FUNDAMENTOS DE CONTROL AUTOMÁTICO DE SISTEMAS CONTINUOS Y MUESTREADOS

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1 FUNDAMENTOS DE CONTROL AUTOMÁTICO DE SISTEMAS CONTINUOS Y MUESTREADOS Dr. Jorge Juan Gil Nobajas Dr. Ángel Rubio Díaz-Cordovés San Sebastián, 5 de agosto de 2009

2 Fundamentos de Control Automático de Sistemas Continuos y Muestreados c 2009 Jorge Juan Gil Nobajas y Ángel Rubio Díaz-Cordovés ISBN Depósito Legal SS Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción total o parcial sin autorización previa. Se autoriza la visualización, impresión y copia exclusivamente para uso personal sin fines de lucro. Impreso en España Imprime: Unicopia, C.B. Paseo Manuel Lardizábal, San Sebastián (Guipúzcoa) ESPAÑA 2

3 Índice general I Control de sistemas continuos 9. Introducción.. Definiciones Ejemplos de sistemas de control Clasificación de los sistemas de control Sistemas y modelos Sistemas mecánicos Sistemas eléctricos Sistemas electromecánicos Sistemas hidráulicos Sistemas térmicos Ejercicios propuestos La transformada de Laplace Definición y propiedades Transformada de Laplace de funciones elementales Transformada inversa de Laplace Resolución de ecuaciones diferenciales Ejercicios resueltos Representación de los sistemas Generalidades Función de transferencia de un sistema Diagrama de bloques de un sistema Reglas para la simplificación de diagramas de bloques Ejemplo de circuito con dos mallas Ejemplo de motor de corriente continua Sistema de realimentación negativa no unitaria Sistema de realimentación negativa unitaria Ejercicios propuestos Respuesta temporal Sistemas de primer orden Respuesta ante entrada impulso Respuesta ante entrada escalón Respuesta ante entrada sinusoidal Ejemplos de sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Respuesta subamortiguada ante entrada escalón Respuesta sobreamortiguada ante entrada escalón Respuesta críticamente amortiguada ante entrada escalón Respuesta oscilatoria ante entrada escalón Respuesta ante entrada impulso Sistemas de orden superior Influencia de los ceros Ejercicios propuestos

4 5. Error en régimen permanente Error en régimen permanente Error de posición Error de velocidad Error de aceleración Resumen de errores Magnitud y unidades del error Error en sistemas con realimentación no unitaria Error en sistemas con varias entradas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Estabilidad Definición de estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Estabilidad de los sistemas de segundo orden Estabilidad de los sistemas de tercer orden Ejemplo numérico de sistema de cuarto orden Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz Se anula el primer coeficiente de una fila Se anula toda una fila Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Lugar de las raíces Introducción Generalidades del método Método para dibujar el lugar de las raíces Polos y ceros en lazo abierto Asíntotas Puntos del eje real que pertenecen al lugar de las raíces Puntos de ruptura Puntos de corte con el eje imaginario Ángulos de salida y llegada Cálculo de la ganancia Ejemplos de lugares de las raíces Sistema de tercer orden Sistema de segundo orden con un cero Estabilidad relativa Margen de ganancia Margen de fase Lugar de las raíces en función de otros parámetros Ejercicios propuestos Respuesta en frecuencia Respuesta a una entrada sinusoidal El diagrama de Bode Diagramas de Bode de sistemas elementales Ganancia Retraso en el tiempo Integrador Derivador Polo simple estable Cero simple con parte real negativa Polos estables complejos conjugados Ceros complejo conjugados Polo simple con parte real positiva Cero simple con parte real positiva Diagrama de Bode de cualquier función de transferencia

5 8.5. Diagrama de Bode de un sistema en lazo cerrado Ancho de banda Margen de fase y margen de ganancia Ejercicios propuestos Compensadores de adelanto y de retraso de fase Generalidades Especificaciones Tipos de compensación Método de ajuste Compensador de adelanto de fase Ajuste por el lugar de las raíces Ajuste por el diagrama de Bode Compensador de retraso de fase Ajuste por el diagrama de Bode Ajuste por el lugar de las raíces Compensador de adelanto-retraso Ejercicios propuestos Controladores PID Expresión general Forma estándar Forma paralela Forma serie Sentido físico de la actuación de un PID Actuación proporcional Actuación proporcional-derivativa Actuación proporcional-integral Ajuste experimental de PID Ajuste de Ziegler-Nichols Otros ajustes experimentales Ejemplo comparativo Ajuste analítico de PIDs por asignación de polos Control con dos grados libertad Modificaciones del PID Supresión del efecto kick-off Set-point weighting Filtro de la derivada Prevención del efecto windup integral Ejercicios propuestos Control en espacio de estado 25.. Introducción Tipos de variables de estado Variables de fase Variables canónicas o normales Variables físicas Controlabilidad y observabilidad Realimentación de estados Asignación de polos de forma clásica Método de Ackermann Asignación de polos en control óptimo Observadores de estado Realimentación completa de estados

6 II Control de sistemas muestreados 33 2.Introducción Ejemplo de implementación analógica Ejemplo de implementación digital Concepto de muestreo Concepto de cuantización Clasificación de los sistemas Tratamiento matemático de la señal muestreada Definición de muestreo periódico Función portadora Función temporal muestreada Transformada de Fourier de la función muestreada El problema del aliasing Teorema de Shannon Aliasing y reconstrucción de la señal original Aliasing y ruido en la medida de la señal El muestreo ideal Definición de muestreo ideal Función portadora Función temporal muestreada Transformada de Fourier de la función muestreada Transformada de Laplace de la función muestreada Forma cerrada y región de convergencia Forma alternativa para la transformada de Laplace Periodicidad de la transformada de Laplace Franjas primaria y complementarias Reconstrucción de la función continua original Filtro ideal Características del filtro ideal Imposibilidad física de construcción del filtro ideal Reconstrucción de la señal con el filtro ideal Retenedor de orden cero Características del retenedor de orden cero Expresión de Laplace del retenedor de orden cero Respuesta en frecuencia del retenedor de orden cero Retenedor de primer orden Características del retenedor de primer orden Expresión de Laplace del retenedor de primer orden Respuesta en frecuencia del retenedor de primer orden Retenedor polinomial Características del retenedor polinomial Expresión de Laplace del retenedor polinomial La transformada Zeta Cálculo de la transformada Zeta Tabla de la transformada Zeta de funciones elementales Teoremas de la transformada Zeta Cálculo de la transformada inversa de Zeta Método directo o de la expansión de potencia Método de la expansión en fracciones Función de transferencia Zeta Ecuaciones diferencia

7 7.Diagramas de bloques en Zeta Generalidades Bloques en cascada con muestreadores Un único bloque continuo Bloques continuos con muestreador intermedio Bloques continuos sin muestreador intermedio: el problema de la convolución Sistemas en lazo cerrado Método de simplificación Sistemas con bloques continuos y discretos Correspondencia entre el plano S y el plano Z Franja primaria y círculo unitario Líneas de parámetros constantes Variación de la posición de los polos y ceros con T Cálculo del número de muestras por ciclo Análisis de estabilidad Criterio general Criterio de Jury Transformación bilineal y criterio de Routh-Hurwitz Ejemplo Respuesta transitoria y régimen permanente Respuesta transitoria Régimen permanente Error en régimen permanente Tipo de sistema Lugar de las raíces Definición Punto de partida Método gráfico Diseño de compensadores de adelanto de fase Ejemplo de diseño Ejercicios propuestos Métodos de digitalización Generalidades de los métodos de digitalización Integración numérica Método trapezoidal o de Tustin Método de Euler implícito Método de Euler explícito Otros métodos numéricos de integración Ejemplo de digitalización usando integración numérica Derivación numérica Método de backwards Otros métodos de derivación Ejemplos de digitalización de PID Ejemplos de digitalización de filtros Método de equiparación de polos y ceros Caso particular Método de equiparación modificado Ejemplo Método de la equivalencia del retenedor Respuesta en frecuencia Aproximación de la respuesta en frecuencia Ejemplo numérico Respuesta en frecuencia exacta

8 24.Espacio de estado muestreado Introducción Ejemplo de modelización Control mediante realimentación completa de estados A. Ampliación de espacio de estado 2 A.. Matriz de transición de estados

9 Parte I Control de sistemas continuos 9

10

11 Capítulo Introducción La ingeniería de control formula leyes matemáticas para el gobierno de sistemas físicos conforme a una serie de especificaciones. Esta disciplina es esencial para el desarrollo y automatización de procesos industriales. Los avances en el control automático brindan los medios adecuados para lograr el funcionamiento óptimo de cualquier sistema dinámico, por tanto, resulta muy conveniente que los ingenieros posean un amplio conocimiento de esta materia. La Parte I del presente libro de texto describe las herramientas clásicas para el control de sistemas continuos en el tiempo, es decir, aquellos sistemas en los que se puede medir y actuar en todo instante. En electrónica, este tipo de sistemas se llaman analógicos, frente a los discretos y digitales que se estudiarán en la Parte II... Definiciones En el estudio de la ingeniería de control, se emplean una serie de conceptos que es necesario definir: - Planta, proceso o sistema: Es la realidad física que se desea controlar (por ejemplo, un horno de calentamiento controlado, reactor químico, amplificador operacional, vehículo espacial, velocidad de un tren de laminación, etc.). - Perturbaciones: Señales o magnitudes físicas desconocidas que tienden a afectar adversamente la salida del sistema. - Control realimentado: Operación que se realiza sobre la planta, con la que se consigue que a pesar de las perturbaciones, el sistema siga una entrada de referencia. Normalmente esto se consigue comparando la señal de salida con la señal deseada (se suele trabajar con la diferencia de ambas señales) y actuando en consecuencia. - Controlador o compensador: Ley matemática que rige el comportamiento del sistema. Si una ley de control funciona aunque uno se haya equivocado en el modelo, se dice que esa ley es robusta. - Servosistema: Sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapié a la capacidad del sistema de seguir una referencia. - Regulador: Sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapié a la capacidad del sistema de rechazar las perturbaciones. En los reguladores la referencia prácticamente no cambia, es una señal continua y si cambia, lo hace lentamente. - Sistema en lazo cerrado: La variable controlada se mide y se utiliza esa medición para modificar la entrada sobre la planta. Esa medida se lleva a cabo normalmente por un sensor. - Sistema en lazo abierto: La variable controlada o de salida no se mide, ni se utiliza para modificar la entrada. La entrada a la planta no es función de la salida como ocurría en lazo cerrado. Se emplea normalmente cuando las perturbaciones sobre el sistema son pequeñas y se posee un buen modelo de planta. También se utiliza este tipo de sistemas si la señal de salida del sistema es imposible o muy difícil de medir. Como ejemplos se podrían citar una lavadora de ropa o el arranque de motores de estrella a triángulo. Si el sistema en lazo abierto cumple las especificaciones necesarias, resulta más sencillo y barato construirlo que un sistema en lazo cerrado.

12 En la Fig.. a) se puede observar el esquema de control general que se va a seguir, mientras que en la. b) se observa un ejemplo de sistema en lazo abierto. En la Tabla. se puede observar las principales diferencias entre un sistema en lazo abierto y uno en lazo cerrado. Perturbacion Control Actuador Planta Referencia Sensor Salida a) Perturbacion Control Actuador Planta Referencia Salida b) Figura.: Sistema de control en lazo cerrado a) y en lazo abierto b) Tabla.: Comparación entre controladores Control en lazo cerrado Control en lazo abierto Rechaza perturbaciones No rechaza perturbaciones Puede hacerse inestable No tiene problemas de estabilidad Puede controlar sistemas inestables No controla sistemas inestables No requiere conocer la planta Requiere conocer la planta Mayor número de componentes Menor número de componentes Suele ser caro Suele ser más económico.2. Ejemplos de sistemas de control Se presentan a continuación unos ejemplos de sistemas de control de lazo cerrado. - Sistema de control de velocidad: Para el caso en que se quiera controlar la velocidad de un coche mediante un sistema en lazo cerrado, la variable de referencia es la velocidad deseada del coche, el motor del coche es el actuador, la planta es el coche en sí, posibles perturbaciones pueden ser la aparición de una cuesta, la actuación del viento, etc., la salida del sistema es la velocidad real del coche, y el sensor, un velocímetro, mide dicha velocidad. - Sistema de control de temperatura: Otro caso es el control de la temperatura de una habitación. La variable de referencia es la temperatura deseada de la habitación, los actuadores son los radiadores (o el aparato de aire acondicionado), la ley de control es el termostato, y las perturbaciones son las calorías que entran y salen de la habitación o que generan las personas u otros equipos que no sean los actuadores. El sensor que mide la temperatura de la habitación puede ser un simple termómetro. - Sistema de control de posición: Ahora se quiere controlar un péndulo como el de la Fig..2, para que se mantenga en un estado de equilibrio vertical. Las perturbaciones son cualquier fuerza que intente sacar el péndulo de su posición de equilibrio. Si se trabajase en lazo abierto no se podría saber en qué posición se encontraría el péndulo en cada momento, y nunca se podría alcanzar el objetivo. Es imprescindible, para este caso, utilizar un sistema de control en lazo cerrado. Otro ejemplo de sistema de control de posición es un sistema máquina-herramienta. En este caso el sensor puede ser un encoder diferencial, un resolver o un potenciómetro, el actuador es un motor eléctrico y la ley de control un controlador PD..3. Clasificación de los sistemas de control Los sistemas de control se pueden clasificar de diversos modos. Si se atiende a la varianza en el tiempo de la ley de control se puede distinguir: 2

13 x φ m f Figura.2: Péndulo simple invertido - Control fijo o estándar: Los parámetros de la ley de control no varían en el tiempo. Es interesante cuando las leyes del actuador y de la planta son fijas. Como ya se ha apuntado, se llama control robusto a aquel que funciona correctamente ante errores en la modelización de la planta. - Control adaptable (gain scheduling): La ley de la planta cambia, y se puede decidir para cada ley un controlador distinto. Aquí se selecciona una ley de control como se ve en la Fig..3 a). - Control adaptativo (adaptive control): Se va cambiando el control variando los parámetros del modelo, como se ve en la Fig..3 b). Sirve para aquellos sistemas en los que el modelo de la planta varía con el tiempo. Control Perturbacion Actuador Planta Referencia Control 2 Sensor Salida a) Estimador Control Sistema Referencia Sensor Salida b) Figura.3: Sistema de control adaptable a) y adaptativo b) Si se atiende al número de entradas y de salidas que posee el sistema: - Sistemas SISO (single input, single output): Poseen una única entrada y una salida. - Sistemas MIMO (multiple input, multiple output): Poseen varias entradas y varias salidas. Si se atiende a la linealidad del sistema se puede distinguir: - Sistemas lineales: Las ecuaciones diferenciales que describen al sistema, tanto a la planta como al controlador, son lineales. - Sistemas no lineales: Las ecuaciones diferenciales que describen al sistema no son lineales. En unos casos la falta de linealidad se da en la planta y, en otros casos, en el propio controlador. Si se atiende a la continuidad del sistema se puede distinguir: - Sistemas continuos: La ley de control posee información de la planta y actúa en todo instante de tiempo. 3

14 - Sistemas muestreados o discretos: La ley de control recibe información y actúa en determinados instantes que suele imponer un reloj. Estos sistemas se pueden analizar de forma similar a los sistemas continuos si el proceso de muestreo es mucho más rápido que la planta. La Parte II del presente manual se dedica al estudio de este tipo de sistemas. Si se atiende a los parámetros de las ecuaciones diferenciales que describen al sistema se puede distinguir: - Sistemas de parámetros concentrados: El sistema está descrito por ecuaciones diferenciales ordinarias. - Sistemas de parámetros distribuidos: El sistema está descrito por medio de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Un ejemplo de sistema de este tipo puede ser el control de la transmisión de calor a través de una superficie o volumen, o el control de la vibración de un punto de una membrana..4. Sistemas y modelos Un sistema es una combinación de elementos que actúan conjuntamente y cumplen un determinado objetivo. En ingeniería de control los sistemas se estudian reemplazándolos por modelos matemáticos. Sin embargo obtener un modelo matemático que caracterice de forma adecuada el comportamiento de un determinado sistema no es sencillo, y es uno de los grandes problemas de la ingeniería de control. Ningún modelo matemático puede abarcar toda la realidad del sistema, sin embargo, para que un modelo sea útil no es necesario que sea excesivamente complicado. Basta con que represente los aspectos esenciales del mismo y que las predicciones sobre el comportamiento del sistema, basadas en dicho modelo, sean lo suficientemente precisas. Los modelos se rigen con ecuaciones diferenciales. Normalmente se buscan modelos matemáticos en los que intervengan ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Si se encuentran ecuaciones no lineales, lo habitual es linealizarlas en las proximidades del punto de operación. A continuación se procederá al estudio de los sistemas más usuales en la ingeniería de control..4.. Sistemas mecánicos Los sistemas mecánicos se componen de elementos que pueden comportarse como masas, amortiguadores o muelles. La ecuación diferencial que rige el comportamiento de una masa es la segunda ley de Newton: f = m d2 x dt 2 (.) Donde f es la suma de las fuerzas exteriores aplicadas a la masa y x es su desplazamiento. El parámetro constante m es la propia masa y su unidad fundamental en el SI es el kilogramo, kg. Si el sistema gira en lugar de desplazarse, la ecuación que gobierna su movimiento es: τ = J d2 θ dt 2 (.2) Donde τ es la suma de los pares exteriores aplicados al sistema y θ su giro. El parámetro constante J es la inercia del sistema y su unidad es el kg m 2. La fuerza f que restituye un amortiguador cuando se comprime es proporcional a la velocidad con que se aproximan sus extremos. La ecuación diferencial que rige su comportamiento es: f = c dx dt (.3) El parámetro c es la constante del amortiguador o viscosidad, y su unidad es el Ns/m. Si una masa se desplaza dentro de un medio viscoso (al aire, el agua, etc.), además de su propia inercia debe vencer una fuerza viscosa proporcional a la velocidad con que se desplaza dicha masa. Este efecto se puede modelizar matemáticamente con un amortiguador cuyos extremos estuvieran anclados uno en el centro de gravedad de la masa y otro en un punto exterior fijo del medio. Evidentemente, este efecto no aparece en el vacío o en el espacio exterior, fuera de la atmósfera. 4

15 La fuerza f que restituye un muelle o resorte cuando se comprime es proporcional a la distancia x que se han acercado sus extremos desde su longitud natural. Es la llamada ley de Hooke: f = kx (.4) La constante k representa la rigidez del muelle y su unidad es el N/m. Para obtener las ecuaciones que representan a los sistemas mecánicos, se aísla cada elemento del sistema, introduciendo las fuerzas de enlace y se aplica la segunda ley de Newton a dicho elemento. A continuación se muestran algunos casos en los que se da una combinación de los tres elementos básicos de un sistema mecánico y las ecuaciones diferenciales que los gobiernan. k c Figura.4: Sistema mecánico masa-muelle-amortiguador x m f f = m d2 x dt 2 + cdx + kx (.5) dt La ecuación diferencial (.5) gobierna el sistema masa-muelle-amortiguador de la Fig..4. La entrada al sistema es la fuerza f y la salida es el desplazamiento de la masa x. La entrada puede ser un desplazamiento en lugar de una fuerza, como ocurre en el caso de la.5. El desplazamiento u puede representar el desplazamiento de un vástago neumático. La ecuación diferencial (.6) gobierna este nuevo sistema. x u c m k Figura.5: Sistema mecánico masa-muelle-amortiguador ku = m d2 x dt 2 + cdx + kx (.6) dt También es posible que el sistema pueda modelizarse despreciando la masa de los elementos móviles. Este es el caso del sistema de la Fig..6, regido por la ecuación diferencial (.7). k x f c Figura.6: Sistema mecánico muelle-amortiguador f = c dx + kx (.7) dt En el sistema de la Fig..7 ante una única entrada u existen dos variables temporales de salida, los desplazamientos de las masas x y x 2. Este sistema puede servir para modelizar el comportamiento del sistema de amortiguación de un vehículo. La masa m 2 representa la parte amortiguada del vehículo, mientras que m es el conjunto de la rueda y el eje. El desplazamiento de entrada u es el perfil de la carretera que actúa sobre la rueda a través de la rigidez del neumático k. d 2 x k (u x ) = m dt 2 + k 2(x x 2 ) + c ( dx k 2 (x x 2 ) + c dt + dx ) 2 dt 5 = m 2 d 2 x 2 dt 2 ( dx dt + dx 2 dt ) (.8)

16 m 2 x 2 c k 2 m x k u Figura.7: Modelo de un sistema de amortiguación Si lo único que interesa del sistema es el desplazamiento de la masa amortiguada, sin importar cómo se mueva la rueda, habría eliminar del sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (.8) la variable x. El objetivo sería obtener una única ecuación que relacione la entrada u con la variable x 2. Esto es difícil de hacer con las ecuaciones diferenciales en el dominio temporal. En el capítulo 2 se muestra cómo conseguirlo de forma sencilla gracias a la transformada de Laplace Sistemas eléctricos Los sistemas eléctricos se componen de tres elementos fundamentales: las resistencias, los condensadores y las bobinas. La tensión que aparece sobre los extremos de una resistencia es proporcional a la intensidad que circula a través de ella. La constante proporcional se llama igualmente resistencia y su unidad en el SI es el ohmio, Ω. v = Ri (.9) La tensión que aparece sobre los extremos de una bobina es proporcional a la derivada de la intensidad que circula a través de ella respecto del tiempo. La constante proporcional se llama inductancia y su unidad es el henrio, H. v = L di (.0) dt La tensión que aparece sobre los extremos de un condensador es proporcional a la integral de la intensidad que circula a través de ella a lo largo del tiempo. Desde otro punto de vista, también se puede decir que la intensidad que circula a través de un condensador es proporcional a la variación de la tensión entre sus bornes. Esta última constante proporcional es la que se llama capacidad y su unidad es el faradio, F. i = C dv (.) dt En un circuito en el que existan resistencias, bobinas y condensadores, las ecuaciones diferenciales que lo gobiernan se obtienen aplicando las leyes de Kirchhoff en las mallas o en los nudos. A continuación se muestran algunos casos en los que se da una combinación de estos tres elementos y sus respectivas ecuaciones diferenciales. v i R L v o i C Figura.8: Sistema eléctrico resistencia-bobina-condensador v i = R i + L di dt + C v o = C t 0 i dτ t 0 i dτ (.2) En el sistema de la Fig..8, la entrada en el circuito en la tensión v i y la salida es la tensión v o suponiendo que la corriente de salida es nula, o lo que es lo mismo, el circuito se conecta a un dispositivo 6

17 de alta impedancia de entrada. En el sistema de ecuaciones diferenciales (.2) interviene una variable intermedia: la intensidad i. Como ocurría anteriormente en los sistemas mecánicos, es difícil en el dominio temporal eliminar del sistema de ecuaciones estas variables intermedias para obtener una única ecuación diferencial que relacione la salida con la entrada. v i R R 2 v o i C i2 C 2 Figura.9: Sistema eléctrico con dos mallas v i = R i + t (i i 2 ) dτ C 0 t (i i 2 ) dτ = R 2 i 2 + t i 2 dτ C 2 C 0 v 0 = t i 2 dτ C (.3) En el sistema de la Fig..9 existen dos mallas, por tanto se obtienen dos variables intermedias entre las tensiones de salida y de entrada: las intensidades i e i 2. i R R L C i C 2 i 2 Figura.0: Sistema eléctrico con fuente de corriente t C 0 t C 2 0 (i i ) dτ = R i + t (i i 2 ) dτ C 2 (i i 2 ) dτ = R L i 2 0 (.4) En el sistema de la Fig..0 se muestra un ejemplo donde la entrada es una corriente en lugar de una tensión. La entrada es la corriente i de la fuente, la salida es la corriente i 2 en la resistencia de carga R L y existe una variable intermedia que es la corriente i de la malla intermedia Sistemas electromecánicos Los sistemas electromecánicos o mecatrónicos, combinan elementos mecánicos y eléctricos. Un ejemplo es el motor de corriente continua que hace girar una inercia, Fig... La entrada es la tensión v y la salida es el giro θ. v R L τ θ i e Figura.: Modelo de un motor de corriente continua arrastrando una inercia v = Ri + L di dt + e e = K dθ dt τ = Ki τ = J d2 θ dt 2 + B dθ dt (.5) 7

18 La primera ecuación del sistema (.5) responde a la única malla del circuito. La tensión e que aparece en el motor es proporcional a la velocidad de giro del mismo. El par τ que ejerce el motor es proporcional a la intensidad que circula por él. Las constantes de velocidad y de par son la misma K, donde es posible demostrar que tienen las mismas unidades. La última ecuación del sistema es la del modelo mecánico de inercia J y viscosidad B Sistemas hidráulicos Los sistemas hidráulicos pueden incluir muy diferentes elementos (depósitos, válvulas, etc.). En este apartado se muestra un ejemplo de ecuación diferencial que gobierna la altura h de fluido contenido en un depósito. q i h A q o A o Figura.2: Depósito con conducto de desagüe Las ecuaciones que se pueden plantar en el depósito de la Fig..2 son la conservación de la masa y el caudal de salida, q i q o = A dh dt q o = A o v o = A o f 2gh = K (.6) h donde q i y q o son los caudales de entrada y salida, mientras que A y A o son las superficies de la sección del depósito y del conducto de salida. Eliminando la variable del caudal de salida q o resulta: A dh dt + K h = q i (.7) Lo primero que conviene resaltar es que esta ecuación diferencial no es lineal. En lugar de aparecer una función temporal y sucesivas derivadas temporales, aparece la raíz cuadrada de la función. Un modo de estudiar este tipo de sistemas consiste en linealizar su ecuación diferencial en algún punto de operación. Lo más sencillo es estudiar este comportamiento en el punto de equilibrio del sistema: para una altura H de fluido existe un caudal de entrada Q i tal que el caudal de salida Q o = K H es igual al de entrada. El punto (Q i,h) es el punto de equilibrio en el que se linealizará este sistema. Se aplicará el desarrollo en serie de Taylor de primer orden a la función, por tanto, [ ] f f(q i, h) f(q i, H) + (q i Q i ) + q i (Q i,h) dh dt A (Q i K H) + A (q i Q i ) f(q i, h) = dh dt, (.8) [ ] f (h H) (.9) h (Q i,h) K 2A (h H) (.20) H dh dt A (q i Q i ) (h H) (.2) τ Si se define el siguiente cambio de variables: } h = h H (.22) q i = q i Q i la ecuación diferencial lineal en torno al punto de equilibrio es: dh dt + τ h = A q i (.23) 8

19 Esta linealización se puede realizar en otros puntos distintos al de equilibrio. Para depósitos como el del ejemplo, una formulación aproximada bastante extendida es considerar el caudal de salida proporcional a la altura del depósito, q o = h R, (.24) donde R equivale a una resistencia al flujo de salida de caudal por la boquilla. Esta aproximación es un símil eléctrico del flujo del fluido y conduce a ecuaciones diferenciales lineales. Por ejemplo, la conservación de la masa en el depósito conduce a la ecuación, que es comparable al resultado que daba la linealización anterior, q i h R = Adh dt, (.25) dh dt + AR h = A q i, (.26) pero empleando la altura h y el caudal de entrada q i absolutos en lugar de sus diferencias respecto al punto de linealización. Siguiendo el símil eléctrico, el caudal se comporta como la intensidad de corriente, la altura del depósito como el potencial y el área de la sección del depósito como una capacidad. Por esto último, en algunos manuales al área A del depósito se le llama capacitancia del tanque Sistemas térmicos Los sistemas térmicos se describirán directamente usando un símil eléctrico parecido al definido en el apartado anterior. En este caso la resistencia térmica R es la oposición al flujo de calor entre dos cuerpos que posean temperaturas distintas. En el SI, las unidades de esta resistencia térmica es K/W. q = T T 2 R (.27) La capacitancia térmica C se define como el calor almacenado o desprendido por un cuerpo cuando cambia de temperatura. Esta capacitancia se suele dar en forma de calor específico, es decir, por unidad de masa. En el SI, las unidades del calor específico c e es J/kgK. q = C T (.28) q = mc e T (.29) q = mc e dt dt (.30) Con estas definiciones se puede modelizar el comportamiento térmico de muchos sistemas. Por ejemplo en la Fig..3 se muestra una habitación con un radiador que introduce un flujo de calor q r en presencia de una ventana de resistencia térmica R por la que se pierde un flujo de calor de q s. La temperatura exterior T e se supone constante... T i q s T e q r Figura.3: Habitación con un radiador y una ventana Las ecuaciones del sistema son: q r q s = mc e dt i dt q s = T i T e R Eliminado la variable q s queda una ecuación diferencial lineal de primer orden: dt i q r = mc e dt + T i T e R (.3) (.32) 9

20 .5. Ejercicios propuestos Con las ecuaciones que se han propuesto en este capítulo, hallar las ecuaciones diferenciales que gobiernan los siguientes sistemas: - Ejercicio : Un sistema mecánico que compuesto de una muelle y un amortiguador en serie (ver Fig..4) cuya entrada es el desplazamiento u y cuya salida es el desplazamiento x. x u c k Figura.4: Sistema mecánico muelle-amortiguador Solución: ku = kx + c dx dt (.33) - Ejercicio 2: Un sistema mecánico similar al anterior, pero en el que un muelle de rigidez k 2 está en serie con un conjunto paralelo muelle-amortiguador (ver Fig..5). La entrada sigue siendo el desplazamiento u y la salida el desplazamiento x. x u k 2 k c Figura.5: Sistema mecánico muelle-muelle-amortiguador Solución: k u + c du dt = (k + k 2 )x + c dx dt (.34) - Ejercicio 3: Un cuerpo de masa m unido a dos amortiguadores, uno de los cuales está amarrado al suelo (ver Fig..6). La entrada es el desplazamiento u en el extremo del amortiguador libre y la salida el desplazamiento x de la masa. x u c 2 m c Figura.6: Sistema mecánico amortiguador-masa-amortiguador Solución: du c dt = x md2 dt 2 + (c + c 2 ) dx dt (.35) - Ejercicio 4: Dos cuerpos unidos entre sí por un resorte (ver Fig..7). Uno de ellos está amarrado al suelo a través de otro muelle y en el otro actúa una fuerza f. La salida son los desplazamientos de los dos cuerpos. Solución: f = m d 2 x dt 2 + k (x x 2 ) d 2 x 2 k (x x 2 ) = m 2 dt 2 + k 2x 2 (.36) 20

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