SenB. SenC. c SenC = 3.-
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- Enrique Guzmán Valdéz
- hace 7 años
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1 TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos, en este so representremos los ángulos respetivmente por ls myúsuls A,B,C y los ldos opuestos por,,. C A B LEY DE LOS SENOS En ulquier tringulo, l rzón entre el seno de un ángulo y el ldo opuesto ese ángulo es igul l rzón entre el seno de otro ángulo y el ldo opuesto ese ángulo SenA SenC L ley de los senos onst de ls siguientes tres formuls: 1.- SenA 2.- SenA 3.- SenC SenC 27
2 Pr plir ulquier de ls formuls nteriores un tringulo espeifio, deemos onoer los vlores de tres de ls utro vriles, si sustituyes estos tres vlores en l formul propid, podrás despejr el vlor de l urt vrile. Se dedue que l ley de los senos se puede usr pr hllr ls prtes restntes de un tringulo oliuo siempre que se onozn ulquier de ls siguientes dos ondiiones: 1.- dos ldos y un ángulo opuesto uno de ellos (LLA) 2.- dos ángulos y ulquier ldo (AAL o ALA) Uso de l ley de los senos: Cso (ALA) Dos ángulos y ulquier ldo Resuelve ABC ddos A 48º, C 57º y 47 B 48º 57º A 47 C Soluión: 1.- Reuerd que l sum de los ángulos interiores de un tringulo es igul 180º, por lo tnto: A + B + C 180º 48º + B + 57º 180º B 180º - 48º - 57º B 75º 2.- Ddo que se onoen el ldo y los tres ángulos, se puede enontrr "" usndo un form de l ley de los senos donde intervengn, A, y B: SenA Ley de los senos ( sena) Despejr " " 28
3 47( sen48º) 47(0.743) Sustituir, A y B 36 Sen75º Resultdo Pr hllr, st sustituir en: SenC ( senc) 47( sen57º) Sen (0.838) Cso (LLA) dos ldos y un ángulo opuesto ellos: Resuelve el ABC ddos 12.4 ; 8.7 y B 36.º Hllr A y se proede de l siguiente mner: C B 36º A 1.- Determinr un segundo ángulo: SenA Ley de los Senos Despejr Sen A Sustituir,, B ( senb) SenA 12.4( sen36º) 12.4(0.587) SenA Resultdo Sen A 57º 29
4 2.- Por el teorem que señl que l sum de los ángulos interiores de un tringulo es igul 180º determinr el vlor del ángulo C: C Por Ley de senos determinr l medid del ldo restnte: 8.7 SenC Sen87º Sen36º 8.7( Sen87º ) 8.7(.9986) Sen36º LEY DE LOS COSENOS "El udrdo de l longitud de ulquier ldo de un tringulo es igul l sum de los udrdos de ls longitudes de los otros dos ldos, menos el dole produto de ls longitudes de los mismos ldos por el oseno del ángulo entre ellos" De donde: ² ² + ² - 2 os A ² + ² ² os A 2 ² ² + ² - 2 os B ² ² + ² - 2 os C ² + ² ² os B 2 ² + ² ² osc 2 L ul pliremos en l soluión de triángulos oliuángulos en ulquier de los siguientes sos: 1.- Dos ldos y el ángulo entre ellos (LAL) 2.- Tres ldos (LLL) Not: Ddos dos ldos y el ángulo inluido de un tringulo, podemos usr l ley de los osenos pr hllr el terer ldo y reurrimos l ley de los senos pr enontrr otro ángulo del tringulo. Ejemplo: Uso de l ley de los osenos (LAL) 30
5 Clulr ls prtes restntes del ABC si 5; 8 y B 77º A 8 77º B 5 C 1.- Como B es el ángulo entre los ldos y, empezr por lulr (ldo opuesto B) utilizndo l ley de los osenos: ² ² + ² - 2 os B ley de los osenos ² (5.0)² + (8.0)² - 2(5.0) (8.0) os77º Sustituimos, y B ² (0.225) Simplifimos y lulmos ² ² Enontrr otro ángulo del tringulo medinte l ley de los senos, hllr "A", puesto que es el ángulo opuesto l ldo más orto, el ul es : Ley de los senos SeA Despejr seno de A SenA ( senb) Sustituir,, B 5( sen77º) SenA 8.4 5(0.974) 8.4 5(0.974) 4.87 Por lo que: SenA A Sen ¹ º 3.- Finlmente determinmos C: Reordr que A + B + C 180º Por lo tnto: C 180º - 77º - 35º 68º Uso de l ley de los Cosenos (LLL) Ddos los tres ldos de un tringulo, se puede usr l ley de los osenos pr hllr ulquier de los ángulos. Siempre enontrremos primero el ángulo más grnde, es deir, el ángulo opuesto l ldo ms lrgo, y que esto grntiz que los ángulos restntes sen gudos 31
6 Posteriormente se puede enontrr otro ángulo plindo l ley de los senos o l ley de los osenos. Ejemplo: Si un ABC tiene ldos 90, 70 y 40, lulr A, B, C. 1.- De uerdo on l informión previ, primero se enuentr el ángulo opuesto l ldo ms lrgo que es "", por lo tnto se esoge l form de l ley de los osenos donde pree "A" y se proede omo sigue: ² ² + ² - 2 os A Ley de los osenos 2 os A ² + ² - ² Despejr os A os A ² + ² - ² 70² + 40² - 90² Sustituir y simplifir 2 2(70)(40) CosA CosA ( ) 7 2 A os ¹ ( ) ( ) 106.6º 107º Podemos usr l ley de los osenos pr hllr el ángulo B: ² ² + ² - 2 os B Ley de los osenos 2 osb + ² ² +² - ² Despejr CosB CosB ² +² - ² Sustituir y simplifir 2 90² + 40² 70² CosB 2(90)(40) B os ¹ ( ) º 48º
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II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ls rzones trigonométris se utilizn fundmentlmente en l soluión de triángulos retángulos, reordndo que todo triángulo retángulo tiene un ángulo de
1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS.
.. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. Sistems de ritmos. Si ulquier número positivo puede tomrse omo Bse, eiste infinito número de sistems de logritmos, pero trdiionlmente, solo se utilizn dos sistems: o ritmos
Resolución de Triángulos Rectángulos
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Resolución de triángulos
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Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d)
1 FIGURS PLNS EJERIIS PR ENTRENRSE Polígonos 1.44 lsific los siguientes polígonos. ) b) c) d) ) Pentágono irregulr cóncvo. b) Heptágono regulr convexo. c) ctógono irregulr cóncvo. d) Hexágono irregulr
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TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS
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Fracciones equivalentes
6 Aritméti Friones equivlentes Reflexiones diionles Frión unitri. Es quell frión uyo numerdor es igul. Friones equivlentes. Son ls que representn l mism ntidd, un undo el numerdor y el denomindor sen distintos,
MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.
DP. - S - 59 7 Mtemátis ISSN: 988-79X 6 MTRICES. MTRIZ INVERS. DETERMINNTES. plino ls propiees e los eterminntes y sin utilizr l regl e Srrus, lulr rzonmente ls ríes e l euión polinómi. Enunir ls propiees
C? a = 5 m. Área? B? c = 4 m. b 2 = a 2 c 2. b = 3 m c = 4 m. c cos B = a. 4 cos B = B = 36 52' 12'' 5 C C = 90 B. 1 Área = b c 2. a = 5,41 cm. Área?
4 Resoluión de triángulos. Resoluión de triángulos retángulos Piens y lul lul mentlmente l inógnit que se pide en los siguientes triángulos retángulos: ) = 6 m, = 8 m; ll l ipotenus ) = 35 ; ll el otro
SISTEMA SEXAGESIMAL. Unidad: El grado sexagesimal (º). 1 º = ángulo completo 360. ángulo completo = º = 400 g = 2π rad
TRIGNMETRÍ. ÁNGULS igen: Positivos: tido ntihoio. Negtivos: tido hoio. + MEDID DE ÁNGULS Sistem segesiml Sistem entesiml Rdines SISTEM SEXGESIML. Unidd: El gdo segesiml (º. ángulo ompleto 60º º ángulo
Integrales impropias
Integrles impropis Ejeriios resueltos CRESLINE, S.L. Integrles impropis Ejeriio : Estudir l onvergeni de l impropi os x y en so de onvergeni, lulr su vlor. Soluión: Pr b>, se tiene b os x= [sin x]b = sin
CALCULO DE CENTROS DE MASA: PLACAS
CALCULO DE CENTROS DE MASA: PLACAS Clulr l posiión el entro e mss e l siguiente pl suponieno que su ms está uniformemente istribui por to ell: b b( 1 k 3 ) Soluión: I.T.I. 1,, I.T.T. 1, En primer lugr,
11La demostración La demostración en matemáticas (geometría)
L demostrión en mtemátis (geometrí) ág. 1 Tl vez los lumnos y lumns hyn demostrdo, en lgun osión, lgun fórmul o lgun propiedd mtemáti, o hyn ontempldo su demostrión. omo semos, pr ellos, el proeso no es
1.6 Perímetros y áreas
3 1.6 Perímetros y áres Perímetro: es l medid del contorno de un figur. Superficie (pln): es el conjunto de puntos del plno encerrdos por un figur geométric pln. Áre: es l medid de un superficie. Represente
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Determinantes de una matriz y matrices inversas
Determinntes de un mtriz y mtrices inverss Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión
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4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen.
9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio
Sus términos son antecedente y consecuente. Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones.
Rzón y proporión. Rzón. Rzón entre os números y es el oiente. Sus términos son nteeente y onseuente. Proporión. Un proporión es un igul entre os rzones. Se lee es omo es.,, y son los términos e l proporión.
Problema 1. En cuál de los dos diseños el ángulo de inclinación de la rampa con el suelo es mayor?
ONTENIDOS Ls reliones trigonométris en un triángulo retángulo Seno y oseno de un ángulo Tngente de un ángulo Relión entre l tngente y l pendiente de un ret Teorems del seno y del oseno Existen vris situiones
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
PR SER TRJDO EL 09 y 16 DE GOSTO 2011 RZONMIENTO Y DEMOSTRIÓN Selecciona los procedimientos a seguir en la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. RESOLUIÓN DE PROLEMS Resuelve problemas
MATEMÁTICAS BÁSICAS ELIPSE. B 2B 1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor V 1 y V 2 se llama vértice. El punto DEFINICIÓN DE ELIPSE
Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos TÁTIS BÁSIS LIPS FINIIÓN LIPS Un elipse es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles que l sum de sus distnis dos puntos
Matrices y determinantes
Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, www.profes.net) Mtries eterminntes CTS. Sen ls mtries, C. Hll l mtri ( C). Soluión: Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, www.profes.net)
8 - Ecuación de Dirichlet.
Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos
1. AA AB = (-1,1) 2. AA AB = (5,9) 3. AA AB = (-5,-9) 4. AA AB = (1,-1) 3. AA A(1,-4) B(3,-5) < AB = (5,-5) D d A(-1,-2) B(3,2)
Mr l opión que ontiene el vetor fijo definido por los puntos A(3,4) y B(-2,-5). AA AB = (-1,1) AA AB = (5,9) AB = (-5,-9) AB = (1,-1) Mr tods ls opiones que definen el vetor fijo AB = (-2,1). AA A(-5,-3)
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PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este
Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES
8 Teorem de Pitágors. Semejnz Esquem de l unidd Nomre y pellidos:... Curso:... Feh:... En un triángulo retángulo el áre del udrdo onstruido sore l hipotenus es igul l TEOREM DE PITÁGORS sum de... 2 2 =
Senx a) 0 b) 1 c) 2 d) 2
EJERIIOS. lculr en : Sen( - 0º) = os( + 0º) ) b) c) 4 d) 6 e). Si : Tg (8 º) Tg ( + º) = Hllr: K = Sen tg 6 7 7 ) b) c) - d) - e) ) 0, b) c), d) e) 8. Si : Tg =, Sen lculr : K Tg ) c) e) ( ) b) d) ( ).