Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Transcripción

1 Mtrices, deterinntes sistes de ecuciones. Probles PAU Junio 9: Un grupo de persons se reúne pr ir de ecursión, juntándose un totl de entre hobres, ujeres niños. Contndo hobres ujeres juntos, su núero result ser el triple del núero de niños. Adeás, si hubier cudido un ujer ás, su núero igulrí l de hobres. ) Plnter un siste pr verigur cuántos hobres, ujeres niños hn ido de ecursión. b) Resolver el proble. Aprtdo : Si llos,,, l núero de hobres, ujeres niños, respectivente, que fueron de ecursión, tendreos: ; ordenos: Aprtdo b: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M Coo M 8 r(m) r(m ) S.C.D. Resolveos el siste utilindo l regl de Crer; pr ello clculos los vlores de: M 6 ; M 56 ; M M 6 M 56 M 8 ; 7 ; 5 M 8 M 8 M 8 Luego, hbrán sistido 8 hobres, 7 ujeres 5 niños l ecursión. Septiebre 9: Cierto estudinte obtuvo, en un control que constb de pregunts, un clificción de 8 puntos. En l segund pregunt scó dos puntos ás que en l prier un punto enos que en l tercer. ) Plnter un siste de ecuciones pr deterinr l puntución obtenid en cd un de ls pregunts. b) Resolver el siste. Aprtdo : Si llos,,, l puntución obtenid en cd pregunt, respectivente, tendreos:

2 8, ordenos: 8 Aprtdo b: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M 8 M r(m) r(m ) S.C.D. Resolveos el siste utilindo l regl de Crer; pr ello clculos los vlores de: 8 M ; 9 8 M ; 8 M M M ; 9 M M ; M M Luego, hbrá obtenido punto en l prier pregunt, en l segund en l tercer. Septiebre 9 (bis): Se l tri A de coeficientes socid cierto siste de ecuciones lineles B l tri de sus térinos independientes: A B ) Plnte lgebricente el siste indicndo ls operciones hechs. b) Discute su coptibilidd e interpret los resultdos obtenidos. Aprtdo : El siste epresdo en for tricil, será: Efectundo el producto de trices, plicndo l definición de iguldd de dos trices, obtendreos el siste pedido: ) (. Aprtdo b: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M Anlios los vlores críticos hciendo M M ( ) ; Si M r(m) r(m ) S.C.D. (solución únic).

3 Si M M M r(m) r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero; por ejeplo:. Por tnto, S.I. (No soluciones). Si M M M r(m) r(m ), puesto que no es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero. Por tnto, S.C.I. (Infinits soluciones). Junio 95: Un de cs dquirió en el ercdo cierts cntiddes de ptts, nns nrnjs un precio de, 5 pts/kg., respectivente. El iporte totl de l copr fueron.6 pts. El peso totl de l is, 9 kg. Adeás, copró kg. s de nrnjs que de nns. ) Plnter un siste pr deterinr l cntidd coprd de cd producto. b) Resolver el proble. Aprtdo : Si llos,,, l núero de kg. coprdos de ptts, nns nrnjs, respectivente, tendreos: siplificos: 9 Aprtdo b) Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M 5 M 9 Coo M 7 r(m) r(m ) S.C.D. Resolveos el siste utilindo l regl de Crer; pr ello clculos los vlores de: M 9 ; M 9 ; M 9 8 M M M 8 ; ; M 7 M 7 M 7 Por tnto, hbrá coprdo kg. de ptts, kg. de nns kg. de nrnjs.

4 Septiebre 95: L tri de coeficientes A, socid cierto siste de ecuciones lineles, sí coo l de sus térinos independientes B son ls siguientes: A 5 B 6 ) Deduce ls ecuciones del siste indicndo ls operciones hechs. b) Obtén, si es posible, l invers de ls trices A B. Ron ls respuests. Aprtdo : El siste epresdo en for tricil, será: 6 5 Efectundo el producto de trices, plicndo l definición de iguldd de dos trices, obtendreos el siste pedido: 5 6 Aprtdo b: Deterinción de A : - clculos el deterinnte: 7 5 A Coo que A, l tri A es inversible. - clculos l tri djunt A *, reeplndo cd eleento por el vlor de su enor djunto: * A - deterinos l tri trspuest de l djunt: ) ( * T A - l tri invers será: ) ( * T A A A Deterinción de B : no es posible pues B no es un tri cudrd. Junio 96: En un confiterí envsn los bobones en cjs de 5 gr., 5 gr. Y kg. Cierto dí se envsron 6 cjs en totl, hbiendo 5 cjs ás de tño pequeño (5 gr.) que de tño edino (5 gr.). Sbiendo que el precio del kg. de bobones es. pts. que el iporte totl de los bobones envsdos sciende 5. pts: ) Plnter un siste pr deterinr cuánts cjs se hn envsdo de cd tipo. b) Resolver el proble. Aprtdo : Teneos que:

5 5 - precio de l cj de 5 gr. pts. - precio de l cj de 5 gr. pts. - precio de l cj de kg. pts. Si llos,,, l núero de cjs envsds de 5 gr., 5 gr. kg., respectivente, tendreos: siplificos: Aprtdo b: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : 6 M M 5 5 Coo M 5 r(m) r(m ) S.C.D. Resolveos el siste utilindo l regl de Crer; pr ello clculos los vlores de: M 5 5 ; M 5 ; M M 5 M M 75 5 ; ; 5 M 5 M 5 M 5 Por tnto, se hbrán envsdo 5 cjs pequeñs, edins 5 grndes. Junio 96 (R): El precio de entrd ciert eposición es de pts. pr los niños, 5 pr los dultos 5 pr los jubildos. En un jornd concret, l eposición fue visitd por persons en totl, igulndo el núero de visitntes dultos l de niños jubildos juntos. L recudción de dicho dí scendió 7.5 pts. ) Plnter un siste de ecuciones pr verigur cuántos niños, dultos jubildos visitron l eposición ese dí. b) Resolver el proble. Aprtdo : Si llos,,, l núero de niños, dultos jubildos, respectivente, que visitron ese dí l eposición, tendreos: siplificos: Aprtdo b: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M :

6 6 M M M r(m) r(m ) S.C.D. 5 5 Resolveos el siste utilindo l regl de Crer; pr ello clculos los vlores de: M ; M ; M 7 M M M M 7 ; ; 7 M M Luego, l eposición, hbrán cudido niños, dultos 7 jubildos. Septiebre 96: Ddo el siguiente siste de ecuciones: 6 5 ) Obtén su tri de coeficientes. b) Clcul el deterinnte de l tri nterior. c) Sin resolver el siste, ronr si tendrá solución únic. Aprtdo : Su tri de coeficientes será: M Aprtdo b: El deterinnte de dich tri será: M 6 Aprtdo c: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : 6 M M 5 Coo M 6 r(m) r(m ) S.C.D. Por lo que el siste tendrá un únic solución.

7 7 Junio 97: En un superercdo vn poner en ofert dos rcs de detergente (A B). El propietrio consult su libro de cuents pr ver ls condiciones de un ofert nterior, encontrndo l siguiente inforción: el núero totl de pquetes vendidos fueron. uniddes; el precio del pquete A 5 pts; el iporte totl de l ofert. pts. Pero en sus notciones no prece reflejdo clrente el precio del pquete B. ) Plnter un siste pr deterinr el núero de pquetes vendidos de cd rc. Discutir su coptibilidd. b) Averigur si el precio del pquete B fue o 8 pts. cuántos pquetes se vendieron? Aprtdo : Si llos e l núero de pquetes vendidos de ls rcs A B, respectivente, tendreos:, representndo el práetro el precio del pquete de rc B. 5 Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M 5 5 Anliceos los vlores críticos hciendo: M 5 5 si 5 r(m) r(m ) S.C.D.(solución únic) si 5 r(m) r(m ), pues es posible encontrr en ést, l enos, un enor copleentrio de orden distinto de cero. Por ejeplo: S.I. (No solución) 5 Aprtdo b: Se trt de resolver el siste pr los vlores 8: {, 6} {, } 5 8 Coo el núero de pquetes vendido de cd rc debe ser un núero entero, el precio del pquete B tiene que hber sido pesets. En ests condiciones, se hbrín vendido pquetes de l rc A 6 pquetes de l rc B. Septiebre 97: L tri de coeficientes socid cierto siste de ecuciones lineles es: A 5 ) Obtener ls ecuciones del siste. b) Clculr el rngo de l tri ford por los coeficientes del siste. c) Sin resolver el siste, deducir rondente si dite soluciones en qué núero. Aprtdo :

8 8 El siste socido l tri dd será: 5 El iso siste, epresdo en for tricil: 5 Aprtdo b: Pr clculr el rngo de l tri de los coeficientes del siste M, clculos el vlor de su deterinnte M : M Coo que M (, sbeos que r(m) Aprtdo c: Por el teore de Rouché-Fröbenius, sbeos que: si r(m) r(m) nº incógnits S.C.D. (Solución únic) si r(m) r(m) < nº incógnits S.C.I. (Infinits soluciones) si r(m) r(m ) S.I. (No soluciones) Coo que M r(m) r(m) S.C.D. Por lo tnto, el siste dite solución, ést será únic. Junio 98: Un utoescuel tiene bierts sucursles en l ciudd. El núero totl de triculdos es 5, pero los triculdos en l tercer son sólo un curt prte de los triculdos en l prier. Adeás, l diferenci entre los triculdos en l prier los triculdos en l segund es inferior en dos uniddes l doble de los triculdos en l tercer. ) Plnter un siste de ecuciones pr verigur el núero de lunos triculdos en cd sucursl. b) Resolverlo. Aprtdo : Si llos,,, l núero de lunos triculdos en l prier, segund tercer sucursl, respectivente, tendreos: 5, ordenos: 5 Aprtdo b: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M 5 Coo 7 M r(m) r(m ) S.C.D.

9 9 Resolveos el siste utilindo l regl de Crer; pr ello clculos los vlores de: M ; M 7 ; M 5 M M M 7 M 5 ; ; 5 7 M 7 M 7 Luego, hbrá lunos triculdos en l prier sucursl, en l segund 5 en l tercer. Septiebre 98: L tri de los coeficientes de un siste de ecuciones lineles es: l de los térinos independientes es:. ) Plnter ls ecuciones del siste. b) Estudir su coptibilidd en función de los vlores de. En qué csos tiene solución únic? c) Resolverlo si. Aprtdo : El siste socido ls trices dds será:. ( ) El iso siste, epresdo en for tricil: Aprtdo b: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M Anlios los vlores críticos hciendo M M Si M r(m) r(m ) S.C.D. (solución únic). Si M M M r(m) r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero; por ejeplo:. Por tnto, S.I. (No soluciones). Si M M M r(m) r(m ), puesto que no es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero.

10 Por tnto, S.C.I. (Infinits soluciones). Aprtdo c: Si suponeos que, tendreos que:, cu solución es: {, } Junio 99: Sen ls trices: A ; B ; C ; D donde,, son desconocidos. ) Clculr ls trices (AB) C D b) Sbiendo que (AB)C D, plnter un siste de ecuciones pr encontrr los vlores de,,. c) Estudir l coptibilidd del siste. Cuánts soluciones tiene? d) Encontrr, si es posible, un solución. Aprtdo : Pr ultiplicr dos trices, ultiplicos vectorilente ls fils de l prier por cd un de ls coluns de l segund. Pr sur dos trices suos sus eleentos correspondientes. Así: A B C Pr ultiplicr un tri por un esclr, ultiplicos cd uno de los eleentos de l tri por dicho esclr. Así: D Aprtdo b: Coo que (AB) C D, teneos que:, luego: Aprtdo c: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M

11 Coo M r(m), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero; por ejeplo: r(m ), puesto que no es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero: Coo r(m) r(m ) S.C.I. (Infinits soluciones). Aprtdo d: Un de ls ecuciones es cobinción linel de ls otrs dos; l eliinos: Consideros l coo constnte l psos, junto los térinos independientes, l segundo iebro: Pr cd vlor de, obtendreos un posible solución del siste. Supongos: : tendreos: {, } Septiebre 99: En el trecto que h entre su cs el trbjo, un individuo puede repostr gsolin en tres estciones de servicio (A, B C). El individuo recuerd que este es el precio de l gsolin en A h sido de pts/litro el precio de l gsolin en B de 8 pts/litro, pero h olviddo el precio en C. (Supongos que son pts/litro). Tbién recuerd que: - l su del gsto en litros de gsolin en ls estciones A B superó en 68 pts. l gsto en C. - el núero de litro de gsolin consuidos en B fue el iso que en C. - el gsto de litros en A superó l de B en 6 pts. ) Plnte un siste de ecuciones (en función de ) pr deterinr los litros consuidos en cd gsoliner. b) Estudir l coptibilidd del siste en función de. Puedes dr lgún precio l que se iposible hber vendido l gsolin en l gsoliner C? Aprtdo : Si llos,,, l núero de litros que h repostdo en ls gsoliners A, B C, respectivente, tendreos: , ordenos: Aprtdo b: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M :

12 M M Anlios los vlores críticos hciendo M 8 M Si 6 M r(m) r(m ) S.C.D. (solución únic). Si M M M r(m), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de 8 orden distinto de cero; por ejeplo: ; r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero; por ejeplo: Coo r(m) r(m ) S.I. (No solución). Por est rón, resultrí iposible hber vendido l gsolin 6 pts. litro en l gsoliner C. Junio : Se 6A I B un epresión tricil, donde B denot un tri cudrd de orden, tl que 6 B e I, l tri unidd de orden correspondiente. ) Qué diensión tiene l tri A? b) Deterine los eleentos que integrn l tri A, esto es, i, j Ap, q. c) Clcule A I. Aprtdo : Pr que dos trices puedn surse es necesrio que tengn l is diensión; deás, su su es otr tri de l is diensión que ls trices sundos. Por tnto, l tri A tiene que tener diensión. Aprtdo b: Coo 6A I B, entonces: 6A B I A ( B I ) A Aprtdo c: A I

13 Septiebre : Sen A B 5 dos trices de orden, en ls que,, denotn vlores nuéricos desconocidos. ) Deterine, rondente, los vlores de,, R de ner que A B. b) Es posible el cálculo de AB? Rone l respuest. Aprtdo : Pr que dos trices sen igules es necesrio que tengn l is diensión, deás, que los eleentos que ocupen l is posición en bs sen igules ( i, j bi, j ). Por tnto, si: A B 5, entonces: A B Adeás, se verific que : 5 Aprtdo b: Pr que pued efecturse el producto AB, es necesrio que el núero de coluns de A se igul l núero de fils de B. Coo que l tri A tiene coluns l tri B tiene fils, el producto AB NO puede efecturse. Junio : Un gente inobilirio puede relir tipos de operciones: vent de un piso nuevo, vent de un piso usdo lquiler. Por l vent de cd piso nuevo recibe un pri de. pts. Si l operción es l vent de un piso usdo recibe 6. pts. Se desconoce l pri cundo l operción es un lquiler. Este es el núero totl de operciones fue 5. L pri totl por vent de pisos fue superior en. pts. l obtenid por lquileres, l pri totl por vent de pisos nuevos fue el triple que por lquileres. ) Plnte un siste de ecuciones (sin resolverlo) pr obtener el núero de operciones de cd tipo relids (en función de l pri de lquiler de vlor desconocido). b) Indic un pri l que es iposible que se hn podido pgr los lquileres. c) Indic tres pris ls que es posible que se hn podido pgr los lquileres. d) Si l pri de lquileres fue de. pts. cuánts operciones de cd tipo se reliron? Aprtdo : Llos,,, l núero operciones de cd tipo que h relido l pri desconocid (en iles de pesets): nº vents de pisos nuevos nº vents de pisos usdos nº lquileres Con lo que tendreos: 5 5 6, ordenos: 6 Aprtdo b:

14 Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : 5 M 6 M 6 Anlios los vlores críticos hciendo M M Si M r(m) r(m ) S.C.D. (solución únic). Si 5 M 6 M M r(m), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero; por ejeplo: 6 r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden 5 distinto de cero; por ejeplo: 6 Coo r(m) r(m ) S.I. (No solución). Por est rón, resultrí iposible que ls pris por lquileres fuern. pts. Aprtdo c: Resolveos el siste en función de : M M 5 M 6 M 6 7 M 5 M 6 6 M M M 6 M 6 7 Aprtdo d: Si l pri de lquileres hubier sido de. pts, tendríos: M M 6 M ; ; M 6 7 M 6 7 M 6 7 Con lo que hbrí vendido piso nuevo, pisos usdos relido lquileres.

15 5 Septiebre : Sen ls trices: A ; B ; C ; D ) Sbiendo que AB C D, plnte un siste de ecuciones incógnits (representds por,, ) donde es cierto vlor desconocido. b) Si se supier que el siste tiene solución, podríos descrtr lgún vlor de? c) Si se supier que el siste tiene solución únic, podríos descrtr lgún vlor de? d) H lgún vlor de pr el que el siste teng ás de un solución? Aprtdo : Coo sbeos que AB C D, tendreos: Luego: Discutios el siste, nlindo el rngo de l tri de coeficientes de l plid: M M M { }, { } Si : r(m) r(m ) Si : M M ) ( ) ( pues M r pues M r S. I. Si : M M

16 6 r( M ) pues S. C. I. r( M ) pues Aprtdo b: Si el siste tiene solución, es un siste coptible. Podeos descrtr el vlor porque, entonces: l ecución son contrdictoris. Aprtdo c: Si el siste tiene solución únic, es un siste coptible deterindo. Podeos descrtr, deás del nterior vlor, el vlor porque, entonces: l ecución son igules quedn enos ecuciones que incógnits. Aprtdo d: Si el siste tiene ás de un solución, es un siste coptible indeterindo. Junio : En un frci se coercilin tipos de chpú de ciert rc: norl, con vitins nticsp. Se sbe que el precio l que se vende el norl es de euros el de vitins es de euros. Se desconoce el precio l que se vende el nticsp. Por otro ldo, el dinero totl obtenido por ls vents de los tipos de chpú el es psdo fue de euros el dinero obtenido en vents con el chpú norl fue 56 euros inferior l dinero totl obtenido en vents con el resto. Adeás, el dinero totl obtenido en vents con el chpú de vitins el nticsp fue el iso que el que hubier obtenido vendiendo 8 uniddes del nticsp ningun de los deás. ) Plnte un siste de ecuciones (en función del precio desconocido del chpú nticsp, que puedes llr por ejeplo ) donde ls incógnits (,, ) sen ls uniddes vendids el es psdo de cd tipo de chpú. b) Qué puedes concluir sobre el precio del chpú nticsp prtir de un estudio de l coptibilidd del siste? c) Si se sbe que el núero de uniddes vendids del nticsp fue, utili el resultdo del prtdo (b) pr clculr ls uniddes vendids de los otros. Aprtdo : Llos,,, l núero de uniddes de cd tipo que h vendido l precio desconocido del chpú nticsp nº uniddes chpú norl nº uniddes chpú con vitins nº uniddes chpú nticsp Con lo que tendreos: 56, ordenos: Aprtdo b:

17 7 M ; M 8 56 r (M), pues { } Si : r(m) r(m ) < nº incógnits S.C.I. (Infinits soluciones) Si : r(m) r(m ) S.I. (no h solución) Aprtdo c: Coo que sbeos que, el siste se convierte en: {, 8} Septiebre : Sen ls trices A, B, C, donde es desconocido. ) Se el siste de ecuciones con tres incógnits cu tri de coeficientes es A de térinos independientes B. Puede pr lgún vlor de no tener solución este siste? Pr qué vlores de el siste tiene solución únic? b) Si l tri de coeficientes es A pero l de térinos independientes es C, es posible que pr lgún vlor de el siste no teng solución? Encuentr un vlor de pr el que el siste teng ás de un solución clcul dos de ells. Aprtdo : El siste será:, siendo: M ; M M { } Si : r(m) r(m ) no de incógnits S.C.D. (Solución únic) Si : r(m) r(m ) < nº de incógnits S.C.I. (Infinits soluciones) Aprtdo b: El siste será hoogéneo:

18 8, siendo: M ; M Un siste hoogéneo siepre es coptible tiene, l enos, l solución trivil {,, }. Cundo M r(m) r(m ) < nº de incógnits S.C.I. (Infinits soluciones) Si :,, 5 - si {,, } - si { 5,, } - si / Junio : L tri de coeficientes de un siste es l de térinos independientes. ) Pr qué vlor o vlores de el siste no tiene solución? b) Pr cierto vlor de un individuo encontró soluciones del siste. Cuánto vlí? Tení ás soluciones el siste? c) Encuentr un vlor de pr que el siste teng un únic solución, pr dicho vlor, resuélvelo. Se trt de nlir l coptibilidd del siste en función del vlor del práetro. Pr ello escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M Anlios los vlores críticos hciendo M M 6 { /}, { } Si ½ M r(m) r (M ) S.C.D. (solución únic) Si ½ M M

19 9 r(m), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero; por ejeplo:. r(m ), puesto que no es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero. Por tnto, S.C.I. (infinits soluciones) Si M M r(m), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero; por ejeplo:. r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero ; por ejeplo: Por tnto, S.I. (no soluciones) Aprtdo : Pr que el siste no teng solución, h de ser incoptible; por tnto. Aprtdo b: Pr que el siste dit dos soluciones, h de ditir infinits ser coptible indeterindo; por tnto / Aprtdo c: Pr que el siste teng solución únic h de ser coptible deterindo; por tnto /. Supongos : M M El siste será: {, ½, } Septiebre : Sen ls trices: A, B, C, D, E. ) Sbiendo que (AB C) D E, plnte un siste de ecuciones incógnits (representds por,, ) en función de. b) Pr lgún vlor de el siste tiene solución únic? c) Pr encuentr un solución del siste con. Aprtdo : Efectuos ls operciones indicds pr poder plnter el siste:

20 AB C AB D C AB ) ( E Por tnto, pr que se cupl (AB C) D E Aprtdo b: Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M Anlios los vlores críticos hciendo M M Si r(m), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero; por ejeplo: r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero: Coo r(m) r(m ) S.I. (No solución). Si r(m), puesto que no vrí. r(m ), puesto que no es posible encontrr un enor copleentrio de orden distinto de cero en M Coo r(m) r(m) < nº de incógnits S.C.I. (Infinits soluciones). En ningún cso el siste tiene solución únic, puesto que pr ningún vlor de result ser coptible deterindo.

21 Aprtdo c: Si, teneos: Un posible solución con serí: {, 7, 7} {, k, k} Junio : Un individuo reli fotogrfís con un cár digitl. Sbe que cd fotogrfí de clidd norl ocup siepre egbtes de eori. Cd fotogrfí de clidd ópti ocup siepre un cntidd A de egbtes, pero el individuo no l conoce. Est sen h llevdo revelr fotogrfís que le hn ocupdo un totl de 9 egbtes de eori. ) Plnte un siste de ecuciones (en función de A) donde ls incógnits sen el núero de fotos de cd clse que h relido. Estudi l coptibilidd del siste. b) H lgun cntidd de egbtes que es iposible que ocupe cd foto de clidd ópti? c) L sen psd tbién hio fotos ocupó 9 egbtes de eori totl. Es posible que el núero de fotos de cd tipo fuer diferente l de est sen? Aprtdo : Si llos,, l núero de fotos relids en cliddes norl ópti, respectivente, tendreos:. A 9. Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M. A. A 9. M A. ; M A.. A Si A. r(m), puesto que M r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero:.. 9. Coo r(m) r(m ) S.C.D. Resolveos el siste utilindo l regl de Crer; pr ello clculos los vlores de: M A - 9. ; M. 9. A. 9. M A 9. M. ; M A. M A. Si A. r(m), puesto que M r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero:.. 9. Coo r(m) r(m ) S.I.(no h soluciones)

22 Aprtdo b) Luego resultrí iposible que cd foto de clidd ópti ocupe egbtes de eori. Aprtdo c: Sí. El siste present infinits soluciones posibles; vienen dds por todos quellos vlores de A, que generen soluciones enters pr,. Septiebre : Sen ls trices: A ; B 5 ; C ; D ; E ( ) ) Clcul cd uno de los tres productos AB; DE; EB b) Si AB C D, plnte un siste de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de. Pr qué vlores de el siste tiene solución? Es siepre únic? Aprtdo : AB 5 5 DE ( ) EB ( ) 5 ( 5 ) Aprtdo b: ABC D Pr estudir l coptibilidd del siste, escribios l tri de los coeficientes M l tri plid con los térinos independientes M : M M M ; M Si r(m), puesto que M r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero. Coo r(m) r(m ) S.C.D. (solución únic) Si M M r(m), puesto que M r(m ), puesto que es posible encontrr en l tri M un enor copleentrio de orden distinto de cero: Coo r(m) r(m ) S.I. (no h soluciones)

23 . Probles propuestos B-: Un person disponí de 6. los reprtió en tres fondos de inversión diferentes (A, B C), obteniendo sí.5 de beneficios. Sbeos que en el fondo A invirtió el doble que en los fondos B C juntos; sbeos tbién que el rendiiento de l inversión relid en los fondos A, B C fue del 5%, % % respectivente. ) Plnter un siste pr deterinr ls cntiddes invertids en cd uno de los fondos. b) Resolver el siste nterior. B-: Prte de los huéspedes de un pequeño hotel se encuentr en el coedor; en el iso oento otr prte se encuentr en l sl de estr el resto en l bibliotec. Posteriorente, se despln del coedor l bibliotec, de l sl de estr l coedor de l bibliotec l sl de estr. Ahor, h queddo el iso núero de persons en cd un de ls tres estncis. ) Plnter un siste pr deterinr cuánts persons se encontrbn inicilente en cd hbitción. b) Resolverlo pr deterinr cuántos huéspedes se lojn en el hotel. B-: Un tiend de úsic h obtenido unos ingresos de 768 l vender 6 discos copctos de tres grupos usicles. Los discos se vendín ; sin ebrgo, los del segundo tercer grupo, l ser enos recientes, se vendieron con descuentos del % del % respectivente. Sbeos que el núero de discos vendidos con descuento fue l itd que el núero de discos que se vendieron su precio originl. ) Plnter un siste de ecuciones pr deterinr cuntos discos de cd grupo se vendieron. b) Resolverlo. B-: En un pís A, eisten tres eropuertos interncionles (A, A A); en otro pís B eisten ( B, B, B B); en un tercer pís C eisten dos ( C C). Desde el eropuerto A slen vuelos con destino B, B, C dos vuelos con destino B. Desde el eropuerto A slen vuelos con destino B, B dos vuelos con destino B. Desde el eropuerto A sólo sle un vuelo con destino B. Desde cd eropuerto del pís B, slen dos vuelos cd uno de los eropuertos del pís C. Se pide, epresr edinte trices: ) los vuelos del pís A l B. b) los vuelos del pís B l C. c) los vuelos del pís A l C, necesiten o no efectur trnsbordo en el pís B. B-5: El cruce de crreters esquetido en el dibujo indic el núero de coches/hor que trnsit por cd tro de crreter, de dirección sentido único. ) Si se suspende el tráfico en el tro AB por obrs, qué núero de vehículos hn de trnsitr por los tros AC BC? b) Podrí cerrrse l tráfico el tro AC? Y el tro CB? Por qué?

24 B-6: Un epres h vendido rtículos de ppelerí, bolígrfos, gos rotuldores, l precio de.,.5 respectivente. El totl de los ingresos producidos por ess vents sciende 6. Se sbe, deás, que el núero de bolígrfos que se h vendido es el % del núero totl del resto de rtículos vendidos. ) Plnter un siste pr deterinr el núero de cd tipo de rtículos vendidos. b) Resolverlo. B-7: Se l tri A ) Coprueb que: A A T T b) Clcul el vlor de ( A A ) B-8: Discute el siguiente siste en función de los vlores. B-9: Se l tri: A Hllr ls trices B que conuten con A; es decir: A B B A B-: Se el siste de dos ecuciones con dos incógnits un práetro n: n n n (n ) n ) epréslo en for tricil b) discútelo según los vlores del práetro n. c) deterin su solución pr n. B-:

25 Dds ls siguientes ecuciones, se pide: ) ñde un ecución pr que el siste resulte ser incoptible. b) ñde un ecución pr que el siste resulte ser coptible deterindo. Justific ls respuests. B-: Un librerí h vendido 9 libros de teátics, correspondientes tres editoriles diferentes, A, B, C. Sbeos que de l editoril B se hn vendido el doble de ejeplres que de l editoril A. Sbeos, tbién, que l rón entre el núero de ejeplres vendidos de ls editoriles B C es igul /. Plnter un siste pr deterinr el núero de libros vendidos de cd editoril. Resolverlo. B-: Un editoril v lnr l ercdo tres libros de bolsillo L, L L. El iporte totl de l edición es de 875. Los costes, en euros, por unidd, son 7, 5 6, respectivente. Se sbe que el núero de ejeplres de L es igul los dos séptios de los del tipo L que, si l triple del núero de ejeplres de L se le su el núero de ejeplres de L, se obtiene el doble de ejeplres de L. ) Plnte un siste de ecuciones pr verigur cuántos libros de cd tipo se hn editdo. b) Resuelve dicho siste. B-: Sen ls trices: C, D ) Hllr: C D b) Clculr l tri invers de C D c) Coprobr que (C D) D C B-5: Un utobús urbno trnsport en hor punt 9 vijeros de tres tipos: vijeros que pgn el billete entero, que vle ; estudintes que tienen un 5% de descuento l presentr el crnet; jubildos de l loclidd que únicente pgn el 5% del precio del billete. L recudción del utobús en ese vije fue de 6. Clcul el núero de vijeros de cd clse sbiendo que el núero de jubildos er el iso que el núero del resto de vijeros. B-6: Se l tri A. 5 Clcul, si eisten, ls siguientes trices: ) Un tri X tl que X A ( ) b) Un tri Y tl que A Y B-7: Consider el siguiente siste de ecuciones lineles: ( )

26 6 ) Epréslo en for tricil b) Enunci el Teore de Rouché-Fröbenius. b) Pr qué vlores de el siste result ser coptible deterindo? Pr qué vlores es coptible e indeterindo? Pr qué vlores es incoptible? B-8: Deterin ls trices A B que son soluciones del siguiente siste tricil: A - B 9 8 A B B-9: Discute resuelve, cundo se posible, el siguiente siste de ecuciones: B-: 6 Se el siste de ecuciones: ( ) 7 ) Epréslo en for tricil. b) Discútelo según los vlores del práetro rel c) Resuélvelo pr B-: Un ebnisterí h fbricdo tres tipos de uebles: bnquets, sills ess. Pr l fbricción de estos uebles, necesitó utilir deterinds uniddes de ders de pino, h cstño, tl coo se indic en l siguiente tbl: Pino H Cstño Bnquet Sill Mes 5 L ebnisterí tení en eistenci uniddes de der de pino, 6 uniddes de h 5 uniddes de cstño; si utilió tods sus eistencis, cuánts bnquets, sills ess fbricó? B-: 9 5 Se consider el siste: 9 5 ) Resuélvelo clsifíclo en función del núero de soluciones b) Deterinr si es posible, o no, eliinr un de ls ecuciones, de for que el siste que result se equivlente l nterior. Ron l respuest. B-: Sen ls trices: A ; B ; C

27 7 Resuelve l ecución: XAB XC C B-: En un jrdín h árboles entre nrnjos, lioneros ebrillos. El doble del núero de lioneros ás el triple del núero de ebrillos, es igul l doble del núero de nrnjos. ) Plnte un siste pr deterinr cuántos árboles de cd tipo h. Es posible resolverlo? b) Si, deás, sbeos que el núero de nrnjos es el doble del de lioneros, cuántos árboles h de cd tipo? B-5: Un epres tení, en el ño, cierto núero de epledos, unos hobres otros ujeres. En el ño uentron en 5 los trbjdores de l epres en 6 el núero de trbjdors, quedndo sí doble núero de ujeres que de hobres. En el ño uentron en ls trbjdors se redujo en el núero de trbjdores, resultndo quedr el triple de ujeres que de hobres. Plnte un siste pr deterinr el núero de hobres ujeres que trbjn en dich epres en el ño. Resuélvelo si es posible.