Cálculo Proposicional

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1 Universidad Técnica ederico Santa María Departamento de Informática undamentos de Informática 1 Cálculo Proposicional Dr. Gonzalo Hernández Oliva Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 1

2 1) Motivación 2) Introducción 3) Argumentos y Proposiciones Lógicas 4) Conectivos Lógicos 5) Estudio Proposiciones 6) Tautología, Contradicción y Argumento álido 7) Leyes Álgebra Proposicional 8) ormas Normales 9) Implicaciones y Derivaciones Lógicas Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 2

3 1) Motivación: Problema NP: Problema SAT Enumerar (Hacer una lista) todos los valores de verdad de una proposición lógica. Algoritmo Backtracking Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 3

4 2) Introducción La Lógica resulta esencial para construir, diseñar, implementar y probar correctitud en algoritmos y programas. Es necesario estudiar las Leyes undamentales de las Derivaciones Lógicas para estudiar la validez de las afirmaciones realizadas Las Proposiciones forman las Derivaciones y sus Operaciones el Cálculo Proposicional Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 4

5 3) Argumentos y Props. Lógicas Argumentos (Afirmaciones, Conclusiones, Demostraciones) son álidos o No Lógicamente: ó Proposiciones forman los Argumentos Proposiciones Atómicas son aquellas proposiciones que no pueden subdividirse y pueden unirse por conexiones lógicas Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 5

6 3) Argumentos y Props. Lógicas Ejemplos: 1) P: Si la demanda crece entonces las compañias se expanden. P: Si las compañias se expanden entonces contratan trabajadores. C: Si la demanda crece entonces las compañías contratan trabajadores. Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 6

7 3) Argumentos y Props. Lógicas 2) Este programa de computadora tiene un error, o el input es erróneo. El input no es erróneo. El programa de computadora tiene un error. 3) Una universidad es de prestigio si los académicos que la forman realizan docencia e investigación de gran calidad. Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 7

8 3) Argumentos y Props. Lógicas 4) La extracción de mineral es rentable si la concentración es alta, pero solamente si la distancia al mercado es pequeña. 5) Si llueve con frecuencia los agricultores se quejan. Si no llueve con frecuencia los agricultores se quejan. Luego, los agricultores se quejan. Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 8

9 3) Argumentos y Props. Lógicas De manera formal: (Aristóteles) Una proposición es una afirmación que es o bien verdadera o bien falsa. Elementos de una proposición: ariables Proposicionales: Asignación de alor Lógico Binario: ó Constantes Proposicionales:, Conectivos u Operaciones Lógicas Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 9

10 3) Argumentos y Props. Lógicas Proposición Atómica: Una proposición atómica es una proposición que tiene una única variable o constante proposicional. Las proposiciones no atómicas se denominan compuestas. Todas las proposiciones compuestas tienen al menos una conexión lógica Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 10

11 4) Conectivos Lógicos Los conectivos lógicos son operadores entre props. que permiten construir proposiciones complejas en base a proposiciones más simples o atómicas. Los conectivos lógicos básicos son: Negación: P Conjunción: P Q Disyunción: P Q Condicional: P Q Bicondicional o Equivalencia: P Q Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 11

12 4) Conectivos Lógicos Los conectivos lógicos se definen mediante su tabla de verdad: P Q P Q P Q P Q P Q P Q Para su operación se ha definido un orden en base a su prioridad: Alta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Baja Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 12

13 5) Estudio Proposiciones Para estudiar proposiciones lógicas o expresiones más complejas se tienen 2 herramientas fundamentales: Tablas de erdad: Obtenido en base a las expresiones más simples y proposiciones atómicas que las forman Árbol de Análisis Sintáctico: Descomposición de la expresión en base a sus proposiciones atómicas. Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 13

14 5) Estudio Proposiciones: T Dada una proposición es posible estudiar su validez asignando valores de verdad a sus proposiciones atómicas y calcular los valores de verdad de las proposiciones compuestas que la forman en base a las definiciones de los conectivos lógicos. Todas las posibilidades de este cálculo lógico se resumen en una Tabla de erdad Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 14

15 5) Estudio Proposiciones T Ejemplos: 1) P (Q R) ( P R) 2) (P R) (P Q) Q R 3) (P (Q (R P ))) (Q R) 4) (P Q) ( P Q ) (P Q ) Q 5) Si Micaela gana en las Olimpiadas, todos la admirarán y ella será muy feliz, pero si no gana, todo su esfuerzo fue en vano Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 15

16 5) Estudio Proposiciones 6) La extracción de minerales es provechosa si la concentración de mineral es alta pero sólo si la distancia al mercado es corta 7) Si p es un número primo entonces para los enteros pares (n p n) es divisible por p 8) Los productos comprados en esta tienda pueden ser devueltos sólo si están en buenas condiciones y el cliente trae la boleta Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 16

17 6) Tautología y Contradicción Una Expresión Lógica es una Tautología si es erdadera para todas las asignaciones posibles de valores de verdad. En este caso se antepondrá el símbolo = Una Expresión Lógica es una Contradicción si es alsa para todas las asignaciones posibles de valores de verdad. Una Expresión Lógica que no es una tautología ni una contradicción es una Contingencia (Causalidad/Eventualidad). Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 17

18 6) Tautologías Ejemplo tautología: Ley del Medio Excluido: = P P Teorema: Sea A una expresión tautológica y sean P 1... P n sus variables proposicionales. Suponga que B 1... B n son expresiones arbitrarias. La expresión obtenida al reemplazar P i por B i es una esquema y toda particularización (ejemplo) de este esquema es una tautología. Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 18

19 6) Tautologías Tipos de Tautologías: Implicaciones Lógicas: = A B (A > B) Equivalencias Lógicas: = A B (A B) Este tipo de tautología se utiliza para demostrar y construir nuevas leyes (Álgebra de Proposiciones) Cabe hacer notar que: A B A B Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 19

20 6) Argumento álido Diremos que un argumento lógico es válido si la conclusión se deduce lógicamente de las premisas: Si todas las premisas son verdaderas entonces también lo es la conclusión. Luego, si A es la conjunción de todas las premisas y C la conclusión, entonces: = A C. Ejemplo: Silogismo Disjuntivo: = (P Q) P Q Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 20

21 7) Leyes Álgebra Proposicional 1) Medio Excluido: (P P) 2) Contradicción: ( P P) 3) Identidad: (P ) P, (P ) P 4) Dominación: (P ), (P ) 5) Idempotencia: (P P) P, (P P) P 6) Doble Negación: ( P ) P 7) Absorción: P (P Q) P P (P Q) P Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 21

22 7) Leyes Álgebra Proposicional 8) Conmutatividad : P Q Q P P Q Q P 9) Asociatividad: (P Q) R P (Q R) (P Q) R P (Q R) 10) Distributividad: P (Q R) (P Q ) (P R ) P (Q R) (P Q ) (P R ) Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 22

23 7) Leyes Álgebra Proposicional 11) Leyes de DeMorgan: ( P Q ) ( P Q ) ( P Q ) ( P Q ) 12) Implica: P Q ( P Q ) 13) Contrarecíproca: P Q ( Q P) 14) Equivalencia: P Q ( P Q ) ( P Q ) P Q ( P Q ) ( Q P ) Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 23

24 7) Leyes Algebra Proposicional Ejercicios: Expresar las siguientes proposiciones en base a los conectivos: 1) P Q (P Q) 2) P (Q P) Q 3) P (P Q) Q 4) P (Q R) (P ) 5) (P Q) ( P R ) ( Q ) Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 24

25 8) ormas Normales Una Expresión Lógica está en forma normal disyuntiva si está escrita como una disyunción de términos que son conjunciones de variables lógicas o de negaciones de variables lógicas. Análogamente se define forma normal conjuntiva. Ejemplos: P ( Q R ), (P Q R) ( Q R) R Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 25

26 8) ormas Normales Pasos para obtener la forma normal conjuntiva (disyuntiva) de una proposición lógica PL mediante la aplicación de las leyes del álgebra proposicional: 1 o ) Eliminar en PL todos los conectivos y 2 o ) Eliminar subexpresiones de PL que están negadas. Por ejemplo: (P R) 3 o ) Aplicar las leyes de distributividad 4 o ) Ordenar la expresión Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 26

27 8) ormas Normales Ejercicio: Obtener la forma normal conjuntiva (disyuntiva) de: a) (P Q) (P (Q R)) ( P (R Q )) b) (P Q) ((P R) (R Q)) Podemos construir una forma normal disyuntiva a partir de la tabla de verdad de una expresión lógica. Aprendamos cómo mediante un ejemplo Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 27

28 8) ormas Normales P Q R PL Obtenemos la proposición lógica PL(P,Q,R) en forma normal disyuntiva partir de su tabla de verdad: PL(P,Q,R) = Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 28

29 8) ormas Normales Un término mínimo (minterm) es una conjunción de literales en los cuales cada variable o su negación se representa una única vez y cada término será verdadero para sólo una asignación de valores de verdad. Si una expresión lógica esta expresada como una disyunción de términos mínimos se denomina forma normal disjuntiva completa Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 29

30 8) ormas Normales Pasos para obtener la forma normal conjuntiva de una proposición lógica PL mediante su tabla de verdad de: 1 o ) Obtener formal normal disyuntiva de PL 2 o ) Negar formal normal disyuntiva de PL aplicando leyes del álgebra proposicional eamos un ejemplo Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 30

31 8) ormas Normales P Q R PL Obtenemos la proposición lógica PL(P,Q,R) en forma normal conjuntiva partir de su tabla de verdad: PL(P,Q,R) = Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 31

32 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Diremos que un argumento lógico es válido si la conclusión se deduce lógicamente de las premisas. Si A es la conjunción de todas las premisas y C la conclusión, entonces: = A C A continuación veremos herramientas = Implicancias Lógicas para demostrar si un argumento es válido Razonamiento álido. Un argumento no válido es una falacia Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 32

33 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Un ejemplo de razonamiento válido es el: P P Q Modus Ponens Q Esta conclusión se denota: P, P Q = Q Otro ejemplo: (P Q) P Q Silogismo Disjuntivo = (P Q) P Q Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 33

34 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Reglas de Inferencia: 1) Leyes de Combinación: A, B = A 2) L. de Simplificación: A B = A A B = B 3) Leyes de Adición: A = A B B = A B 4) Modus Ponens: A, A B = B 5) Modus Tollens: B, A B = A 6) Silog. Hipotético: A B, B C = A C Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 34

35 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Reglas de Inferencia: 7) Silog. Disyuntivo: A B, A = B A B, B = A 8) Ley de Casos: A B, A B = B 9) Eliminación de Equivalencias: A B = A B A B = B A 10) Introducción de la Equivalencia: A B, B A = A B Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 35

36 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Reglas de Inferencia: 11) Ley de Inconsistencia: A, A = B Estas reglas de inferencia se utilizan para realizar derivaciones o demostraciones formales. eamos un ejemplo de derivación lógica Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 36

37 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqué. El robo no ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareció. ue por motivos políticos, o fue una mujer? Esta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia esta última suposición Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 37

38 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Los asesinos políticos se complacen demasiado en hacer sólo su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario ha sido realizado muy deliberadamente, y quien lo perpetró ha dejado huellas por toda la habitación, mostrando que estuvo ahí todo el tiempo Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 38

39 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Análisis de la derivación lógica: P 1 : ue un robo P 2 : Algo desapareció P 3 : ue un asesinato político P 4 : El asesinato lo cometió una mujer P 5 : El asesino huyó inmediatamente P 6 : El asesino dejó huellas por la habitación Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 39

40 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Derivación lógica: 1) P 1 P 2 (Premisa) 2) P 2 (Premisa) 3) P 1 (1 y 2 + MT) 4) P 1 P 3 P 4 (Premisa) 5) P 3 P 4 (3 y 4 + MP) 6) P 3 P 5 (Premisa) 7) P 6 P 5 (Premisa) Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 40

41 9) Implicaciones y Deriv. Lógicas Derivación lógica: 8) P 6 (Premisa) 9) P 5 (7 y 8 + MP) 10) P 3 (6 y 9 + MT) 11) Ergo : P 4 (5 y 10 + MT) Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 41

42 10) Bibliografía 1) Matemáticas Discreta y Lógica, W. K. Grassmann & J. P. Tremblay, Prentice Hall, ) R.P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, Addison Wesley,1998. Dr. Gonzalo Hernández USM I-1 Cálculo Proposicional 42

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