Análisis de cerchas Método de las uniones

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Análisis de cerchas Método de las uniones"

1 Seminario de Modelación Matemática em Arquitectura Análisis de cerchas Método de las uniones Determinar las fuerzas internas de cada uno de los miembros de la siguiente cercha: /2 500 lb 250 lb Y 3/2 X 60º Solución: Un elemento cercha es un caso especial de los elementos estructurales, en el cual todas las fuerzas tienen la dirección del eje del elemento (aiales). En el método de las uniones se analiza toda la cercha, unión por unión, calculando las fuerzas internas de los miembros mediante la aplicación de las condiciones de equilibrio en cada punto. Es necesario numerar los nodos de la cercha para tener un orden en el momento de definir las ecuaciones de equilibrio: Aplicando las condiciones de equilibrio en cada una de las uniones de la estructura. En el equilibrio intervienen las fuerzas internas las fuerzas eternas aplicadas en el nodo. Si se tiene en cuenta el peso propio del elemento, es necesario distribuir por partes iguales el peso en cada uno de los

2 nodos del elemento, en dirección de la fuerza de gravedad (Generalmente negativo en dirección Y). No es necesario conocer previamente la dirección de la fuerza interna en cada elemento. El signo del resultado definirá si la dirección está correctamente asignada o si va en dirección contraria (Tensión o compresión). Es necesario ser consecuente con la dirección de las fuerzas asumida en los nodos de un mismo elemento (Igual valor, dirección opuesta): Compresión Tensión Si se suponen las fuerzas internas de los elementos como fuerzas de tensión (as fuerzas salen de la unión), el resultado positivo indicará que la suposición es correcta, por su parte, si el resultado es negativo la fuerza es de compresión. 500 lb F45 F lb F41 F42 F52 F53 F14 F24 F25 F35 R1 F12 F21 F23 F32 R1 R3 Haciendo equilibrio en cada una de las uniones tenemos:

3 Nodo 1: F = 0 - R1 + F + F cos 60 = F = 0 R1 + F sin 60 = 0 Nodo 2: F = 0 F + F F cos60 + F cos60 = F = 0 F sin 60 + F sin 60 = 0 Nodo 3: F = 0 F F cos 60 = F = 0 R3 + F sin 60 = 0 Nodo 4: 35 F = 0 F cos 60 + F cos60 + F = F = F sin 60 F sin 60 = 0 Nodo 5: F = 0 -F F cos 60 + F cos F = 0 - F sin 60 F sin 60 = = 0 Generando un arreglo de las ecuaciones de equilibrio, en el que cada fila corresponda a cada una de las ecuaciones cada columna corresponda a cada una de las fuerzas (incógnitas), obtenemos un sistema lineal de ecuaciones: R1 R1 R3 F12 F23 F14 F24 F25 F35 F cos60º sen60º cos60º cos60º sen60º -sen60º cos60º cos60º sen60º sen60º cos60º sen60º cos60º cos60º sen60º -sen60º 0 0 Para resolver este sistema de ecuaciones se puede implementar un algoritmo en Matlab, en el que se haga la triangulación superior de la matriz epandida luego se haga la sustitución regresiva.

4 Es necesario definir la matriz A el vector B del sistema a solucionar: AX=B. Aplicando la rutina llamada triangulasupsust(a,b), que toma una matriz cuadrada de N N elementos un vector de N elementos, después de generar la eliminación gaussiana a la matriz epandida [A B], calcula el vector solución X mediante la sustitución regresiva: De esta manera la solución del sistema lineal de ecuaciones arroja los siguientes resultados: F12= 404 lb Tensión F23= 135 lb Tensión F14= -308 lb Compresión F24= -269 lb Compresión F25= 269 lb Tensión F35= -269 lb Compresión F45= -19 lb Compresión R1= 250lb Reacción R1= 266 lb Reacción R3= 233 lb Reacción

5 Este resultado nos da una idea de cómo se está comportando la estructura ante la solicitación de carga, nos permite ubicar las zonas de tensión compresión. -19 lb 410 lb 300 lb lb lb 269 lb lb 404 lb 135 lb 150 lb 0-20 lb -300 lb -310 lb os esfuerzos que se presentan en cada uno de los elementos de la cercha están dados por la epresión: σ = F A donde σ es el esfuerzo normal (aial), F la fuerza interna del elemento A el área de la sección transversal del elemento. a selección del material para la construcción de la estructura, depende de la resistencia del mismo, la cual no debe ser inferior al máimo esfuerzo presente en la estructura. a resistencia del material está dada por el esfuerzo σ (esfuerzo antes de la fluencia o falla del material), el cual es determinado mediante pruebas de tensión compresión en el laboratorio.

Documentos relacionados

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES

ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas