DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES OBJETIVO Y RESTRICTIVA PARA LA CALIBRACIÓN DE UN REFLECTÓMETRO HEXAPORTAL

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1 Smposo de Metrología 5 al 7 de Octubre de 006 DEFINICIÓN DE LS FUNCIONES OBJETIVO Y RESTRICTIV PR L CLIBRCIÓN DE UN REFLECTÓMETRO HEXPORTL C.. Bonlla Barragán *,. Dueñas Jménez *, H. Jardón gular e I. García Ruz * Departamento de Electrónca, Unversdad de Guadalajara v. Revolucón No. 500, 80 Guadalajara, Jalsco, Méxco Tel. y Fax.: , emal: CINVESTV, v. IPN 508, 0760 Méxco, D. F. CENM, Carr. Los Cués m.5, 76 El Marqués Qro. Resumen: Con el fn de calbrar un reflectómetro hexaportal, en este artículo se descrben los procedmentos para defnr una funcón objetvo (funcón de error) que se representa por una ecuacón smple y una funcón restrctva que se expresa por dos necuacones. smsmo, se descrben los crteros para elegr los puntos base de nco para cada una de las varables nvolucradas.. INTRODUCCIÓN un cuando los crcutos electróncos en baja y alta frecuenca comparten algunos prncpos de operacón, los modelos matemátcos utlzados para su representacón dferen notablemente. bajas frecuencas (debajo de 00 MHz) la dferenca dmensonal entre la larga longtud de onda de la señal aplcada y el pequeño tamaño físco de los elementos crcutales es, por lo general, lo sufcentemente grande (aproxmadamente dos ordenes de magntud) como para poder consderar certa ndependenca de la varable espacal en el modelo espaco-temporal electromagnétco, permtendo así el uso de métodos crcutales de análss y síntess que nvolucran condcones de crcuto corto y crcuto aberto. Por otro lado, cuando la longtud de onda de la señal aplcada dsmnuye hasta llegar a las altas frecuencas (arrba de 00 MHz), la dferenca dmensonal entre ésta y el tamaño físco del los elementos crcutales es por lo general pequeña y por tanto es necesaro nterpretarla como una onda vajera crculante o estaconara, ya que no es posble realzar una smplfcacón que gnore a la varable espacal puesto que los parámetros característcos del crcuto camban en funcón de la msma. hora ben, la exgenca de conocer con detalle las característcas eléctrcas descrptvas de los dspostvos y crcutos de mcroondas (00 MHz a 00 GHz) hace necesaro el uso de nstrumentos y técncas de medcón que manejen y procesen la nformacón contenda en las ondas vajeras de las señales aplcadas. Esta nformacón debe ser extraída de la ampltud y fase de dchas ondas, pero la medcón drecta de la fase en hperfrecuencas es un proceso muy complcado que a muy altas frecuencas se vuelve extremadamente dfícl y que se prefere evtar aun a costa de tener que recurrr a técncas complejas de conversón de frecuenca. Los sstemas que utlzan heterodnacón para obtener una réplca de la señal a una frecuenca más baja donde es mucho más fácl la medcón de fase (típcamente en Hz), requeren de una nstrumentacón costosa que ncluye detectores de ampltud y fase y sntetzadores de frecuenca como fuentes de señal. Una técnca de medcón alternatva que se basa en el concepto de reflectometría hexaportal []-[], elude el requermento de conversón de frecuenca ya que obtene la fase como una cantdad dervada de múltples medcones de ampltud en dferentes puntos especales. La señal que se aplca se separa y combna en sus partes ncdente, reflejada y transmtda por medo de una estructura separadora de señal pasva que se puede realzar con elementos dstrbudos [5] o con elementos concentrados [6]. Esta técnca se representa por un modelo matemátco que consste de un sstema sobredetermnado de ecuacones no lneales que puede ser fáclmente resuelto y aunque dcha técnca presenta algunas desventajas éstas son amplamente compensadas por sus ventajas [7]. demás, esta opcón de medcón ha sdo el orgen de muchos procedmentos práctcos para la calbracón de reflectómetros [8]-[] y analzadores de redes de mcroondas (RMs) [], []. Un enfoque generalzado que maneja varas técncas de calbracón de RMs se presenta en [].

2 Smposo de Metrología 5 al 7 de Octubre de 006. DESCRIPCIÓN DE L TÉCNIC DE CLIBRCIÓN Las dferencas fundamentales entre los dstntos procedmentos de calbracón se encuentran en la manera en que se orgnan y determnan sus parámetros, en el número de patrones requerdos, en la defncón de la funcón de error, en las técncas que se utlzan para la obtencón y mnmzacón de la msma y en los métodos usados para la solucón del sstema fnal de ecuacones. lgunas metodologías buscan todos los parámetros de calbracón smultáneamente partendo de la relacón entre varas medcones de potenca y el coefcente de reflexón Γ [] dada por para =, Ia +Jb I Γ+J P = = Ca + Db C Γ + D P 5y6, donde P = ( P ) / ; () es la raíz cuadrada de la potenca en los puertos 5y6, normalzada a la potenca en el puerto e I, ( =, 5y6), C y D son constantes complejas de la estructura separadora de señal de un analzador de reflexón hexaportal. Los métodos más smples, con el menor número de patrones y formulacones sencllas, son aquellos en los que se hacen factorzacones dferentes de las constantes del sstema (prmordalmente ntrínsecas a la estructura separadora de señal) [7] y en los que se realza una segmentacón de la transformacón blneal [5], [6] dada por () para lograr un número menor de varables o parámetros (ntermedos) de calbracón. El procedmento descrto por Yeo y ng [7] fragmenta a () de la sguente manera: P Γ + =B P Γ + J () donde Γ (=0, y), corresponde a cuatro patrones de calbracón dferentes y conocdos, I = J, = C J, y B D = ; para D = 5y6., Las cuatro constantes complejas,, 5 y 6 y las tres escalares B, B 5 y B 6 consttuyen los once parámetros reales que se requere determnar a través de la calbracón. S se usan una carga acoplada de precsón ( Γ 0 =0 ) como el prmer patrón para determnar los tres parámetros escalares B, y tres cortos desplazados ( Γ =exp j( π - φ) ; para = y, con φ =, φ = φ + π, φ = φ - π 0 ) como los restantes patrones para determnar los cuatro parámetros ( = 5y6),,, entonces () se puede rescrbr como o como R - exp(j φ ) = - exp(j φ ) = x () Γ + R = Γ + ; () para = 5y6, e = y,, donde / P R =. (5) B P La ecuacón () representa a cuatro conjuntos de tres crcunferencas en el espaco complejo de dos dmensones en cuya nterseccón común se encuentra (Fg. ). No obstante en este trabajo, () será expresada por R - exp(j φ ) = - exp(j φ ) = x. (6) De esta manera, con la ntroduccón de las varables ntermedas x, se aumenta a doce el número de varables ndependentes que es necesaro evaluar y que en este caso son las ocho ncógntas reales contendas en las constantes complejas, pero este ncremento se justfca ya que la funcón de error se obtene más fáclmente debdo a que la

3 Smposo de Metrología 5 al 7 de Octubre de 006 varacón de x es ndependente en cada plano como se demostrará en seguda. Para determnar los valores de x, x y x que smultáneamente satsfacen la condcón de un punto común de nterseccón de las tres crcunferencas en cada plano, se defne una funcón objetvo de error (multvarable y restrngda) que debe ser mnmzada, una funcón restrctva dada por una ecuacón de gualdad o por una desgualdad y puntos base ncales para cada una de las varables nvolucradas. Las funcones y los puntos base propuestos por Yeo y ng están dados de la sguente manera (Fg. ): - La funcón objetvo se defne por la suma de los cuatro perímetros del trángulo de error que se forman en la vecndad de las nterseccones de las tres crcunferencas de cada plano.. OBTENCIÓN DE LS FUNCIONES OBJETIVO Y RESTRICTIV La Fg. muestra el trángulo de error en un determnado plano. Para hallar el perímetro (o el área) de este trángulo, prmeramente se determnan sus vértces a través del cruce de la cuerda común (o eje radcal s las crcunferencas no se ntersectan) a dos de las crcunferencas con la tercer crcunferenca. Este proceso se lleva a cabo consderando que un teorema de la geometría analítca establece que una crcunferenca que cruce por las nterseccones de otras dos crcunferencas dadas tendrá una ecuacón que es funcón de estas últmas [7]. R x o R x exp(j φ ) Im[ K ] Cuerda, Unt aro Tríangulo de Error C uerda, - La funcón restrctva se defne consderando que para un reflectómetro hexaportal ben dseñado, debe estar ubcado dentro del círculo untaro lo cual mplca que 0 x ( = y)., exp(j φ ) exp(j φ ) R x o R x Re[ K ] - Los puntos base se elgen consderando un sstema deal para el cual = 0 (el orgen del plano complejo) y por tanto R = x = ( = y)., R x o R x C uerda, R x o R x exp(jφ ) Im[ K ] Cuerda, Punto Untaro Cuer da, exp(jφ ) R x o R x Re[ K ] Fg. Trángulo de error en el plano complejo. De esta manera, s las ecuacones de las crcunferencas C que se ntersectan (dos a la vez), están dadas por x +y +Dx+Ey+F = 0 ; (7) exp(jφ ) R x o R x C uer da, para = y,, entonces, las ecuacones de las crcunferencas que cruzan por tales nterseccones, para cada combnacón de dos crcunferencas ntersectadas, estarán dadas por Fg. Punto (parámetro de caracterzacón) en el plano complejo. j j j j j j j x +y +D x +E y +F ( j j j j ) +G x +y +D x +E y +F = 0 (8)

4 Smposo de Metrología 5 al 7 de Octubre de 006 para j = y, = ycon j, donde G es un parámetro real que genera la famla de todas las crcunferencas posbles para cada combnacón (excepto para G=-). Para G=-, la crcunferenca resultante tendrá su centro en (, ) y por tanto un rado nfnto, la cual representa una recta que será la cuerda común a las crcunferencas ntersectadas. La ecuacón de esta recta está dada por ( Dj -D) x j + ( Ej -E) y j + ( Fj -F ) = 0 (9) y para ( Dj -D) 0 y ( Ej -E) 0, (8) puede expresarse en térmnos de sus varables x j y y j de la manera sguente: E -E F -F x j = y + D -D D -D, (0) j j j j j D -D F -F y j = x + E -E E -E ; () j j j j j para j = y, = ycon j. sí pues, los puntos vértce serán los cruces de estas cuerdas comunes con la crcunferenca restante (la crcunferenca no nvolucrada en la formacón de cada cuerda común). Las coordenadas de estos cruces se obtenen de la solucón de las ecuacones cuadrátcas que resultan de la substtucón (una a la vez) de las varables x j y y j en la ecuacón de la crcunferenca ((7) con x j y y j ). Estas ecuacones se pueden expresar de la sguente manera: ( D -Dj) ( Ej -E) + xj ( F ) -Fj D -Dj Ej -E Ej -E ( F ) -Fj F -Fj Ej -E Ej -E + +E +D x j () + + E +F = 0 ( E -Ej) ( Dj -D) + y j ( F ) -Fj E -Ej + +D +E y ( D ) j -D D j -D ( F ) -Fj F -Fj + + D +F = 0 ( D ) j -D Dj -D j para = y,, j = y, = y con j. () Con el fn de evtar la ambgüedad de la doble raíz ( xa j, xb j y ya j, yb j ) en las ecuacones anterores y encontrar así los valores correctos de las coordenadas de cada vértce, se establece un crtero de seleccón para dscernr entre las dos solucones. sí, puesto que durante el proceso de optmzacón el perímetro del trángulo de error se rá reducendo hasta llegar a un punto óptmo que estará muy cercano al punto de cruce de las cuerdas comunes de las tres crcunferencas, y puesto que de gual manera los puntos vértce estarán cercanos a este punto de cruce, entonces, dcho punto de cruce se puede usar como referenca para evaluar las dstancas entre él msmo y el punto de cada solucón. De esta manera, el punto de solucón que corresponde a la dstanca más pequeña será el vértce buscado. El punto cruce ( jlm jlm ) XP x,y, se obtene encontrando el cruce de cualesquera dos de las cuerdas comunes a través de las ecuacones sguentes: y jlm ( Ej -E)( Fm -F l) + ( El -Em)( Fj -F) ( j )( l m) ( l m)( j) x = E -E D -D + E -E D -D () jlm ( Dj -D)( Fm -F l) + ( Dl -Dm)( Fj -F) ( j )( l m) ( l m)( j) Y = D -D E -E + D -D E -E, (5) para las combnacones: j =, =, l = ym=,

5 Smposo de Metrología 5 al 7 de Octubre de 006 j =, =, l = ym=, j =, =, l = ym=. IP = j= = SL j con j, (9) Teórcamente, los valores de los puntos de cruce XP ( x jlm,y jlm ) que se obtenen de las anterores ecuacones deben ser guales para todas las combnacones. Expermentalmente sn embargo, errores en las lecturas, nexacttudes durante el proceso de cómputo y otras fuentes de error llevan a una dscrepanca entre estos puntos de cruce. Debdo a esto, se defne un nuevo punto de cruce XPM x,y, el cual es el valor promedo medo medo de los tres anterores. Con este nuevo punto cruce como referenca se comparan las dos raíces, y como se menconó antes, la más cercana a esta referenca será el vértce buscado V= ( u,v ), donde y u = mn( xaj - x medo, xbj - x medo ), (6) v = mn( yaj - y medo, ybj - y medo ); (7) para = y., Una vez que se obtenen estos tres vértces, se pueden calcular las dstancas entre ellos y se puede formar el trángulo de error sobre el plano correspondente. Las ecuacones para estas dstancas, las cuales son las longtudes de los lados del trángulo, están dadas por SL j = ( u - u j ) + ( v - v j ) ; (8) para j = y, = y con j. Cuando ya es conocdo el contorno del trángulo de error, la funcón objetvo de error se puede defnr en dos formas; como el área total o como el perímetro total dados por las sumas de las áreas o perímetros ndvduales respectvamente. Una buena eleccón es la segunda debdo a que la prmera es representada por una matrz que nvolucra a más varables. sí, s el perímetro de un trángulo ndvdual esta dado por entonces, el perímetro total, que es la funcón de error a mnmzar, puede ser expresado por 6 TP = IP. (0) q= Fnalmente, aquí la funcón restrctva se defne consderando que para un reflectómetro hexaportal ben dseñado, debe caer dentro del círculo untaro lo cual sgnfca que 0 R x y que = R x para un valor fjo de e = y, (Fg. ) [8]. exp( j φ ) = h d e c f b g a 0.0 a exp( j φ ) = - b a= b= c= d= e=.75 f =. g=.5867 h=.705 =.8776 j=.985 =.9889 l= Fg. Representacón gráfca de los posbles valores de los rados (entre 0 y )de una de las crcunferencas para un punto de nterseccón común ( ) dentro del círculo untaro en el plano complejo. l hacer una revsón de la Fg. se puede observar que l es el valor máxmo que puede tomar cualquer rado R x para un valor de que se encuentre contendo dentro del círculo untaro 0 R x. demás, en otra revsón de la Fg. en conjuncón con alguna de las Fgs., 5 6 ó 7, se c q l d e f Untaro exp( j φ ) = j g h 5

6 Smposo de Metrología 5 al 7 de Octubre de 006 puede notar que para cada plano, la suma de los rados de las crcunferencas para un valor determnado será R x. = exp( j φ ) = Im 5 Untaro R5x = 0.5 = º exp( j φ ) = Im Rx Untaro R5x R5x Re 5 exp( j φ ) = ( φ ) exp j = exp( j φ ) = - Re = 0.5-0º Rx Plano 5 Rx = 0.5 Fg. 6 Representacón deal del plano 5. exp( j φ ) = - Im 6 Plano Fg. Representacón deal del plano. exp( j φ ) = R6x Untaro 6 = 0.5 0º Im exp( j φ ) = R6x = 0.5 Re 6 exp( j φ ) = Rx = Untaro R6x = 0.0 0º exp( j φ ) = exp( j φ ) = - Re Rx = Plano 6 Rx = exp( j φ ) = - Fg. 7 Representacón deal del plano 6. Plano Fg. 5 Representacón deal del plano.. CONCLUSIONES Consderando los aspectos teórcos aquí propuestos pero prncpalmente los resultados práctcos dados por la construccón físca y uso de un reflectómetro hexaportal automátco [9], se puede conclur que 6

7 Smposo de Metrología 5 al 7 de Octubre de 006 las funcones objetvo y restrctva aquí presentadas, sustentan ben al método de calbracón de cuatro patrones. REFERENCIS [] C.. Hoer, The sx-port coupler: new approach to measurng voltage, current, power, mpedance, and phase, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-, pp , Nov. 97. [] G. F. Engen and C.. Hoer, pplcaton of an arbtrary 6-port juncton to power measurement problems, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-, pp. 70-7, Nov. 97. [] G. F. Engen, The sx-port reflectometer: n alternatve networ analyzer, IEEE Trans. Mcrowave Theory Tech., vol. MTT-5, pp , Dec []. Dueñas Jménez, La reflectometría de 6 puertos: Una opcón para la enseñanza e nvestgacón en hperfrecuencas, n 99 IEEE MEXICON Int. Symp. Dg., pp [5]. Dueñas Jménez,. Serrano Santoyo, and F. J. Mendeta, On the synthess of some rng junctons for sx-port measurement applcatons, Mcrowave and Optcal Tech. Lett., vol. 5, pp , Oct. 99. [6]. Dueñas Jménez, Lumped-and dstrbutedelement equvalent crcuts for some symmetrcal multport sgnal-separaton structures, IEEE Trans. Mcrowave Theory Tech., vol. MTT-5, pp.57-5, Sep [7]. Dueñas Jménez, Estudo de estructuras hexaportales aplcables a analzadores de redes de mcroondas, Ph. D. thess, Centro de Investgacón Centífca y de Educacón Superor de Ensenada (CICESE), Ensenada, B. C., Méxco, 99. [8] G. F. Engen, Calbraton of an arbtrary sx-port jucton for mesurement of actve and passve crcut parameters, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-, pp , Dec. 97. [9] H. M. Cronson and L. Susman, new calbraton technque for automated broadband mcrowave measurements, n Proc. 6th nnu. Eur. Mcrowave Conf., Sep. 976, pp [0] C.. Hoer, Calbratng two sx-port reflectometers wth an unnown length of precson transmsson lne, n 978 IEEE MTT-S Int. Mcrowave Symp. Dg., June 978, pp [] G. F. Engen Calbratng the sx-port reflectometer by means of sldng termnatons, IEEE Trans. Mcrowave Theory Tech., vol. MTT- 6, pp , Dec [] D. Woods, nalyss and calbraton theory of the general 6-port reflectometer employng four ampltude detectors", Proc. Inst. Elec. Eng., vol. 6, pp. -8, Feb [] C.. Hoer, Calbratng a sx-port reflectometer wth four mpedance standards, NBS Tech. Note 0, Nat. Inst. Standards Tech., Mar [] P. I. Somlo and J. D. Hunter, sx-port reflectometer and ts complete characterzaton by convenent calbraton precedures, IEEE Trans. Mcrowave Theory Tech., vol. MTT-0, pp. 86-9, Feb. 98. [5] S. L and R. G. Bosso. Calbraton of multport reflectometers by means of four open/short crcuts, IEEE Trans. Mcrowave Theory Tech., vol. MTT-0, pp , July 98. [6] G. P. Rblet and E. R. B. Hansson, spects of the calbraton of a sngle sx-port usng a load and offset reflecton standards, IEEE Trans. Mcrowave Theory Tech., vol. MTT-0, pp. 0-5, Dec. 98. [7] D. Woods, Smplfed calbraton technque for general sx-port reflectometer requrng only two coaxal arlne standards, Proc. Inst. Elec. Eng., vol. 0, pp. 50-5, May 98. [8] N.. El-Deeb, The calbraton and performance of a mcrostrp sx-port reflectometer, IEEE Trans. Mcrowave Theory Tech., vol. MTT-, pp , July 98. [9] L. Susman, Calbraton of sx-port reflectometer usng projecton geometry concept, Electron. Lett., vol. 0, no., pp. 9-, 98. [0] J.. Dobrowolsy, E. Brdges, and L. Shafa, calbraton method for a sx-port reflectometer whch mnmzes the effect of power measurement errors, n 98 IEEE MTT-S Int. Mcrowave Symp. Dg., pp [] J. D. Hunter and P. Y. Somlo, n explct sxport calbraton method usng fve standards, IEEE Trans. Mcrowave Theory Tech., vol. MTT-, pp. 69-7, Jan [] M. E. Balows and G. S. Woods, Calbraton of the sx-port reflectometer usng a mnmum number of nown loads, rch. Electron. Ubertragtech, vol. EÜ-9, pp. -8, May 985. [] T. Osh and W. K. Kahn, Stoes vectors representaton of the sx-port networ analyzer: Calbraton and measurement, n IEEE MTT-S Int. Mcrowave Symp. Dg., pp , 985. [] C. Z. Quan, n mproved method for sx-port reflectometer calbraton, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-, pp. 6-65, Dec [5] F. M. Ghannouch and R. G. Bosso, new sx-port calbraton method usng four standards and avodng sngulartes, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-6, pp. 0-07, Dec

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