PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE ECONOMIA Oficina de Publicaciones Casilla 76, Correo 17, Santiago.

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1 ISSN: PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE ECONOMIA Oficina de Publicaciones Casilla 76, Correo 17, Santiago INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS Gonzalo Edwards G. * Trabajo Docente Nº 58 Abril 1997 * Profesor del Instituto de Economía, Pontificia Universidad Católica de Chile. Agradezco en forma especial los comentarios y sugerencias de Rodrigo Pablo.

2 INDICE Página Introducción 1 1. Tablas de Mortalidad y Esperanza de Vida Conceptos Básicos Ecuaciones de Mortalidad Algunas Ecuaciones de Mortalidad Conocidas Fuerza de mortalidad constante Ecuación de Gompertz Ecuación de Makeham Ecuación de Weibull Mortalidad de Inválidos Tablas de Mortalidad Usadas para Calcular Rentas Vitalicias en Chile Cálculo de Pensiones de Renta Vitalicia Afiliado o Causante Cónyuge sobreviviente sin hijos Cónyuge Beneficiario sin Hijos Beneficio de Cuota Mortuoria Período Mínimo Garantizado Tasa de Reserva, Tasa de Venta y Tasa de Inversión Reserva Técnica Base y Reserva Financiera Evaluación de la Rentabilidad del Negocio 29

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4 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS 1 Introducción El objetivo de este trabajo es introducir, sin pretender ser exhaustivos, distintos aspectos del tema de rentas vitalicias. En primer lugar, el Capítulo 1 presenta el concepto de tablas de mortalidad y esperanza de vida. El Capítulo 2 muestra los procedimientos de cálculo de pensiones de renta vitalicia, mientras el Capítulo 3 presenta y relaciona las tasas de reserva, de inversión y de venta. El Capítulo 4 muestra la forma de calcular la reserva técnica base y la reserva financiera. El Capítulo 5 presenta un procedimiento para evaluar la rentabilidad de vender rentas vitalicias por parte de una Compañía de Seguros. Se debe mencionar que las secciones marcadas con asterisco se pueden saltar sin pérdida de continuidad (secciones 1.2 y 1.3), y se recomienda hacerlo en una primera lectura de este trabajo.

5 2 TRABAJO DOCENTE Nº Tablas de Mortalidad y Esperanza de Vida 1.1. Conceptos Básicos Una tabla de mortalidad relaciona la probabilidad de morir a determinada edad con la edad. Específicamente, se define Qx como la probabilidad de que un individuo vivo de edad x muera durante el transcurso del año siguiente. En este sentido, Qx es una probabilidad condicionada al evento que el individuo esté vivo a la edad x. Ejemplo 1: de mortalidad A modo exclusivamente de ejemplo, supóngase la siguiente tabla x Qx 65 0,2 66 0,3 67 0,5 68 1,0 Lo anterior significa que de cada 1,000 personas de 65 años, se esperaría que 200 mueran durante el primer año, 240 durante el segundo año (el 30% de aquellos que sobreviven hasta los 66 años), 280 durante el tercer año (la mitad de los que sobreviven hasta los 67 años) y 280 durante el cuarto año (el total de los que sobreviven hasta los 68 años). De aquí se desprende la variable Lx = Número de sobrevivientes hasta la edad x (L65 se usa como numerario en este ejemplo). Así, x Q x L x

6 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS ,2 1, , , ,0 280 De aquí se desprende la variable Ex = Esperanza de vida a la edad x. Para ello se supondrá que la gente que muere en un año determinado, lo hace a mitad de año. Así, E68 = 0,5 años. A los 67 años, de cada 560 personas, 280 mueren durante el año y 280 sobreviven hasta el año siguiente, muriendo en dicho año, con lo que E67 = Q67 * 0,5 + (1 - Q67) * 1,5 = 1,0. En general, Ex = Qx * 0,5 + (1 - Qx) * (1 + Ex+1) El cuadro siguiente presenta los resultados. x E x 65 2, , , ,50 A los 65 años, por ejemplo y tal como se mencionara antes, de cada personas, se espera que 200 mueran a los 6 meses, 240 al año y medio, 280 a los 2 años y medio y 280 a los 3,5 años. De ahí que E65 = 0,200 * 0,5 + 0,240 * 1,5 + 0,280 * 2,5 + 0,280 * 3,5 = 2,14

7 4 TRABAJO DOCENTE Nº 58 Las tablas de mortalidad se pueden estimar de distintas formas. Lo más lógico, tal vez, sería estimar Q x para cada x en forma separada. Es decir, ver para el grupo de cada edad x, cuántos sobreviven hasta la edad x+1. Este procedimiento, para ser confiable, requiere de "grandes números" en cada edad. Otra forma de proceder es elegir una determinada forma funcional Qx = f(x) y estimar sus parámetros, donde el número de parámetros es sustancialmente menor al número de edades. Este es el procedimiento que se sigue a continuación Ecuaciones de Mortalidad 1 Defínase: Qx = Probabilidad de que un individuo de x años de edad muera en el transcurso del próximo año. Sx = Probabilidad de que un individuo de x años de edad sobreviva el próximo año. Sx =1-Qx. S x,a = Probabilidad de que un individuo de x años de edad sobreviva los próximos a años, donde a es mayor que cero. 1 Las secciones 1.2 y 1.3 pueden saltarse en una primera lectura sin pérdida de continuidad, estas se basan en Jordan, C.W.: "Society of Actuaries' Textbook on Life Contingencies", publicado por The Society of Actuaries, 1982.

8 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS 5 lx = Número esperado de sobrevivientes a la edad x. Como numerario, típicamente se utiliza l0 = µx = Fuerza de mortalidad a la edad x. Es la tasa instantánea de mortalidad, expresada como tasa anual si la edad se expresa en años. µx = - d ln l x. dx Es conveniente observar que x (1) 0 x µy dy = - 0 d ln ly dy dy = ln l0 - ln lx con lo cual x (2) lx = l0 e - 0 µy dy cumple que Adicionalmente, dado que Sx = l x+1 lx x+1 (3) Sx = e - x µy dy y que Sx,a = l x+a lx, se x+a (4) Sx,a = e - x µy dy Si la fuerza de mortalidad es una función separable según distintas causas, entonces

9 6 TRABAJO DOCENTE Nº 58 (5) µx = µ 1 x + µ2 x + µ3 x µn x con lo cual x+1 Sx = e - x (µ 1 y + µ2 y + µ3 y µ n y ) dy = x+1 x+1 x+1 = e - x µ 1 y dy. e - x µ 2 y dy..... e - x µ n y dy (6) = S 1 x S2 x... Sn x donde S i x es la probabilidad que un individuo de edad x sobreviva el próximo año a la causa de mortalidad i. i En forma análoga, si se define S x,a como la probabilidad que un individuo de x años de edad sobreviva los próximos a años a la causa de mortalidad i, entonces x+a Sx,a = e - x (µ 1 y + µ2 y + µ3 y µn y ) dy = x+a x+a x+a = e - x µ 1 y dy. e - x µ 2 y dy..... e - x µ n y dy 1 (7) = Sx a 2 Sx a... S n x a

10 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS Algunas Ecuaciones de Mortalidad Conocidas Fuerza de Mortalidad Constante Si se supone una fuerza de mortalidad constante, entonces µx = A con lo cual x+1 (8) Sx = e - Α dy = e -A = s x x+a (9) Sx,a = e - Α dy = s a x donde ln s = -A Ecuación de Gompertz En 1825, Benjamin Gompertz supuso que la capacidad para 1 resistir la muerte era igual a y que esta varía de acuerdo con la µx expresión (10) d 1 µx dx = - h 1 µx

11 8 TRABAJO DOCENTE Nº 58 Otra forma de ver lo anterior es definir m(x) = capacidad para resistir la muerte a la edad x, y en consecuencia dm(x) dx = - h m(x). con lo cual Esto implica m(x) = A0 e -hx 1 µx = A0 e -hx (11) µx = B c x donde B = 1 A0 y c = e h. Así, la fuerza de mortalidad crece en progresión geométrica con la edad. En todo caso, para que ello ocurra, se impone la condición que B > 0 y c > 1. En este caso, x+h (12) - x B c y dy = -Bcx (c h -1) ln c = c x (c h -1)ln g donde ln g = - B ln c. De aquí se desprende que (13) Sx = e cx (c-1)ln g = g c x (c-1)

12 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS 9 (14) Sx,a = g cx (c a -1) Esta es la Ecuación de Gompertz Ecuación de Makeham En 1860, Makeham agrega un término a la Ecuación de Gompertz para reflejar la posibilidad de accidentes y enfermedades fatales que no discriminan según edad. Así, Makeham supone 2 (15) µx = A + B c x donde A > 0. De (6), (8) y (13) se desprende que (16) Sx = s g cx (c-1) Análogamente, de (7), (9) y (14) se desprende que (17) Sx,a = s a g cx (c a -1) Esta ecuación se conoce como la Ecuación de Makeham Ecuación de Weibull Weibull (1939) supone (18) µx = k x n 2 En rigor, Gompertz discute esta posibilidad aunque sin incorporla en su fórmula. Ver Jordan, op. cit.

13 10 TRABAJO DOCENTE Nº 58 donde k > 0, n > 0, x = 0. En este caso, x+1 x+1 µy dy = k y n dy = k(x+1)n+1 -kx n+1 n+1 x x (19) = u[(x+1) n+1 -x n+1 ] donde u = k n+1. En consecuencia, (20) Sx = e -u[(x+1)n+1 -x n+1 ] (21) Qx = 1 - e -u[(x+1)n+1 -x n+1 ] Mortalidad de Inválidos La hipótesis que se plantea en este trabajo es que en el caso de los inválidos, la mortalidad no es sólo función de la edad sino también del tiempo transcurrido desde la fecha de invalidez. A modo de ejemplo, bajo esta hipótesis la probabilidad de morir el próximo año para un inválido de 45 años (Q45) sería distinta según si la edad a la fecha de invalidez fue de 44 años o de 25 años. Específicamente, la hipótesis es que si µx refleja la fuerza de mortalidad de los no inválidos, entonces en el caso de los inválidos se cumple que: (22) µ inv x = µx + D f x-y

14 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS 11 donde y = edad al momento de invalidez, D > 0, f < 1. Así, la fuerza de mortalidad tiende a la fuerza de mortalidad de los no inválidos a medida que pasa el tiempo desde la fecha de invalidez. Se debe mencionar que la tabla oficial en el caso de los inválidos, MI-85, hace depender la mortalidad de este grupo sólo de la edad. Bajo esta hipótesis, es posible demostrar que (23) S inv x = S x m fx-y (f-1) donde Sx es la probabilidad de sobrevivir el próximo año en el caso de un D individuo no inválido y ln m = -. Asimismo, es posible demostrar ln f que inv (24) S x,a = Sx,a m fx y (f a 1 ) donde S x,a es la probabilidad de sobrevivir los próximos a años en el caso de un individuo no inválido.

15 12 TRABAJO DOCENTE Nº Tablas de Mortalidad Usadas para Calcular Rentas Vitalicias en Chile En el caso de las rentas vitalicias en Chile, las tablas de mortalidad son seis y siguen la Ecuación de Makeham con parámetros distintos para edades superiores a 70 años e inferiores a 70 años, coincidiendo las funciones para la edad de 70 años. Tal como se vio en la sección anterior, esta ecuación es S x = 1 - Q x = s g cx (c-1) donde s, g y c son parámetros. S x y Q x son las probabilidades que un individuo de edad x sobreviva o muera en el transcurso del año siguiente, respectivamente. Las seis tablas de mortalidad distinguen entre inválidos, rentistas y beneficiarios por una parte y entre hombres y mujeres por otra. El cuadro siguiente muestra los parámetros de cada tabla de mortalidad, las tablas correspondientes y la esperanza de vida para edades seleccionadas. En relación con dichas tablas, las tablas de beneficiarios, B-85-H y B-85-M (hombres y mujeres respectivamente), no se ajustan a la fórmula para edades inferiores a 10 años. Por otra parte, el primer tramo en las tablas de rentistas, RV-85-H y RV-85-M, parte a los 20 años. En el caso de las tablas MI-85-H y MI-85-M, la fórmula se aplica desde el nacimiento tanto a afiliados como a beneficiarios inválidos. Por último, las fórmulas se aplican hasta la edad de 110 años inclusive. Para 111 años o más, se supuso que Q x = 1,0.

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17 14 TRABAJO DOCENTE Nº Cálculo de Pensiones de Renta Vitalicia El cálculo de pensiones de renta vitalicia se basa en el concepto de "capital necesario por unidad de pensión", que es igual al valor presente esperado de una unidad de pensión de por vida Afiliado o Causante Para calcular el capital necesario por unidad de pensión se supondrá que las pensiones se pagan a comienzos de cada año y que rige la tabla de mortalidad del ejemplo 1. Ello significa que si se parte con pensionados de 65 años, se tendrá que pagar pensiones el primer año, 800 el segundo, 560 el tercero y 280 el cuarto año. Si dicho número se expresa en términos de valor presente al año 0 (año de nacimiento 3 ) se obtiene la variable Dx. En los cálculos se ha supuesto una tasa de descuento de 2% anual. x Qx Lx Dx 65 0,2 1, , , , , = 276, 05 1, = 216,51 1, = 148, 59 1, = 72,83 1, 02 3 La actualización al año de nacimiento es por convención. Podría hacerse la actualización al año en que se cumplen 65 años o cualquier otra edad. En todo caso, no se afectan los resultados sobre el capital necesario por unidad de pensión.

18 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS 15 La variable Nx se construye a partir de Dx usando la fórmula Nx = Nx+1 + Dx. Esta variable muestra, en valor presente al año de nacimiento, el número de pensiones que habrá que pagar a lo largo de la vida, a aquellos que tengan x años de edad. Así, x Qx Lx Dx Nx 65 0,2 1, , , , , , , ,83 1, 000 1, , , , , , , , , , Para calcular el Capital Necesario por Unidad Anual de Pensión, basta dividir Nx por Dx. Haciendo las operaciones correspondientes, se puede comprobar que x Qx Lx Dx Nx CNUx Anual = Nx/Dx 65 0,2 1, ,05 713, , ,51 437, , ,59 221, / , / 800 1, / 560 1, / , / , /1000 1, , ,84 72,84 1

19 16 TRABAJO DOCENTE Nº 58 Así, el capital necesario por unidad de pensión es simplemente el valor presente de pagar una unidad de pensión todos los años, ponderando por las probabilidades de que la persona permanezca viva. 4 Otra forma de expresar lo anterior es CNU x = N x D x = N i=0 (L x+i / L x (1+ r) i donde N es el máximo número de años que restan de vida al individuo de edad x y L x+i corresponde a la probabilidad de sobrevivir i años para un Lx individuo de edad x. La tasa de descuento es r. Para calcular el Capital Necesario por Unidad Mensual de Pensión, en lugar de anual, se aproxima de acuerdo con la siguiente ecuación 5 : CNU x Mensual = (CNU x Anual ) * 12 El cuadro siguiente resume los cálculos anteriores. 4 El procedimiento sería análogo si se quisiera calcular el capital necesario para tener una pensión creciente a través del tiempo. 5 Esta aproximación se conoce como Aproximación de Woolhouse y es ampliamente utilizada en el cálculo de pensiones y reservas. Alternativamente, se podría pensar en redefinir Q x como la probabilidad de morir el próximo mes en lugar del próximo año y rehacer los cálculos anteriores.

20 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS 17 CNUx x Qx Lx Dx Nx Anual Mensual 65 0,2 1, ,05 713,98 2,59 25, , ,51 437,93 2,02 18, , ,59 221,42 1,49 12, , ,84 72,84 1 6,50 Para terminar con este punto, es importante destacar que en los cálculos se trabaja con cantidades esperadas. Es decir, se trabaja suponiendo que la mortalidad real a futuro se ajusta a la tabla de mortalidad, y que la rentabilidad real se ajusta a la rentabilidad esperada. El cuadro siguiente muestra el Capital Necesario por Unidad de Pensión para distintas edades usando las tablas del sistema de rentas vitalicias en Chile, una tasa de descuento de 4% y los procedimientos presentados en esta sección.

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22 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS Cónyuge sobreviviente sin hijos En el caso de la cónyuge sin hijos que sobrevive al causante, el capital necesario por unidad mensual de pensión se calcula de la misma manera que para el afiliado. Así, CNUy = 0,6 ( N y Dy ) * 12 donde N y D y = N i=0 (L y+i / L y ) (1+ r) i En este caso, "y" es la edad de la cónyuge o sobreviviente sin hijos. El factor 0,6 se refiere al porcentaje de la pensión base que recibe la viuda sin hijos Cónyuge Beneficiario sin Hijos A continuación se presentan las fórmulas de cálculo del capital necesario por unidad de pensión en el caso de las parejas sin hijos. Desde un punto de vista analítico, la única diferencia con lo realizado en la sección anterior es que a los beneficiarios sin hijos se les paga pensión sólo una vez que sobreviven al causante. En ese caso reciben, de acuerdo a la ley, un porcentaje de la pensión base que en el caso de las esposas es 60%. En el cuadro que sigue se presentan los antecedentes básicos del

23 20 TRABAJO DOCENTE Nº 58 ejemplo utilizado para presentar las fórmulas de cálculo en este caso. En el caso del hombre se usaron los mismos datos que en el ejemplo 1. Hombre Esposa x Qx Lx y Qy Ly 65 0, , , , , , , ,0 378 Se supondrá que la edad actual del hombre es 65 años mientras que la edad de la esposa es 60 años. Si se suponen parejas con estas características (y se usa este número sólo como numerario) y que existe independencia entre los eventos de muerte de uno y otro cónyuge, entonces el cuadro siguiente refleja bien lo que se esperaría sucediera con este grupo a través del tiempo. Año Hombre vivo Hombre Muerto Esposa viva Hombre Muerto Esposa Muerta Total 0 1,000 0,00 0, ,00 20, ,20 162, ,16 447, Para calcular el capital necesario por unidad de pensión en el caso de la esposa, se utiliza un procedimiento análogo a aquel usado en la sección anterior. En este caso, la unidad de pensión sigue siendo la pensión del marido, con lo cual se debe multiplicar por 0,6 que es el

24 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS 21 porcentaje que recibe la viuda. Así, en el caso de la esposa, el capital necesario por unidad anual de pensión al momento de comenzar el marido a recibir su jubilación (es decir a los 60 años de ella) es CNU y = 0,6 ( 0,18 1, ,2772 1, , ,02 3 ) = 0,42 La cantidad anterior corresponde a CNU y = 0,6 N i=0 (L y+i / L y )((L x L x+i ) / L x ) (1+ r) i donde L y+i Ly sobreviva i años y corresponde a la probabilidad que la cónyuge sin hijos Lx - Lx+i Lx hombre no sobreviva i años. = 1 - L x+i Lx es la probabilidad que el Así, el capital necesario por unidad anual de pensión para un individuo de 65 años cuya cónyuge tiene 60 años sería, usando los resultados anteriores, la siguiente: Hombre 65 años 2,59 Esposa 60 años 0,42 TOTAL 3, Beneficio de Cuota Mortuoria

25 22 TRABAJO DOCENTE Nº 58 De acuerdo con el artículo 88 del DL 3500, el beneficio de cuota mortuoria cuando fallece el afiliado asciende a UF 15. Esto significa que el capital necesario para otorgar este beneficio, CNCMx, que es el valor presente esperado del pago, es igual a CNCM x = 15 N i=0 (L x+i L x+ i+1 ) / L x (1+ r) i donde x representa la edad del afiliado Período Mínimo Garantizado Anteriormente, se vio que el capital necesario por unidad anual de pensión para el causante era N CNU x = L x+i / L x (1+ r) i i= 0 lo cual indica que el pago de la pensión se realiza siempre y cuando el causante esté vivo. Cuando la pensión se contrata con un período mínimo garantizado, por ejemplo de 10 años, significa que ésta se paga durante los primeros 10 años a todo evento ya sea a la persona, si está viva o a los herederos, si ha muerto. Transcurridos los 10 años, la pensión se paga sólo si la persona causante está viva.

26 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS 23 De aquí que la fórmula deba ser modificada. En este caso CNU x = 9 i= 0 N 1 (1 + r) i + L x+i / L x (1+ r) i i=10 Para terminar este capítulo, se debe destacar que no se ha considerado el caso de los hijos con derecho a pensión, sean éstos legítimos o naturales reconocidos por el causante. Tampoco se ha considerado el caso de las madres de hijos naturales reconocidos por el causante, el caso de cónyuges hombres inválidos y otros casos que pueden considerarse excepcionales.

27 24 TRABAJO DOCENTE Nº Tasa de Reserva, Tasa de Venta y Tasa de Inversión En el capítulo anterior se trabajó con una sola tasa de descuento. En la práctica, es conveniente distinguir al menos entre la tasa de reserva, la tasa de venta y la tasa de inversión. Tasa de Reserva: La "tasa de reserva" es la tasa impuesta por la Superintendencia de Valores y Seguros para determinar el valor contable de los pasivos por rentas vitalicias vendidas por una compañía de seguros de vida. Unido esto al tope legal a la razón de endeudamiento contable que puede tener una compañía de seguros de vida, esa tasa de reserva determina el monto de los fondos que los accionistas deben aportar cuando venden una renta vitalicia. Una tasa de reservas "baja" obliga a los accionistas a poner mucho capital, lo que sube los costos de producir una renta vitalicia y baja la pensión prometida por la compañía a cambio de un determinado precio contado. La razón que explica que la tasa de reserva sea fijada por la autoridad y no determinada libremente por cada compañía es que, dejadas en libertad, algunas compañías optarían por elegir una alta tasa de reserva para reducir el pasivo contable, evitar un aporte de capital en garantía al emitir una nueva póliza y generar utilidades contables en el corto plazo. Así, el riesgo para los pensionados (compradores de esa póliza) de que las inversiones no resulten bien sería significativo, porque en ese evento la compañía quiebra y ellos tendrían que absorber una baja en la pensión. Debe quedar claro también que la tasa de reserva ha de ser una tasa relativamente "conservadora", es decir, hay que ponerse en un caso de retornos poco favorables. Como el mayor riesgo para las compañías de

28 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS 25 seguros de vida es el riesgo de reinversión a una tasa de interés menor que la prevista, la tasa de reserva debe ser conservadoramente baja, es decir, menor que la tasa esperada de retorno. Lo anterior es válido sólo en la medida en que el plazo de las inversiones de la compañía de seguros sea muy corto. Si la compañía de seguros tiene inversiones de largo plazo a tasa de interés fija, reduce drásticamente el riesgo de reinversión y no es necesario exigirle que constituya tantas reservas. El método que se utiliza en Chile para manejar los diferentes grados de descalce que puede exhibir una compañía de seguros de vida define la tasa de reserva como un promedio ponderado entre una tasa conservadora y la tasa de retorno observada en el mercado de los instrumentos de largo plazo. El ponderador de la tasa conservadora es una función creciente del grado de descalce entre activos y pasivos. Se volverá sobre este punto en el capítulo 4. Tasa de Venta: La tasa de venta es la que la Compañía de Seguros implícitamente ofrece a la persona al momento del contrato. Típicamente, esta tasa será mayor que la tasa de reserva fijada en forma conservadora por parte de la autoridad. Al respecto, es importante destacar que si la tasa de reserva es fijada demasiado baja, la de venta será también baja aun cuando la tasa de rentabilidad esperada sea alta. Ello por cuanto la diferencia entre la tasa de venta y la de reserva es la que determina el aporte de capital inicial por parte de los accionistas de la compañía.

29 26 TRABAJO DOCENTE Nº 58 Tasa de Inversión: La tasa de inversión es la tasa a la cual la Compañía de Seguros invierte sus fondos. A modo exclusivamente de ejemplo, supóngase un individuo soltero que jubila a los 65 años con un fondo acumulado de UF Supóngase además que no hay ningún tipo de comisión y que la "tasa de venta" ofrecida por la Compañía de Seguros es 5%. Como el "capital necesario por unidad de pensión" al 5% es 127,43 (usando la tabla RV- 85-H), lo anterior significa que la pensión mensual será de UF 2.500/127,43 = UF 19,62. Por otra parte, si la "tasa de reserva" es 4%, la reserva que deberá constituirse es igual al monto de la pensión (UF 19,62) por el "capital necesario" al 4% (138,00). Esto es igual a UF 2.707,4. Este monto es obviamente mayor al monto de la prima única de UF 2.500, lo que significa que la Compañía de Seguros deberá asumir una pérdida al momento del contrato. La ganancia de la Compañía de Seguros viene dada por el hecho que la "tasa de inversión" es mayor que la "tasa de venta". Esta ganancia se reconoce no al contado, sino a medida que transcurren los años.

30 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS Reserva Técnica Base y Reserva Financiera En Chile, al hablar de reservas se debe distinguir entre reserva financiera y reserva técnica base. Reserva Financiera: La reserva financiera es el valor presente esperado de las pensiones futuras descontando el flujo esperado de cada año i, F i, de acuerdo con el siguiente factor: 0,8 CP k F i (1 + TM) i + (1 0,8 CP ki ) F (1 + 0,03) i donde TM es la "tasa de mercado" y donde el término CP k representa el grado de calce entre activos y pasivos de la Compañía en los distintos tramos. Los distintos tramos corresponden a los diferentes años en el futuro de acuerdo con la siguiente tabla: Tramo Años

31 28 TRABAJO DOCENTE Nº 58 Típicamente, para los primeros tramos, el grado de calce es completo - la compañía tiene flujos "ciertos" de sus activos para pagar las pensiones - y en consecuencia CP k es igual a 1. Por otra parte, para los tramos más lejanos, como no hay instrumentos de tan largo plazo, el grado de calce es cero y en consecuencia CP k es igual a cero y el flujo se debe descontar al 3%. Reserva Técnica Base: Al momento de suscribir el contrato de renta vitalicia, y una vez calculada la reserva financiera de acuerdo con el procedimiento anterior, se calcula lo que se conoce como "tasa de costo equivalente" o tasa única que, aplicada a los flujos esperados, da un valor presente igual a la reserva financiera. La menor entre la "tasa de costo equivalente" y la "tasa de venta" se conoce como "tasa técnica" y queda establecida como tal para siempre para el contrato de renta vitalicia, aun cuando en el futuro cambie la "tasa de mercado" o el grado de calce entre activos y pasivos. Al descontar los flujos por la "tasa técnica" se obtiene la Reserva Técnica Base. Así, si cambia la "tasa de mercado" o el grado de calce entre activos y pasivos de la Compañía, para un contrato de renta vitalicia específico lo que varía es la Reserva Financiera, pero no la Reserva Técnica Base. Obviamente, ambas reservas varían a través del tiempo como consecuencia de la normal liberación de reservas. Mientras mayor sea un jubilado, menor necesidad de reservas tendrá la Compañía.

32 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS Evaluación de la Rentabilidad del Negocio A continuación se presenta una forma para evaluar la rentabilidad esperada de vender una renta vitalicia a través de un ejemplo sencillo. En el ejemplo se supondrá en primer lugar que: 1. Una persona soltera de 65 años decide pensionarse y tiene un capital acumulado en su AFP de UF La Compañía decide ofrecerle una pensión vitalicia de UF 900 anuales que se pagan a principios de cada año. 2. La tabla de mortalidad es igual a la del ejemplo 1. Así, x Q x 65 0,2 66 0,3 67 0,5 68 1,0 3. Las reservas se calculan con una "tasa técnica" de 5%. Esta se mantiene para siempre tanto para la reserva financiera como para la reserva técnica base. A partir de estos supuestos se construye el Cuadro 4.1. Para calcular las reservas asociadas a esta póliza en cada año, se descuentan, a la tasa de reserva (5%), los flujos esperados de las pensiones hacia adelante. Así, la última columna del Cuadro 4.1 representa lo que hoy se espera sean las reservas a comienzos de cada año en el futuro.

33 30 TRABAJO DOCENTE Nº 58 Adicionalmente, se supondrá que: 4. La tasa de inversión para las reservas es de 15%. Este se aplica a la reserva de principio de cada año neta del pago de la pensión del mismo año. 5. No hay costos de administración del contrato ni comisiones de ningún tipo. 6. No existe límite a la razón de endeudamiento, con lo que si el pasivo Reservas aumenta, el patrimonio no necesariamente debe aumentar. 7. No hay impuestos de ningún tipo. A continuación se presentan los flujos y la tasa de retorno para la Compañía del negocio de vender esta renta vitalicia. Al respecto, se debe señalar que como ingreso se tiene el producto de inversiones y la liberación de reservas. Como egreso, el pago de pensiones. La inversión inicial de UF 160,54 es igual a la diferencia entre la obligación de reserva inicial (UF 2.260,54), que es el monto que la compañía debe tener como garantía de que podrá pagar la pensión vitalicia de UF 900, y el valor de la prima única (UF 2.100). La tasa interna de retorno, 28,25%, significa que a la compañía le conviene vender esta renta vitalicia si no tiene proyectos alternativos que den una rentabilidad ajustada por riesgo superior. Para terminar este trabajo, puede ser útil señalar las principales limitaciones de este modo de evaluar el negocio de vender rentas vitalicias:

34 INTRODUCCION AL ANALISIS DE RENTAS VITALICIAS El modelo supone una tabla de mortalidad no sesgada. En general, es conveniente sensibilizar los resultados a cambios en la tabla de mortalidad. 2. Suponer que la Reserva Financiera será siempre igual a la Reserva Técnica Base implica suponer no sólo que la "tasa de mercado" se mantiene sin también la estructura de calce. Este supuesto puede ser restrictivo si no hay instrumentos de largo plazo. Los tramos 9 y 10 (22 años o más) son más importantes para pensionados de 65 años que para pensionados de 90 años. Esto quiere decir que aun cuando la "tasa de mercado" y la estructura de CPk se mantengan en el futuro, la reserva financiera se liberará antes que la reserva técnica base. 3. En relación con el punto anterior, la rentabilidad de la inversión en reservas se debe calcular sobre las "reservas financieras", mientras que la liberación de "reservas técnicas" es la que se usa para efectos de calcular la utilidad tributable. La diferencia de calce (reserva técnica base menos la reserva financiera) también se libera, pero su liberación no tributa. En otras palabras, la liberación de la reserva técnica es la que importa para efectos tributarios pero, para efectos de garantizar el pago futuro de pensiones, se debe calcular la reserva financiera todos los años. Estas deben quedar en la compañía y por eso, sobre ella se calcula el producto de inversiones. Cualquier diferencia que se produce entre una y otra reserva va directamente a patrimonio y no se considera para efectos tributarios.