La nueva línea de montaje de la compañía Auto S.A.

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1 MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools La ueva líea de motaje de la compañía Auto S.A. Silvia Schwarze Horst W. Hamacher 1 Este proyecto ha sido desarrollado co ayuda parcial de la Uió Europea detro del marco del programa Sócrates. El coteido o refleja ecesariamete la posició de la Uió Europea i implica igua resposabilidad por parte de la Uió Europea. 1 Uiversity of Kaiserslauter, Departmet of Mathematics

2 2 CAPÍTULO 2: La ueva líea de motaje de la compañía Auto S.A. CAPITULO 2: La ueva líea de motaje de la compañía Auto S.A... 1 Guía para el capítulo Ua llamada telefóica a Auto S.A Cuáto es demasiado? Coeficietes biomiales y el triágulo de Pascal Crecimieto expoecial Líeas de motaje a plea capacidad y ivel de eficiecia A la caza de solucioes co úmeros eteros Referecias a la ecoomía - Etapas de producció - Estacioes de trabajo - Utilizació - Nivel de eficiecia - Tiempo de producció - Producció de la líea de motaje - Nivel de producció - Ciclo Referecias a la matemática escolar - Coeficietes biomiales - Crecimieto expoecial - Fucioes y fucioes geéricas - Hipérbolas - Combiatoria - Raíces - Triágulo de Pascal - Permutació - Cojuto potecia - Muestra ordeada y o ordeada - Subcojuto - Relacioes iversamete proporcioales - Fució impar - Solució factible / óptima

3 3 Maual para el capitulo 2 El siguiete capítulo describe los procesos de la plaificació e ua líea de motaje a través de u ejemplo de la idustria automotriz. La plaificació de la producció icluye siempre problemas de combiatoria: es así como la primera secció describe la forma e la que ua problemática de combiatoria es geerada a partir de ua actividad ecoómica. E la siguiete secció se toma esta problemática, y se traduce al leguaje de la matemática. Además se deducirá uevos coceptos, si alejarse e igú mometo de la aplicació real del problema idustrial. La tercera secció profudiza la relació existete etre los coeficietes biomiales y el triágulo de Pascal, dode primeramete se adetrará e aspectos técicos. Para el lector fuero itroducidas e esta secció dos demostracioes matemáticas. La cuarta secció explica e forma breve el crecimieto expoecial de fucioes: es e esta secció dode uevamete se profudiza el elace etre teoría y práctica. El crecimieto expoecial de ejemplos reales es frecuetemete el resposable del ivel de dificultad de éstos, puesto que los algoritmos se efreta a ua limitació de la eficiecia de los ordeadores dispoibles. La quita secció se cocetra uevamete e su totalidad a la plaificació de la producció, e dode además se itroduce diversos térmios de la producció. Además, a través de cifras y diagramas, se ejemplificará el proceso de búsqueda de ua solució. E el sexto apartado se tratará el mismo problema, esta vez forzado ua solució etera, lo cual dificulta de gra forma la problemática iicial. Si embargo, a través de algoritmos es posible trabajar sobre el problema y ecotrarle ua solució. El proceso de realizar modelos matemáticos tiee diversas facetas y e la práctica es frecuete toparse co cotratiempos de diferetes ídoles. Este capítulo itetará resumir este complejo proceso. Partiedo de ua problemática real, a través de métodos matemáticos coocidos y uevos que se tratará de ecotrar ua solució, si perder de vista la aplicació e la vida real. Es aquí dode posiblemete sea ecotradas debilidades e el modelo y puede que se requiera de uevas suposicioes para el modelo. Al fializar, se tedrá ua solució, que será presetada al cliete. E la práctica, la fase de modelar u proceso, viee limitada por fechas de etrega o límites presupuestarios. Es por eso que las solucioes o so por lo geeral solucioes fiales, puesto que tato mejoras como ua expasió del modelo so por lo geeral posibles. Es así como el capítulo cocluye: co ua solució buea, la cual, está abierta a futuros plateamietos para ecotrar ua solució mejor. 2.1 Ua llamada telefóica a Auto S.A. A pesar que suee raro, ésta vez se ecuetra los cuatro colegas del equipo de Clever- Cosultig realizado sus respectivas tareas. Oliver se ecuetra co ua taza de café e ua habitació y habla sobre la ueva película de la Guerra de las Galaxias; mietras tato, Nadie elabora listas bastate extesas, e las que se ecuetra palabras como ueces, azúcar morea y berejeas. Sebastiá avega e Iteret e ua pagia de ua compañía que vede libros, CDs y programas de ordeadores, si embargo, toda su cocetració se dirige a CDs de importació. Fialmete, Selia esta al teléfoo co u vededor de coches, y habla sobre los uevos modelos deportivos. Selia: Vale, ahora he apredido algo sobre la producció e la compañía Auto S.A. y sobre su ueva líea de producció de coches. Nadie: A mi me pareció que tú querías comprarte u coche uevo.

4 4 Selia: Ahí tambié tiees razó! U lujoso deportivo azul! Mietras hablaba co el vededor, pasó de casualidad el ecargado de producció e Auto S.A. y fue como descubrí que proto lazará u uevo modelo deportivo al mercado, para el cual Auto S.A. implemetará ua ueva líea de motaje. Naturalmete le mecioé que osotros somos expertos e la rama de plaificació de la producció. Nadie: Que somos qué? Selia: No lo veas de ua forma ta cerrada! Teemos algo e claro: recuerda el trabajo que realizamos co la firma SchokoLeb. Además, siempre hemos sido capaces de ivestigar y familiarizaros co los temas de forma rápida. A fi de cuetas, resultó ser muy beeficioso el haberse lucido u poco, pues el ecargado de la producció se acercó al teléfoo! Sebastiá: Te dio si más iformació exclusiva de la compañía? Por algo esta iformació es exclusiva y o se la da a cualquiera. Tú podrías haber sido alguie de la competecia! Selia: Pues hombre, tuve que covecer u poco al ecargado de la producció. Le coté quiees somos y e qué proyectos hemos trabajado ateriormete. Eso le traquilizó bastate, pues se dio cueta que e el pasado hemos teido éxito co otras compañías. Le propuse que les haríamos ua propuesta para la plaificació de la ueva líea de motaje. Nadie: Si igú tipo de compromiso para él, supogo. Es así? Selia: No me hubiera sido posible covecerlo de igua otra forma, pero creo que es ua gra oportuidad. Si e Auto S.A. queda satisfechos de uestro trabajo, de seguro podremos cotar co futuros proyectos co ellos, y o tiees idea de todo lo que allí tiee que ser plaificado! Oliver: Cuétaos u poco sobre de la ueva líea de motaje! Selia describe a sus colegas de forma detallada su coversació co el Sr. Wieder, el ecargado de la producció para Auto S.A. La compañía plaifica ua modera líea de motaje para la producció de u uevo coche deportivo. La producció de u coche se subdivide e oce partes idividuales, las llamadas etapas de producció. Auto S.A. sabe la duració idividual de cada etapa de producció y este tiempo recibe el ombre de tiempo de producció. Todas las etapas de producció so ejecutadas a lo largo de la líea de motaje, lo que quiere decir que las tareas so realizadas e estacioes a lo largo de la cadea de motaje. Nadie: Ah, así que para las oce etapas de producció existe oce estacioes a lo largo de la cadea de producció. Selia: No, la situació o es ta secilla. Alguas de las etapas tarda mucho tiempo y otras por lo cotrario so bastate cortas. La cadea de motaje debe deteerse e cada estació y mateerse deteida hasta que todas las estacioes cocluye su trabajo. Los igeieros de Auto S.A. le llama a este tiempo el ciclo de la cadea de motaje. E este puto os alejamos brevemete de la coversació e Clever-Cosultig, para poder visualizar lo que ha sido tratado hasta el mometo. Existe oce etapas para la producció, las cuales debe ser ejecutadas ua tras otra:

5 Diagrama 2.1 Oce etapas de producció so ecesarios para la elaboració de u coche deportivo. La logitud de los bloques idica el tiempo de cada etapa de producció. Si para cada etapa de producció se costruye ua estació a lo largo de la cadea de motaje, etoces es posible lograr que oce coches deportivos se ecuetre sobre la cadea al mismo tiempo: uo e cada estació. La líea se detiee e las estacioes y cotiúa hasta que todas haya cocluido sus tareas. Esto quiere decir que el ciclo es ta largo como lo sea el tiempo de producció de la etapa más larga. A Selia le pareció desde este mometo de la coversació, que esto o era ua muy buea idea. Ya que alguas etapas so bastate cortas, como por ejemplo la etapa 3, e cuya estació se habrá termiado la tarea mucho ates que por ejemplo e la estació correspodiete a la etapa 8. Es así como la estació o estaría completamete utilizada y el operario tedría u tiempo de espera muy grade etre tareas. Es esto lo que precisamete o le agrada a la gerecia, porque por u lado el tiempo del trabajador y de la máquia vale bastate diero y o debería perderse. Por otro lado, es ijusto para los trabajadores que quie trabaja e la estació tres tega frecuetemete pausas, mietras que quie trabaja e la estació úmero 8 tega que trabajar iiterrumpidamete. Que esta propuesta o es ua buea solució, es fácil de recoocer: si embargo, qué hacer para mejorarlo? Frecuetemete, la solució más simple es tambié la mejor: estacioes que o se utilice completamete, recibirá otras tareas a ejecutar. Esto se realizará para distribuir de forma justa las tareas etre las estacioes de trabajo. Si embargo, es posible traducir el térmio justo a u leguaje matemático? Para poder aclarar esto, es ecesario poerse a pesar e lo que se quiere hacer eteder bajo ua distribució justa. E el leguaje comú, justo sigifica que se distribuye el trabajo co equidad. Si se habla de u trozo de pastel del mismo tamaño o de la misma carga de trabajo, resulta ser poco importate bajo este puto de vista. E uestro caso deseamos ua distribució de trabajo igual para todos, puesto que etoces igua estació tedrá que esperar a otra y las estacioes estaría mejor utilizadas. Además, se tedría u ciclo más corto. Ahora deseamos elazar uevamete co la coversació que está realizado el grupo de Clever-Cosultig. Oliver: Etiedo, así que teemos que agrupar las etapas de la producció de tal maera que el tiempo de producció e las estacioes sea el mismo ( Ej.2.1). Así queda claro que el úmero de estacioes co las que se cotará e total será meor a oce. Cuátas estacioes deberá ser? Selia: Pues, eso es precisamete lo que Auto S.A. quiere saber de osotros! Nadie: Despacio! Ya estáis yedo demasiado rápido! Es posible agrupar las etapas de la producció de tal forma que todas las estacioes tega la misma utilizació?

6 6 Sebastiá: Hm, dejadme pesar. Habiedo oce etapas de producció, o es ta secillo dar ua respuesta a esto, puesto que hay que itetar diversas combiacioes. Empecemos viedo u ejemplo más secillo: si solo tuviéramos dos etapas, es decir, ua de dos horas de duració y otra de tres horas de duració, etoces o es posible darle a las dos estacioes la misma utilizació! Estació 1 Estació 2 Oliver: A meos que formemos úicamete ua estació que ejecute las dos etapas de producció, resultado e total cico horas de producció. Nadie: Bie, esa es la forma más fácil de hacerlo. Si formamos ua úica estació que ejecute todas las etapas de producció, etoces o habrá igú tiempo de espera e las estacioes. Si embargo, tampoco es ua buea solució, puesto que a lo largo del ciclo de producció, úicamete se cotara co u coche sobre la líea de motaje. Oliver: Eso sería etoces e lugar de ua líea de motaje, úicamete u elemeto de motaje... Sebastiá: Resumiedo etoces: si omitimos la solució trivial, que es la de formar ua úica estació, o es ecesario que exista ua respuesta para la preguta de si es posible ecotrar ua cofiguració que implique ua misma utilizació para todas las estacioes. Es por eso que debiéramos buscar ua solució, e la que las estacioes esté bie utilizadas. Sobre esta idea está los cuatro de acuerdo: si embargo, lo que sigifica estar bie utilizadas o la forma e la que sería posible traducir al leguaje de las matemáticas que algo esté bie utilizado es u tema sobre el que deberá reflexioar. A cotiuació Selia iforma a sus colegas de otro detalle importate: Selia: Debido a que el coche o puede ser barizado hasta que se o haya fudido la carrocería, es ecesario darle ua secuecia a las etapas de la producció. Es así como la secuecia viee predetermiada por premisas técicas. Co esto, al meos, o teemos que poeros a pesar sobre cual es la secuecia, puesto que ésta ya la tedrá elaborada la compañía Auto S.A. Oliver: Estas codicioes hace que uestro problema sea más complejo, o es así? De cualquier forma, cuado realicemos uestra plaificació, teemos que prestar especial ateció que esta secuecia sea mateida. Sebastiá: No, al cotrario: ello os facilita la tarea! Si el orde de la producció o viiera dado co aterioridad, deberíamos aalizar todas las posibles secuecias para poder ecotrar la

7 7 mejor. Ahora, habría muchos más casos que aalizar. Así que os debemos alegrar de teer esta iformació ( Ej.2.2). Ejercicios de repaso Ej.2.1 Agrupe los siguietes tiempos de producció mateiedo la secuecia, de tal forma que todas las estacioes tega la misma utilizació: 3, 4, 5, 2, 7, 5, 1, 1. Verifique su respuesta varias veces. Ej.2.2 Agrupe los siguietes tiempos de producció de dos formas diferetes de tal forma que las estacioes de trabajo tega la misma utilizació. El úmero de estacioes de producció puede ser escogido como se crea coveiete. A diferecia de lo visto e Ej.2.1, es posible alterar el orde de las etapas de producció. Tiempos de producció: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, Cuáto es demasiado? Oliver: Cuátas posibilidades de ordear las estacioes existe? Si supoemos que teemos u cojuto umerable, fiito y o muy grade, etoces podemos diseñar u programa de ordeador que ejecute todas las posibilidades y os de el mejor valor como respuesta. Selia: Oh o! Acaso teemos que cotar ahora todas las posibles combiacioes? No, eso lo hará si mí! Nadie: No, por supuesto que o. Este problema es ecesario resolverlo de forma lógica. Además, de hacerlo por el método exhaustivo, sabremos la respuesta para uestro problema co oce etapas de producció, si embargo, seria bueo teer ua respuesta para cualquier úmero de etapas, es decir, dejar todo e depedecia de valor es, el cual represetará el úmero de etapas de producció. Oliver: Lo mejor es aotar las etapas de producció: al teer el problema a la vista, es más secillo ecotrar bueas ideas. Nadie: Toma, aquí tiees papel y lápiz Nadie: Si deseamos hacer ua distribució de las etapas e estacioes, debe mateerse esta secuecia, o es así? Sebastiá: Sí, así es. Nadie: Bie, eso quiere decir que por ejemplo puedo establecer estacioes, trazado líeas verticales. Así o teemos que escribir los úmeros todo el tiempo. Por ejemplo, puedo etoces formar tres estacioes, trazado dos líeas:

8 Nadie: Así he formado tres estacioes: [1, 2], [3, 4, 5, 6] y [7, 8, 9, 10, 11]. Si ésta es o o ua buea solució, o importa e primera istacia. Úicamete queremos saber cuátas combiacioes diferetes existe para crear estacioes. Sebastiá: Ahora sólo os queda determiar, cuátas posibilidades existe para trazar dos líeas etre las etapas de producció y de esta forma sabremos cuatas combiacioes poosibles existe para dividir las etapas e tres estacioes de trabajo. ( Ej.2.3). Oliver: Muy bie! Ua excelete idea! Esto lo haremos etoces para todas las posibles estacioes que podríamos teer, es decir, desde uo hasta oce estacioes y lo habremos determiado. Cuátas posibilidades hay etoces para ubicar dos líeas etre las etapas? Sebastiá: Vagamete me acuerdo de ua fórmula que utilizamos durate uestros días de estudio. Co ella era posible determiar la catidad de combiacioes que existe para extraer k elemetos de u cojuto de elemetos. Nadie: Ah, creo que se a que te refieres, teía algo que ver co muestras y le llamábamos combiacioes de k sobre. Era importate el hecho de que o importaba el orde e el que los elemetos era cogidos. Selia: E uestro caso, ecesitamos determiar combiacioes de 2 sobre 10, lo cual represetaría la catidad de combiacioes que existe para escoger dos líeas de etre diez posibilidades. Sebastiá corre por su formulario de la escuela para poder ecotrar la defiició exacta. Mietras, os ocuparemos de la defiició de combiacioes de k sobre : Para empezar, os efretamos a la siguiete preguta: cuátas posibilidades existe de formar subcojutos co k elemetos e u cojuto co elemetos, si el orde detro del subcojuto o importa y los elemetos o se puede repetir? El diagrama 2.2 muestra este procedimieto para k = 6 y = Diagrama 2.2 De 18 elemetos fuero escogidos seis, si teer e cueta el orde y si repetició

9 9 Muestreo si orde y si remplazamieto La catidad de combiacioes para coger de elemetos ua muestra si teer e cueta el orde de k elemetos, si reemplazo es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! = =. k k 1 k k k k! ( k)! k se lee: combiació de k sobre. Esta otació es ua abreviació k comú para la formula descrita ateriormete. Tambié se les cooce como coeficietes biomiales. Qué es lo que sigifica los sigos de admiració e la defiició de los coeficietes biomiales?!, el factorial de, es ua abreviatura para el resultado de multiplicar los úmeros de 1 a. De esta forma teemos que:! = ( 2) ( 1). Dicha expresió se lee como factorial. El cocepto de factorial está úicamete defiido para úmeros eteros o egativos. Para = 0 se tiee que: 0! = 1. Para que o te calietes la cabeza a la hora de calcular los factoriales, especialmete para valores de muy grades, muchas de las calculadoras ya trae esta opció icorporada. Por qué ha sido defiidos los coeficietes biomiales exactamete de esta forma? Para empezar, teemos que determiar cuátas posibilidades diferetes hay de coger k elemetos es u cojuto de, si el orde e el que los valores fuero extraídos sí tiee relevacia. Es así como aalizaremos muestras ordeadas. Esto sigifica que por ejemplo las combiacioes 1, 2, 3 y 2, 3, 1 so diferetes. Para el primer valor que va a ser escogido se cueta co posibilidades, ya que cada uo de los valores existetes puede ser escogido. A la hora de la seguda selecció, úicamete quedará 1 elemetos a disposició. Es así como quedara - 1 posibles combiacioes. Co cada ueva posició que sea escogida, el úmero de valores que puede ser elegidos se reduce e ua uidad y por tato el úmero de posibles combiacioes. A la hora de escoger el valor k quedará por lo tato úicamete k + 1 posibles valores para elegir. La catidad de posibilidades distitas que puede aparecer después de k eleccioes se obtiee al multiplicar la catidad de posibles opcioes e cada uo de los pasos ateriores. Esto quiere decir que la

10 10 catidad de posibles eleccioes de k valores escogidos de etre elemetos, tomado e cueta el orde de los valores, es de: ( 1) ( 2) ( 1) k + k +. Así cotamos las posibles combiacioes e u muestreo ordeado, obteiedo u valor mucho más alto que cuado se aaliza el caso de u muestreo, dode la secuecia o es relevate. Esto se atribuye a que la secuecia juega u papel determiate y por tato tambié el orde e el que dichos valores aparece. E este caso, todos los valores deberá ser icluidos a la hora de cotar las combiacioes. U cojuto de k elemetos se deja ordear e k! diferetes maeras: éstas recibe el ombre de permutacioes. Éstas so fáciles de imagiar al cotar co u cojuto de k elemetos, del cual se escogiese todos los elemetos, es decir k y e la cual la secuecia de los valores elegidos es relevate. De acuerdo a la fórmula que acabamos de deducir se tedría que existe u total de ( ) k k = k! posibles combiacioes. Al formar uestra muestra e la que la secuecia era relevate, cotamos cada muestra si importar el orde u total de k! veces. Es así como se obtiee el siguiete coeficiete biomial: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k k + 1 k k 1 2 1! = = k k k! k k k! k! = k ( Ej.2.4). Mietras tato, Sebastiá ha ecotrado las explicacioes sobre los coeficietes biomiales e sus aputes. Los cuatro colegas iteta ahora determiar si los coeficietes biomiales les puede ayudar e su objetivo. Sebastiá: Etoces: teemos diez posicioes e las que podemos colocar ua líea. Yo quiero posicioar dos líeas, eso quiere decir que de diez posicioes, escojo dos. Esto es lo mismo que si estuviera ejecutado ua muestra de dos elemetos si remplazamieto y si que importe el orde. Es si reemplazo, porque e cada posició lógicamete solo puede ser colocada ua úica líea y por tato cada posició puede aparecer úicamete ua vez e uestra muestra. Selia: Si, pero por qué o importa el orde e el que eliges a los elemetos? Acabamos de decir que el orde de las etapas de producció so importates y de proto viees y dices que ya o. Ahora sí que ya o etiedo ada! Sebastiá: Si importar la secuecia se refiere, e este caso, a que da lo mismo si teemos el subcojuto [1, 2, 3] aotado de esa forma o como [2, 1, 3]. Desde este puto de vista o es importate si he elegido la sexta y la seguda posició o si he elegido la seguda y la sexta posició. Etiedes a lo que me refiero? Selia: Creo que aú tego que pesar u poco al respecto, pero por el mometo, mejor cotiúa. Nadie: Voy a calcular de ua vez co la calculadora, cuatas posibilidades existe para dos líeas. Mietras que Nadie itroduce las cifras e la calculadora, observamos osotros el cálculo tambié.

11 ! 10! = = 45 2 = = = 2! (10 2)! 2! 8! Nadie: Existe u total de 45 combiacioes diferetes para colocar dos líeas e diez posicioes. Oliver: O dicho de otra forma: existe 45 posibilidades para formar tres estacioes, las cuales albergará las oce etapas de producció ( Ej.2.5). Selia: Estoy impresioada: así de simple es esto. Bueo, ahora solo teemos que hacer esto diez veces y sumar los resultados, o es así? Sebastiá: E realidad lo teemos que hacer oce veces: después de todo, podemos colocar desde diez líeas hasta u míimo de igua líea. Esto hace que tegamos que hacer oce cálculos. Selia: Qué? Tú me cofudes co tus ideas! Qué quiere decir eso de o colocar igua líea? Eso sí que so toterías! Sebastiá: No, piésalo bie. Nigua líea quiere decir que o haremos igua subdivisió y que por lo cotrario, sólo formaremos ua úica estació, la cual elaborará todas las etapas de la producció. Además, sólo existe ua úica posibilidad para crear ua estació, si embargo, teemos que cosiderar esta opció de cualquier maera. Nadie: De acuerdo, despacio: quizá debiéramos aotar esto primero bajo co formula, porque de lo cotrario perderé la perspectiva de las cosas. Cotamos etoces co etapas de producció y queremos formar k estacioes, o es así? Selia: Así es. Nadie: Bie, etoces prosigamos. Para formar k estacioes, ecesito k 1 líeas y éstas las puedo ubicar e 1 posicioes diferetes. Así que calcularé la combiació de k 1 etre 1. Mietras tato, Nadie ha aotado e el papel lo siguiete:

12 12... catidad de etapas de producció k... catidad de estacioes El úmero de posibilidades de formar k estacioes para ejecutar las tareas es: 1 k 1. Nadie: Y ahora uimos de estos coeficietes biomiales, ya que para valores desde k = 1 hasta k = debemos ecotrar dichos valores y sumarlos. El primer sumado viee dado para k = 1, es decir para formar ua estació o lo que es lo mismo, o trazar igua líea. El segudo sumado represetará la catidad de posibilidades para formar dos estacioes y así sucesivamete. Catidad de posibles combiacioes de estacioes que se puede formar para las etapas de producció: Selia: Este sumatorio se ve muy bie, si embargo: hay tato que itroducir a la calculadora hasta ecotrar ua solució. No me extrañaría que me equivoque al itroducir los úmeros. ( Ej.2.6). Sebastiá: Estoy seguro de que e mis aputes ecotraré aú más iformació. Alguas veces es posible simplificar estas fórmulas: quizá logre ecotrar algo. Oliver: Por hoy, he visto ya demasiado respecto a estos coeficietes biomiales. Yo me voy a casa. Selia: Vale, buea idea: hasta mañaa! Mietras que los expertos del equipo de Clever-Cosultig se dirige a casa, deseamos ver e la siguiete secció si es posible simplificar esta sumatorio. Discusió 2.1: E la iformació presetada hasta el mometo, la secuecia de las etapas de producció veía dada por requerimietos técicos. Si supoemos que la secuecia de las tareas es libre, cuátas combiacioes posibles se puede ecotrar para agrupar a las etapas de producció e estacioes? Ejercicios de repaso Ej.2.3 Cuátas combiacioes posibles existe para formar cuatro estacioes, si existe 7 etapas de producció? Represete las estacioes por medio de líeas etre las cifras.

13 13 Ej.2.4 Dado el cojuto {1, 2, 3, 4, 5}. a) Idique todas las muestras aleatorias ordeadas cogiedo tres elemetos de u cojuto co cico elemetos. Cuátas posibilidades hay e total? b) Idique ahora todas las muestras aleatorias ordeadas cogiedo tres elemetos de u cojuto de tres elemetos. Cuátas posibilidades hay e total? c) Idique cuáles so todas las posibles muestras aleatorias o-ordeadas, cogiedo tres elemetos de u cojuto co cico elemetos. Cuátas posibilidades hay e total? Ayuda: Para b) y c) e lugar de empezar de cero, ajuste el razoamieto utilizado e a) d) Determie la catidad de muestras aleatorias o-ordeadas que puede ser ecotradas si se coge tres elemetos de u cojuto de cico elemetos como cocietes de los resultados obteidos e a) y b), co ayuda de los coeficietes biomiales. Ej.2.5.a) Verifique el resultado del Ej.2.3 co ayuda de los coeficietes biomiales. b) Calcule los siguietes coeficietes biomiales: ,,,,,,,,, Ej.2.6 Cuátas combiacioes posibles de estacioes puede obteerse, si se tiee u total de siete etapas de producció? (es decir, tomado desde ua hasta siete estacioes) 2.3 Coeficietes biomiales y el triágulo de Pascal El triágulo de Pascal Para llegar a coocer los coeficietes biomiales de ua maera más cercaa, os adetraremos u poco e la historia de la matemática. Nos cetraremos e la Fracia del siglo XVII dode vivió el matemático, teólogo y filósofo Blaise Pascal ( ). A se le atribuye el coocido triágulo de Pascal, el cual veremos ahora e mayor detalle Diagrama 2.3 Triágulo de Pascal El diagrama aterior muestra el triágulo de Pascal. Qué es lo que llama la ateció de este triágulo? Bueo, para empezar, el hecho que muestra simetría respecto del eje vertical cetral. Además, el lado de la derecha e izquierda está formadas exclusivamete por uos. Si se

14 14 observa co más detalle, os daremos cueta que precisamete debajo de estos uos, a lo largo del lado del triágulo, se forma ua sucesió de úmeros aturales, es decir 1, 2, 3, 4,... Cómo se forma el triágulo de Pascal y cuál es su relació e todo esto? Auque o lo pareciese, el triágulo de Pascal se forma mediate ua regla de cálculo y es posible expadirlo a cuatas cifras o iveles se desee. La regla para formar el triágulo es la siguiete: cada valor del triágulo se obtiee a partir de la suma de los valores que se ecuetre e la fila aterior y e posició diagoal sobre el valor que esta siedo determiado. Para ilustrar esta regla, se buscará primero el proceso e el que se forma los valores y a cotiuació se dará la otació matemática para el triágulo = Diagrama 2.4 Ejemplo para la regla de cálculo co la que se forma el triágulo de Pascal Además podemos observar la umeració y los elemetos de las filas e el triágulo de Pascal empieza por cero. Como se puede observar e el diagrama, el segudo elemeto de la cuarta fila se obtiee a partir de la suma de los dos valores localizados e posició diagoal sobre este segudo elemeto de la cuarta fila. Para el cálculo del elemeto úmero cero y del último elemeto de ua fila, es ecesario imagiarse que e la posició vacía, se ecuetra ubicado u cero. Es así como se resuelve el primer misterio: e los lados del triágulo, úicamete es posible que se forme uos, puesto que para cada uo de dichas posicioes, la operació a realizar es siempre: = 1 ( Ej.2.7) Diagrama 2.5 Formació de los elemetos e la orilla del triágulo de Pascal Como mecioamos ateriormete, la otació matemática para esta regla de cálculo co la que se forma el triágulo de Pascal es la siguiete: Regla de cálculo para la formació del triágulo de Pascal Sea d k el k-ésimo elemeto de la fila úmero e el triágulo de Pascal. Etoces se tiee que: d = d + d d k 1, k 1 1, k 00 0 = 1 d = 1; d = 1 para todos N.

15 15 ( Ej.2.8) La seguda codició de esta formulació que se ecesita para iicializar el triagulo, es decir, para poder empezar. De igual forma, las codicioes e la tercera fila sirve para iicializar cada ua de las filas. Estas tres codicioes so ecesarias ya que de lo cotrario, se cogería elemetos que o existiría. E la formulació dada es de otarse que e el mometo de cotar las filas y los elemetos de ua fila, se debe iiciar de cero. Qué relació tiee el triágulo de Pascal co los coeficietes biomiales? Lo especial del triágulo de Pascal es que cada elemeto del triágulo es u coeficiete biomial! El elemeto d k tiee el valor del coeficiete biomial k sobre.sería Tambié podemos aotar el triágulo de Pascal de la siguiete maera: Diagrama 2.6 Triágulo de Pascal e otació de coeficietes biomiales Es así como ua fila cualquiera del triágulo de Pascal, supogamos sea esta la fila, se puede escribir de la siguiete maera: 0 k 1 k k + 1. ( Ej ) El hecho que los elemetos del triágulo de Pascal d k describe a los coeficietes biomiales k etre, es posible calcularlo co facilidad e las primeras filas del triágulo. Si embargo, esto o es ua demostració formal para la coclusió geeral a la que hemos llegado. Para mostrar esto, teemos que demostrar que los coeficietes biomiales satisface las reglas bajo las cuales los elemetos del triágulo de Pascal so formados. Para el lector que le iterese, esta demostració se lleva a cabo posteriormete e los ejercicios. Ejercicios de repaso Ej.2.7 El triágulo de Pascal tiee justo debajo de los lados de uos la sucesió de úmeros aturales. Cómo es posible explicarlo? Es esta observació válida para cualquier triágulo de Pascal (es decir, co cualquier catidad de filas)? Ej.2.8 Elabore las primeras oce filas del triágulo de Pascal. Recuerde que la primera fila es la fila cero. Ej.2.9 Elabore la fila 13 del triágulo de Pascal co ayuda de los coeficietes biomiales.

16 16 Ej.2.10 Calcule los siguietes elemetos del triágulo de Pascal: d 11,2, d 11,4, d 11,7, d 12,3, d 12,5 y d 12,8. Demostració*: Coeficietes biomiales forma el triágulo de Pascal Queremos demostrar que las reglas bajo las cuales se forma el triágulo de Pascal, origia coeficietes biomiales de la forma k sobre. Dicho de otra maera, que los coeficietes biomiales satisface las reglas de formació del triágulo de Pascal. Para empezar, repitamos las reglas bajo las cuales el triágulo de Pascal es formado. d = d + d d k 1, k 1 1, k 00 0 ( 1) ( ) ( ) = 1 2 d = 1; d = 1 para todo N 3 Empecemos co la regla más secilla, es decir (2). El hecho de que es válida para los coeficietes biomiales, lo podemos alcazar mediate sustitució. 0 0! 1 0 = = = 1 = d 0 0! (0 0)! 1 0 Ahora, respecto a la regla (3). Teemos que mostrar que 0 etre y etre, para cualquier valor de, es igual a uo:!!! = = = = 1 para todo = d0 0 0! ( 0 )! 1!! N 0,!!!! = = = = = 1 para todo = d! ( )!! 0!! 1! N. Nuevamete os resultó bastate secillo probar esto úicamete haciedo sustitucioes y recurriedo a la defiició de los coeficietes biomiales. Si embargo, para satisfacer la codició (1), será ecesario aplicar u poco más de igeio de cálculo. Teemos que mostrar que la siguiete igualdad es válida: O e forma desarrollada: ( ) 1 1 = +. k k 1 k ( ) ( ) (( ) ( )) 00 ( ) (( ) )! 1! 1! = +. k! k! k 1! 1 k 1! k! 1 k! Empezaremos co el lado derecho de la igualdad y trataremos de modificarlo mediate operacioes correctas, hasta obteer la expresió del lado izquierdo de la igualdad.

17 = k 1 k ( 1 )! ( 1 )! + = ( k 1 )! ( ( 1) ( k 1 ))! ( k )! ( ( 1 ) k )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k ) ( k 1) 2 ( ) ( ) ( k ) ( )! ( ) 1 2 k + 1 k k k k 1! 1 k k Hasta el mometo úicamete hemos modificado las fraccioes y desarrollado los factoriales. Esto lo realizamos para recoocer la forma e la que los cocietes podrá ser simplificados. Los térmios e rojo se puede simplificar, resultado e las siguietes fraccioes claramete más simples: ( ) ( ) ( ) ( k ) ( ) ( ) ( ) 1 2 k k + 1! k! E el siguiete paso, ecotraremos el deomiador comú, para poder así efectuar la suma y obteer ua úica fracció. ( 1) ( 2) ( k + 1) k ( 1) ( 2) ( k ) ( k 1 )! k k! ( 1) ( 2) ( k + 1) k + ( 1) ( 2) ( k ) k! + = Ahora se observa que los sumados e el umerador posee térmios iguales, los cuales se puede factorizar. ( 1) ( 2) ( k + 1) k + ( 1) ( 2) ( k + 1) ( k ) ( 1) ( k 1) [ k k] + + k! k ( 1) ( + 1) k! k! = Ahora o os falta mucho para llegar a uestro objetivo. Al multiplicar el umerador y el deomiador por el mismo térmio, llegamos a la expresió buscada. ( 1) ( 1) ( k ) k! ( k ) 2 1 k =.! 1 1 = + = k! ( k )! k k 1 k k Ya hemos demostrado las tres reglas y podemos dar por cocluida la demostració.. =

18 18 Cálculo simplificado de los coeficietes biomiales Hemos establecido la relació etre el triágulo de Pascal y los coeficietes biomiales k sobre. Si embargo, qué es lo que hemos gaado co esto? Por u lado, ahora sabemos que podemos geerar los coeficietes biomiales de ua forma muy rápida co ayuda del triágulo de Pascal. Si la fila del triágulo es coocida, es posible geerar a partir de simples sumas, la fila (+1). Esta operació es posible ejecutarla muy fácilmete co papel y lápiz, o bie hacerlo e la mete. Por el cotrario, la forma de calcular los coeficietes biomiales ates de coocer al triágulo de Pascal, llevaba a la multiplicació de úmeros muy grades, para las cuales era obligatorio el uso de ua calculadora ( Ej.2.11). La simetría del triágulo de Pascal A ua propiedad adicioal del triágulo de Pascal, es posible sacarle provecho: la simetría. Como sabemos, el triágulo de Pascal es simétrico respecto de su eje vertical cetral. Esto sigifica que la siguiete igualdad es válida: O bie, e otació de coeficietes biomiales: dk d, k =. =. k k Esta propiedad de los coeficietes biomiales será más evidete, si se observa u ejemplo de la vida diaria: se debe elegir etre cico CDs uevos, úicamete dos. Esto puede ser debido a que se posee úicamete diero para comprar de dos. Si embargo, esta decisió es la misma que teer que escoger etre los mismos cico CDs, los tres que o se quiere comprar: = = Es relativamete secillo, a través de sustitucioes y modificacioes, el mostrar que esta regla es válida para los coeficietes biomiales: ( Ej.2.12)!!! = = = = k k! k! k! k! k! k! k. La suma de los coeficietes biomiales ( ) ( ) ( ) ( ( )) Deseamos obteer U uso adicioal del triágulo de Pascal, puesto que para osotros es el más iteresate. E la última coversació de Clever-Cosultig, Selia tuvo ciertos problemas co la siguiete fórmula: Si o se posee ua calculadora modera co la opció de ejecutar sumatorios, será ecesario igresar cada uo de los sumados y es muy fácil equivocarse. Sería iteresate, poder simplificar este sumatorio. Observemos por lo tato los elemetos de la -ésima fila del triágulo de Pascal:

19 k 1 k k Los coeficietes biomiales de esta fila recuerda a los sumados que acabamos de observar. La úica diferecia es que e lugar de 1 teemos ahora. Los sumados de uestra fórmula correspode por lo tato a los elemetos de la fila ( 1) del triágulo de Pascal. Observemos de todas formas a la -ésima fila: lo que sea válido para ésta, se podrá traducir a la fila ( 1), siempre y cuado > 1. A osotros os iteresa la suma de los elemetos de ua fila cualquiera. Sea ésta la fila del triágulo de Pascal. Para etederlo mejor, observaremos primero lo que sucede co las primeras filas: Sumatorio de los elemetos Existe aquí algo que llama la ateció: la sumatorio de las cifras de cada fila se duplica etre fila y fila! Es posible geeralizar ua regla a partir de esta observació? No, ya que lo que observamos puede ser válido úicamete para el ejemplo que estamos cosiderado y es ecesario demostrar la propiedad para u caso geérico. Pesemos por lo tato, a qué puede deberse el que el sumatorio de las filas se duplique y aalicemos la formació del triágulo de Pascal más deteidamete. E el ejemplo siguiete, la fila = 4 estará formada a partir de la fila = = = = Se puede observar que cada cifra de la fila superior aparece exactamete dos veces como u sumado (o bie como ua cifra e los lados). Este comportamieto puede ser trazado para cualquier fila. Debido a que cada cifra de la fila aterior aparece dos veces e la fila, ya sea como sumado o como cifra particular, se puede cocluir que el sumatorio de cada fila se duplica de ua fila a otra. Quié esté iteresado e ua demostració para este comportamieto, os referimos al fial de esta secció. Para uestros siguietes cálculos llamaremos a el sumatorio de la -ésima fila ZS, co ZS = d 0 + d d,-1 + d. El sumatorio de la fila cero la coocemos, puesto que es ZS 0 = 1. El sumatorio para la seguda fila, ya o es ecesario coocerla, puesto que la podemos calcular: ZS1 = ZS0 2 = 1 2 = 2. El sumatorio para la tercera fila, se puede calcular de la misma forma: ZS = ZS 2 = ZS 2 2 = = Mietras que para la -ésima fila se tiee que:

20 20 ZS = ZS 2 = ZS = ZS 2 = 2 para Si embargo, cómo se comporta esta fórmula co la fila cero? 2 0 = 1 = ZS 0. La regla es por lo tato válida tambié para la fila cero y por lo tato se puede geeralizar como sigue: ZS = d 1 + d2 + + d, 1 + d = 2 para 0. Por lo tato se ha coseguido ua simplificació de la fórmula. Sumatorio de los elemetos Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Se tiee que: = 2 0 = 1 2 = 2 2 = = 2 2 = 2 2 = = 4 2 = 2 2 = = 8 2 = 2 2 = = 16 2 = 2 2 = 2 = = k 1. ( Ej.2.13) Regresemos por u mometo al sigificado iicial de los coeficietes biomiales. El úmero de posibilidades de tomar subcojutos de k-elemetos de u cojuto de -elemetos es k sobre. Qué es lo que obteemos si calculamos estas cifras para cada k desde cero hasta, y luego se suma cada resultado obteido? Bueo, hemos formado subcojutos de cero elemetos, de u elemeto, de dos elemetos, etc., hasta subcojutos de -elemetos. Es así como 2 describe a la catidad de subcojutos que se puede obteer de u cojuto de - elemetos. A la uió de todos los subcojutos, se le cooce como cojuto potecia. El cojuto potecia tiee 2 elemetos. Ejemplo: El cojuto {1, 2, 3, 4} tiee cuatro elemetos. Así es posible formar u total de 2 4 = 16 subcojutos: 4 4! = = 1 0-elemetos (cojuto vacío) 0 0! 4!

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