CAPÍTULO. Funciones. y D f.x/ f.x/ Œx; f.x/ x x

Transcripción

1 PÍTULO Funciones. Gráfica de una función real de variable real Definimos la gráfica G f de una función f real de una variable real como: G f def D {.; / R R D R Df & D f./ } : La epresión anterior se lee: La gráfica G f de una función real de una variable real es igual al conjunto de los puntos que pertenecen a R (ubicados en el plano cartesiano) tales que pertenece al dominio de f & es igual a f./". D f./ Gf f./ Œ; f./ Una condición necesaria suficiente para que una curva plana sea la gráfica de una función es que cualquier recta vertical corte a la curva en a lo más un punto. canek.azc.uam.m: / / 008

2 álculo Diferencial e Integral I D a D f./ a Esto es, la recta vertical D a debe cortar a la curva en un punto si a D f. En caso contrario, si a 6 D f, entonces la recta vertical D a no corta a la curva. sí una curva de esta forma: No puede ser la gráfica de función alguna, pues ha ciertas rectas verticales que la cortan en más de un punto. Recordemos que la proección ortogonal de un punto sobre un eje es el punto donde la perpendicular al eje que pasa por el punto corta al eje. es la proección ortogonal de sobre el eje. En la siguiente figura se muestra que es la proección ortogonal del punto sobre el eje que es la proección ortogonal del mismo punto sobre el eje.

3 . Gráfica de una función real de variable real Dada la gráfica de una función f, la proección ortogonal de todos sus puntos sobre el eje es el dominio D f de la función su proección ortogonal sobre el eje es su rango R f. demás dado un número a D f, la ordenada del punto donde la recta D a corta a la gráfica de la función f es el número f.a/. f.a/ a D D D f D D ; R f D De manera que, dada la gráfica de una función, conocemos a ésta completamente, pues podemos determinar su dominio su rango, dado a D f podemos hallar f.a/. hora bien, dada una función D f./, es frecuente intentar tener una noción de su gráfica generando un conjunto de puntos de ella, lo cual se logra dando valores arbitrarios a D f obteniendo las imágenes D f./ correspondientes. Se genera así una tabla de valores donde cada D f es la abscisa la imagen D f./ es la ordenada de un mismo punto P.; /. Esto es, P.; / a f.a/ Œa; f.a/ f. / Œ ; f. / f. / Œ ; f. / b f.b/ DŒb; f.b/ Ejemplo.. Trazar la gráfica de la función f./ D.

4 álculo Diferencial e Integral I H quí f es la función que a cada número real le asocia siempre el mismo número que es D. hora bien, sabemos que la ecuación D representa la línea recta horizontal que corta al eje en el número. Por lo tanto la gráfica de la función f./ D es la recta horizontal D. lgunos puntos de la gráfica de f./ D son: f./ P.; /. ; / 0.0; /.; / D.; / D D 0 Nótese que el dominio de esta función es D f D R su rango es R f D f g. Ejemplo.. osquejar la gráfica de la función g./ D. H quí g es la función que a cada R le asocia su imagen D. demás sabemos que la ecuación D representa a la línea recta que biseca a los cuadrantes primero tercero del plano cartesiano. Por lo tanto la gráfica de la función g./ D es la recta D. lgunos puntos de la gráfica de g./ D son: f./ P.; /. ; / 0 0.0; 0/.; / D.; /

5 . Gráfica de una función real de variable real D D Observamos que el dominio de esta función es D g D R su rango es R g D R. Ejemplo.. Trazar la gráfica de la función h./ D. H quí h es la función que a cada R le asocia la imagen D. demás sabemos que la ecuación D representa a la recta. D m b/ que tiene pendiente m D ordenada en el origen b D. Dos puntos de esta recta son D 0 ) D.0/ D 0 D ).0; / I D ) D./ D D ).; / : Por lo tanto, la gráfica de la función h./ D es la recta D que pasa por los puntos.0; /.; /. lgunos puntos de la gráfica de h./ D son: f./ P.; / E. ; / F. ; / 0.0; / = 0.=; 0/.; / D.; /

6 6 6 álculo Diferencial e Integral I D E F D Obsérvese que el dominio de esta función es D h D R su rango es R h D R. Ejemplo.. osquejar la gráfica de la función f./ D. H quí f es la función que a cada R le asocia su imagen D. uatro puntos de la gráfica son D ) D. / D ) 0. ; /.; / I D ) D. / D ) 0. ; /.; / : Por lo tanto la gráfica de la función f./ D es la parábola D que tiene su vértice en V.0; 0/ que pasa por los puntos 0. ; /; 0. ; /;.; /.; /. D 0 0 El dominio de esta función es D f D R su rango es R f D Œ0; /. Ejemplo.. osquejar la gráfica de g./ D con <. H Sabemos que la ecuación D representa a la recta. D m b/ que tiene pendiente m D ordenada en el origen b D.

7 7. Gráfica de una función real de variable real 7 omo el dominio de g es el intervalo <, la gráfica de g es el segmento de tal recta D que tiene por etremos a los puntos siguientes D ) D. / D D ). ; / I D ) D./ D 6 D ).; / : Notemos que el punto sí pertenece a la gráfica pero el punto no está en la gráfica de g. D También que el rango es el intervalo R g D Œ ; /. Puntos mu importantes de la gráfica de una función son aquellos donde ella interseca el eje de las abscisas. Recordemos que se denomina raíz de la función D f./ a todo número D r tal que f.r/ D 0. Por ejemplo. ; 0/. ; 0/. ; 0/ En esta figura los números ; & son raíces de la función D f./ a que f. / D f. / D f. / D 0:

8 8! 8 álculo Diferencial e Integral I Ejemplo..6 (ver las gráficas anteriores) H. La función f./ D no tiene raíces, a que la recta D nunca interseca al eje.. La función g./ D tiene sólo una raíz que es D 0, a que g./ D 0, D 0.. La función h./ D tiene una sola raíz que es D, a que: h./ D 0, D 0, D, D :. La función f./ D tiene una única raíz en D 0, a que: f./ D 0, D 0, D 0:. La función g./ D con < tiene una raíz, a que g./ D 0, D 0, D, D : Ejercicios.. Soluciones en la página 0. La ecuación D representa a una circunferencia de radio centro en el origen. Puede considerarse a esta curva como la gráfica de una función? Justifique su respuesta.. La ecuación D representa a una parábola en el plano. Puede ser considerada esta parábola como la gráfica de una función D f./? Justifique su respuesta. Las curvas siguientes son gráficas de funciones los puntos no pertenecen a dicha gráfica. Determinar dominio, rango el número de raíces de cada función...7; / D f./. ; 7/

9 (' ) +*, & 9. Gráfica de una función real de variable real 9..8; / D f./ %$.7; / #". ; /. P.; 9/ «; 6 R.7; 6/ - D f./.; 0/ Q.; / Mediante una tabla de valores, obtener un bosquejo de la gráfica de las funciones siguientes. Determinar además (en cada caso) dominio, rango raíces de la función. 6. f./ D. 7. g./ D. 8. h./ D con < < f./ D con <. 0. g./ D con <.

10 0 / 6 87 ; :9? >= 0 álculo Diferencial e Integral I Ejercicios.. Gráfica de una función real de variable real, página 8. No es la gráfica de una función.. No es la gráfica de una función.. D f D. ; 7/; R f D. 7; /; f./ tiene raíz.. D f D. ; 8 f 7 g; R f D. ; f g; tiene raíces. ( ). D f D ; [.; 7 ; 6. R f D Œ ; 9 ; tiene raíces. 8. raíces: D & D. «D ; 9.. ; / D h D 8 «8 ; ( ; 8 ) ; R h D f g; no tiene raíces. D D 0.; / D.; 7/. ; /..0; /.; / D f D Œ ; /; R f D. ; ; tiene raíz: D. 7. D f D R ; R f D R ; raíz: D. 0..0; / D D. ; 0/ 9 «; 9. ; / E.; /. ; 0/ D.; 0/.0; / D g D R ; R g D Œ ; /; ( D g D ; tiene raíz: D. ] [ ] 9 ; R g D ; ;