UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS ESCUELA DE FÍSICA

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1 UNIVESIDAD DE EL SALVADO FACULTAD DE CIENCIAS NATUALES Y MATEMÁTICAS ESCUELA DE FÍSICA TITULO: INTODUCCIÓN A LA COSMOLOGÍA PAA OPTA AL GADO DE: LICENCIADO EN FÍSICA PESENTADO PO: MANUEL OVIDIO MOENO AGUIE ASESO: LIC. FANCISCO AMÉICO MEJÍA. SEPTIEMBE DE 008 SAN SALVADO 5 DE MAZO 008

2 AUTOIDADES UNIVESITAIAS ECTO: M. SC. UFINO ANTONIO QUEZADA SÁNCHEZ FISCAL GENEAL. D. ENE MADECADEL PELA JIMÉNEZ SECETAIO GENEAL. LIC. DOUGLAS VLADIMI ALFAO FACULTAD DE CIENCIAS NATUALES Y MATEMÁTICAS. DECANO: Dr. AFAEL ANTONIO GÓMEZ ESCOTO SECETAIO: LIC. TINIDAD TIGUEOS DE CASTO DIECTO DE LA ESCUELA: LIC. FANCISCO AMÉICO MEJÍA CIUDAD UNIVESITAIA, 5 DE MAZO DEL 008

3 AGADECIMIENTOS Queremos expresar nuestros agradeimientos a todas aquellas personas que de alguna forma olaboraron en el desarrollo de este trabajo; en espeial a mi asesor, Li. Franiso Amério Mejía, por el interés que mostraron para haer posible esta investigaión, a los ompañeros de la Esuela de Físia en San Salvador y a los ompañeros del Departamento de Físia en Santa Ana.

4 DEDICATOIA A DIOS TODO PODEOSO: Por haberme dado sabiduría y guiado por el buen amino. A MIS PADES Elida Moreno, Agustín Aguirre. (Q. E. P. D) y que un día Dios tenga infinita miseriordia a través de un indulto por sus almas. Por la sabia orientaión que me dieron y por el apoyo que me brindaron para realizar unos de mis objetivos en mi vida. Agradeiendo on todo mi orazón la onfianza depositada en mí, ofreiéndole este triunfo omo resultado de mi esfuerzo. A MIS HEMANOS Y DEMÁS Por el apoyo desinteresado y permanente, así omo el ánimo onstante en los momentos más difíiles. MIEMBOS DE LA FAMILIA En espeial para Nelson Moreno y Teresa Aguirre que un día Dios tenga infinita miseriordia por sus almas a través de un indulto.

5 ÍNDICE Introduión Pag. i TEMA I. TEOÍA ESPECIAL DE LA ELATIVIDAD. I.. elatividad Clásia. I... Prinipio Clásio, Invariania de las leyes de Newton I... Transformaiones Galileanas Gráfio. Transformaiones Galileanas I.. Teoría espeial de la elatividad 3 I... Breve Introduión 3 I... Postulados de la Teoría Espeial de la elatividad 4 I.3. Transformaiones de Lorentz Gráfio. Transformaiones de Lorentz 5 5 I.3.. Transformaiones Inversas 5 I.3.. Matries de Lorentz 6 I.3.3. Transformaión Inversa 7 I.4. Transformaiones de la Veloidad 7 I.5. Transformaiones de la Aeleraión 7 I.6. Transformaiones del Momento y Energía 8 I.6.. Introduión 8 I.6.. Transformaiones del Momento - Energía 9 I.6.3. Transformaiones Inversas del Momento y Energía 9 I.6.4. Matries de Momento y Energía 9

6 I.6.5. Transformaiones Inversas de las Matries del Momento y Energía 9 I.7. Conseuenias de la transformaión de Lorentz 9 I.7.. Dilataión de la longitud e intervalos temporales 9 a) Dilataión de la longitud Gráfio 3. Dilataión de la longitud 0 0 b) Dilataión del tiempo Gráfio 4. Dilataión del tiempo I.8. Masa, Equivalenia masa energía, Energía Cinétia, Energía Total y Momento I.8.. Masa I.8.. Equivalenia masa-energía Gráfio 5. Equivalenia masa-energía 3 I.8.3. Energía Cinétia 4 I.8.4. Energía Total 5 I.8.5. Momento 7 I.9. Evento y Línea del Mundo o Universo. Gráfio 6. Línea de Universo 7 8 I.9.. Invariania de Intervalos 8 I.9.. Diagramas de Minkowski Grafio 7. Diagrama de Minkowski Gráfio 8. Ejemplos diagramas de Minkowski I.9.3. Intervalos Tipo Tiempo 33 I.9.4. Intervalos Tipo Luz 34 I.9.5. Intervalo Tipo Espaial 34 I.9.6. Métria Eulídea 34 I.9.7. Métria de Minkowski 34 I.0. Tensores en elatividad Espeial 36 I.0.. Breve repaso tensores 36

7 I.0.. Cuadrivetores en espaio de Minkowski 37 I.0.3. Transformaión de Lorentz en uadrivetores 38 I.0.4. Veloidad Cuadridimensional 39 I.0.5. Tetramomento 40 I.0.6. Tensor Energía - Momento 40 I.. Problemas esueltos y Propuestos 4 I... Problemas esueltos 4 I... Problemas Propuestos 46 TEMA II. INTODUCCIÓN TEOÍA GENEAL DE LA ELATIVIDAD 48 II.. Introduión 48 II.. Geometría no Eulidiana Gráfio 9. Geometría no Eulidiana 5 5 II.3. Prinipio de Equivalenia Gráfio 0. Prinipio de equivalenia II.4. Campos Gravitatorios en la Meánia no elativista y elativista 54 II.5. Coordenadas Curvilíneas 59 II.6. Derivadas Covariantes 6 II.6.. Derivada Covariante de un vetor Contravariante 63 II.6.. Prinipio de Aoplamiento Mínimo 64 II.7. elaión Símbolos de Christoffel y el tensor métrio 64 II.8. Geodésias 66 II.9. Euaión de Einstein 66 II.0. Prinipales Tensores usados en la elatividad General 67 II.. Prediiones de la elatividad General 70 II.. Problemas resueltos y Propuestos 74 II... Problemas esueltos 74 II... Problemas Propuestos 87

8 TEMA III COSMOLOGÍA. 9 III.. Introduión 9 III.. Presentaión breve de los modelos histórios más importantes de 93 Cosmología Gráfio. Sistema Ptolomeio 95 III.3. Cosmología Moderna 96 III.3.. Introduión 96 III.4. Deduión de la métria de obertson-walker 97 III.5. Soluión de la euaión de Einstein, usando la métria de obertson- Walker, para obtener los modelos de Friedmann 00 III.6. Deduión de la euaión del fluido Perfeto 6 III.6.. Deduión osmológia del Fluido perfeto (haiendo ). 6 III.7. Deduión de la aeleraión en el modelo de Friedmann 7 III.8. Clasifiaión de los Modelos Cosmológios Gráfio. Modelos osmológios 9 0 III.9. Modelo del Big Bang 0 III.9.. Introduión 0 III.9.. Prinipios básios donde desansa III.9.3. Definiión del Big Bang 4 III.9.4. Grandes Époas del Modelo del Big Bang Gráfio 3. Grandes époas del Big Bang Gráfio 4. Nuleosíntesis III.9.5. Consistenias del Big Bang 8 III.9.6. Debilidades del Big Bang 3 III.0. Problemas esueltos y Propuestos 33 III.0.. Problemas esueltos 33 III.0.. Problemas Propuestos Gráfio 5. Esfera Newtoniana 37 38

9 III.. Modelo Inflaionario 39 III... En que onsiste brevemente el Modelo Inflaionario 39 Gráfio 6. Modelo Inflaionario 39 III.. Últimas Investigaiones 40 III... Teoría de Cuerdas 40 III... Teoría M 4 BIBLIOGAFÍA 4

10 ÍNDICE DE GÁFICOS Pag.. Transformaiones Galileanas. Transformaiones de Lorentz 5 3. Dilataión de la longitud 0 4. Dilataión del tiempo 5. Equivalenia masa-energía 3 6. Línea del universo 8 7. Diagrama de Minkowski 3 8. Ejemplos Diagramas de Minkowski Geometría no Eulidiana 5. Prinipio de Equivalenia 54. Sistema Ptolomeio Modelos Cosmológios 0 4. Grandes époas del Big Bang 4 5. Núleo Síntesis del Big Bang 7 6. Esfera Newtoniana Modelo Inflaionario 39

11 INTODUCCIÓN El presente trabajo, pretende on toda humildad ser un material de apoyo para una materia eletiva, que se llame: Introduión a la Cosmología o Introduión a la elatividad General que se imparta en la arrera de Lieniatura en Físia, para un nivel de uarto o quinto año on prerrequisitos de: Físia Moderna, Análisis Vetorial y Tensorial, Introduión de Físia de Partíulas. Se omienza on el Tema I, La Teoría Espeial de la elatividad, en este tema se hae un brevísimo reordatorio de la elatividad Clásia: El Prinipio de elatividad Clásio, La invariania de las leyes de la Físia y las transformaiones Galileanas; luego se prosigue on una introduión breve de la Teoría Espeial de la elatividad, los postulados donde desansa, las transformaiones de las oordenadas de Lorentz, sus inversas, la representaión de las transformaiones de las oordenadas de Lorentz por un uadrivetor posiión, la representaión matriial y su expresión inversa; a ontinuaión las transformaiones de la veloidad, la aeleraión, el momento y la energía. Las onseuenias de la transformaión de Lorentz, omo: la ontraión de la longitud, dilataión el tiempo, los efetos que produe en: la masa, momento, energía total, energía inétia, el prinipio de equivalenia masa-energía. En la siguiente parte se trata de dar un enfoque geométrio o Minkowskiano a la relatividad espeial, on los términos siguientes: evento, línea del mundo o universo, invariania de los intervalos, diagrama de Minkowski, métria de Eulides, métria de Minkowski, métria de iemann, intervalos tipo: tiempo, luz o null y espaial. Luego se hae un breve repaso del uso de tensores en relatividad espeial y los uadrivetores en el espaio de Minkowski, omo: tetravetor posiión ontravariante, ovariante, veloidad uadridimensional y tetramomento. i

12 Por último al final de ada apítulo se agregan los problemas resueltos y propuestos. En el Tema II, Introduión a la Teoría de la elatividad General, se omienza on una pequeña introduión y a ontinuaión se tratan los siguientes subtemas en su orden: uso de Geometría no Eulidiana, prinipio de equivalenia, ampos gravitatorios en la Meánia no elativista y elativista, las oordenadas urvilíneas, derivadas ovariantes, derivada ovariante de un vetor ontravariante, prinipio de aoplamiento mínimo, relaión entre los símbolos de Christoffel, geodésias, euaión de Einstein, los prinipales tensores usados en la elatividad General y las prediiones. En el tema III, de Cosmología, se presentan brevemente los modelos histórios más importantes de Cosmología que han habido, una breve introduión a la Cosmología Moderna, se prosigue el desarrollo en el orden siguiente: deduión de la métria de obertson-walker, la soluión de la euaión de Einstein usando la métria de obertson- Walker, para obtener los modelos dinámios osmológios de Friedmann, la deduión de la euaión del fluido perfeto, las euaiones de Friedmann, la lasifiaión de los modelos osmológios, el modelo del Big Bang, su introduión, los prinipios básios donde desansa, sintétiamente que es el Big Bang, breve desripión de las grandes époas del Big Bang, las onsistenias, sus debilidades. Brevemente en que onsiste el modelo inflaionario, el apoyo que le proporiona al Big Bang y el gráfio de este modelo. Una breve desripión donde se enuentran las últimas investigaiones: La Teoría de Cuerdas y la Teoría M y por último una desripión de la bibliografía usada. ii

13 TEMA I. TEOÍA ESPECIAL DE LA ELATIVIDAD I.. elatividad Clásia I... Prinipio Clásio y la Invariania de las leyes de Newton. Por elatividad entendemos o deimos La aparienia que presenta la naturaleza a un observador y su relaión on la aparienia que presenta a otro observador, que se mueve on relaión al primero. El prinipio de relatividad implia la inexistenia de un movimiento absoluto en la naturaleza y por lo tanto es una ley general de ella. La invariania en méania lásia signifia que las leyes del movimiento de Newton son invariantes bajo las transformaiones de Galileo, en esta invariania el tiempo se onsidera absoluto o sea el mismo en todos los sistemas ineriales. Por lo que podemos deir que la relatividad Clásia o Galileana se puede resumir así: Todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores ineriales que se mueven uno on respeto a otros a veloidad onstante. I... Transformaiones Galileanas. La transformaión de Galileo es una transformaión de oordenadas y veloidades de un sistema de referenia inerial a otro inerial que deja invariante las euaiones de Newton. Asumiendo que en ambos Sistemas de Coordenadas tt del gráfio, obtenemos las transformaiones galileanas. Gráfio Transformaiones Galileanas

14 Transformaiones Galileanas x x- V t y y ( I.) z z Las transformaiones Galileanas Inversas son: x x + Vt y y I z z (.) Derivando on respeto al tiempo las transformaiones de Galileo obtenemos: x x Vt u u V x y y z x u u y u u I u u y z (.3) Derivando de nuevo obtenemos: du x dux a x ax dt dt du y duy a y ay dt dt du z duz a z az dt dt F ma ma F I (.4) Esto implia que las leyes de Newton son invariantes bajo las transformaiones Galileanas.

15 Dentro de las araterístias más importantes de la meánia lásia podemos menionar: a) El onepto de distania es relativo b) El tiempo no ambia, es absoluto ) Vale la omposiión de veloidades lásia d) El intervalo temporal entre dos eventos es igual en todos los sistemas de referenia ya que t t También la meánia lásia asume que: ) La isotropía del espaio: posee iguales propiedades en todas direiones. ) La homogeneidad del espaio: se ve igual en ualquier punto donde estemos ubiados (posiión). 3) El aráter eulidiano del espaio 4) La onservaión de la masa o materia y de la energía son independientes. Los numerales y también son asumidos por la elatividad Espeial de Einstein. I.. Teoría Espeial de la elatividad I..I. Breve Introduión Una breve introduión: a finales del siglo XIX, la teoría Eletromagnétia de Maxwell y la Meánia Newtoniana eran inompatibles; las euaiones de Newton eran invariantes bajo las Transformaiones de Galileo y las euaiones de Maxwell no lo eran, el heho que las euaiones de Maxwell no lo fueran podría tener las siguientes ausas: ) Las euaiones de Maxwell no eran válidas ) Existe un Sistema de referenia preferido (el éter) 3) Las transformaiones de Galileo no son las adeuadas 3

16 El famoso experimento de Mihelson-Morley en 887 que onsistía en probar la existenia del éter y para determinar la veloidad de la luz on respeto al éter. Este famoso experimento demostró que la veloidad de la luz era onstante independientemente si el observador estaba en reposo o en movimiento, esto signifiaba que no existía el sistema de referenia preferido o éter y además que existía una veloidad límite en la naturaleza y la meánia lásia predeía que si se medía la veloidad de la luz on relaión al éter en la direión del movimiento de la tierra tenía que obtenerse un valor mayor que (veloidad de la luz). La onstania de la veloidad de la luz onstituyó el segundo postulado de la relatividad espeial y la veloidad límite en la naturaleza el primer postulado. En 905 Einstein presentó la Teoría Espeial de la elatividad y ondujo a una revisión radial de los oneptos newtonianos de espaio y tiempo, la equivalenia de masa y energía que une la onservaión de materia y energía on la famosa euaión: donde E t mr, E t es la energía total o sea la suma de la energía en reposo mas la energía inétia. Este es uno de los desubrimientos más importantes de la elatividad Espeial y nos die que la masa o materia es una forma de energía. La más dramátia omprobaión de la euaión es la reaión de la bomba atómia por medio de la fisión nulear, la masa de las partes resultantes es menor que la del núleo original, la diferenia de masas se ha transformado en energía liberada on terribles onseuenias destrutivas. La relatividad espeial ha jugado un papel muy importante en el desarrollo posterior de la físia moderna y los en los avanes tenológios y ientífios atuales. I... Postulados de la Teoría Espeial de la elatividad a) Prinipio de elatividad: Las leyes de la Físia son las mismas en los maros de referenia ineriales. b) Invariania de la veloidad de la luz: La veloidad de la luz en el vaío es onstante e independiente si el observador está en reposo o está en movimiento. 4

17 I.3. Transformaiones de Lorentz Las transformaiones de Lorentz son un onjunto de euaiones que estableieron la base matemátia de la teoría espeial de la relatividad de Einstein. Las transformaiones de Lorentz preisan el tipo de geometría del espaio-tiempo requerida por la teoría espeial de la relatividad. Las Transformaiones de las oordenadas según Galileo no satisfaen el postulado de la relatividad espeial de Einstein y para lograrlo Lorentz introdujo las siguientes transformaiones de las oordenadas: Gráfio. Transformaiones de Lorentz ( ) x γ x Vt y y z z I V t γ t x (.5) donde γ es el fator de Lorentz y γ v omo: v < γ > 5

18 I.3.. Transformaiones inversas En las transformaiones inversas se sustituye el signo menos por el signo más. ( ) x γ x + Vt Vx t γ t + I.6 y y z z β V ( ) I.3.. Matries de Lorentz u [ ] u v,donde [ ] u v v x L x γ βγ 0 0 βγ γ u [ L] ( I.7) v L es la matriz de transformaión de Lorentz y es igual a: Luego las transformaiones de Lorentz en forma matriial se esriben así: t γ βγ 0 0 t x βγ γ 0 0 x y y z z ( I.8) donde [ L ] es la matriz de Transformaión de Lorentz y haiendo x x ( y y ) ( ) se puede transformar en (omitiendo la parte que no ambia): x 3 x 3 z z y x γ βγ x x βγ γ x ( I ) 6

19 I.3.3. Transformaiones inversas u u u v x L x ' L v v L γ βγ 0 0 u βγ γ 0 0 L v u v es la matriz inversa y: ( I.0) Luego las transformaiones inversas se esriben así: t γ βγ 0 0 t x βγ γ 0 0 x y y z z ( I.) I.4. Transformaiones de la veloidad Donde v, v y ' x ' y ' v z son las omponentes de la veloidad en los ejes x, y, z y vx, vy, v z son las omponentes de la veloidad en los ejes x, y, z. vx V v x V v x vy v y V v x vz v z β V v x ( I ) β. I.5. Transformaión de la aeleraión Las omponentes de la aeleraión en los ejes x, y, z se obtienen derivando on respeto al tiempo las veloidades v, v, v ' ' ' x y z 7

20 ( β ) 3 ax a x vxv 3 ( ) ( β ) ( I.3 ) ay + axvy vxay a y 3 vx a ( ) ( β 3 ) a + a v v a vx ' z x x x z z I.6. Transformaiones del Momento y Energía. I.6.. Introduión El prinipio de Covarianza de la elatividad Espeial requiere que ualquier magnitud vetorial de la Meánia Newtoniana venga representada en Meánia elativista por un Cuadrivetor o Cuadritensor. Así, el Momento Lineal requiere ser ampliado a un uadrivetor llamado Cuadrivetor Energía-Momento o Cuadrimomento, que viene dado por uatro omponentes, una omponente temporal (energía) y tres omponentes espaiales (momentos lineales en ada direión oordenada). E P P P P P p p p m m v E P mvγ 0 3 (,,, ), x, y, z { γ 0, γ 0 } 0 P m0γ I { γ, γ } α P m m v 0 0 (.4) m 0 la masa en reposo de la partíula es invariante ( ) ( ) ( ) γ 0 γ γ.5 0 Et P m m m I 8

21 I.6.. Transformaiones de Momento-Energía. V P x γ px E E γ E Vp I p p y p p z ( ) (.6) y z x I.6.3. Trasformaiones Inversas de Momento -Energía V Px γ p x + E E γ E + Vp I p p y z p ( ) (.7) y p z x I.6.4. Matries de Momento Energía Las dos expresiones anteriores se pueden expresar en forma matriial en las siguientes formas: E 0 0 E γ βγ p βγ γ 0 0 x p x p y py p z p z ( I.8) I.6.5. Matries Inversas de Momento -Energía E 0 0 E γ βγ p βγ γ 0 0 x p x p y p y p z p z ( I.9) I.7. Conseuenias de la transformaión de Lorentz.7. Dilataión de la longitud e Intervalos temporales 9

22 a) Dilataión de la longitud Gráfio 3. Dilataión de la longitud Del maro de referenia S y onsiderando que la longitud de la barra es de un metro vista desde el maro de reposo S. Si la barra yae paralela al eje x en este maro, la distania desde el extremo A, en x A,, al extremo B, en x B es L. La longitud de la barra en S es: L x x B A Ahora miremos esta misma barra omo observadores situados en el maro de referenia S. Dejemos que el maro S se mueva on veloidad v en una direión paralela al eje x de S. Mirando a la barra omo observadores en S, definimos la longitud así: L x x B A Haiendo uso de las transformaiones de Lorentz, llegamos a la expresión matemátia siguiente: ( ) x x γ x x B A B A ( ) L γ L I.0 0

23 Donde el fator de Lorentz: γ v y v debe ser siempre menor que, entones γ debe ser mayor que. Conluimos que: L < L o sea que la longitud observada uando la barra en movimiento on respeto al observador en reposo S paree ser más orta, que la longitud observada movimiento S uando la barra esta en reposo on respeto al observador en b) Dilataión del tiempo Gráfio 4. Dilataión del tiempo Imaginemos que en un vagón que se mueve on veloidad v, próxima a la veloidad de la luz, un viajero eniende una lámpara apuntando al teho y supongamos que dos observadores ven omo un fotón que sale de la lámpara hoa ontra el teho.. Observador en el vagón

24 Observado dentro del vagón el fotón reorre una distania s en un tiempo t, por tanto s t. Observador fuera del vagón Observado desde fuera del vagón el fotón ha reorrido una distania s en un tiempo t, por tanto s t 3. elaión entre t en reposo y t en movimiento (en el vagón). Apliando el Teorema de Pitágoras: s s + d t t + v t ( ) v t t t t v t γ t I (.) Como γ es mayor que, t es mayor que t I.8. Masa, Equivalenia Masa -Energía, Energía Cinétia, Energía Total y Momento I.8.. Masa La uestión si la masa ambia o no ambia es una disusión de hae muho tiempo y sobre la ual no hay auerdo general aún. La disputa se originó después de la formulaión geométria de la relatividad espeial por parte de Minkowski y también por parte de los físios de partíulas en la déada de 930, que asumieron que las partíulas elementales, omo el eletrón al ser aelerados no ambiaba su masa en reposo, algunos físios teórios de renombre, omo: Born, Pauli, De Broglie, se opusieron a esta postura. Con humildad y reonoiendo el genio de Einstein, mi opinión de lo que he leído al respeto es que Einstein, no dejó bien laro este onepto, desonozo los motivos,

25 porque ya trabajaba en Prineton en E.U. uando se originó este debate. En el libro de Introduión a la Teoría Espeial de la elatividad de obert esnik se plantea que se puede trabajar on las dos interpretaiones de la antidad de movimiento relativista, esto lo apoya Hugo Fernández, Profesor titular de Físia Moderna de la Universidad Tenológia Naional de Argentina, ya que el tiene un urso de elatividad Espeial disponible en Internet y al ual le esribí por . También existen otros físios teórios que apoyan esta propuesta. Con ello se demostrará que ningún tratamiento es equivoado, sino que las diferenias son uestiones de gusto. En la primera interpretaión se puede onsiderar que la masa es una antidad esalar invariante. Por lo tanto, en la euaión relativista de la antidad de movimiento el fator γ v se relaiona on la veloidad ordinaria, en lugar de haerlo on la dx masa. Es deir, se puede deir p m0 dτ, donde dx dτ es la veloidad relativista. Aquí, la masa m 0 es invariante y el intervalo de tiempo propio dτ también es invariante. Tal formulaión es útil porque enfatiza antidades invariantes. Además, onuerda on la idea fundamental de la relatividad, en este sentido la relatividad modifia los oneptos de espaio y tiempo, y de este modo se espera que ambien antidades inemátias tales omo espaio y tiempo, mientras que debe onservarse el onepto que se tenía sobre otras propiedades de uerpos, las uales no están diretamente relaionadas on el tiempo y el espaio, tales omo la masa y la arga. Si, por ejemplo, dx se ompara la euaión lásia de la antidad de movimiento: p m0, on la dt dx forma relativista: p m0, se ve que la diferenia que hay dτ entre ellas no es ausada por una diferenia del valor de la masa, sino por la diferenia entre el tiempo 3

26 propio dτ y el tiempo impropio dt. En verdad, debe notarse que si se identifia el fator γ on la masa o on la veloidad, entones el origen de este fator en las mediiones de olisión es inemátia; es deir, se debe a la relatividad de las mediiones de tiempo. En la segunda interpretaión y es la que asumo, la masa de un uerpo o partíula es una medida de su ineria y depende de su ontenido de energía. La ineria es una medida de la resistenia que opone un uerpo para ambiar el estado de movimiento o de reposo. Existe también la ineria térmia que mide la difiultad on la que un uerpo ambia su temperatura al estar en ontato on otros uerpos o ser alentado. La ineria térmia depende de la antidad de masa y de la apaidad alorífia. La masa relativista, la representaremos así m r y la masa en reposo o invariante omo m 0. m r m 0 v ( I.) La antidad de movimiento la esribo así: r ( ) P m v γ m0 v I.3 donde γ v y afetaría a la masa en reposo. La energía total o relativista omo E m γ m ( I ) Esta interpretaión tiene formas más simples. En un breve trabajo en Septiembre de 905 intitulado t r 0.4 Depende la ineria de un uerpo de su ontenido de energía?, Einstein esribe: Si un uerpo libera energía E E en forma de radiaión, su masa disminuye en sale del uerpo se onvierta en energía de radiaión,. El heho de que la energía que se llega a la onlusión más general de que la masa de un uerpo es una medida del ontenido de energía. La 4

27 teoría ha sido puesta a prueba experimentalmente exitosamente y la radiaión ondue ineria entre los uerpos que la emiten y absorben. De esto se puede deir que a la energía de reposo se le llame energía interna. Se sabe que: m de modo que dm det dt dt dt E t K + m dk dt dk dt ( 0 ) dm dt De donde: ( I.5) Lo ual india que un ambio en la energía inétia de una partíula origina un ambio proporional en su masa (relativista). Es deir, que la masa y la energía son equivalentes, difiriendo sus unidades en un fator.si se onsidera a la energía inétia de un uerpo omo una forma de energía externa, entones la energía de la masa en reposo puede onsiderarse omo la energía interna. Esta energía interna onsiste en parte, de movimiento moleular, que ambia uando el uerpo absorbe o emite energía térmia, o bien, energía potenial intermoleular, que ambia uando se produen las reaiones químias omo disoiaión o reombinaión. La energía interna también puede manifestarse omo energía potenial atómia, que puede ambiar uando un átomo absorbe radiaión y se exita o emite radiaión y se desexita, o omo energía potenial nulear, que puede ambiar por reaiones nuleares. Sin embargo, la mayor ontribuión a la energía interna, es la energía total de la masa en reposo proporionada por las partíulas fundamentales, a quienes se onsidera omo la fuente primaria de la energía interna. De la expresión para la masa relativista: 5

28 v mr m m + m v + I ( ) Esto demuestra que la masa relativista de una partíula moviéndose lentamente exede a la masa en reposo en vees la energía inétia. Este aumento bien pequeñísimo nuna ha sido observado en olisiones elástias lásias en los laboratorios. También si la veloidad aumenta grandemente, la masa en exeso aumenta. dk Un ambio en la energía inétia ontribuye a la masa relativista dt dm dt, esto implia que los fotones que son radiaión eletromagnétia deben poseer masa relativista, por poseer solamente energía inétia (energía en reposo ero), aunque también se propone que el fotón enerrado en una aja debe tener masa en reposo. Entones todas las formas de energía deben tener masa. 3 Por lo tanto ualquier masa es un reurso para el ampo gravitaional y los fotones deben tener un ampo gravitaional. Et Si se alula la masa del fotón por medio de la expresión relativista: mr desde los rayos gamma, x, ultravioleta, visibles, tv-radar, et. Ver apítulo 6, elativity, Speial, General and Cosmologial, Ed. indler, Oxford, 006. Ver apítulo 4, Mehanis of Speial elativity, del libro elativity : An Introdution to Speial and General elativity, 3Ed., de Hans Stephani, Cambridge, Ver apítulo 4. The elements of relativisti mehanis del Libro Introduing Einstein s elativity, ay D Inverno, Oxford University Press,

29 Se obtienen los resultados: 4.4x0,.x0, 4.4x0,3.x resultados estarían de auerdo on la expresión relativista: Et mr I (.7) gramos, estos de α dm r La energía relativista es proporional a la masa relativista y la onstante de proporionalidad es la veloidad de la luz al uadrado, a medida que va disminuyendo la energía va aumentando la masa en el espetro eletromagnétio y apoyaría el viejo dilema que la luz o radiaión eletromagnétia es dual y los ambios de freuenia que experimentan los fotones, por ejemplo, uando interatúa on un eletrón libre (efeto Compton). Un fotón es la unidad mínima de energía eletromagnétia asoiada a una longitud de onda espeífia. Un fotón es tanto una partíula omo una onda. La luz es una perturbaión elétria y magnétia que viaja por espaio, su energía es transportada por fotones y tiene omportamiento dual materia o orpúsulo (fotón) y omo onda uando muhos fotones viajan en la misma direión y on la misma energía. Así el prinipio de equivalenia de masa-energía de la relatividad espeial de Einstein, no inluye solamente la inemátia, sino la meánia (masa y energía) y otras áreas de la físia omo: el eletromagnetismo,la relatividad general, la físia de partíulas, et. En las últimas ediiones de los libros de Físia de Serway, Tipler se plantea el no uso de la masa relativista, pero no hay una respuesta lara, uando dien lo siguiente: En ondiiones relativistas uando la veloidad v de una partíula es paralela a la 7

30 fuerza F y a la aeleraión a y que viene dada por la euaión: ur a F v ( I.8). Vemos que uando la rapidez de la partíula se aproxima a, la aeleraión ausada por ualquier fuerza finita se aproxima aero. En onseuenia, es imposible aelerar una partíula desde el reposo hasta una rapidez u. Este argumento demuestra que la disminuión de la aeleraión, solamente puede ser debida al aumento de la masa inerial o (relativista), esto no lo explian en tales libros. Y uando la fuerza apliada F es paralela a la aeleraión a y perpendiulares a la F m veloidad v la euaión es: a ( I.9) La masa es una de las propiedades más importantes de ualquier uerpo: Nosotros estamos aostumbrados que siempre es invariable. En partiular, la masa no depende de la veloidad. Esto se debe a que al apliar una fuerza onstante, la veloidad ree proporionalmente al tiempo de aión de la fuerza. A veloidades muy grandes, la veloidad no ree proporionalmente al tiempo de aión de la fuerza, sino más lentamente debido a que existe una veloidad máxima. A medida que la veloidad del uerpo se aproxima a la veloidad de la luz, su reimiento es más lento siendo la fuerza invariable y por lo tanto, la veloidad máxima nuna será superada. Cuando la veloidad del uerpo llega a ser omparable on la veloidad de la luz, la proporionalidad entre el tiempo y la veloidad del uerpo desaparee y la masa (m) omienza a depender de la veloidad. ( ) m γ m0 I.30 r 8

31 Donde: m 0 es la masa en reposo o invariante y es independiente del observador a veloidades v << que es la veloidad on la ual vivimos prátiamente todos los humanos. La físia ontemporánea es apaz de omparar la masa de los eletrones que se mueven a una veloidad enorme, on la masa de los eletrones en reposo. Los resultados experimentales han onfirmado totalmente la dependenia entre la masa y la veloidad; además ualquier trabajo efetuado sobre el uerpo, ualquier aumento de la energía, aumenta su masa. Por esto un uerpo alentado tiene mayor masa que el uerpo frío, el resorte ontraído tiene mayor masa que el resorte aflojado. Cuando un eletrón en reposo hoa on un antieletrón en reposo, después de la olisión desaparee la masa del eletrón y el antieletrón y apareen dos fotones gamma (energía eletromagnétia) y en todos los asos de antimateria no se onserva la masa en reposo después del hoque (protón on antiprotón, et.). En las dos euaiones relativistas: 0 (.3) P γ mv y P γ m v I En la primera interpretaión el fator γ va ligado a la veloidad y en la segunda interpretaión va ligado a la masa, no existe ninguna objeión. E m I ( ) 0.3 En la primera interpretaión, omo la masa es invariante, no podemos llegar a la equivalenia de masa y energía o sea no podemos haer el desarrollo; porque tendríamos dos onstantes la masa y la veloidad de la luz. Usando la segunda interpretaión, donde la masa va ligada on el fator gamma. 9

32 m0 v 3 v Et mr m 0 + m0 + m v 8 el terer término es siempre más pequeño que el segundo y se despreia, usando la fórmula del binomio: ( x) ( ) n nx n n x !! Et m0 + m0v I (.33) el primer término es la energía de reposo y el segundo término, la energía lásia. inétia Como resultado se obtiene: La energía total energía en reposo + la energía inétia lásia newtoniana, esto demuestra que la elatividad Espeial oinide on la Meánia Clásia, uando las veloidades son pequeñas. Si la masa fuera invariante omo lo propone la primera interpretaión, no se umpliría esta última deduión y no se umpliría la famosa euaión de Einstein de la equivalenia de masa (materia) y energía: materia es una forma de energía y además en la euaión: E t mr esta euaión nos die que la masa o E m si es onstante y m es una onstante, entones la energía también sería onstante y sabemos que la energía no es onstante se transforma de una forma a otra. La revoluión de Einstein no fue solamente on los oneptos de espaio y tiempo, sino de masa y energía, porque la meánia lásia onsideraba la masa o materia una osa y la energía otra osa y la onservaión de la materia y la energía aparte, pero la famosa euaión de la relatividad espeial: E m ; reúne la onservaión de materia y energía en una sola y por lo tanto podemos transformar materia en energía o vieversa(ualquier lase de energía) y deir que la masa es una forma de energía 0

33 y además si onsideramos E m, donde la masa es un invariante y una onstante, esto impliaría que la energía es onstante, pero si matemátiamente lo expresamos así: Eα m podemos deir que la energía es proporional a la masa y la onstante de proporionalidad sería la veloidad de la luz. Que debido a que el oefiiente de proporionalidad entre el ambio de masa y el ambio de energía es demasiado pequeño, y para aumentar la masa de un uerpo en un gramo, se neesita omuniar a este uerpo una energía de 5 millones de kilovatioshora. Y por eso es preisamente por lo que el ambio de masa de los uerpos, en ondiiones normales, es sumamente insignifiante y se esapa de las mediiones más exatas. Por lo que la masa se podría onsiderar invariante o replantear el onepto de masa y deir masa- energía en vez de solamente masa en relatividad espeial. - masa válida para todas las partíulas, inluyendo las que se mueven a la veloidad de la luz: m r Et.34 ( I ) m r masa de ualquier partíula, al uadrado. E t energía total, es la veloidad de luz - masa para partíulas no masivas (fotones) m r hγ ( I.35) (.V. Pound y G. A. ebka, Jr., efetuaron en 960 un experimento valiéndose del efeto Mossbauer y enontraron que la masa de un fotón moviéndose a la veloidad de la luz, la únia a la que puede viajar, está dada hν.36 por m ( ) de auerdo on la euaión E hν m ( I.37).

34 El efeto Mossbauer permite determinar on muhísima preisión ambios pequeñísimos de la energía de fotones gamma. I.8.. Equivalenia masa- energía: La más élebre fórmula en la historia de la ienia, onoida omo Prinipio de Equivalenia entre masa y energía: E m y nos die que la masa es una forma de energía a diferenia de la meánia de Newton que las onsideraba diferentes. Calentar un sistema marosópio, darle uerda a un reloj, aumentar la veloidad de una partíula, o la absorión de radiaión por parte de un gas, son distintos ejemplos de proesos que provoan un inremento de la ineria (masa) del sistema que se trate, que umple on: E m Siendo E la energía entregada al sistema en el proeso. La magnitud que mide la ineria es la masa relativista. Por supuesto que si el sistema pierde energía por algún proeso ualquiera (radiaión, enfriamiento, et.), el sistema disminuye su masa de auerdo on la misma relaión. La produión de energía en los proesos de fisión nulear (reatores y entrales nuleares) y fusión nulear y otros muhos proesos (omo la fabriaión de la bomba atómia) son expliables por medio de esta revoluionaria hipótesis. Un ejemplo de la equivalenia de masa energía y la dependenia de la masa en reposo de la energía interna es el siguiente: Consideremos un sistema aislado onsistente de un núleo atómio en estado exitado. Nos situamos en el maro en que el núleo está en reposo. Supongamos que el núleo deae a su estado fundamental emitiendo dos fotones de la misma energía y en direiones opuestas omo se representa en la siguiente figura.

35 Gráfio 5. Equivalenia masa-energía En el sistema del núleo el momento iniial es nulo (núleo en reposo), y en el final los momentos de los dos fotones se anelan por lo que el núleo ontinúa en reposo. Para que el momento se onserve en ualquier sistema inerial es neesario que la uarta omponente deaimiento ésta es: p 0 E también sea independiente del tiempo. Antes del E M 0 Luego del deaimiento está formada por la energía del núleo, que ontinúa en reposo y la de los dos fotones que se llevan la exitaión Eint del núleo: E M + hν ' 0 M + E ' 0 int La masa en reposo del núleo ha ambiado de la siguiente manera: M M M I ( ) ' int Este resultado naido de la propuesta de que el momento P de un sistema aislado se onserva on en el tiempo nos die que la masa en reposo de un sistema depende de su energía interna. Este es el aso uando un núleo se libera de la energía la emisión de de dos fotones, su masa inerial disminuye en la antidad int mediante int. 3

36 Un aso más general es uando un núleo exitado iniialmente en reposo deae emitiendo un solo fotón. I.8.3. Energía Cinétia La energía inétia, o sea el trabajo neto heho sobre la partíula, es Donde: r K F dr I 0 K energía inétia F Fuerza (.39) dr desplazamiento K Ya que: dr vdt, m r ( ) v dv dt dr v dv vdv, m m 0 v Tenemos: K m v ( ) v vdv Que integrado da: K m 0 ( ) v r t 0 0 m K m m I K E E 0 (.40) ( ) ( ) K m m0 I.4 r 4

37 De donde la energía inétia es igual a la energía total relativista menos la energía en reposo o K veloidad de la luz al uadrado. m la energía inétia ser igual al ambio de masa por la I.8.4. Energía total Donde E t mr energía relativista total Et Eo + K Et m0 + K I E E + P t 0 (.4) La energía relativista total se puede representar de las tres formas anteriores. Donde la energía relativista total es igual a la energía en reposo más la energía inétia. E 0 m0 la energía en reposo es igual a la masa en reposo por la veloidad de la luz al uadrado. m o es la masa en reposo es invariante en ualquier maro de referenia. De la última expresión se puede ver que P también representa la energía inétia. Desarrollando la energía relativista total E t : m0 v 3 v Et mr m 0 + m0 + m v 8 el terer término es siempre más pequeño que el segundo y se despreia, usando la fórmula del binomio: ( x) ( ) n nx n n x !! 5

38 Et m0 + m0v ( I.43), el primer término es la energía de reposo y el segundo término la energía inétia lásia. Como resultado se obtiene: La energía total energía en reposo + la energía inétia lásia newtoniana, esto demuestra que la elatividad Espeial oinide on la Meánia Clásia, uando las veloidades son pequeñas. La físia prerrelativista onoe dos prinipios de onservaión fundamentales: el de onservaión de la masa y el de la energía; la teoría de la relatividad los funde en uno solo: la onservaión de masa-energía. ) La onservaión de la energía sale de la uniformidad del tiempo. ) La onservaión de la antidad de movimiento es onseuenia de la homogeneidad del espaio. 3) La onservaión del momento angular resulta de la isotropía del espaio. Deduión de la energía relativista total E t m r m 0 v m r v m 0 elevando al uadrado ambos lados m v r m 0 m v r m 0 ( ) m v m trasladando el término r o a la dereha. m m v m multipliando ambos lados por r r 0 6

39 m m v m 4 4 r r 0 ( r ) E m v E t 0 E p E I t 0 E E + p t 0 (.44) E t energía total E 0 energía de reposo m 0 masa en reposo inerial m r masa inerial relativista p energía inétia relativista I.8.5. Momento i. p mv ( I.45) lásiamente m es invariante para veloidades muho menores que la veloidad de la luz, que es prátiamente el mundo en que vivimos. ii. p γ m v ( I ) 0.46 para veloidades eranas a la de la luz. m 0 es la masa en reposo γ v es el fator gamma y va ligado a la masa y no a la veloidad. iii. Cantidad de movimiento de un fotón hν p hλ I (.48) I.9. Evento y línea de mundo o universo Evento o Sueso: Se define por el lugar que ourre y por el instante en que ourre y matemátiamente se define por: (x, y, z, t). En el espaio-tiempo, los eventos se representan por puntos, llamados puntos en el Universo y a ada partíula le orresponde ierta línea llamada línea del Universo. 7

40 En el gráfio 6 tenemos el movimiento de una partíula en el espaio-tiempo y el tetravetor u es la tangente de la partíula en la trayetoria llamada línea del mundo o universo x α ( τ ) y representa la derivada del tetravetor posiión u U on respeto al tiempo propio τ que es el tiempo medido por un observador en movimiento. Gráfio 6. Línea de Universo I.9.. Invariania de Intervalos. Se define un sueso al onjunto ( x, y, z, t) que determinan el punto en el espaio y en el instante en que ourre. Los suesos perteneen a un espaio matemátio tetradimensional donde ada punto, llamado punto del Universo, representa un sueso. El movimiento de una partíula puntual en este espaio será una urva denominada urva del Universo. Expresión matemátia del prinipio de la invariania de la veloidad de la luz. Sean K y uniforme. K dos Sistemas de referenia que se mueven on movimiento relativo Elijamos los ejes de oordenadas de tal manera que X y X oiniden, mientras que los ejes Y y Z son paralelos a los ejes Y y Z ; representemos el tiempo en los sistemas K y K por t y t. 8

41 Supongamos que el primer sueso onsiste en la emisión de una señal, que se propaga a la veloidad de la luz, desde un punto de oordenadas x, y, z en el sistema K y en el instante t de este mismo sistema. La propagaión de esta señal se observa desde el sistema K. Supongamos que el segundo sueso onsiste en la llegada de la señal al punto x, y, z en el instante t. La señal se propaga on la veloidad ; la distania reorrida por ella es: ( t t ) Pero, esta misma distania es igual a: ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ( t t ) Podemos esribir, por lo tanto la siguiente relaión entre las oordenadas de ambos suesos en el sistema K: ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ( t t ) ( I ) 0.49 Los mismos dos suesos, es deir. La propagaión de la señal, se pueden observar desde el sistema K. x, y, z, t y x, y, z, t las oordenadas en el sistema K del primer y Sean segundo sueso, respetivamente. Dado que la veloidad de la luz es la misma en los sistemas K y K, tenemos, omo en ( ) : ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ( t t ) ( I ) 0.50 La antidad: s ( t t ) ( x x ) ( y y ) ( z z ) intervalo entre dos suesos. 0 se llama Del prinipio de invariania de la veloidad de la luz se onluye, por onsiguiente, que si el intervalo entre dos suesos es ero igual a ero en ualquier otro sistema de referenia: s 0, en un sistema de referenia, es también 9

42 s s 0 s s s I.9.. Diagramas de Minkowski Los diagramas de Minkowski permiten un enfoque geométrio de la relatividad espeial. Aunque la Teoría Espeial de la elatividad fue presentada por Einstein en 905, no se onvirtió en un modelo popular hasta 908. Esto fue posible graias a los trabajos del matemátio alemán Hermann Minkowski y que había sido profesor de Einstein, quien desarrolló los Diagramas de espaio-tiempo (geometrizaión de la teoría espeial de la relatividad), la Métria y las Transformaiones de Lorentz y onvirtió el espaio-tiempo de Einstein diferente al espaio y tiempo de Newton. La desripión espaio-tiempo de Minkowski puede ser visualizada fáilmente omo un espaio plano (el típio plano de la geometría eulidiana) donde la dimensión tiempo es perpendiular al plano(x, y, z). Minkowski demostró que los eventos estableidos en la teoría espeial de la relatividad de Einstein pueden ser desritos en forma geométria usando el espaio-tiempo. El trabajo de Minkowski tuvo dos efetos importantes. ) Permitió popularizar las ideas de Einstein, ya que su planteamiento geométrio lo haía más aesible. ) Ayudó a Einstein a visualizar las leyes de la naturaleza on la geometría y en espeial la gravedad (sistemas aelerados). - Ejemplo de un diagrama espaio-tiempo de Minkowski. 30

43 Gráfio 7. Diagrama de Minkowski Un ono de luz (o diagramas de Minkowski) es una representaión del espaio-tiempo on arreglo a la teoría de la elatividad Espeial. Según diha teoría, el ono de luz es un modelo útil para desribir la evoluión en el tiempo de un haz luminoso en el espaio-tiempo de Minkowski. El ono de luz sirve asimismo omo representaión del prinipio de ausalidad, que enlaza entre sí el prinipio de ausa y efeto. El fenómeno real uadridimensional (tres dimensiones espaiales más la dimensión temporal) puede visualizarse a través de un gráfio en el ual en el eje horizontal se usa la x (omo la parte espaial) y en el eje vertial la dimensión temporal (t). El ono de luz se diseña del siguiente modo: Tomemos omo origen del sistema de oordenadas espaio-temporales un evento ualquiera O. Con otras palabras, en el sistema de oordenadas uadridimensional, uyos ejes se indian por x, y, z, t, el punto del universo del evento O es el origen de de oordenadas. Veamos ahora que relaión 3

44 liga los demás suesos on el sueso dado O. Para failitar la intuiión, onsideraremos sólo una dimensión espaial y el tiempo, representándolos sobre dos ejes (gráfio). El movimiento retilíneo y uniforme de una partíula que pasa por x0 en el instante t0 se representa por una reta que pasa por O y uya pendiente respeto del eje t es igual a la veloidad de la partíula. Dado que la veloidad máxima es, el ángulo entre esta 0 reta y el eje t no puede superar un ierto valor máximo ( 45 ). En la figura (7) se representan las dos retas que orresponden a la propagaión de dos señales (on la veloidad de la luz) en sentidos opuestos y que pasan por el sueso O (es deir, que pasan por x0 en el instante t0). Todas las retas que representan movimientos de partíulas pueden estar sólo en las regiones: a0 y d0b. Sobre las retas a b y d, evidentemente las euaiones son: x ± t Consideremos primero suesos uyos puntos de universo se enuentran en la región a0. Es fáil ver que para todos los puntos de esta región es t x > 0. Diho de otro modo, el intervalo entre un sueso ualquiera de esta región y el sueso t es temporal, están ausalmente onetados, perteneen al futuro o sea que todos los suesos ourren después que O y están dentro del ono de luz. Pero dos suesos que están separados por un intervalo temporal, en ningún sistema de referenia pueden ser simultáneos. Por onsiguiente, es imposible enontrar un sistema de referenia en el que un sueso ualquiera de la región a0 ourra antes que el sueso O. Esta región se puede llamar el futuro absoluto respeto del sueso O. Exatamente de la misma manera, todos los suesos en la región b O d perteneen al pasado absoluto respeto del sueso O, es deir que ourren antes que el sueso O en todos los sistemas de referenia y están dentro del ono de luz. Los suesos que están en el intervalo: null. t 0 a 0 45 se les llama intervalos tipo luz o Consideremos finalmente las regiones: d0a y b0. El intervalo entre un sueso ualquiera de esta región y el sueso 0 es espaial: t x < 0. Estos suesos ourren en puntos diferentes del espaio respeto de ualquier sistema de referenia. Estas 3

45 regiones se pueden alifiar de absolutamente separadas respeto de O. Sin embargo, los oneptos simultáneos antes y después son relativos para estos suesos. Para un sueso ualquiera de esta región existen sistemas de referenia en los que el sueso ourre después que el sueso O, sistemas en los que ourre antes y, finalmente sistemas de referenia en los que diho sueso y O son simultáneos. Ejemplos de intervalos en diagramas de Minkowski. Gráfio 8. Ejemplos diagramas de Minkowski. I.9.3. Intervalo Tipo Tiempo Se le llama intervalo tipo tiempo al intervalo entre los eventos O y Q, en el ual el evento Q suede después del evento O o sea están ausalmente onetados, no pueden sueder simultáneamente, esta es la araterístia mas importante de los intervalos tipo tiempo o temporales sea que se enuentren en el ono de luz absoluto del futuro o del pasado y el valor del intervalo ds es mayor que ero. En el aso del intervalo ds de los eventos entre OQ están en el futuro absoluto. 33

46 ( ) 0 (.57) ds dt dx dy dz I + + >, se llama intervalo tipo temporal I.9.4. Intervalo Tipo Luz (Null ) Se llama intervalo tipo luz o Null al intervalo entre los eventos O y ubiado en la reta L está en el futuro, los eventos están ausalmente onetados, pero puede estar ubiado en el pasado también y perteneer a la reta L y forman un ángulo de la reta del presente(x). ( ) 0 (.58) ds dt dx dy dz I 0 45 on + +, se llama intervalo tipo null o luz I.9.5. Intervalo Tipo Espaial Se llama intervalo tipo espaial aquellos eventos que no están ausalmente onetados, omo los eventos P y O y el valor del intervalo es negativo. ( ) 0 (.59) ds dt dx dy dz I + + <, se llama intervalo tipo espaial (P) I.9.6. Métria Eulídea En oordenadas artesianas el tensor métrio es igual al delta de Kroneker: gik δik donde δ es el delta de Kroneker y δ o si i j y δ si i j. ij ij ij El elemento de línea o intervalo δ i k ds ikdx dx I (.5) ds viene dado por la expresión siguiente: Donde el intervalo: ds 0 (es mayor o igual aero) la matriz de la métria se representa así: δ ij 0 0 ( I.5) I.9.7. Métria de Minkowski. El espaio de Minkowski es un espaio tetradimensional afín o sea la relaión entre 34

47 4 ada punto, evento o sueso y el espaio-tiempo tetradimensional ( ) dotado de una métria seudoeulídea η µν y de una topología del espaio eulídeo. En el espaio de Minkowski la métria g ij es igual a la métria minkowskiana η uv ( µν g ik ) η y el intervalo ( ) ( ) ds dt dx + dy + dz I.53 ds viene dado por la expresión: ds es el intervalo en la métria de Minkowski, dx + dy + dz la parte espaial. dt es la parte temporal y En forma tensorial se esribe así: u v ds ηuvdx dx I µv (.54) η la métria de Minkowski η [,, ] [,,, ] µv η µv representa la matriz de la métria Minkowskiana η µv ó I (.55) representa la matríz de la métria de Minkowski, la primera es la más usada omúnmente. El espaio-tiempo deminkowski es una variedad Lorentziana de uatro dimensiones,una temporal y tres espaiales de tal manera que forman una 4-variedad on urvatura nula, usada para desribir los fenómenos físios en el maro de la teoría espeial de la relatividad de Einstein.Es una métria pseudoeulídea, ya que en la diagonal de la matríz, existen números negativos y el intervalo ds, puede ser no solamente mayor o 35

48 igual a ero, sino también menor que ero y la métria eulídea solo puede ser mayor o igual a ero y pseudoriemanniana, porque para que fuese iemanniana tendría que ser también mayor o igual a ero y además el tensor métrio k otro o sea: ij ( ) g x ser funión de las oordenadas El intervalo en la métria iemanniana se representa así: k i j k ij ( ) (.56), en el que: ij ( ) ds g x dx dy I k matríz de la métria de Minkowski y gij f ( x ) de iemann. g ij variar de un punto a k x urvilíneas y n-dimensional. g x µ Se denomina métria de iemann en una región del espaio ( n n x,..., x ) a un onjunto de funiones i j i j ( ) ( g i j ) una matriz definida positiva. η v en el ual µ v η es la el tensor métrio de la geometría n on las oordenadas g g x,..., x, i, j,... n, siendo I.0. Tensores en elatividad espeial I.0.. Breve repaso de tensores Existen dos maneras de definir un tensor: La manera usual de la físia de definir los tensores es en términos de objetos uyas omponentes se transforman según iertas reglas, introduiendo la idea de transformaiones ovariantes o ontravariantes. Un tensor es ierta lase de entidad geométria, que generaliza los oneptos de esalar, vetor y operador lineal de una manera que sea independiente de ualquier sistema de oordenadas elegido. La teoría tensorial, que es parte de la geometría diferenial, que utiliza los métodos del álulo diferenial, fue desarrollada por varios matemátios omo Gregorio ii- Curbastro, Tulluio Levi-Civita, alrededor de 890 o sea aún antes que Albert Einstein, formulara la Teoría Espeial de la elatividad y la Teoría General de la elatividad. 36