TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1"

Transcripción

1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo: A det(a) A Ejemplo: 2.4 ( 1) DETERMINANTES DE ORDEN.2.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden tres es un número que se obtiene del siguiente modo: (Regl de Srrus) A Det A A [ ] [ ] 1 2 Ejemplo: [ ( 1) ( )] [ ( 1).0.1] 2 0 [-4+0]-[-24++0] 8+ 20

2 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El determinnte de un mtriz coincide con el de su trspuest: A A t t A t Si un determinnte tiene un líne (fil o column) de ceros, entonces su determinnte es cero Si permutmos dos fils (o dos columns) de un mtriz, su determinnte cmbi de signo [ ] [ ] B [ ] [ ] Los sumndos son el mismo pero con el signo cmbido B - A 4. Si un mtriz tiene dos fils (o dos columns) igules, su determinnte es cero Si multiplicmos cd elemento de un fil (o de un column) de un mtriz por un número, el determinnte de es mtriz qued multiplicdo por ese número Por tnto α.a α n. A siendo n el orden de l mtriz A. (Un α de cd fil) 6. Si un mtriz tiene dos fils (o dos columns) proporcionles, su determinnte es cero Si un fil (o column) de un mtriz es sum de dos, su determinnte puede descomponerse en sum de los determinntes de dos mtrices, del siguiente modo: + b b b + c + c d c d c d Por tnto A + B A + B

3 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 8. Si un fil (o un column) de un mtriz se le sum un combinción linel de línes prlels, el determinnte no vrí. b + k b k b b c d + k c d c k c d c d 9. Si un mtriz tiene un líne que es combinción linel de ls demás prlels, entonces su determinnte es cero (y recíprocmente) 1 2 (F 2F 2 - F 1 ) [ ] [ ] El determinnte del producto de dos mtrices es igul l producto de sus determinntes: A.B A. B Por ejemplo: A y B A.B A.B A ; B A. B El determinnte de un mtriz tringulr es el producto de los elementos de l digonl principl Not: [1] I 1 [2] A.A -1 I A.A -1 I A. A -1 1 A -1 1/ A RESUMEN PRÁCTICO: Operciones con determinntes: 0 0 I 1 Mtriz tringulr Producto de los elementos de l digonl principl A t A A -1 1/ A A + B A + B α.a α n. A (siendo n el orden de l mtriz) A.B A.B

4 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 4 Un determinnte es nulo si: - Un líne (fil o column) es nul. - Dos línes prlels igules - Dos línes prlels proporcionles - Un líne es combinción linel de ls línes prlels ell. Otrs: - Si intercmbimos dos línes prlels el determinnte cmbi de signo F2 F2 + F1-1 F2 F2 + 4F1 + b b b - + c + c d c d c d.4 DETERMINANTES DE ORDEN CUALQUIERA.4.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz n x n es el resultdo de sumr todos los posibles productos de n elementos uno de cd fil y uno de cd column, con su signo o con el signo cmbido según un cierto criterio..4.2 OTRAS DEFINICIONES: M ij Mtriz Complementri de ij : Mtriz que se obtiene l suprimir l fil i y l column j α ij Menor complementrio de ij : Determinnte que se obtiene l suprimir l fil i y l column j A ij Adjunto del elemento ij : (-1) i+j.α ij (signo del elemento por el del determinnte que se obtiene l suprimir l fil i y l column j) Menor de orden r: Determinnte que se obtiene l seleccionr r fils y r columns de l mtriz 1 2 Ejemplo: A Mtriz complementri del elemento 21 : M Menor complementrio del elemento 21 : α Adjunto del elemento 21 : A 21 (-1) 2+1. α 21 (-1) [ 18 24] Menores de orden 2:,,,

5 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LINEA Si los elementos de un fil o column de un mtriz cudrd se multiplicn por sus respectivos djuntos y se sumn los resultdos se obtienen el determinnte de l mtriz inicil. Se dice entonces que el determinnte está desrrolldo por los elementos de un líne A A A 2 21.(-1) (-1) (-1) MÉTODO PARA CALCULAR DETERMINANTES DE ORDEN CUALQUIERA Desrrollndo por los elementos de un fil o column (por ejemplo, por l primer fil)... 1n.A.A +.A +... ± 1n.A 1n Not: Si conseguimos que un fil o column teng todos sus elementos menos uno nulos, el desrrollo será más corto. F2 F2 + F1 (Pr ello hremos ceros en fils o columns, teniendo en cuent 1 ) F2 F2 + 4F1 desrrollo por 1ª column desrrollo por 1ª column Ejemplo: ª fil por ( ) + 1ª fil 2ª fil por ( 2) + ª fil ( 1). ( 1) 9 1ª fil por 1 + ª fil 18

6 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 6.5 EL RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES El rngo de un mtriz es el máximo orden de sus menores no nulos. ALGORIMO PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ El rngo de l mtriz nul es 0. Si l mtriz A no es nul rng(a) 1. Si el determinnte de lgun mtriz cudrd de orden dos es distinto de cero rng(a) 2. En cso contrrio rng(a) 1 Se ñden l mtriz nterior tods ls fils y columns posibles pr formr mtrices de orden. Si el determinnte de lgun mtriz cudrd de orden tres es distinto de cero Se ñden l mtriz nterior tods ls fils y columns posibles pr formr mtrices de orden 4. En cso contrrio rng(a) 2 Si el determinnte de lgun mtriz cudrd de orden cutro es distinto de cero rng(a) 4 En cso contrrio rng(a) Y sí hst que no se posible continur.6 TEOREMA DE ROUCHÉ FROBENIUS TEOREMA: Ddo un sistem de ecuciones lineles con m ecuciones y n incógnits: x1 + x 2 + x +...1n x n b1 21x1 + 22x 2 + 2x n x n b2... m1x1 + m2x 2 + mx +... mn x n bm Llmmos mtriz del sistem l mtriz, A, formd por los coeficientes de ls incógnits

7 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto n n A m1 m2 m... mn Y mtriz mplid, A, l mtriz del sistem mplid con los términos independientes... 1n b n b2 A m1 m2 m... mn bm Si rngo A rngo A Nº Incógnits Sistem Comptible Determindo Si rngo A rngo A Nº Incógnits Sistem Comptible Indetermindo Si rngo A rngo A Sistem Incomptible.7 REGLA DE CRAMER TEOREMA: Ddo un sistem de ecuciones lineles con n ecuciones y n incógnits: x1 + x 2 + x +...1n x n b1... 1n 21x1 + 22x 2 + 2x n x n b n A n1x1 + n2x 2 + nx +... nn x n b n n1 n2 n... nn 1n b n b2... x x 2 + x x n... A 1 x 1 + A 2 x 2 + A x + + A n x n B... n1 n2 n nn bn Si el determinnte de l mtriz del sistem es distinto de cero, A 0 Rngo A Rngo A Nº de incógnits El sistem es comptible determindo y por tnto tiene un únic solución que se puede hllr del siguiente modo. x 1 B A 2 A... A n, x 2 A1 B A... A n,., x n A1 A 2 A... B.8 SISTEMAS HOMOGÉNEOS Se llm homogéneo el sistem de ecuciones cuyos términos independientes son todos cero. Se crcteriz por ls dos propieddes siguientes: - Un sistem homogéneo tiene, con seguridd, l solución x 1 0, x 2 0, x 0,. Por eso se le llm solución trivil. - Pr que un sistem homogéneo teng otrs soluciones, es necesrio y suficiente que: Rngo A < Nº Incógnits.

8 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 8.9 DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETRO. Si el sistem tiene el mismo número de ecuciones que de incógnits. - Se clcul el determinnte de l mtriz de los coeficientes y se igul cero. - Se resuelve l ecución - Un cso más que vlores del prámetro del prtdo nterior. o CASO I: Si R { 1, 2, } A 0 Sistem Comptible Determindo y se resuelve por Crmer (Qued el resultdo en función del prámetro. o CASO II: 1 Se sustituye l por el vlor de 1 y se resuelve plicndo el teorem de Rouché Frobenius (Se hce Guss y se estudin los rngos) Si el sistem tiene distinto número de ecuciones que de incógnits, se resuelve por Rouché- Frobenius (Guss) - Se ordenn ls ecuciones llevndo el prámetro lo más bjo y l derech posible. - Se hcen ceros debjo de l digonl principl (si hy un rectángulo de ceros se continu hciendo ceros) - Se iguln, por seprdo, los elementos de l digonl cero. - Un cso más que vlores del prámetro y se estudin los rngos..10 CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES L mtriz cudrd A tiene invers si y sólo si 0 Dd l mtriz cudrd A, se llm mtriz djunt de A y se represent dj (A), l mtriz que se obtiene l sustituir cd elemento ij por su djunto A ij. Ejemplo: Dd l mtriz (A) , su djunt serí: -2 2 dj (A)

9 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 9 Se cumple que si 0 entonces l mtriz invers A 1 es igul : A 1 1 dj(a t 1 ) [dj(a)] t Ejemplo: Dd l mtriz A 2 1 0, pretendemos encontrr su invers: 2 2 L mtriz A tiene invers y que det(a) 2 0 Y hemos visto que: dj (A) Entonces: [dj (A)] t Por lo tnto: A [dj (A)]t /2 1

TEMA 3 DETERMINANTES Matemáticas II 2º Bachillerato 1

TEMA 3 DETERMINANTES Matemáticas II 2º Bachillerato 1 TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 1 TEMA DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo:

Más detalles

DETERMINANTES. Cálculo. Menor de una matriz.

DETERMINANTES. Cálculo. Menor de una matriz. DETERMINNTES Tods ls mtrices cudrds tienen erminnte. El erminnte de un mtriz ermin si los elementos de está tienen o no solución únic. Un erminnte de un mtriz de orden n se obtiene medinte el sumtorio

Más detalles

Tema 3. DETERMINANTES

Tema 3. DETERMINANTES Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas: ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un

Más detalles

a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn

a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES. NOMENCLATURA Y DEINICIONES.. - DEINICIÓN Ls mtrices son tbls numérics rectngulres ª column ª fil n n n.......... m m m mn (

Más detalles

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd

Más detalles

Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como: Definición Un sistem de m ecuciones con n incógnits es un conjunto de ecuciones como: m ecuciones b b n n n n b m m m mn n m n incógnits términos independientes incógnits Coeficientes del sistem Epresión

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL. 1. Matrices. Matriz rectangular: es la que tiene distinto número de filas que de columnas. Ej: las matrices 2 3

ÁLGEBRA LINEAL. 1. Matrices. Matriz rectangular: es la que tiene distinto número de filas que de columnas. Ej: las matrices 2 3 ÁLGEBR LINEL 1. Mtrices Def: Se llm mtriz de orden n m culquier conjunto de n m números reles o complejos, ordendos en n fils y m columns. ( ) 1 i n; 1 j m ij 11 12 1 21 22 2 =... m m n1 n2 nm Def: dos

Más detalles

1. Definición de Determinante para matrices cuadradas de orden 2 y de orden 3. Un determinante es un número que se le asocia a toda matriz cuadrada.

1. Definición de Determinante para matrices cuadradas de orden 2 y de orden 3. Un determinante es un número que se le asocia a toda matriz cuadrada. Unidd : DETERMINNTES.. Deinición de Determinnte pr mtrices cudrds de orden y de orden. Un determinnte es un número que se le soci tod mtriz cudrd. Determinnte de un mtriz cudrd de orden : El es producto

Más detalles

= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13

= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 Mtemátics Determntes Resumen DETERMINANTES (Resumen) Defición El determnte de un mtriz cudrd n x n es un número. Se otiene sumndo todos los posiles productos que se pueden formr tomndo n elementos de l

Más detalles

Determinantes y la Regla de Cramer

Determinantes y la Regla de Cramer Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos

Más detalles

es una matriz de orden 2 x 3.

es una matriz de orden 2 x 3. TEMA 7: MATRICES. 7.. Introducción l concepto de mtriz. 7.. Tipos de mtrices. 7.. El espcio vectoril de ls mtrices de orden m x n. 7.. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. Se define mtriz de orden m x n

Más detalles

MATRICES. Es la ordenación de elementos en filas y columnas de la siguiente forma:

MATRICES. Es la ordenación de elementos en filas y columnas de la siguiente forma: Álgebr Educguí.com Es l ordención de elementos en fils y columns de l siguiente form: m m m n n mn Est mtriz tiene m fils y n columns llmándose l número de fils y columns dimensión y designándose dich

Más detalles

Matemática DETERMINANTES. Introducción:

Matemática DETERMINANTES. Introducción: Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits.

Más detalles

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES de Abril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clse ) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Universidd Centrl de Venezuel Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

Más detalles

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m

Más detalles

BLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales

BLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales MTEMÁTICS º Bch BLOQUE : ÁLGEBR José Rmón Pdrón Tem : Sistems de Ecuciones Lineles MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles TEOREM DE ROUCHÉ José Rmón Pdrón Supongmos el sistem siguiente: z z

Más detalles

Resumen de Álgebra. Matemáticas II. ÁLGEBRA

Resumen de Álgebra. Matemáticas II. ÁLGEBRA Resumen de Álger. Mtemátics II. ÁLGEBRA.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS El método Guss consiste en convertir l mtriz socid un sistem de ecuciones en otr mtriz equivlente tringulr superior, hciendo

Más detalles

Determinantes de una matriz y matrices inversas

Determinantes de una matriz y matrices inversas Determinntes de un mtriz y mtrices inverss Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión

Más detalles

3.- Matrices y determinantes.

3.- Matrices y determinantes. 3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot

Más detalles

CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 01. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO

CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 01. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO CSTILL Y LEÓN / JUNIO. LOGSE / MTEMÁTICS II / EXMEN COMPLETO Se proponen dos pruebs, B. Cd un de ells const de dos problems, PR- PR-, de cutro cuestiones, C-, C-, C- C-4. Cd problem tendrá un puntución

Más detalles

Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales

Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales Tem. istems de Ecuciones Unidd. istems de ecuciones lineles. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de sistems

Más detalles

MATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina

MATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina MTRICES Mtrices de números reles. Definimos mtriz rel de elementos pertenecientes R y de dimensión n fils por m columns, quel conjunto de números reles escritos de l form siguiente: n n mtriz nxm m m nm

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES. Introducción Ls mtrices y los determinntes son herrmients del álgebr que fcilitn el ordenmiento de dtos, sí como su mnejo. Los conceptos de mtriz y todos los relciondos fueron

Más detalles

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:

Más detalles

a ij= b ij ; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n

a ij= b ij ; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Mtrices Un mtriz de m n con elementos en C es un rreglo de l form M m KKK KKK m KKK n n mn donde,,..., mn Є y m, n Є Z. L mtriz es de orden

Más detalles

AX = B. X es la matriz columna de las variables:

AX = B. X es la matriz columna de las variables: ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo:

Más detalles

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción

Más detalles

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DETERMINNTE DE UN MTRIZ CUDRD El determinnte de un mtriz cudrd es un número socido ell y cuyo cálculo depende del orden de dich mtriz. Si es un mtriz cudrd de orden n n, el determinnte de l dich mtriz

Más detalles

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1. DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)

Más detalles

Matrices ... Columna 2

Matrices ... Columna 2 Mtrices Mtrices de números reles Definiciones Def Consideremos el cuerpo cuerpo es un conjunto de números donde se puede sumr, restr, multiplicr dividir) de los números reles R Un mtri de números reles

Más detalles

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn TE trices TRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,...m; j,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic continución:... n... n............ m m m...

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES.

MATRICES Y DETERMINANTES. punes de. Cbñó MTRICES Y DETERMINNTES. CONTENIDOS: Definición y erminologí básic. Operciones con mrices: sum y produco. Produco de un mriz por un esclr. Mriz opues. Mriz invers. Epresión mricil de un sisem

Más detalles

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

2º BACHILLERATO CIENCIAS Y TECNOLOGÍA MATEMÁTICAS II EDUARDO CASTRO PERALTA

2º BACHILLERATO CIENCIAS Y TECNOLOGÍA MATEMÁTICAS II EDUARDO CASTRO PERALTA º BACHILLERATO CIENCIAS Y TECNOLOGÍA MATEMÁTICAS II EDUARDO CASTRO PERALTA I..- MATRICES. Definición de mtriz de orden nxp. Iguldd de mtrices. Tipos de mtrices: fil, column, rectngulr, cudrd, digonl, tringulr,

Más detalles

ACTIVIDADES INICIALES

ACTIVIDADES INICIALES Determinntes ACTIVIDADES INICIALES I. Enumer ls inversiones que precen en ls siguientes permutciones y clcul su pridd, comprándols con l permutción principl 34. ) 34 b) 34 c) 43 d) 34 e)43 f) 34 ) 3,4,

Más detalles

ÁLGEBRA. e I es la matriz unidad 2 2, conmutan con la A, es decir A B = B A

ÁLGEBRA. e I es la matriz unidad 2 2, conmutan con la A, es decir A B = B A Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd ÁLGEBRA Junio 94. Comprueb que el determinnte es nulo sin desrrollrlo. Explic el proceso que sigues. [,5 puntos] Junio 94.. Considerr l mtriz A. Probr que ls

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Álgebr UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.- Resolver, con el método de Guss, los sistems siguientes: ) b) 9 c) 9 8.- Resuelve utilindo l regl de Crmer: ) 7 b).- Anlir l comptibilidd del sistem siguiente:.-

Más detalles

Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese

Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese EJERCICIOS DE ALGEBRA MATEMÁTICAS APLICADAS CC. SS. II Antonio López Grcí Angeles Juárez Mrtín Jun Fernández Mese Índice Temático CAPÍTULO : MATRICES..... MATRIZ...... GRAFOS Y MATRICES... 8.. OPERACIONES

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd

Más detalles

3 Sistemas de ecuaciones lineales

3 Sistemas de ecuaciones lineales Solucionrio Sistems de ecuciones lineles CTIVIDDES INICILES.I. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones. ) c) 6 ), λ, λλ R, c) Sistem incomptible,.ii. En cd cso, escribe un sistem de ecuciones cu solución

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES Mtrices Tem MATRICES Y DETERMINANTES. DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES Un mtriz es un ordención rectngulr de elementos dispuestos en fils y columns encerrdos entre préntesis, por ejemplo A 3 4 Ls mtrices

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma: SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits,,,, n es un conjunto de m igulddes de l form: n n n n m m mn n m ij son los coeficientes i los

Más detalles

TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3

TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3 . DEFINICIÓN. http://mtemticsconsole.wikispces.com/ TE trices TRICES Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i=,,...m; j=,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic

Más detalles

Álgebra 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. a n. a m = a n+m. (a. b) n = a n. b n. ;. (a n ) m = a n. m.

Álgebra 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. a n. a m = a n+m. (a. b) n = a n. b n. ;. (a n ) m = a n. m. Álgebr 1 de Secundri: I Trimestre I: EXPRESIONES ALGEBRAICAS R Sen 1 Son epresiones lgebrics T 1 log R',, z 3 z A 1 TÉRMINO ALGEBRAICO TÉRMINOS SEMEJANTES ) 3z ; - 3z ; 6z Son términos semejntes b) b;

Más detalles

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes

Más detalles

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ... Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo

Más detalles

2. MATRICES 2.1. CONCEPTO DE MATRIZ 2.2. TIPOS DE MATRICES 2.3. OPERACIONES CON MATRICES

2. MATRICES 2.1. CONCEPTO DE MATRIZ 2.2. TIPOS DE MATRICES 2.3. OPERACIONES CON MATRICES Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 2. MARICES 2.. CONCEPO DE MARIZ 2.2. IPOS DE MARICES 2.3. OPERACIONES CON MARICES 2.3.. PRODUCO DE UNA MARIZ POR UN ESCALAR

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

Ecuaciones de 1 er y 2º grado

Ecuaciones de 1 er y 2º grado Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones

Más detalles

MATRICES 2º BACHILLER

MATRICES 2º BACHILLER Colegio Vizcy Mtemátics II UNIDAD DIDÁCTICA MATRICES º BACHILLER Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Reconocer informciones que se puedn representr medinte mtrices.. Operr con mtrices.. Reconocer

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistems de ecuciones lineles Tem 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistems de ecuciones lineles tienen muchs plicciones en todos los cmpos y ciencis y y desde. C. se tenín métodos pr resolver los sistems.

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES ) Resolver el siguiente sistem de ecuciones lineles t t z emplendo el método de Guss utilizndo trnsformciones elementles de fils En qué csos es comptible? b) Relcionr ls mtrices

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas: EXAMEN DE MATEMÁTICAS ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Dí: - XI- 4 CURSO 4-5. Hll el vlor de log log ), 4 log log b) log4 6 -log -log log 7 4 6. Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58.

Más detalles

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I CURSO DE NIVELACIÓN 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I. Con relción l potencición, se firm que es un operción: ) Conmuttiv. ) Distriutiv respecto l sum. 3) Distriutiv

Más detalles

c Ejemplo: 25 9x 2 = 0 x

c Ejemplo: 25 9x 2 = 0 x 1.- ECUACIONES POLINÓMICAS Ecuciones de º grdo Son ecuciones donde l incógnit está elevd. Ecuciones de º grdo complets Son del tipo x + bx + c = 0, con b, c 0. Pr resolverls usmos l fórmul b b 4c x L expresión

Más detalles

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0

Más detalles

X obtener las relaciones que deben

X obtener las relaciones que deben odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint

Más detalles

según los valores del parámetro a.

según los valores del parámetro a. Selectividd hst el ño 9- incluido EJERCICIOS DE SELECTIVIDD, ÁLGER. Ejercicio. Clificción ái: puntos. (Junio 99 ) Se considern ls trices donde es culquier núero rel. ) ( punto) Encontrr los vlores de pr

Más detalles

GUIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

GUIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Fcultd de Ciencis Deprtmento de Mtemátics y Ciencis de l Computción GUIA DE SISEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Resuelv los siguientes sistems de ecuciones usndo el metodo de elimincion gussin, verifique l

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistems de ecuciones lineles º) L sum de ls tres cifrs de un número es 8, siendo l cifr de ls decens igul l medi de ls otrs dos. Si se cmbi l cifr de ls uniddes por l de ls centens, el número ument en

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

TEMA 3: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MEDIANTE DETERMINANTES.

TEMA 3: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MEDIANTE DETERMINANTES. TEM : RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES MEDINTE DETERMINNTES. º BCH(CN) TEM : RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES MEDINTE DETERMINNTES..-INTRODUCCIÓN. L resoluió de sistems de euioes está ligd l estudio

Más detalles

DETERMINANTES. det : M nxn

DETERMINANTES. det : M nxn DETERMINNTES L utilidd de los determinntes como representción de reliddes, h sido de grn importnci en ls ciencis sociles, trvés de los modelos mtemáticos, especilmente los formuldos en términos mtriciles.

Más detalles

FILA COLUMNA. es una matriz de tamaño. La matriz. es una matriz de tamaño :

FILA COLUMNA. es una matriz de tamaño. La matriz. es una matriz de tamaño : 1) Definición de Mtriz Un mtriz es un rreglo bidimensionl de números (llmdos entrds de l mtriz) ordendos en fils (o renglones) y columns. Arreglo es un conjunto de elementos de un mismo tipo... Un rreglo

Más detalles

UNIDAD 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

UNIDAD 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Tem. Sistems de Ecuciones UNIDD. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de

Más detalles

Sistema de ecuaciones Parte II

Sistema de ecuaciones Parte II Regla de Cramer Sistema de ecuaciones Parte II La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones

Más detalles

TEMA 1: NÚMEROS REALES. 2. Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:

TEMA 1: NÚMEROS REALES. 2. Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números: I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrigo Deprtmento de Mtemátics Conjuntos numéricos. Relción entre ellos.. Complet: TEMA : NÚMEROS REALES Números reles. Indic el menor conjunto numérico l que pertenecen los siguientes

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

Relación 3. Sistemas de ecuaciones

Relación 3. Sistemas de ecuaciones Relción. Sistes de ecuciones Ejercicio. Consider el siste de ecuciones ) Eiste un solución del iso en l que? ) Resuelve el siste hoogéneo socido l siste ddo. c) H un interpretción geoétric tnto del siste

Más detalles

DETERMINANTES. Determinantes

DETERMINANTES. Determinantes Determinntes DETERMINANTES Autores: Jun Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu), Cristin Steegmnn Pscul (csteegmnn@uoc.edu), Ángel Alejndro Jun Pérez (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Definición

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo.

Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo. Unidd : Mtrices. Cómo deen ser ls mtrices rectngulres M y N pr que puedn efecturse ls multiplicciones M.N y N.M?. Rzonrlo. Si el orden de l mtriz M es (m,n) y el de l mtriz N es (p,q). Pr poder multiplicr

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del

Más detalles

Matemáticas 2º Bachillerato

Matemáticas 2º Bachillerato Mtemátics º Bchillerto Tem.- Sistems de ecuciones. Método de Guss.- Ecuciones lineles Se llm ecución linel de n incógnits un ecución del tipo: + + + + nn = donde,,,, n, son números reles,,,, n son vriles.

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ.

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ. Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Algebr Linel MA 0, 0/08/3, Profs. J. González, R. Gouet. Solución Exmen. Considere el siguiente sistem de ecuciones lineles,

Más detalles

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2? ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni

Más detalles

DETERMINANTES. A toda matriz cuadrada se le puede hacer corresponder un número (determinante) cuyo cálculo se puede hacer de las siguientes maneras:

DETERMINANTES. A toda matriz cuadrada se le puede hacer corresponder un número (determinante) cuyo cálculo se puede hacer de las siguientes maneras: Deterites DETERMINNTES. DEFINICIÓN. tod tri udrd se le uede her orresoder u úero (deterite uo álulo se uede her de ls siguietes ers:.. DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN. det Es deir, es el roduto de los eleetos

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2º BACHILLER

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2º BACHILLER UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES º BACHILLER OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Mnejr los métodos de resolución de sistems de dos/tres ecuciones con dos/tres incógnits (reducción, sustitución e igulción.. Profundizr

Más detalles

JUNIO 95. Solución Se pide calcular la resultante de tres fuerzas conocidos sus módulos y sus direcciones. Para ello!!! se buscan tres vectores u1,

JUNIO 95. Solución Se pide calcular la resultante de tres fuerzas conocidos sus módulos y sus direcciones. Para ello!!! se buscan tres vectores u1, OPIÓN A JUNIO 95 UESTIÓN En un vértice de un cubo se plicn tres fuerzs dirigids según los digonles de ls tres crs que psn por dichos vértices. Los módulos o mgnitudes de ests fuerzs son, y. Hllr el módulo

Más detalles

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado Determinntes hillerto º Determinntes Introduión: Los determinntes histórimente son nteriores ls mtries, pero por el uge de éstos hn queddo relegdos un º plno. El uso de los determinntes nos permitirá:

Más detalles

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1.

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1. 1) NÚMEROS NATURALES Son números que sirven pr contr. Descomposición polinómic de un número. Ej : 1.34.567 1: Uniddes de millón : Centens de millr 3: Decens de millr 4: Uniddes de millr 5: Centens 6: Decens

Más detalles

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales SOUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES Representción mtricil de un sistem de ecuciones lineles os determinntes son herrmients mu podeross pr resolver con reltiv fcilidd sistems de ecuciones lineles. Eemplo:

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

Matrices. números reales. Los jardines cifrados. Carlo Frabetti

Matrices. números reales. Los jardines cifrados. Carlo Frabetti Solucionrio Mtrices números reles LITERATURA Y MATEMÁTICAS Los jrdines cifrdos De l pred del fondo prtí un lrgo psillo débilmente ilumindo; lo recorrí y, l finl, me encontré nte un puert con pertur de

Más detalles

Algoritmos matemáticos sobre matrices:

Algoritmos matemáticos sobre matrices: Algoritmos mtemáticos sobre mtrices: Representciones especiles de mtrices, Algoritmo de Strssen, multiplicción y tringulción de mtrices Jose Aguilr Mtriz Mtriz Un mtriz es un rreglo rectngulr de elementos

Más detalles

_ b Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones 2. a y 3. a : 3 3x

_ b Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones 2. a y 3. a : 3 3x loque I. Álger Mtemátics licds ls iencis Sociles II utoevlución Págin Resuelve e interret geométricmente los siguientes sistems: x + y = z x= ) x y = ) x+ z y = x + y = x z= _ ) x + y = x y = ` Resolvemos

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS ECUACIÓN LINEAL CON VARIAS INCÓGNITAS.- Un ución linel con os o más incónits un ución en l que ls incónits tán sometis solmente ls opercion sum (o rt) proucto

Más detalles

Determinantes D - 1 DETERMINANTES

Determinantes D - 1 DETERMINANTES Determinntes D - DETERMINNTES Determinnte e un mtri ur e oren os Definiión: D un mtri ur e oren os numero rel: Det (), se llm eterminnte e l El eterminnte e un mtri ur e oren os es igul l routo e los elementos

Más detalles

CAPÍTULO VIII MATRICES

CAPÍTULO VIII MATRICES MTRICES Y DETERMINNTES 23 CPÍTULO VIII MTRICES 8. INTRODUCCIÓN Se da por entendido el concepto de transformación lineal entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, y se determina la matriz asociada

Más detalles