Probabilidad y Estadística. Introducción a la Inferencia Estadística. Raúl D. Katz 2013

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1 Probabilidad y Estadística Itroducció a la Iferecia Estadística Raúl D. Katz 013

2 Ídice 1. Itroducció 3. Muestreo 3.1. Muestras aleatorias simples Iferecia estadística paramétrica Alguos estadísticos y sus distribucioes La variable aleatoria media muestral La variable aleatoria variaza muestral Estimació putual. Error de estimació. Estimació por itervalos de cofiaza Estimació de µ co coocido Ejemplo Estimació de µ co descoocido Ejemplo Estimació de la proporció poblacioal p Ejemplo Estimació de la variacia e ua població co distribució ormal Ejemplo Problemas Bibliografía 16 Raúl Katz

3 1. Itroducció Si realizamos ua recapitulació de lo estudiado hasta el mometo, ecotramos tres partes bie difereciadas ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E ella se aprede ua serie de técicas para orgaizar, presetar y aalizar u cojuto fiito de observacioes, que segú el objetivo del estudio, costituye ua població o ua muestra. CÁLCULO DE PROBABILIDAD E esta parte se defie la probabilidad como ua medida de la posibilidad de ocurrecia de cada resultado de ua experiecia aleatoria, extediedo la oció de frecuecia relativa a las poblacioes ifiitas. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD A través de ellas se preseta modelos matemáticos del comportamieto e térmios probabilísticos de las poblacioes. Cada distribució surge como cosecuecia de hipótesis establecidas sobre el comportamieto del feómeo aleatorio aalizado. Tales hipótesis so las que permite idetificar ua població co la correspodiete distribució. A su vez, cada distribució depede de parámetros matemáticos cuyo valor hemos supuesto coocido. E la cuarta y última parte de este curso se estudia métodos que os permite obteer los valores de tales parámetros poblacioales basádoos e los resultados muestrales. E estos métodos se ecuetra ua itegració de las tres partes ateriores, ya que usa a la probabilidad como ua medida de la cofiaza de uestras coclusioes.. Muestreo Sabemos que ua muestra es u subcojuto fiito de ua població. Nada hemos dicho, hasta ahora, de cómo obteer la misma, es decir, de cómo se realiza la selecció de las uidades elemetales, sobre las cuales se observa o mide ua característica de iterés variable y cuyos valores costituye la muestra. E el párrafo aterior aparece dos coceptos claves e todo problema de muestreo. Ellos so: uidades elemetales y variable. Ambos debe ser defiidos previo a la selecció de la muestra. U plateo correcto del objetivo del muestreo, lleva implícito ua defiició precisa de la població a aalizar y, e cosecuecia, ua correcta idetificació de las uidades elemetales y la variable que se haya asociadas a tal població. Cosideremos por ejemplo u lote de 100 artículos eviados por u fabricate a u cliete. Supogamos que el cliete está iteresado e aalizar la calidad de los artículos. Así plateado el problema idica que las observacioes se realizará sobre los artículos, siedo por lo tato cada artículo ua uidad elemetal. La observació de la calidad obliga al cliete a defiir qué es la calidad, es decir, qué observará e cada artículo uidad elemetal para decidir sobre la misma. Si sólo le iteresa clasificar los artículos e bueos o defectuosos, o si le iteresa determiar u itervalo de valores para la característica e observació logitud, diámetro, duració, etc. E el primer caso la variable e estudio es la calidad del artículo, e el segudo la característica elegida. Si la variable es la calidad del artículo, ésta toma dos valores: bueo o defectuoso. El plateo ambiguo del problema co respecto al objetivo del aálisis os lleva a cosiderar dos opcioes: 1. Si el cliete desea sólo cocluir co respecto a la calidad de los artículos que compoe el lote, la població estará costituida por todos los valores bueos o defectuosos correspodietes a los 100 artículos. Estamos ate ua població fiita.. Si el cliete desea cocluir co respecto a la calidad del proceso de producció del fabricate, la població estará formada por los ifiitos valores bueos o defectuosos correspodietes Raúl Katz 3

4 a los ifiitos artículos que se producirá bajo este proceso si éste cotiuara operado idefiidamete. Evidetemete la població es ifiita y e este caso los valores de la variable que resulta de observar los 100 artículos del lote, so ua muestra de tal població. La diferecia crucial que determia si el lote debe ser cosiderado ua població o ua muestra depederá del tipo de decisió a tomarse: si va a evaluarse la calidad de este lote e particular o la calidad del proceso de maufactura del proveedor. Ua vez que el objetivo del estudio se ha especificado, la població queda idetificada, y e cosecuecia el cojuto de las uidades elemetales. Ahora la muestra ya puede ser seleccioada. Existe dos métodos de selecció de muestras: MÉTODOS NO PROBABILÍSTICOS E estos métodos la selecció de la muestra se realiza de ua maera subjetiva, decidiedo el observador las uidades elemetales a aalizarse. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS Co ellos las uidades elemetales se seleccioa a través de métodos aleatorios. La vetaja de estos métodos co respecto al primero es que permite proporcioar ua medida, expresada e probabilidad, de extraer coclusioes erróeas acerca de la població. Es decir permite cotrolar los llamados errores de muestreo, que so los que se produce al iferir de la muestra a la població, por el hecho de o trabajar co la població completa sio co u subcojuto de la misma. Existe otro tipo de errores, o asigables al muestreo e sí, sio al pla de muestreo, y a los que el muestreo probabilística o cotrola. Es muy frecuete que u pla de muestreo mal diseñado os lleve a muestrear ua població que o es la del objeto de estudio. Así por ejemplo si se quiere aalizar cierta característica de los habitates de la ciudad de Rosario y la muestra se elige seleccioado ombres al azar de la guía telefóica, la població física muestreada resulta ser la formada por los habitates de la ciudad de Rosario que posee teléfoo y todas las coclusioes que se extraiga a partir de esta muestra será válidas para tal població pero o para todos los habitates de Rosario..1. Muestras aleatorias simples Sea X la variable aleatoria que represeta la població e estudio y f X su fució de desidad de probabilidad asociada. Diremos que ua muestra extraída de esta població es de extesió si costa de observacioes. Este cojuto de observacioes puede ser represetado como u vector umérico dimesioal x 1, x,..., x. Supogamos que extraemos sucesivas muestras aleatorias de extesió de la mecioada població. Los vectores que represeta a las distitas muestras so x 1 1, x 1,..., x1 1 er a muestra, x 1, x,..., x d a muestra,. x r 1, x r,..., xr. r -ma muestra, siedo x j i el valor de la i -ésima observació de la j -ésima muestra. Evidetemete o teemos por qué pesar que el valor de la primera observació, para cada ua de las muestras, va a ser el mismo. Por el cotrario, es lógico supoer que existe variabilidad. El mismo razoamieto podemos hacer para las iésimas observacioes de las r muestras. Esto quiere decir que ates de la extracció de la muestra, cada ua de las observacioes puede ser pesada como ua variable aleatoria, e cosecuecia ua muestra aleatoria puede ser represetada como u vector aleatorio dimesioal y la otaremos M = X 1, X,..., X, Siedo M 0 = x 1, x,..., x u valor observado de la muestra aleatoria. E particular llamaremos muestra aleatoria simple M.A.S. a ua muestra aleatoria que verifica: Raúl Katz 4

5 1. Cada ua de las variables aleatorias X i tiee la misma fució de desidad f que la variable X e estudio y por lo tato se verifica E X i = EX, V X i = V X.. Las variables aleatorias X i so idepedietes etre sí. Observemos que el primer supuesto os idica que para cada observació a realizar la població debe permaecer ialterada e igual a la origial. El segudo supuesto pide que la aparició de ua observació o aumete o dismiuya la probabilidad de aparició de otras observacioes. E caso de població fiita estos supuestos exige que el muestreo se realice co reposició. Si la població es ifiita el muestreo puede ser co o si reposició. 3. Iferecia estadística paramétrica Ua vez obteidos los valores de ua muestra, ellos será usados co el objeto de obteer iformació co respecto a la població de la cual la muestra fue extraída. Recordemos uevamete que ua població queda idetificada al dar: la variable aleatoria, su distribució de probabilidad y sus parámetros matemáticos; es decir al dar X y f x,θ, fució de desidad de X co parámetro matemático θ. Supogamos que la ley f resulta coocida ya sea por experiecias pasadas o por hipótesis sobre el feómeo e estudio pero descoocemos el valor del parámetro. Así por ejemplo e u proceso de producció se cooce que la itroducció de ua modificació e el mismo produce u desplazamieto de la distribució, es decir la ley de distribució es la misma pero se corre la esperaza matemática, siedo este uevo valor descoocido. Otro ejemplo es el caso de ua població que surge por la variabilidad de las medicioes de ua magitud δ co u determiado proceso de medició. Podemos supoer que las medicioes tiee distribució ormal por el teorema cetral del límite, y además podemos coocer la precisió del istrumeto, es decir. Luego os iteresará estimar el parámetro δ que coicide co la esperaza matemática de la distribució. So dos los tipos de problemas a los que os podemos efretar cuado ecesitamos iformació acerca del valor de u parámetro: La ecesidad de darle u valor umérico al parámetro que servirá como aproximació del valor exacto, pero descoocido del mismo, por ejemplo para cálculos posteriores de probabilidades. Nos iteresa coocer o u valor particular del parámetro sio u rago de valores posibles, es decir si excede u úmero dado, si es meor que éste o detro de qué itervalo tiee su posible valor. El primer caso es u problema de estimació putual mietras que el segudo es de estimació por itervalos de cofiaza, auque la separació etre ambas formas de estimació o es ta eta sio que se ecuetra ítimamete relacioadas como veremos más adelate Alguos estadísticos y sus distribucioes Sea X ua variable aleatoria co esperaza matemática µ y variacia y X 1, X,..., X ua M.A.S. de tamaño. Si Y = H X 1, X,..., X es ua variable aleatoria que surge como fució del vector aleatorio muestral, Y es llamado u estadístico. Los estadísticos que aalizaremos e particular so: X = 1 X i, media muestral, S = 1 X i X, variacia muestral. 1 Tato X como S so variables aleatorias los valores que asume puede variar de ua muestra a otra. Raúl Katz 5

6 La variable aleatoria media muestral Si X = 1 X i, bajo el supuesto de que X 1, X,..., X es ua M.A.S. de X cada variable aleatoria X i tiee la misma distribució y los mismos parámetros que la variable aleatoria X de la cual la muestra fue extraída, es decir E X i = µ, etoces la esperaza matemática de X es 1 E X = E X i = 1 E X i = 1 µ = µ. Por otra parte la variacia de X es V 1 X = V X i = 1 V X i. Como las X i so idepedietes etre sí, y además V X i =, i, resulta V X = 1 V X i =. Por lo tato la variacia de la variable aleatoria X es la variacia de la variable X dividido el tamaño de la muestra. Estas dos propiedades de los parámetros de X os idica que cualquiera sea la distribució de la misma, a medida que aumeta el tamaño de la muestra, la V X tiede a cero y e cosecuecia las medias muestrales tiede a cocetrarse alrededor del parámetro µ. Co respecto a la distribució de X podemos decir que 1. si la variable X N µ, etoces por la propiedad reproductiva de la distribució ormal, X N µ,,. si la variable X tiee cualquier distribució, pero es coveietemete grade, por el Teorema Cetral del Límite, la distribució de X tiede a N µ, La variable aleatoria variaza muestral Presetamos la distribució de la variable aleatoria S sólo e el caso e que la variable e estudio X N µ,. Bajo este supuesto la variable aleatoria 1S tiee ua distribució chi-cuadrada co 1 grados de libertad. Notamos 1S χ 1. Además E S = y V S = 4 1. Observamos que la media poblacioal de S coicide co la variacia de X y la variacia de S tiede a cero cuado crece. Al crecer el úmero de observacioes la distribució de S se cocetra cada vez más alrededor del valor. 4. Estimació putual. Error de estimació. Estimació por itervalos de cofiaza Cuado u estadístico es usado para obteer iformació co respecto al valor de u parámetro poblacioal se lo llama estimador. Si θ es u parámetro descoocido, al estimador de θ lo otamos ˆθ. De las propiedades aalizadas e las distribucioes de X y S, surge que estos estadísticos so bueos estimadores de la esperaza poblacioal µ y de la variaza poblacioal respectivamete, e Raúl Katz 6

7 el setido de que las distribucioes de probabilidad de los mismos las podemos cocetrar tato como queramos alrededor de los parámetros descoocidos µ o respectivamete aumetado el tamaño de la muestra. Luego ˆµ = X, ˆ = S. Dijimos que realizar ua estimació putual es asigarle al parámetro descoocido u valor, o sea u úmero. Este valor se obtiee partiedo de los resultados muestrales x 1, x,..., x. Se calcula el valor del estimador elegido, el que se le dará al parámetro descoocido. O sea A µ se asiga x = x 1+x + +x, A se asiga s = 1 1 xi x. Dado que el valor de estos estimadores está depediedo de la muestra obteida, o teemos porque pesar que el mismo coicidirá co el valor del parámetro a estimar. Sabemos que los valores posibles de cada estimador preseta variabilidad detro de u determiado rago. Esto os lleva a tratar de medir el error que cometemos cuado a u parámetro le asigamos el valor del estimador, es decir, el error de estimació. Trataremos cada caso por separado: Estimació de µ co coocido, estimació de µ co descoocido, estimació de la proporció poblacioal p, estimació de la variaza poblacioal Estimació de µ co coocido Sea X ua variable aleatoria co distribució ormal, EX = µ descoocida y variaza coocida. Co la fialidad de estimar µ se extrae ua muestra de tamaño que asume los valores x 1, x,..., x. E la misma se calcula x. Este es el valor que se toma como estimació putual de µ. Qué error se comete al asigarle a µ el valor de x? El error de estimació se mide por x µ. Para poder coocer co exactitud cuáto vale x µ deberíamos coocer el valor exacto de µ; o es esta uestra situació, por lo tato debemos cotetaros co dar ua cota, ɛ, del error de estimació, a través de aalizar los valores posibles de X cuado la muestra es de tamaño. La situació ideal sería poder obteer el valor de ɛ co certeza, si embargo sabemos que a partir de ua muestra o podemos obteer coclusioes acerca de la població co seguridad total, así es que debemos ser meos ambiciosos y aceptar trabajar co ua probabilidad 1 α cercaa a 1, llamada coeficiete de cofiaza. Luego la preguta aterior debe ser formulada de la siguiete maera: cuál es el máximo error de estimació que podemos cometer co probabilidad 1 α, al asigarle a µ el valor de x? Es decir debemos ecotrar ɛ tal que se verifique X P µ < ɛ = 1 α. Esto es equivalete a: P µ ɛ < X < µ + ɛ = 1 α. Estadarizado obteemos P ɛ El valor ɛ debe ser igualado a u valor z α verifica P < Z < ɛ Z z α = 1 α. que es el valor de la variable ormal estádar Z que = P Z z α = α. Raúl Katz 7

8 INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA Luego α z α 1 α z α α ɛ = z α. 1 Dado que es u valor supuesto coocido, está dado y el valor de z tambié es fijo ya que depede de la cofiaza fijada 1 α, luego el valor de ɛ puede ser calculado. Observemos que ɛ se ecuetra e relació iversa al tamaño de la muestra a mayor tamaño de muestra, meor error de estimació, y e relació directa a la cofiaza a mayor cofiaza, mayor error de estimació. z Supogamos que el error calculado o resulta satisfactorio demasiado grade, para dismiuirlo debemos dismiuir la cofiaza o aumetar el tamaño de la muestra. Si la cofiaza o se quiere modificar, os queda como opció modificar. Cuátas observacioes so ecesarias para que al estimar µ co x,el error máximo de estimació sea ɛ fijado co ua cofiaza 1 α fijada? De la expresió 1 obteemos = z α ɛ. El valor del error obteido e 1, idica que Trabajado algebraicamete obteemos P X z α X P µ < z α = 1 α. X z α < µ < X + z α < µ < X + z α = 1 α. es u INTERVALO ALEATORIO para el parámetro µ. Ua vez que la muestra ha sido extraída y x calculada, reemplazado e la expresió aterior del itervalo aleatorio, obteemos el INTERVALO DE CONFIANZA para µ, que es u itervalo umérico. x z α < µ < x + z α E u itervalo aleatorio, la parte aleatoria so los extremos del mismo, mietras que el parámetro es u valor fijo. Por lo tato la probabilidad 1 α debe ser iterpretada como la probabilidad de que u itervalo aleatorio cubra el verdadero valor del parámetro. Pesada la probabilidad como ua frecuecia relativa os idica que si se extrae u úmero suficietemete grade de muestras de extesió y co cada ua de ellas se costruye u itervalo de cofiaza para µ, aproximadamete 1 α % de tales itervalos cubrirá e verdadero valor de µ. µ Raúl Katz 8

9 Cuado el itervalo de cofiaza ha sido calculado, éste cubre o o el verdadero valor del parámetro, por lo tato pierde setido hablar de la probabilidad 1 α, este valor debe ser iterpretado como ua medida de la cofiaza del experimetador de obteer el cubrimieto de µ co el itervalo calculado Ejemplo U fabricate produce aillos para los pistoes de u motor de automóvil. El diámetro de u aillo es ua variable aleatoria X co distribució ormal y desviació estádar = mm. Para ua muestra aleatoria de 15 aillos se observó u diámetro promedio x = mm. Obtega u itervalo de cofiaza del 95% y 99% para el diámetro promedio, es decir EX. Si x es la media muestral observada e ua muestra aleatoria de tamaño, de ua variable aleatoria X co distribució ormal y variacia coocida, etoces u itervalo de cofiaza para µ = EX del 1001 α % está dado por x z α ; x + z α. Para α = 0.05 se obtiee ; = ; Para α = 0.01 se obtiee ; = ; Observamos que para u tamaño de muestra fijo, a mayor cofiabilidad se correspode meor precisió Es esto razoable? 4.. Estimació de µ co descoocido Dado que la distribució de X depede de la variaza poblacioal, cuado esta es descoocida debe ser estimada a través de S. El estadístico X µ S deja de teer ua distribució ormal estadarizada y se le cooce su distribució sólo e el caso e que la variable e estudio X esté distribuida ormalmete. E tal situació la distribució del estadístico mecioado es la distribució t Studet co 1 grados de libertad. Esta distribució t es de forma campaular y simétrica co eje de simetría e x = 0, siedo su parámetro matemático u úmero atural llamado grados de libertad. Cuado el úmero de grados de libertad tiede a ifiito, la distribució t-studet se aproxima a ua distribució ormal estadarizada. Para estimar la esperaza matemática de ua variable aleatoria X N µ, ambos parámetros descoocidos, extraemos ua M.A.S. de tamaño y sobre ella calculamos x, que tomaremos como valor del parámetro µ. Realizado el mismo razoamieto que e 4.1, el aálisis del error de estimació se efectúa a través de la distribució de X. Es decir que fijado el tamaño de la muestra y la cofiaza deseada, queremos calcular la cota de error partiedo de: X P µ < ɛ = 1 α, dode ɛ es descoocido. Recordemos que X µ t 1. S Raúl Katz 9

10 La expresió puede trasformarse e X µ P < ɛ = 1 α. S S El valor ɛ S debe ser igualado a t 1, α, dode t 1, α co 1 grados de libertad que verifica es el valor de ua variable aleatoria t-studet X µ P > t 1, α = α S, y P X µ < t 1, α = α S. Luego o equivaletemete P t 1, α S X µ t 1, α S = 1 α, P X t 1, α S µ X + t 1, α S = 1 α. X t 1, α S µ X + t 1, α S es u itervalo aleatorio de µ, mietras que x t 1, α s µ x + t 1, α s es u itervalo de cofiaza sus extremos so valores uméricos. Observemos que ɛ = t 1, α s depede al igual que e 4.1, de la cofiaza fijada y del tamaño de muestra elegido, pero se diferecia de aquel e que depede del valor que asume la variable aleatoria S. Por lo tato la cota del error resulta ser aleatoria. Ua vez que la muestra fue extraída, si el valor de ɛ resulta iapropiado, podemos dismiuirlo reduciedo la cofiaza o aumetado el tamaño de la muestra. Señalemos que e este caso, el valor de ecesario para obteer la cota del error deseada, o puede ser determiado algebraicamete, e razó de que el valor de t tambié depede del tamaño de la muestra. Lo úico que podemos cocluir es que el tamaño de muestra debe ser aumetado, pero o sabemos cuáto Ejemplo Se seleccioaro al azar 15 resistores de la producció de u proceso. La resistecia media observada e la muestra fue de 9.8 ohms, mietras que la desviació estádar muestral fue de 0.5 ohms. Determie u itervalo de cofiaza del 95% para la resistecia media poblacioal. Se supoe que la variable e estudio tiee distribució ormal. Si x y s so la media aritmética y la desviació estádar observada e ua muestra de tamaño, de ua variable X co distribució ormal y variacia descoocida, etoces u itervalo de cofiaza para µ X = EX del 1001 α % está dado por x t 1, s < µ < x + t 1, s. Para α = 0.05 se obtiee de la tabla el valor t =.145 resultado el itervalo de cofiaza para µ X : ;9.8 + = 9.53; Raúl Katz 10

11 4.3. Estimació de la proporció poblacioal p E ocasioes os iteresa coocer la proporció p o frecuecia relativa de veces que se preseta cierto suceso A e ua població, o lo que es equivalete, coocer la probabilidad de que ocurra el suceso A. Sea por ejemplo el suceso A: ua uidad producida por u proceso es defectuosa. Supogamos que PA = p es descoocida. Para estimar p vamos a cosiderar ua variable aleatoria X a la que le asigamos el valor 1 cuado ocurre el suceso A ua uidad es defectuosa y el valor 0 cuado ocurre el suceso A ua uidad es buea. La variable aleatoria X que asume los valores 0 y 1 co probabilidades 1 p y p respectivamete, se deomia variable aleatoria co distribució de Beroulli, de parámetro p. Para tal variable verifique que EX = p y V X = p1 p. Si se ispeccioa e forma idepediete uidades del proceso de producció y se aota los valores para X 1, X,..., X dode X i = 1 si la i -ésima uidad ispeccioada tiee defectos y X i = 0 si o es así, etoces ua variable de iterés es Y = X 1 + X + + X que represeta el úmero total de uidades defectuosas e la muestra de tamaño. X 1, X,..., X costituye ua M.A.S de X. La variable aleatoria Y = X 1 + X + + X deota la frecuecia relativa de uidades defectuosas e ua muestra de tamaño y verifica Y X1 + X + + X E = E = 1 E X 1 + E X + + E X = 1 p = p. Y V = V X1 + X + + X = 1 V X 1 +V X + +V X = 1 p1 p p1 p =. Por el teorema del límite cetral Y / tiede a distribuirse ormalmete co parámetros p yp1 p/. Usaremos Y / como estimador de p por cuato para coveietemete grade la variable aleatoria Y / asume valores que se cocetra alrededor de p. Si plateamos P Y p < ɛ = 1 α y operamos del mismo que e 4.1 resulta Y P z p1 p < p < Y + z p1 p = 1 α, dode z es u valor que se obtiee de la tabla ormal estádar o reducida, que verifica P Z z = 1 α/ o equivaletemete P Z z = α/. Observamos la existecia de u problema que o había aparecido ates. Los límites del itervalo aleatorio que hemos obteidos está depediedo del parámetro que se desea estimar. El problema puede superarse si sustituimos el valor de p por el valor de la frecuecia relativa observada e la muestra, es decir el valor que asume Y / e la muestra y que otamos co f A frecuecia relativa del suceso A e la muestra De este modo f A 1 f A f A 1 f A f A z, f A + z costituye u itervalo de cofiaza para p. p1 p Observació: Podemos obteer ua cota del error ɛz si teemos e cueta que la fució cuadrática g p = p1 p para 0 p 1 asume su valor máximo cuado p = 1/. Parap = 1/, g 1/ = 1/4, luego ɛ z 1 4 = z. Raúl Katz 11

12 Ejemplo Ua ispecció cuidadosa de 70 soportes de cocreto precolado reveló que 8 estaba fisurados. Costruya u itervalo de cofiaza del 95% de la verdadera proporció de soportes co fisura. Sea A: u soporte de cocreto precolado está fisurado. De acuerdo a los datos f A = 8/70. De la tabla de la ormal estádar o reducida se obtiee para u ivel de cofiaza del 95% el valor z = 1.96 PZ 1.96 = Luego u itervalo aproximado del 95% de cofiaza para p es ; = 0.85; Estimació de la variacia e ua població co distribució ormal Ya hemos visto que la variable aleatoria S es u bue estimador de la variacia e razó de que E S = y V S = 4 1. E la uidad aterior se vio que si X 1, X,..., X so variables aleatorias idepedietes, dode cada ua tiee distribució N 0,1 etoces la variable aleatoria T = X1 + X + + X tiee ua distribució chi-cuadrada co grados de libertad y otamos: T χ. Si X N µ, y X 1, X,..., X es ua M.A.S de X etoces Xi µ χ. Cuado se sustituye la media poblacioal µ por la media muestral X, la variable aleatoria resultate tiee ua distribució chi-cuadrada co 1 grados de libertad. Se ota: X i X Siedo S = 1 1 X i X podemos cocluir que 1S = χ. X i X χ 1 cuado X 1, X,..., X es ua M.A.S de ua variable aleatoria X, ormalmete distribuida co media µ y desviació estádar. Si plateamos P c 1 1S c = 1 α y operamos algebraicamete obteemos que 1S P c 1S c 1 = 1 α, dode c 1 y c so valores que se obtiee de la tabla chi-cuadrada y verifica 1S P c 1 = 1 α 1S, y P c = α. E sítesis: 1S /c, 1S /c 1 es u itervalo aleatorio que cotiee co probabilidad 1 α a, siedo 1S P c 1 = 1 α 1S, y P c = α. 1s /c, 1s /c 1 es u itervalo co 1 α100% de cofiaza para. Raúl Katz 1

13 Ejemplo E la producció de resistores, la variacia de las resistecias refleja la estabilidad del proceso de maufactura. Se desea estimar co u ivel de cofiaza igual a 0.90, la variacia poblacioal de las resistecias, sabiedo que e ua muestra de 15 resistores se observó ua desviació estádar igual a 0.5 ohms. De la tabla chi cuadrado, para 14 grados de libertad, se obtiee los valores c = 3.68 y c 1 = 6.57 la probabilidad de que ua variable aleatoria co distribució chi-cuadrada y 14 grados de libertad supere los valores 3.68 y 6.57 es 0.05 y 0.95 respectivamete A partir de los datos de la muestra, el itervalo co 90% de cofiaza para es 5. Problemas ; = 0.148; A partir de ua misma muestra, se calcula tres itervalos para la media de la fuerza de corte de peros de aclaje, co los siguietes iveles de cofiaza: 0.90, 0.95 y Los itervalos so 4.01, 6.0, 4.0, 5.83 y 3.57, Establezca la correspodecia etre los itervalos y los iveles de cofiaza. Justifique su respuesta.. E ivestigacioes hidrográficas se usa telémetros de láser mauales de bajo peso. E las pruebas de ua marca co 15 de esos aparatos, se registra los siguietes errores e metros al medir la distacia de u objeto situado a 500 m: a Realice estimacioes putuales para: la media y la desviació estádar del error, que se comete co dichos telémetros. b Supoiedo que los errores de medició tiee distribució ormal, ecuetre e iterprete u itervalo de cofiaza del 90% para la media de dichos errores. c U competidor afirma que co ese modelo de telémetros se sobrestima la distacia e al meos m. E base a los datos observados, existe razoes para dudar de esa afirmació? d Bajo el supuesto de distribució ormal cosideraría iusual que u error de medició excediera el valor 0.15 m? 3. U fabricate asegura que la capacidad media de cierta batería que produce la compañía es de al meos 140 Ah. U grupo para la defesa del cosumidor desea probar la credibilidad de la afirmació del fabricate y mide la capacidad de 0 baterías seleccioadas al azar, obteiedo los siguietes valores: a Evalúe la afirmació del fabricate b Debió realizar algú supuesto? Si su respuesta es afirmativa idique cuál y cómo procedería para evaluar la validez de dicho supuesto. c Ejemplifique co los datos del problemas los coceptos de parámetros y estadísticos. Raúl Katz 13

14 4. Los siguietes datos correspode al diámetro exterior e pulgadas de 0 tubos que se usa para u cableado eléctrico: El fabricate de estos tubos sostiee que la media del diámetro exterior es de 1.9 pulgadas. a Permite los datos de la muestra poer e tela de juicio tal valor? b Para respoder 4a, debió realizar algú supuesto? Cuál? c E el cotexto del problema idique cuáles valores dados o calculados so parámetros y cuáles so estadísticos. 5. El úmero de ciclos hasta el colapso e vigas de cocreto armadas e agua es ua variable aleatoria X co EX = 530 ciclos. Se realizaro 9 observacioes del úmero de ciclos hasta el colapso e vigas aálogas armadas e aire, obteiédose los siguietes valores: Co qué ivel de cofiaza permite los datos iferir que el úmero promedio de ciclos hasta el colapso de las vigas es mayor cuado so armadas e el aire? Explicite los supuestos que realice y ejemplifique co los datos del problema los coceptos de parámetros y estadísticos. 6. La cocetració media de dióxido de carboo e el aire e ua cierta zoa es de 355 p.p.m.v. partes por milló e volume. Se aaliza el aire e 0 putos elegidos aleatoriamete a ua misma altura pero cerca del suelo. La media y desviació estádar muestral observada es de 50 y 180 p.p.m.v. respectivamete. a Co que ivel de cofiaza puede iferir que la cocetració media es mayor cuado las medicioes se realiza cerca del suelo? b Explicite los supuestos que debió realizar. c Señale e el cotexto del problema cuáles de los datos dados so parámetros y cuáles so estadísticos. 7. La probabilidad de que u lote de u producto químico satisfaga la especificació es igual a 0.75, cuado proviee del proveedor A. E ua muestra de 70 lotes comprados a u proveedor B, 6 de los mismos satisface la especificació. Permite los datos iferir que la probabilidad de que u lote que proviee de B satisfaga la especificació, es mayor que, la probabilidad de que u lote que proviee de A satisfaga la especificació? 8. U proceso produce ciertos cojietes cuyo diámetro iterior es de 3 cm. Se seleccioa, e forma aleatoria, 1 de estos cojietes y se mide su diámetro iterior, obteiédose los siguietes valores: Supoiedo que el diámetro es ua variable aleatoria co distribució ormal, permite los datos iferir co u 99% de cofiaza que la variacia es iferior a cm? Raúl Katz 14

15 9. Los siguietes datos correspode a 9 medicioes repetidas de la desidad, para ua muestra de Tierra, expresada como u múltiplo de la desidad del agua a Represete gráficamete la iformació de la maera que cosidere más coveiete. b Cosidera que existe ua medició atípica? c A partir de esas medicioes, cuál es su estimació de la desidad de la Tierra? d Se cosidera que el proceso de medició es preciso siempre y cuado la desviació estádar poblacioal de las medicioes es iferior al 5% de la desidad. Supoiedo que la verdadera desidad del agua es igual a 5.48, permite los datos de la muestra iferir que las medicioes so precisas? 10. Ua empresa de servicios públicos de gas desea estimar el tiempo promedio etre la llegada de la solicitud de servicio y la coexió del mismo. De los registros dispoibles se seleccioó ua muestra aleatoria de tamaño 15. Los resultados obteidos fuero: a Explique cuál es la població e estudio b Aalice si las siguietes afirmacioes so correctas: co u ivel de cofiaza del 95%, el tiempo medio de espera para la coexió es superior a los 85 días. co u ivel de cofiaza del 95%, el tiempo medio de espera es iferior a los 110 días. c Al respoder el ítem 10a, debió realizar algú supuesto e relació a la distribució de dicha població? 11. U topógrafo desea estimar la altura de u acatilado. A tal fi promedia los resultados de medicioes idepedietes. Si las medicioes que realiza o tiee error sistemático y la precisió de su istrumeto es = 1 m, cuátas medicioes debe realizar para estimar la altura del acatilado co u error de a lo sumo 0.5 m y ua cofiabilidad del 95%? 1. U igeiero civil examia 1 especímees de cocreto y obtiee los siguietes datos para la resistecia a la compresió: a Co qué ivel de cofiaza el itervalo 40.51, cubre el verdadero valor de la resistecia media? b Debió realizar algú supuesto? Raúl Katz 15

16 13. E u proyecto de costrucció se midió la resistecia al esfuerzo cortate de 50 probetas del terreo. La siguiete tabla sitetiza la iformació. a Represete gráficamete la iformació b Cuál es la resistecia media y la desviació estádar e la muestra, cuado se cooce que las medicioes tiee u error sistemático por defecto de 50 uidades? c Bajo las codicioes del puto 13b, estime la proporció de probetas que tiee ua resistecia de al meos 300 y dé ua cota del error. Itervalo Frecuecia de clase absoluta [ [ [ [ [ U laboratorio produce cierto tipo de tabletas. Es importate limitar la variabilidad de los pesos de las mismas. El Departameto de cotrol de calidad prueba rutiariamete muestras aleatorias de tabletas de cada lote. El peso omial de cada tableta es de 5 mg y los pesos medidos e ua muestra aleatoria de tamaño 30 fuero: a Permite los datos de la muestra iferir que la variacia poblacioal de los pesos de dichas tabletas es iferior a 3.9 mg? b Idique si e la resolució aterior debió realizar algú supuesto. Cuál? c Costruya u diagrama de tallo hoja. Cuáles so sus observacioes e relació a los datos? d Idique e el cotexto del problemas los valores que so parámetros y los valores que so estadísticos. Establezca la diferecia. 6. Bibliografía 1. Caavos, G Probabilidad y Estadística. Aplicacioes y Métodos. México: McGraw-Hill.. Devore, J.001. Probabilidad y Estadística para Igeiería y Ciecias. México: Thomso Editores. 3. Meyer, P Probabilidad y Aplicacioes Estadísticas. México: Addiso Wesley Iberoamericaa. 4. Miller I. y Freud J Probabilidad y Estadística para Igeieros. México: Pretice Hall. 5. Milto S. y Arold, J Probabilidad y Estadística co aplicacioes para igeiería y ciecias computacioales. México: McGraw-Hill. 6. Motgomery D. y Ruger, G Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Igeiería. México: McGraw-Hill. 7. Navidi, W Estadística para igeieros y cietíficos. México: McGraw-Hill. 8. Scheaffer, R. y McClave, J Probabilidad y Estadística para Igeiería. México: Grupo Editorial Iberoamericaa. 9. Walpole, R. y Myers, R Probabilidad y Estadística. México: McGraw-Hill. E estos textos podrá ahodar e el tema y ecotrar otros ejemplos y problemas para resolver. Raúl Katz 16

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