Análisis de Datos y Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones 7ma versión MGM

Transcripción

1 Universidad Católica del Norte Escuela de Negocios Mineros Magíster en Gestión Minera Análisis de Datos y Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones 7ma versión MGM Antofagasta, Junio de 2014 Freddy Higuera Cartes Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Ingeniería Civil de Industrias

2 La probabilidad es el medio por el cual a partir de la información muestraltomamos decisiones o hacemos afirmaciones que se refieren a toda una población, mediante el proceso llamado inferencia estadística La probabilidad nos permite estudiar o analizar los fenómenos o procesos llamados aleatorios Un experimento aleatorioes aquél que puede concluir de diversas maneras sin que sea posible predecir con certeza qué resultado particular va a ser observado, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o el precio de las acciones de una empresa el día de mañana

3 Si un experimento aleatorio puede concluir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente posibles y m de estas n maneras poseen una característica E, la probabilidadde E está dada por m/n En esta definición E se llama eventoo sucesoy la probabilidad de E se denota P(E) De lo anterior se tiene que: m Número de casosfavorables P (E) = = n Número de casosposibles Por ejemplo, cuál es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda?

4 En este caso tenemos: E: se obtiene cara al lanzar una moneda P(E): probabilidad de obtener cara Como la moneda puede caer de dos formas distintas mutuamente excluyentes (cara o sello), entonces n = 2 Como de las dos formas posibles que puede caer la moneda sólo una corresponde a cara, m =1 Luego, la probabilidad pedida es P(E) = ½ = 0,5 Los distintos resultados de un experimento aleatorio dan lugar a un conjunto llamado espacio muestral(s) y a sus elementos se les llama puntos muestrales

5 Cada subconjunto del espacio muestral se llama evento o suceso En el ejemplo del lanzamiento de la moneda S = {c, s} y los eventos pueden ser A = {c} y B = {s} Las probabilidades cumplen las siguientes propiedades: Si E es un evento, entonces, P(E) representa un número entre 0 y 1 incluidos, es decir, 0 P(E) 1 (e.g., la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 0,5) Si S es el espacio muestralasociado a un experimento, entonces, P(S) = 1 (e.g., la probabilidad de obtener cara o sello al lanzar una moneda es 1)

6 Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces, la probabilidad de A o B, P(A U B), es igual a la suma de las probabildadesindividuales, i.e. P(A U B) = P(A) + P(B) (e.g., la probabilidad de obtener cara o sello al lanzar una moneda es 0,5 + 0,5 = 1) Si A es el evento vacío entonces su probabilidad es cero, es decir, P( ) = 0 (e.g., la probabilidad de obtener cara y sello al mismo tiempo al lanzar una moneda es 0) Si A es un evento y A su complemento, entonces, la probabilidad de A es igual a uno menos la probabilidad de A, es decir, P(A ) = 1 -P(A) (e.g. como la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 0,5, la probabilidad de obtener sello debe satisfacer 1-0,5 = 0,5)

7 La Oficina de Acción Social lleva a cabo un censo (población) de todas las personas que viven en una pequeña comunidad en que se consulta el número de visitas que cada persona hace al centro de salud y las condiciones sanitarias de vivienda que habita Número de visitas Condiciones sanitarias Buenas Malas Total 2 ó menos Más de Total

8 Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar viva en malas condiciones sanitarias? La respuesta es 500/2.000 = 0,25 Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar viva en malas condiciones sanitarias, dado que visita dos veces o menos el centro de salud? La respuesta es 100/800 = 0,125 Esta última probabilidad se llama probabilidad condicional, puesto que se da al tener en cuenta la condición de que la persona visitó dos veces o menos el centro de salud

9 Cuando se calcula una probabilidad condicional siempre hay dos eventos o sucesos involucrados, el evento condicionante (la persona visitó dos veces o menos el centro de salud) y el evento condicionado (la persona vive en malas condiciones sanitarias) En general, si denotamos como A al evento condicionado y como B al evento condicionante, la probabilidad condicional se escribe P(A B) y se lee probabilidad de A dado B La probabilidad condicional se obtiene a partir de la probabilidad conjuntay la probabilidad incondicionaldel evento condicionante

10 La probabilidad conjunta de dos eventos A y B se denota como P(A B) y se define como la probabilidad que los eventos A y B ocurran simultáneamente En el ejemplo, la probabilidad conjunta de que una persona viva en malas condiciones sanitarias (evento A) y haya visitado dos veces o menos el centro de salud (evento B) es 100/2.000 = 0,05 Siguiendo con el ejemplo, la probabilidad incondicional del evento condicionante (B) es la probabilidad que una persona haya visitado dos veces o menos el centro de salud, y está dada por 800/2.000 = 0,4

11 Así, la probabilidad condicional se define como el cuociente entre la probabilidad conjunta y la probabilidad incondicional (del evento condicionante), es decir, P(A B) = 0,05/0,4 = 0,125 Sean A y B dos eventos, la probabilidad condicional de A dado B se define de la siguiente manera: P(AIB) P (A B) =, P(B) > P(B) Para obtener otras probabilidades condicionales a partir de esta fórmula es muy útil construir previamente la tabla de probabilidades conjuntas (ver Ejemplo 1 ) 0

12 El 50% de los estudiantes de la universidad tiene clases por la mañana, el 30% tiene clases por la tarde y el 20% tiene clases por la mañana y por la tarde Si se escoge un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que: Tenga clases por la tarde (A), dado que tiene clases por la mañana (B) Tenga clases por la mañana (B), dado que tiene clases por la tarde (A) Las respuestas son P(A B) = 0,20/0,5 = 0,4, mientras que P(B A) = 0,20/0,3 = 0,67

13 En una fábrica de tornillos, las máquinas A, B, C fabrican 20, 30 y 50% de la producción total, respectivamente De lo que producen 2, 3, 5% respectivamente, son tornillos defectuosos Si con la producción total se hace un solo lote y se extrae un tornillo al azar, cuál es la probabilidad que sea defectuoso? Respuesta: Los eventos a considerar son, A: el tornillo escogido es defectuoso; B 1 : el tornillo proviene de la máquina A; B 2 : el tornillo proviene de la máquina B; B 3 : el tornillo proviene de la máquina C

14 Según los antecedentes se tiene que P(A B 1 ) = 0,02, P(A B 2 ) = 0,03, P(A B 3 ) = 0,05, P(B 1 ) = 0,2, P(B 2 ) = 0,3, P(B 3 ) = 0,5 Entonces, según el teorema de la probabilidad total tenemos, P(A) = P(A B 1 ) P(B 1 ) + P(A B 2 ) P(B 2 ) + P(A B 3 ) P(B 3 ) = (0,02)(0,2) + (0,03)(0,3) + (0,05)(0,5) = 3,8% Cuál es la probabilidad de que el tornillo provenga de la máquina tres, dado que es defectuoso? La probabilidad pedida, según el Teorema de Bayes, es: P(AIB3) P(A B3)P(B ) (0,05)(0,5) (B3 A) = = = = 0,66 P(A) P(A) 0,038 P 3

15 Es usual describir el proceso de la aplicación de la fórmula de Bayesmediante un diagrama de árbol, que para el presente problema es como sigue: B 1 A A P(B 2 )=0,3 B 2 B 3 A A A A

16 Cuando se trató el concepto de probabilidad condicional, P(A B), se estableció implícitamente que la posibilidad de la ocurrencia de A estaba determinada por la posibilidad de que B ocurriera o porque B ya había ocurrido Sin embargo, en muchos casos la ocurrencia de un suceso no influye ni está influenciado por la ocurrencia de otro, por ejemplo, qué tiene que ver la probabilidad de que usted gane la lotería mañana con la eventualidad de que mañana sea un día lluvioso? Cuando la ocurrencia de un evento A no está influenciada ni influye sobre la ocurrencia de otro evento B, decimos que los eventos A y B son independientes

17 Dados dos eventos A y B, se dicen independientes si se cumple que P(A B) = P(A)P(B) Por ejemplo, supongamos que el 20% de la población es zurda, el 30% es adicta al alcohol y el 6% es adicta al alcohol y zurda son independientes los eventos ser persona zurda (A) y ser persona adicta al alcohol (B)? La probabilidad de que una persona sea zurda y adicta al alcohol P(A B) = 0,06, mientras que P(A)P(B) = (0,2) (0,3) = 0,06 A y B son eventos independientes La definición de independencia también puede expresarse en términos de probabilidad condicional

18 Así, los eventos A y B serán independientes si y sólo si P(A B) = P(A) y P(B A) = P(B) Volviendo al problema de la Oficina de Acción Social presentado anteriormente, determinar si los eventos vivir en malas condiciones sanitarias (A) y visitar dos veces o menos el centro de salud (B) son independientes Recordemos que la probabilidad condicional P(A B) = 0,125, mientras que P(A) = 500/2.000 = 0,25, por lo tanto, P(A B) P(A) los eventos A y B no son independientes

19 Universidad Católica del Norte Escuela de Negocios Mineros Magíster en Gestión Minera Análisis de Datos y Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones 7ma versión MGM Antofagasta, Junio de 2014 Freddy Higuera Cartes Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Ingeniería Civil de Industrias