d d d 7 d d 7 d d 8 d.- Calcul las intgrals siguints por un cambio d variabl d d ( ) d d d d 7 ( ) d d, d d d d a b, d d d, d ( ) d ( arc) d d d arc d d ( ) d d d d d d ( a b)d dy d y a b d d 7 d u = u = u = DICIEMBRE DE 7 7

8 DICIEMBRE DE Rsulva las intgrals siguints usando idntidads trigonométricas. d d d d d d d d cot tan d d d d d d d tan tan cot tan d d d d d d d ( ) d d d d d tan d d d ( ) ( ) d d d b a b a.- Rsulva las intgrals siguints por l método d sustitución trigonométrica d d d d d d a 7 d d d.- Rsulva las intgrals siguints por l método d intgración por parts arcd d d arctan d d d ( ) d d d d d d ( )d arcd d arctan

9 d d d a d ( ) d bd d d d 7.- Rsulva las intgrals siguints por l método d fraccions parcials 9 d ( )( ) d ( )( )( ) d d d ( ) d ( )( ) ( )( ) d ( ) d d 8 7 d ( ) d 7 d d ( ) d ( ) 8.- Rsulva las intgrals siguints tanh d d d d d ( ) ( ) d d ( ) d ( ) d d 9 d d arctan d ( arctan ) sc d d ( arc) arc d d d arc tan d d d 9.- Calcul las intgrals dfinidas siguints ( w w ) d ( ) d dw d d, < < f ( ) d si f ( ) =, < <, < < DICIEMBRE DE 7 9

10 .- Es cirto qu = d?.- Evalú las intgrals siguints a) d d) d g) b) d ) d h) c) d f) d d nd = n n ( ) ( ) ( n ).- La función Gamma s dfin por ( ) n Γ n = d, para a) Dmustr qu Γ () = b) Dmustr qu Γ( n ) = nγ( n) ( ) n n >. O bin por Γ n = d, para n >. c) D los incisos antriors s obsrva qu si n s un ntro no ngativo Γ n = n n =,,,...,. ( )!. Vrifiqu sto para d) Dl hcho d qu d =, haga una tabla dond mustr los valors d Γ( n ) para n =,,,,,..- Rprt la rgión R acotada por las gráficas d las cuacions y calcul l ára d la misma a) y =, y = d) y =, y =, =, = b) y =, y = ) y =, y =, =, = c) y =, =, =.- Calcul l volumn dl sólido gnrado al girar la rgión acotada por las gráficas d y = y y = a) alrddor dl j d) alrddor d la rcta y = b) alrddor dl j y ) alrddor d la rcta = c) alrddor d la rcta y =.- La rgión itada por las gráficas d y =, y =, =, = gira alrddor dl j y. Calcul l volumn dl sólido rsultant. DICIEMBRE DE 7

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