Ampliación Matemática Discreta. Justo Peralta López

Transcripción

1 Justo Peralta López UNIVERSIDAD DE ALMERíA DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO

2 1 Introducción 2 Anillos de polinomios 3 Mínimo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo Algoritmo de Euclides Algoritmo de Euclides Extendido 4 Anillo cociente 5 Algoritmo Chino del Resto 6 Irreducibles

3 Introducción Definiciones 1 Sea R un anillo cualquiera. Un polinomio sobre R es una expresión de la forma f(x) = n a i x i = a 0 + a 1 x + + a n x n i=0 donde n es un entero no negativo, los coeficientes a i,0 i n, son elementos de R, y x es la indeterminada sobre R. 2 Dos polinomios f(x) = n i=o a ix i y g(x) = n i=0 b ix i sobre R son iguales si a i = b i para 0 i n. 3 Definimos la suma de f(x) y g(x) como f(x) + g(x) = n (a i + b i )x i 4 Si f(x) = n i=o a ix i y g(x) = m i=0 b ix i definimos el producto como i=0 n+m f(x)g(x) = c k x k, donde c k = k=0 i + j = k 0 i n, 0 j m a i b j

4 Anillos de polinomios 1 Con estas operaciones, los polinomios sobre R es un anillo al cual llamaremos el anillo de polinomios sobre R y lo notaremos por R[x]. 2 El cero en R[x] es el polinomio con todos sus coeficientes nulos y lo representaremos por 0. 3 Si f(x) = f 0 + f 1 x +... f m x m es un polinomio sobre R y f m 0, entonces m es llamado el grado de f(x), y a f m se le llama el líder del polinomio. Si f m = 1, entonces decimos que el polinomio es mónico. Sea f, g R[x]. Entonces gr(f + g) max(gr(f), gr(g)) gr(fg) gr(f) + gr(g) Si R es un dominio de integridad, entonces gr(fg) = gr(f) + gr(g)

5 Anillos de polinomios 1 R[x] es un anillo conmutativo si y sólo si lo es R. 2 R[x] es un anillo con identidad si y sólo si R posee identidad. 3 R[x] es un dominio de integridad si y sólo si R es un dominio de integridad. Definiciones 1 Sea F un cuerpo. Un polinomio b(x) es divisible por d(x) y d(x) es un factor de b(x) si existe un q(x) tal que b(x) = q(x)d(x). Si d(x) es un factor de b(x), entonces cd(x) también es un factor para c 0 F. 2 Las unidades de F[x] son los divisores del polinomio 1 que son todos los elementos no nulos de F. Sea g 0 un polinomio en F[x]. Entonces para todo f F[x] existen dos polinomios q, r F[x] tal que f = qg + r, donde gr(r) < gr(g) El hecho de que F[x] permita un algoritmo de división implica que todo ideal de F[x] es principal.

6 Mínimo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo F[x] es un dominio de ideales principales y cualquier ideal J F[x] es generado por un único polinomio mónico de menor grado de J. Sean f 1, f 2,..., f n F[x] con alguno de ellos no nulos. Entonces existe un único polinomio mónico d F[x] con las siguientes propiedades: 1 d divide a cada f j, 1 j n. 2 Cualquier polinomio c F[x] que divida a f j, 1 j n, divide a d. Es más, d se puede expresar como d = b 1 f b n f n con b 1,..., b n F[x].

7 Mínimo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo Algoritmo de Euclides Algoritmo de Euclides Sean f, g F[x], el mínimo común divisor se puede obtener gracias al algoritmo de Euclides de la siguiente forma: f = q 1 g + r 1 0 gr(r 1 ) < gr(g) g = q 2 r 1 + r 2 0 gr(r 2 ) < gr(r 1 ) r 1 = q 3 r 2 + r 3 0 gr(r 3 ) < gr(r 2 ). r s 2 = q 2 r s 1 + r 2 0 gr(r s ) < gr(r s 1 ) r s 1 = q s+1 r s donde q 1,..., q s+1, r 1,..., r s F[x]. El mínimo común divisor viene dado por mcd(f, g) = b 1 r s donde b es el coeficiente líder de r s

8 Mínimo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo Algoritmo de Euclides Sean f 1, f 2,..., f n F[x] con alguno de ellos no nulos. Entonces existe un único polinomio mónico m F[x] con las siguientes propiedades: 1 m es múltiplo de cada f j, 1 j n. 2 Cualquier polinomio b F[x] múltiplo f j, 1 j n, es un múltiplo de m. Además, donde a es el coeficiente líder de fg. a 1 fg = mcm(f, g)mcd(f, g)

9 Mínimo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo Algoritmo de Euclides Extendido Algoritmo de Euclides Extendido Entrada: p 1 (x), p 2 (x) J[x], p 2 (x) 0, m = gr(p 1 (x)) gr(p 2 (x)) = n; J un cuerpo. Salida: p h (x), f(x), g(x) J[x] tal que gr(f(x)) < gr(p 1 (x) gr(p h (x)),gr(g(x)) < gr(p 2 (x) gr(p h (x)) y p h (x) = p 1 (x)g(x) + p 2 (x)f(x) 1. [Inicio ] [p 0 (x), p 1 (x)] := [p 1 (x), p 2 (x)];[g 0 (x), g 1 (x)] := [1, 0]; 2. [Ciclo ] While p 1 (x) 0 do q(x) := Cociente(p 0 (x), p 1 (x)); [p 0 (x), p 1 (x)] := [p 1 (x), p 0 (x) p 1 (x)q(x)] [g 0 (x), g 1 (x)] := [g 1 (x), g 0 (x) g 1 (x)q(x)] [f 0 (x), f 1 (x)] := [f 1 (x), f 0 (x) f 1 (x)q(x)] 3.[Salida ] Return [p h (x), g(x), f(x)] := [p 0 (x), g 0 (x), f 0 (x)]

10 Mínimo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo Algoritmo de Euclides Extendido Ejemplo Sea p 1 (x) = 7x 5 + 4x 3 + 2x + 1 y p 2 (x) = 5x sobre el cuerpo Z 11 Iteración q(x) p 0 (x) p 1 (x) g 0 (x) g 1 (x) f 0 (x) f 1 (x) 0 7x 5 + 4x 3 + 2x + 1 5x x x x 2 + 2x x x + 4 6x + 2x + 6 9x 1 x + 7 3x x x 2 + 8x x + 7 9x 6 x + 7 3x x x 2 + 8x + 2 9x 4 + 4x 2 + 3x x 6 0 3x x 4 + 4x 2 + 3x + 10

11 Anillo cociente Definición Un polinomio p F[x] es irreducible sobre F si p tiene grado positivo y si p = bc con b, c F[x] implica que b o c es una constante. Lema Si un polinomio irreducible p F[x] divide al producto f 1... f m de polinomios en F[x], entonces como mínimo un factor f j es divisible por p. (Factorización Única) Cualquier polinomio f F[x] de grado positivo se puede expresar como f = ap e pe k k con a F y p 1,..., p k F[x] son polinomios mónicos irreducibles distintos y e 1,..., e k enteros positivos. Además, dicha factorización es única.

12 Anillo cociente Para todo f F[x], el anillo cociente F[x]/(f) es un cuerpo si y sólo si f es irreducible sobre F. Definición Dos polinomios g(x), h(x) en F q [x], se dicen que son congruentes módulo f(x), y se denota por g(x) f(x) h(x) si y sólo si g(x) h(x) es divisible por f(x).

13 Anillo cociente Ejemplo 1 Sea f(x) = x F 2 [x]. Entonces F 2 [x]/(x) = {[0], [1]}. 2 Sea f(x) = x 2 + x + 1 F 2 [x]/(f). Entonces F 2 [x]/(f) = {[0], [1], [x], [x + 1]} y la tabla de operaciones viene dado por + [0] [1] [x] [x + 1] [0] [0] [1] [x] [x + 1] [1] [1] [0] [x + 1] [x] [x] [x] [x + 1] [0] [1] [x + 1] [x + 1] [x] [1] [0] [0] [1] [x] [x + 1] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [x] [x + 1] [x] [0] [x] [x + 1] [1] [x + 1] [0] [x + 1] [1] [x]

14 Anillo cociente Definición Un elemento b F es una raíz de f F[x] si f(b) = 0. Un elemento b F[x] es una raíz de f F[x] si y sólo si x b divide a f(x). Definición Sea b F una raíz de f F[x]. Si k es un entero positivo tal que f(x) es divisible por (x b) k pero no por(x b) k+1, entonces llamamos a k la multiplicidad de b. Si k = 1 entonces decimos que b es de multiplicidad simple. Un elemento b F es una raíz múltiple de f F si y sólo si es raíz de f y f. El polinomio f F[x] de grado 2 o 3 es irreducible en F[x] si y sólo si no posee raices en F[x]

15 Algoritmo Chino del Resto Congruencias módulo un polinomio p(x) F[x] verifican las mismas propiedades que para enteros. Por ejemplo: 1 Si f m g, entonces fk m kg. 2 Si f 1 m g 1 y f 2 m g 2, entonces f 1 + g 1 m g 1 + g 2 y f 1 g 1 m g 1 g 2 3 Si f m g y g m h entonces f m h. (Resto Chino) Sea F un cuerpo y a 1 (x), a 2 (x),..., a n (x), m 1 (x), m 2 (x),..., m n (x) F[x], tal que m i (x) y m j (x) sean coprimos. Entonces existe un f(x) F[x] tal que f(x) m1 (x) a 1 (x) f(x) m2 (x) a 2 (x). f(x) mn(x) a n (x) Si f ( x), f 2 (x) son dos soluciones, entonces f 1 (x) M(x) f 2 (x) con M(x) = m i (x)

16 Algoritmo Chino del Resto Algoritmo del Resto Chino Las fórmulas para el algoritmo del resto chino para i = 1,..., n M 1 (x) = 1 M i (x) = i j=1 m j(x) U i (x)m i (x) mi (x) 1 b 1 (x) = a 1 (x) w i (x) = (a i (x) b i 1 (x))u i (x) mï 1 2 ulo m i(x) b i (x) = b i 1 (x) + w i (x)m i (x) Ejemplo f(x) x 2 +x x y f(x) x 2 +x+1 1 en Z 2[x] poseen la tabla a i m i M i U i w i b i x x 2 + x 1 1 x 1 x 2 + x + 1 x 2 + x x x 3

17 Irreducibles Definición Sea m Z +. La función de Mobiuis se define por µ(m) = 1, si m = 1 0, si m es divisible por el cuadrado de un primo ( 1) k, si m es el producto de k primos diferentes Ejemplo m El número de polinomios mónicos irreducibles de grado m en Z p [x] para p primo viene dado por N p (m) = 1 µ(d)p m/d m d m 2 La probabilidad de que un polinomio aleatorio mónico sea irreducible es aproximadamente 1/m.

18 Irreducibles Sea p un primo y k Z + 1 El producto de todos los polinomios mónicos irreducibles en Z p [x] de grado un divisor de k es igual a x pk x 2 Sea f(x) un polinomio de grado m en Z p [x]. Entonces f(x) es irreducible sobre Z p [x] si y sólo si mcd(f(x), x pi x) = 1 i, 1 i m 2 Test polinomio irreducible Entrada: Un primo p y un polinomio mónico de grado m Z p [x] Salida: Respuesta a, es f(x) irreducible en Z p [x]?. 1. u(x) := x 2. For i = 1 to m 2 do 2.1 u(x) := u(x) p mod f(x) 2.2 d(x) := mcd(f(x), u(x) x) 2.3 if d(x) 1 then Return(Reducible ) 3. Return( Irreducible )

19 Irreducibles Generación de polinomios irreducibles Entrada: Un primo p y un m Z + Salida: f(x) mónico irreducible de grado m en Z p [x] 1. Generar a 0, a 1,..., a m 1 de forma aleatoria con 0 a i p 1 y a f(x) := a 0 + a 1 x + a 2 x a m 1 x m 1 + x m 3. Testear si f(x) es irreducible 3.1 Si f(x) es irreducible Return(f(x)) 3.2 Si f(x) no es irreducible ir a 1.