Definición matemática de Relación y de Función

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1 Fecha: 05/0 Versión: DOCENTE: ANTONIO ELI CASTILLA Definición matemática de Relación de Función En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno sólo un valor del Recorrido. El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas. Cuando se formula una expres ión que liga dos o más objetos entre s í, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo: Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma) Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que: S ---> I Se llama relación entre los conjuntos A B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relac ión entre los elementos de un mis mo conjunto. Ejemplo de dominio rango Sea A = {,,, 4} B = {4, 5, 6, 7, 8} R la relación definida de A en B determinada por la regla es el doble de x o = x, encontrar dominio rango de la relación. Solución El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es: A x B = {(, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (, 4), (, 5), (, 6), (, 7), (, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)} Pero los pares que pertenecen a la relación R ( = x) son solo: R = {(, 4), (, 6), (4, 8)} En esta relación vemos que: 4 es el doble de ; esto es, 4 es la imagen de bajo R, dicho de otro modo, es pre imagen de 4. Así, el dominio rango son: D = {,, 4} Rg = {4, 6, 8} Según lo que vemos, Qué relación ha entre el Dominio el conjunto de partida?

2 Versión: En el Dominio falta el elemento del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A. Otra pregunta: Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango? La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 el 7. Un ejemplo de una representación sagital es: El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), la vertical, eje de las ordenadas o de las es, (); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El eje horizontal se le llama x por defecto el eje vertical se llama, por defecto. Cualquier punto en el plano se identifica por dos valores, la distancia al eje, llamada abscisa, la distanc ia al eje x, llamada ordenada, estos dos valores se llaman coordenadas (x, ). El Par Ordenado (a, b) Satisface la Relación Es para comprobar relac iones. Se dice que (a, b) satisface una relación si al sustituir x=a =b en ésta, el enunciado resultante es verdadero. Si el par ordenado satisface la relación se dice que el punto correspondiente a las coordenadas (a, b) en el sistema de coordenadas cartesianas pertenece a la gráfica de la relación. Pasos para determinar si (a, b) pertenece a la gráfica de una relación

3 Versión: En un plano cartesiano. Paso : Sustituir x=a =b en la relación. Paso : Simplificar Paso : Determinar si la expresión resultante es cierta. En caso afirmativo, el punto (a, b) pertenece a la gráfica de la relación. Si la expresión es falsa, entonces el punto (a, b) no pertenece a la gráfica de la relación. Ejemplo: Dada la relación = x, determine si el punto (,-) pertenece a la relación. Paso : Sustituir x= =- en la relación -= - () Paso : Simplificar. - = - 4 -=- Paso : Determinar si la expresión resultante es cierta? Sí. Conclusión: El punto (, -) pertenece a la gráfica de la relación. Pasos para Encontrar la Gráfica de una relación. Paso : Construir una tabla de valores para x. x--0 Paso : Para cada valor de x encontrar el valor que satisfaga la relación. Paso : Completar la tabla. Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano x Paso 5: Puedes hacer la curva que forman estos puntos? En caso afirmativo, dibuja la gráfica (ubicar la curva de forma adecuada a través de los puntos dados). Si no, vuelva al paso añada más valores x en la tabla. Ejemplo : Construir la gráfica de: =- x - Paso : Construir una tabla de valores para x. x--0 Paso : Para cada valor de x encontrar el valor que satisfaga la relación. Si x=-, entonces =- (-) - = Si x=-, entonces =- (-) - = Si x=0, entonces =- (0) - =- Si x=, entonces =- () - =- Si x=, entonces =- ()-=-5 Paso : Completar la tabla. x

4 Versión: Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano x Pasó 5: Puedes hacer la curva que forman estos puntos? Ya ha suficientes puntos para reconocer que es una recta con intercepto en x igual a -0.5 intercepto en igual a -. Ejemplo Construir la gráfica de: = x - Paso : Construir una tabla de valores para x. x--0 Paso : Para cada valor de x encontrar el valor que satisfaga la relación. Si x=-, entonces = (-) = Si x=-, entonces =(-) = - Si x=0, entonces = (0) = - Si x=, entonces = () = - Si x =, entonces = () = Paso : Completar la tabla. x Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano x 4

5 Versión: Paso 5: Puedes hacer la curva que forman estos puntos? Ya ha suficientes puntos para reconocer que es una parábola con interceptos en x igual a - intercepto en igual a -. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES Propiedad Reflexiva: 5

6 Versión: Propiedad Simétrica Diremos que R es simétrica si a, b A: a R b b R a. Gráficamente se representa así: Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal principal. Si la relación R es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una flecha la tiene en las dos direcciones. 6

7 Versión: Propiedad Transitiva Diremos que R es transitiva si a, b, c A: [a R b b R c] arc Gráficamente la podemos representar así: La relación R es transitiva si cada vez que ha un camino entre tres elementos, también está la flecha que comienza en el principio del camino va al elemento que es final del camino. FUNCION Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto s olamente sale una única flecha. No estamos en presencia de una función cuando: De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos que obtiene un valor. A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función. Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función. CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES Función Inectiva: Una función es Inectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, ) pertenecientes a la función, las no se repiten. Para determinar si una función es Inectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las (las ordenadas) se repiten o no. Función Sobreectiva: Sea f una función de A en B, f es una función epiectiva (también llamada Sobreectiva), si sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un con junto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio. Ejemplo: A = {a, e, i, o, u } 7

8 Versión: B = {,, 5, 7} f={(a,),(e,7),(i,),(o,5),(u,7)} Simbólicamente: f: A B es Biectiva Û f es Inectiva f es Sobreectiva Función Biectiva: Sea f una función de A en B, f es una función Biectiva, si sólo si f es Sobreectiva e Inectiva a la vez. Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inectiva. En cambio, la función es Sobreectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA. Ejemplo: A = {a, e, i, o, u} B = {,, 5, 7, 9} f={(a,5),(e,),(i,9),(o,),(u,7)} Teorema: Si f es Biectiva, entonces su inversa f - es también una función además Biectiva. Bibliografías representación gráfica de relaciones propiedades de las relaciones EJERCICIOS FUNCIONES Ejercic io nº.- Halla el dominio de definición de las funciones siguientes: a) x b) x x Ejercic io nº.- Asocia a cada gráfica su ecuación: a) x 5 b) x c) d) 5 x 4x I) II) 8

9 Versión: III) IV) Ejercic io nº.- Representa la gráfica de la siguiente función: x 5 Ejercic io nº 4.- Halla la expresión analítica de la recta cua gráfica es: Ejercic io nº 5.- Representa la gráfica de la siguiente función: x 4 Ejercic io nº 6.- Representa gráficamente: x x si x si x Ejercic io nº 7.- Con 00 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared: a) Llama x a uno de los lados de la valla. Cuánto valen los otros dos lados? b) Construe la función que nos da el área del recinto. Ejercic io nº 8.- Haz la gráfica de la función: 0,5 x,5 Ejercic io nº 9.- Halla la ecuación de la recta que pasa por, cua pendiente es. Ejercic io nº 0.- Representa gráficamente la siguiente función: fx x 4x Ejercic io nº.- Dibuja la gráfica de la función: x / x si x si x 9

10 Versión: Ejercic io nº.- Un cántaro vac ío con capacidad para 0 litros pesa 550 gramos. Escribe la función que nos da el peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene. Ejercic io nº.- Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) b) x x 9 Ejercic io nº 4.- Obtén la gráfica de la función: fx x x Ejercic io nº 5.- Representa la siguiente función: x si x x 4 si x Ejercic io nº 6.- El perímetro de un rectángulo es de 0 c m. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en función de la longitud de la base. Ejercic io nº 7.- Halla el dominio de definición de las funciones: a) b) x x x Ejercic io nº 8.- Dibuja la gráfica de la s iguiente función: xsi x x si x Ejercic io nº 9.- El precio por establecimiento de llamada en c ierta tarifa telefónica es de 0, euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el prec io total de la llamada según los minutos que estemos hablando. Ejercic io nº 0- Averigua cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones: a) x x b) x Ejercic io nº.- Representa gráficamente la función: x 4x Ejercic io nº.- Representa gráficamente la siguiente función: x si x si x Ejercic io nº 4.- En algunos países se utiliza un sistema de medic ión de la temperatura distinto a los grados centígrados que son los grados Fahrenheit. Sabiendo que 0 C 50 F que 60 C 40 F, obtén la ecuac ión que nos permita traducir temperaturas de C a F. 0