La librería de código abierto Sundials en la resolución de sistemas multicuerpo

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1 Asociación Española de Ingeniera Mecánica XVIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA La librera de código abierto Sundials en la resolución de sistemas multicuerpo M. López, J.A. Vilán, A. Segade, E. Casarejos Dpto. Ingeniera Mecánica. Universidad de Vigo Resumen En los modelos utilizados para la resolución de problemas en la ingeniera, aparecen frecuentemente sistemas multicuerpo. La descripción matemática del comportamiento de este tipo de sistemas se realiza mediante las ecuaciones de movimiento. Estas ecuaciones pueden ser deducidas mediante la aplicación de diferentes teoras generales (Newton-Euler, Lagrange, Hamilton, etc.) La etapa final del proceso de resolución consiste en obtener la solución de (en general) un sistema de ecuaciones diferenciales. Para un sistema multicuerpo las ecuaciones de movimiento se pueden expresar matemáticamente de forma general como un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas. La resolución de este tipo de ecuaciones requiere la simplificación del sistema mediante diferentes métodos numéricos. En este trabajo, se utiliza la librera Sundials (Suite of Nonlinear and Differential/Algebraic Equation Solvers) de código abierto basada en licencia BSD (Berkele Software Distribution) para la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas. Comparando los resultados obtenidos utilizando la librera Sundials el software comercial Simmechanics, para un sistema multicuerpo significativo, se destaca la posible utilización de este código libre para la resolución de este tipo de sistemas. La librera Sundials permite además realizar análisis de sensibilidad, que mejora el conocimiento del comportamiento dinámico del sistema multicuerpo. INRODUCCIÓN En los modelos utilizados en la resolución de problemas en la ingeniera, más especficamente, en sistemas mecánicos, aparecen frecuentemente sistemas multicuerpo. La descripción matemática del comportamiento de este tipo de sistemas se realiza mediante las ecuaciones de movimiento. Estas ecuaciones pueden ser deducidas mediante la aplicación de diferentes teoras generales (Newton-Euler, Lagrange, Hamilton, etc.), desarrolladas en detalle por numerosos autores, que han contribuido enormemente al conocimiento de estos complejos sistemas fsicos [1], [2], [3]. De forma general, las ecuaciones de movimiento se pueden expresar matemáticamente como un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas (DAES). La resolución de este tipo de ecuaciones requiere la utilización de diferentes métodos numéricos por tanto, el uso de software es ineludible. Existe en la actualidad, una amplia variedad de software comercial (ADAMS, Simmechanics, etc.), pero también basado en código libre, que según diferentes planteamientos, resuelve el DAES. En este trabajo se utiliza la librera Sundials [4] (Suite of Nonlinear and Differential/Algebraic Equation Solvers) de código abierto basada en licencia BSD (Berkele Software Distribution), para la resolución del DAES, una vez planteadas la ecuaciones de movimiento. La estructura del artculo es la siguiente: en primer lugar se presenta un breve desarrollo a partir de las ecuaciones de Lagrange en el que se obtiene una expresión general del DAES, a continuación se presenta la solución numérica de un DAES. Finalmente, se utiliza la librera Sundials para la obtención de esta solución, comparando los resultados con los obtenidos utilizando el software de simulación Simmechanics, poniendo de manifiesto las ventajas del uso de este código abierto.

2 M. López et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniera Mecánica (2010) 2 EL SISEMA MULICUERPO Dado un sistema mecánico formado por sólidos rgidos definidos por una serie de coordenadas de posiciónq cuos movimientos relativos son restringidos por una serie de ligaduras representadas analticamente por 0 g q, si se plantean las ecuaciones de Euler-Lagrange se tiene [1], [2], [3]: d L L dt q q Q a G λ Q el vector de fuerzas aplicadas, G dgq/ dqel Jacobiano el vector λ los multiplicadores de Lagrange. Siendo L Lt, qq, la función Lagrangiana, a Manipulando adecuadamente la Ec. (1), se llega a un DAES de la forma: t,, (2) Mqq f qqgλ 0 g q Siendo M la matriz de masas e inercias conteniendo f las fuerzas externas las gravitacionales giroscópicas. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UN DAES De forma general, para un sistema mecánico, el sistema representado por las Ec. (2) Ec. (3) es un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas de ndice 3. Es necesario diferenciar la Ec. (3) para conseguir un sistema equivalente de ecuaciones diferenciales ordinarias que se pueda resolver por métodos numéricos [5]. Numerosos autores han estudiado la inestabilidad inherente a este tipo de sistemas DAES de ndice 3 [5], siendo necesarios planteamientos adicionales para conseguir soluciones válidas. Métodos de estabilización o de proección en el espacio de las restricciones consiguen mantener en cada paso de integración numérica la solución estimada mu próxima la solución real. Para la solución numérica de este sistema se utilizará la librera Sundials, en la que existe especficamente un módulo para la resolución de un DAES. LA LIBRERÍA SUNDIALS La librera Sundials (Suite of Nonlinear and Differential/Algebraic Equation Solvers) [4] es un conjunto de algoritmos numéricos avanzados para la resolución de sistemas que puedan modelarse mediante sistemas de ecuaciones diferenciales algebraicos u ordinarios en general no lineales. El conjunto de algoritmos, agrupados en diferentes módulos, es de código abierto la licencia de uso está basada en licencia BSD (Berkele Software Distribution). En el software Sundials, existen tres módulos principales: VODE/VODES, que resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, incluendo análisis de sensibilidad. IDA/IDAS, que resuelve sistemas de algebraicos de ecuaciones diferenciales, incluendo análisis de sensibilidad. KINSOL, que resuelve sistemas algebraicos no lineales. Existe una compilación de estos módulos en lenguaje Matlab que facilita enormemente la utilización de esta librera dentro de un entorno multifsico con grandes posibilidades. En este trabajo nos centramos en la utilización del módulo IDA/IDAS [6]-[8], para la resolución del sistema DAES ( Ec. (2) Ec. (3) ). El módulo IDAS presentado permite además, el estudio de la sensibilidad del sistema a diferentes parámetros, mejorando as el conocimiento de sistema. (1) (3)

3 La librera de código abierto Sundials en la resolución de sistemas multicuerpo 3 Para la resolución de un sistema DAES en el módulo IDAS [6] se reformulan de las Ec. (2) Ec. (3), introduciendo dos nuevos multiplicadores de Lagrange μ añadiendo restricciones de velocidad [5]. De esta forma se parte de un DAES de ndice 2 estabilizado [5]. Se define una nueva variable tal que v q teniendo en cuenta las Ec. (2) Ec. (3) se obtiene: qvg μ Mqv f q G λ (4) t,, v q 0 g 0 Gv El conjunto de Ec. (4) es un DAES de orden 1 e ndice 2, que es posible resolver utilizando el módulo IDAS de la librera Sundials. APLICACIÓN A UN SISEMA MULICUERPO La metodologa anteriormente descrita se aplica a un sistema Biela-Manivela, sistema multicuerpo representativo, que se muestra en la Fig. (1). En esta caso, se resolverá el problema dinámico directo. Fig. 1. Esquema del Sistema Biela-Manivela a resolver con las coordenadas generalizadas El sistema representado en la Fig. (1) consta de una manivela de longitud AC de masa m 1 momento de inercia I 1, esta puede girar en torno al punto A como se indica en el esquema, la biela de masa m 2 momento de inercia I 2 conecta con la manivela mediante una articulación en el punto C. En esta barra se cumple CD DE EG /2 además de que el punto E es obligado a deslizarse por el eje X del sistema de referencia. Las barras descritas se unen entre s mediante un conjunto resorte/amortiguador de longitud natural l 0 entre los puntos B D de constante elástica de amortiguamiento k c respectivamente. Además sobre la manivela se ejerce una fuerza horizontal F en el punto G. Para la resolución del problema multicuerpo expuesto se plantean 3 coordenadas generalizadas 1 2 3, aun cuando el sistema tiene un grado de libertad. RESULADOS El problema descrito en el apartado anterior se resolverá numéricamente para los datos recogidos en la abla (1)..

4 M. López et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniera Mecánica (2010) 4 abla 1. Valores para la resolución numérica del mecanismo. AB BC CD m m I m 0.25 m 0.5 m 1 kg 2I 2 kg*m^2 2 1 k c l 0 F 1.5 N/m 2 N*s/m 1.2 m 1.5 N eniendo en cuenta los valores de la abla (1) seleccionando un intervalo de integración en segundos de 0 10, se resolverá el sistema DAES con las condiciones iniciales de la abla (2). abla 2. Condiciones iniciales para la integración del problema dinámico directo. 1 /2 /6 2 cos / A continuación se muestran los resultados obtenidos (Fig. 2, 3 4) al resolver mediante la librera Sundials el software comercial de simulación Simmechanics [9] el problema descrito, coincidiendo como se puede apreciar ambos resultados. En la Fig. 2, 3 4 se resuelven en el tiempo de integración respectivamente las posiciones, velocidades aceleraciones de las coordenadas generalizadas mediante la librera Sundials Simmechanics s. El módulo IDAS de Sundials utiliza el algoritmo DASPK [4]. En el caso del software Simmechanics se utilizó el algoritmo de resolución ode45 [9] basado en el planteamiento de Dormand-Prince, de la familia de los métodos de Runge-Kutta explcitos [10]. Fig. 2. Resolución de las posiciones de las coordenadas generalizadas Simmechanics s. mediante la librera Sundials

5 La librera de código abierto Sundials en la resolución de sistemas multicuerpo 5 Fig. 3. Resolución de las velocidades de las coordenadas generalizadas Simmechanics s. mediante la librera Sundials Fig. 4. Resolución de las aceleraciones de las coordenadas generalizadas Simmechanics s. CONCLUSIONES mediante la librera Sundials En el presente trabajo se ha utilizado la librera Sundials (Suite of Nonlinear and Differential/Algebraic Equation Solvers) de código abierto para la resolución dinámica directa de un sistema multicuerpo. Se han comparado satisfactoriamente los resultados obtenidos contrastándolos con los logrados mediante el software comercial Simmechanics. Las ventajas de la utilización de la librera Sundials, comienzan en su carácter libre abierto, con lo que es posible su utilización sin coste la adaptación del código al problema particular a resolver. Por otra parte, esta librera permite realizar estudios de sensibilidad, mejorando enormemente el conocimiento de sistema.

6 M. López et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniera Mecánica (2010) 6 REFERENCIAS [1] W. Schiehlen, Research trends in multibod sstem dnamics, Multibod Sst. Dn., 18-1 (2007), [2] P. Eberhard, W. Schiehlen, Computational dnamics of multibod sstems: Histor, formalisms, and applications, J. Comput. Nonlinear Dnam., 1-1 (2006), [3] F. Pfeiffer, Mechanical Sstem Dnamics, Springer-Verlag (2008). [4] A. C. Hindmarsh, P. N. Brown, K. E. Grant, S. L. Lee, R. Serban, D. E. Shumaker, C. S. Woodward. SUNDIALS: Suite of Nonlinear and Differential/Algebraic Equation Solvers, ACM. Math. Software, 31-3 (2005), [5] C.W. Gear, B. Leimkuhler, G.K. Gupta, Automatic Integration of Euler-Lagrange Equations with Constraints, J. Comput. Appl. Math., (1985), [6] A. C. Hindmarsh, R. Serban, A. Collier, SUNDIALS Documentation: User Documentation and Example Programs for IDA v2.6.0, (2009). [7] R. Serban, Cosmin Petra, A. C. Hindmarsh, SUNDIALS Documentation: User Documentation for IDAS v1.0.0, (2009). [8] A. C. Hindmarsh, R. Serban, SUNDIALS Documentation: Example Programs for IDAS v1.0.0, (2009). [9] SimMechanics User's Guide, Version 3.1.1, (2009). [10] J.R. Dormand, P.J. Prince, A famil of embedded Runge-Kutta formulae, J. Comput. Appl. Math, 6-1 (1980),

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