6. Probabilidad, Distribuciones y Simulación

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1 42 Trabajo Práctico 4: Itroducció al leguaje R - cot. 6. Probabilidad, Distribucioes y Simulació 6. Fucioes de Distribució e R R permite calcular probabilidades (icluyedo acumuladas), la evaluació de fucioes de desidad y probabilidad putual y la geeració de valores pseudo-aleatorios siguiedo diferetes fucioes de distribució habituales (tato discretas como cotiuas). La tabla siguiete muestra los ombres e R de varias fucioes juto co argumetos adicioales. Distribució ombre R Argumetos adicioales 2 Argumetos por defecto beta beta shape (α), shape2 (β) biomial biom size (), prob (p) Chi-square chisq df (degrees of freedom r) cotiuous uiform uif mi (a), ma (b) mi = 0, ma = epoetial ep rate (λ= /θ) rate = F distributio f df (r), df2 (r2) gamma gamma shape (α), rate (λ) rate = hypergeometric hyper m = N, = N2, k = (sample size) ormal orm mea (µ), sd (σ) mea = 0, sd = Poisso pois lambda (λ) t distributio t df (degrees of freedom r) Weibull weibull shape (α), scale (β) scale = A cada ombre de fució dado por R (tabla aterior) se le agrega u prefijo d para obteer la fució de desidad o de probabilidad putual, p para la fució de distribució acumulada FDA, q para la fució cuatil o percetil y r para geerar variables pseudo-aleatorias (radom). La sitais es la siguiete: > drame(,...) # evalúa la fdp o la fpp e > prame(q,...) # evalúa la FDA e q > qrame(p,...) # evalúa el pésimo percetil de esta distribució > rrame(,...) # simula observacioes de esta distribució dode rame (wildcard) idica el ombre de cualquiera de las distribucioes, y q so vectores que toma valores e el soporte de la distribució, p es u vector de probabilidades y es u valor etero. Los siguietes so ejemplos: > <- rorm(00) # asiga a 00 valores # geerados de ua ormal estádar > w <- rep(00,rate=.) # asiga a 00 valores # geerados de ua Ep(θ = 0) > dbiom(3,size=0,prob=.25) # P(X = 3) para X ~ Bi(=0, p=.25)

2 43 > pbiom(3,size=0,prob=.25) # P(X 3) e la distr. aterior > porm(2,mea=0,sd=2) # P(X 2) para X~N(mu = 0, sigma = 2) > qorm(.75,mea=0,sd=2) # cuartil superior de ua # N(mu = 0,sigma = 2) > qchisq(.0,df=8) # percetil del 0% de χ2(8) > qt(.95,df=20) # percetil del 95% de t(20) 2 Hogg ad Tais (2006) parameter ames are give i paretheses. See the help files for the eact distributio parameterizatios. 6.2 Ua aplicacó de simulació: Itegració de Mote Carlo Itegratio Supogamos que queremos calcular b I = g( ) d, a pero que la primitiva de g() o puede darse e ua forma cerrada. Las técicas estádar ivolucra aproimar la itegral por ua suma, muchos paquetes de computació hace esto. Otro procedimieto para hallar I es llamado itegració de Mote Carlo. Supogamos que geeramos observacioes pseudo-aleatorias = (, 2,, ) de variables aleatorias idepedietes X = X, X2,, X co distribució uiforme e el itervalo [a, b] y calculamos I ˆ ( ) = ( b a) i= g( i ) Por la Ley de los Grades Números, a medida que crece (si igua cota), Iˆ( X ) = ( b a) i= g( X i ) ( b a) E[ g( X )]. Pero, E b b a b a [ g( X )] g( ) d = I = a De maera que, I ˆ( ) medida que crece. puede ser utilizada como ua aproimació de I que mejora a Este método puede ser modificado para utilizar otras distribucioes (aparte de la Uiforme) defiidas sobre el mismo itervalo. Comparado co otros métodos uméricos para aproimar itegrales, el método de Mote Carlo o es especialmete

3 44 eficiete. Si embargo, el método de Mote Carlo tiee ua eficiecia creciete a medida que aumeta la dimesioalidad de la itegral (por ej. itegrales dobles, triples). 2 Ejemplo: Cosideremos itegral defiida: 0 U estimador de Mote Carlo (utilizado de observacioes) estará dado por: e 3 d a=2 > 2*mea(ep(ruif(000000,mi=0,ma=2)^3)) # a=0, b=2, luego b [] Otra llamada da u resultado diferete (so distitas estimacioes del valor límite!): > 2*mea(ep(ruif(000000,mi=0,ma=2)^3)) [] Graficado Distribucioes 6.3. Distribucioes Discretas Los gráficos de las fucioes de probabilidad putual y sus fucioes de distribucióes acumuladas puede realizarse utilizado la fució plot() dadole el soporte de la fució y las probabilides e esos putos. Por defecto, R simplemete producirá u diagrama de dispersió. La presetació se mejora utilizado los argumetos type y lwd (lie width; acho de líea). Por ejemplo, para graficar la fució de probabilidad putual para la distribució biomial co = 0 y p =.25: > <- 0:0 # geeramos el soporte de la distribució > y <- dbiom(, size=0, prob=.25) # evaluamos las probabilidades > plot(, y, type = "h", lwd = 30, mai = "Probabilidades Biomiales co = 0, p =.25", col = "gray") # eter (queda feo!?! ) Probabilidades Biomiales co = 0, p =.25 y

4 45 Hemos realizado alguas cosas aquí. Primero hemos creado el vector que cotiee los eteros del 0 al 0. Luego calculamos las probabilidades biomiales e cada uo de los putos de y las guardamos e el vector y. Luego especificamos u gráfico de tipo "h" que da el aspecto de histograma co líeas verticales y hemos egordado las líeas co la opció lwd = 20 (el acho por defecto es, que correspode al grosor de la líea). Fialmete le dimos u color y u título iformativo. Notemos que para ahorrar espacio e el espacio de trabajo, podriamos haber obteido el mismo gráfico si crear los vectores e y: > plot(0:0, dbiom(0:0, size=0, prob=.25),lab="", ylab="y", type = "h", lwd = 20, mai = "Probabilidades Biomiales co = 0, p =.25", col = "gray") # eter Otra forma de obteer u diagrama de barras de ua fució de probabilidad putual es mediate la fució barplot(): > barplot(y,ames.arg=as.character(0:0),mai = "Probabilidades Biomiales co = 0, p =.25", lab="") Probabilidades Biomiales co = 0, p = Para crear el gráfico de la fució de distribució acumulada de la biomial:

5 46 Fució de Distr. Acum. de la Bi( = 0, p =.25 ) F() > plot(stepfu(:0, pbiom(c(0,:0), size=0, prob=.25)) +, verticals=false, ylab="f()", + mai = "Fució de Distr. Acum. de la Bi( = 0, p =.25 )",) Utilice el help para ver que acció realiza la fució stepfu Distribucioes Cotiuas Para graficar fucioes suaves como ua fució de desidad de probabilidad o la FDA de ua variable aleatoria cotiua podemos utilizar la fució curve() que fue itroducida e el Capítulo 4. Podemos utilizar los ombres de las fucioes de desidad de R como el argumeto de epresió (epressio argumet). Mostramos alguos ejemplos a cotiuació: > curve(dorm(), from = -3, to = 3) # curva ormal estádar dorm() > curve(porm(, mea=0, sd=2), from = 4, to = 6) # CDF ormal

6 47 porm(, mea = 0, sd = 2) Note que e el primer gráfico hemos restrigido los valores al itervalo -3, 3 dode la ormal estádar tiee la mayor parte de su área. E forma alterativa podríamos haber usado percetiles superior e iferior (digamos del.5% y 99.5%) calculádolos mediate la fució qorm(): > curve(dorm(), from = qorm(0.005), to = qorm(0.995)) Cuado se utiliza la fució curve()para superpoer ua curva a u gráfico o debe especificarse los argumetos from y to debido a que R los toma por defecto de los valores míimo y máimo de e el gráfico origial plot, sí debe poerse add = T. Veamos como se compara el histograma de 000 datos simulados de ua variable epoecial co λ = 0. y su fució de desidad: > datos.simulados <- rep(000, rate=.) # 000 Epoeciales (lambda=0.) > hist(datos.simulados, prob = T, breaks = "FD", mai="v.a. Epoeciales lambda = 0.") > curve(dep(, rate=.), add = T # superpoer la curva de desidad

7 48 V.A. Epoeciales lambda = 0. Desity Muestreo aleatorio datos.simulados E R puede simularse eperimetos aleatorios simples como elegir u úmero al azar etre y 00 y etraer tres bolitas de ua ura. La teoría detrás de este tipo de juegos costituye la base de la teoría de muestreo -samplig theory- (etracció de muestras de poblacioes fijas); además, los métodos de resamplig (muestreo repetido detro de ua muestra) como el de bootstrap so herramietas importates e estadística. La fució clave e R es la fució sample(): sample(, size, replace = FALSE, prob = NULL) Argumetos: más etero : u vector (umérico, complejo, de caracter o lógico) de de u elemeto del que se realizará la elecció, o u positivo. size: etero o egativo dado la catidad de items a elegir. replace: idica si el muestreo se realiza co o si reemplazo. Ejemplos: prob: u vector opcioal de pesos que da la probabilidad co que cada elemeto es muestreado. > sample(:00, ) # elige u úmero etre y 00 [] 88

8 49 > sample(:6, 0, replace = T) # arroja u dado equilibrado 0 veces [] > sample(:6, 0, T, c(.6,.2,.,.05,.03,.02)) # dado o equilibrado!! [] > ura <- c(rep("rojo",8),rep("azul",4),rep("amarillo",3)) > sample(ura, 6, replace = F) # elige 6 balitas de la ura [] "amarillo" "rojo" "rojo" "amarillo" "rojo" "rojo" 6.5 Ejercicios. Geere 20 observacioes de ua distribució biomial co = 5 y p = Halle el 20 ésimo percetil de la distribució gamma de parámetros α = 2, λ = Halle P(T > 2) para T ~ t8. 4. Grafique la fució de probabilidad putual de ua Poisso (λ = 4) sobre el rago de valores = 0,, Utilice el método de itegració aproimado de Mote Carlo, para estimar π / 4 log( + ta 0 2 ( )) d co = Geere 00 observacioes de ua distribució Normal ( µ = 50, σ 2 = 4 2 ). Grafique la fució de distribució empírica (empirical cdf) F() para esta muestra y superpógala co la verdadera FDA F(). 7. Simule 25 tiradas de ua moeda equilibrada registrado los resultados co cara y ceca. Estas primeras 4 guías de R está basadas e W. J. Owe The R Guide

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